Расчет железобетонных балок по ACI 318-14 в программе RFEM

Техническая статья

С помощью модуля RF-CONCRETE Members мы можем выполнить расчет железобетонной балки по норме ACI 318-14. Для обеспечения надежности конструкции важен точный расчет бетонной балки на растяжение и сжатие, а также расчет поперечного армирования. В настоящей статье мы удостоверимся в правильности расчета арматуры в RF-CONCRETE Members с помощью поэтапных аналитических уравнений по норме ACI 318-14, включая расчеты величины момента, прочности при сдвиге и требуемого армирования. Приведенный пример железобетонной балки с двухслойной арматурой, включая арматуру, работающую на сдвиг, будет рассчитан на предельное состояние по несущей способности (ULS).

Описание

Сечение железобетонной балки с двухслойной арматурой, представленное на рисунке 01, будет рассчитано на предельную несущую способность по ACI 318-14 [1] с применением расчетных сочетаний нагрузок LRFD. На балку действуют нормативные равномерные постоянные и временные нагрузки, равные 2,0 kip/ft и 3,2 kip/ft. Выбранная прямоугольная балка имеет внешнее сечение 25 дюймов ⋅ 11 дюймов. Данный материал (бетон) имеет прочность на сжатие (f'c), равную 5000 psi (фунтов на кв. дюйм), а арматурная сталь имеет предел текучести (fy), равный 60 000 psi. Сжатая арматура (A) состоит из двух стержней №8 с расстоянием до центра тяжести (d') 3,0 дюйма от верхнего сжатого слоя общей площадью 1,57 кв. дюйма. Растянутая арматура (As) состоит из шести стержней №8 с расстоянием до центра тяжести (d) 20,5 дюймов от верхнего сжатого слоя общей площадью 4,71 дюйма. Арматура, работающая на сдвиг (Av), представляет собой хомуты №4 общей площадью 0,4 кв. дюйма. Размеры и диаграмма напряжений и деформаций сечения балки показаны на рисунке 01.

Pисунок 01 - Железобетонное сечение: диаграмма напряжений и деформаций

Величина момента

Требуемый номинальный момент Mu от прилагаемых нагрузок составляет 4512,00 kip-in. Для выведения уравнения нахождения номинального момента нам потребуются следующие допущения.

Сжатая