Allgemeines
Le simulazioni eseguite mediante il metodo degli elementi finiti si basano sulla cosiddetta discretizzazione. In questo caso, un problema con soluzione sconosciuta viene suddiviso in sottoproblemi per i quali è determinabile una soluzione approssimata. Nel caso presente, ciò riguarda una suddivisione geometrica in componenti finite (elementi), il cui comportamento fisico può essere descritto in modo approssimato mediante funzioni di interpolazione. Da ciò deriva la rilevanza dell’esecuzione di uno studio di convergenza della mesh. Normalmente la mesh FE viene raffinata iterativamente, partendo da una discretizzazione grossolana. L’obiettivo di un tale studio è scegliere una mesh che fornisca risultati sufficientemente accurati. A tal fine si ricerca un compromesso. La mesh deve essere da un lato sufficientemente fine affinché un ulteriore raffinamento non comporti un apprezzabile incremento dell’accuratezza, ma dall’altro il più possibile grossolana per preservare le risorse (tempo di calcolo/spazio di memoria). Il raggiungimento del limite di convergenza, ad esempio una variazione dei risultati inferiore all’1% tra i passaggi, indica una soluzione stabile. In generale, la convergenza per gli spostamenti si raggiunge più facilmente che per risultati di ordine superiore, come tensioni e deformazioni. È importante scegliere un punto ben definito da monitorare, poiché la modifica della discretizzazione può comportare anche la variazione delle coordinate dei nodi della mesh FE. In RFEM ciò può essere ottenuto, ad esempio, valutando nodi geometricamente definiti oppure tramite punti risultati superfici aggiuntivi.
In RFEM è possibile controllare la discretizzazione tramite diverse impostazioni della mesh. Inoltre, se i risultati presentano una dipendenza locale dalla mesh, può essere consigliabile non raffinare l’intero modello. A tal fine RFEM offre la possibilità di un infittimento locale della mesh FE.
Esempio di deformazione di una mensola
Come già accennato, il raggiungimento della convergenza rispetto alle deformazioni è il più semplice. Di seguito è riportato un esempio tratto da Bernd Klein [1], che esamina l’influenza della discretizzazione sullo spostamento finale di una mensola. Il modello consiste in una mensola in alluminio lunga 100 mm con modulo di elasticità di 70 GPa. La sezione è costituita da una lamiera piana verticale alta 20 mm e larga 1 mm. All’estremità della mensola viene applicato un carico di 1 kN.
L’obiettivo è verificare la deformazione all’estremità della mensola, modellata mediante superfici, in funzione della densità della mesh. Inoltre sono stati esaminati diversi tipi di discretizzazione, elementi triangolari e quadrangolari. A confronto, il modello è stato realizzato anche mediante elementi asta, con (Timoshenko) e senza considerazione della deformazione a taglio (Bernoulli). Il modello degli elementi asta e quadrangolari, nonché i risultati ottenuti, sono mostrati nella figura seguente.
Come si può vedere, in questo caso la discretizzazione dell’elemento asta non ha alcuna influenza sulla deformazione del nodo finale. Tuttavia, come previsto, ha influenza la considerazione della deformazione a taglio. La deformazione senza deformazione a taglio (Bernoulli) è pari a 7,145 mm, quindi inferiore a quella secondo Timoshenko, pari a 7,365 mm. Le deformazioni delle superfici della mensola si avvicinano a questo valore con l’aumentare della finezza della mesh. Queste relazioni sono chiaramente evidenziate nel diagramma seguente.
Esempio di tensione e deformazione su piastra
L’esempio seguente intende mostrare l’influenza della discretizzazione sui risultati calcolati di tensione e deformazione. A tal fine è stata modellata una superficie con carico rettangolare libero e vincoli lineari distaccati.
La convergenza della mesh viene verificata in un punto risultato superficie in un angolo del carico rettangolare libero. La figura seguente lo illustra. La finestra superiore mostra il modello con discretizzazione, quella centrale le prime tensioni principali ottenute e quella inferiore le prime deformazioni principali. La discretizzazione aumenta nei modelli da sinistra a destra.
Il diagramma seguente mostra l’avvicinamento dei valori di tensione e deformazione, con l’aumento della finezza della mesh, a un valore limite, il cosiddetto comportamento di convergenza. Poiché in questo caso il valore reale della tensione non è banale da determinare, è opportuno valutare la variazione relativa rispetto al passaggio di discretizzazione precedente. Ciò è rappresentato nella parte inferiore del diagramma. Con una lunghezza target degli elementi FE di 0,01 m, sia la tensione sia la deformazione si discostano solo di circa lo 0,2% rispetto al precedente passo di raffinamento
Esempio di analisi lineare di instabilità di un guscio cilindrico
Anche nella determinazione degli autovalori è prevedibile un’influenza non trascurabile della finezza della mesh. Ciò riguarda, da un lato, il numero delle forme modali, che dipende direttamente dai gradi di libertà. Dall’altro, sono rilevanti anche gli effetti di irrigidimento locali e la distribuzione dei punti di massa. Per questo motivo, anche per l’esecuzione di analisi di stabilità e simulazioni dinamiche, in particolare analisi modali, dovrebbe essere eseguito uno studio di convergenza della mesh.
L’esempio seguente è ispirato a un contributo di Łukasz Skotny Ph.D. [2] ed è stato pubblicato inizialmente da Ondřej Švorc su LinkedIn. Il modello consiste in un guscio cilindrico in alluminio alto 0,2 m e spesso 2 mm (EN AW-3004 H14) con un diametro di 0,1 m. Le superfici superiore e inferiore sono realizzate mediante superfici rigide e sono caricate con 1 kN, rispettivamente vincolate in modo da impedire lo spostamento. Tramite un raffinamento successivo della mesh da 15 mm a 3 mm viene studiata l’influenza della finezza della mesh sul carico critico di biforcazione dell’analisi lineare di instabilità.
Nell’immagine seguente sono riportati i risultati dell’analisi di instabilità per una lunghezza della mesh FE di 15, 6 e 3 mm con mesh deformata.
Il carico critico di biforcazione ideale può essere determinato anche analiticamente per questo caso secondo EN 1999-1-5, sulla base della teoria classica dei gusci secondo Lorenz/Timoshenko/Southwell. La determinazione per un cilindro lungo, con verifica della snellezza limite, è mostrata nella formula seguente:
Nello studio di convergenza della mesh è emerso che il carico critico di biforcazione diminuisce all’aumentare della finezza della mesh e si avvicina a un valore limite. Il diagramma seguente mostra il carico critico di biforcazione in funzione del numero di elementi (a sinistra) e del suo reciproco (a destra). La mesh più grossolana (15 mm) sovrastima quindi il carico critico di biforcazione di circa il 25,5%. Il carico critico di biforcazione della mesh più fine è pari a 1008 kN e quindi inferiore di circa il 5,3% rispetto a quello determinato analiticamente. Possibili cause sono l’influenza delle condizioni al contorno e il comportamento di rigidezza degli elementi di guscio implementati in RFEM.
Nella figura seguente è rappresentato lo scostamento del carico critico di biforcazione rispetto al risultato della mesh più fine esaminata in funzione del tempo di calcolo (a sinistra) e della dimensione della mesh (a destra). A partire da una dimensione della mesh di 5 mm, la variazione relativa rispetto al passo immediatamente più grossolano è inferiore al 2%, così come rispetto al risultato della mesh più fine (3 mm). Il tempo di calcolo, invece, quasi triplica passando da circa 11 a 30 s. Questa relazione mostra chiaramente il compromesso tra tempo di calcolo e accuratezza, tipico delle simulazioni FE.
Per questo esempio è possibile individuare anche valori limite analitici e normativi per la finezza della mesh. Secondo EN 1993-1-6:2007, Appendice §C.3, deve essere eseguito uno studio di convergenza con almeno 3 livelli di mesh e un fattore di raffinamento maggiore o uguale a 1,5. Il criterio di convergenza è una variazione di αcr minore o uguale all’1% tra gli ultimi due livelli. Secondo il prEN 1993-1-14 §4, non ancora introdotto, la mesh deve essere in grado di risolvere la forma di collasso determinante. Nelle analisi di instabilità, questa è la lunghezza d’onda critica di instabilità. Per una buona risoluzione si possono considerare sufficienti 4 elementi. La dimensione della mesh risulta quindi, per questa geometria, di circa 4 mm. Ciò coincide anche con i risultati dello studio di convergenza qui effettuato (variazione relativa ~ 1%).
Per questo caso va inoltre osservato che una mesh troppo fine non è automaticamente migliore. Con elementi molto piccoli aumenta il numero di condizionamento della matrice di rigidezza, il che può favorire imprecisioni numeriche nel risolutore agli autovalori (Lanczos, iterazione nel sottospazio). Il valore ottimale si colloca, per una forma di instabilità nettamente risolta, con una dimensione della mesh di circa 3,5 mm.
Osservazioni finali
Gli esempi scelti qui intendono mostrare un procedimento semplificato per l’analisi della convergenza della mesh. Occorre tuttavia considerare che nella simulazione specifica possono essere oggetto di questa indagine altri parametri caratteristici. Inoltre, fattori diversi possono comportare requisiti modificati. Questi possono essere, ad esempio, di natura geometrica, nel caso in cui una curvatura debba essere rappresentata con grande precisione mediante gli elementi. Anche lo studio di danneggiamenti locali (ad es. comportamento fragile a rottura) richiede una discretizzazione relativamente più fine rispetto alla plasticizzazione.
Se con l’aumentare della finezza della mesh non si verifica un avvicinamento a un valore limite, potrebbe trattarsi di una singolarità. Ulteriori informazioni al riguardo sono disponibili nell’articolo tecnico al seguente link.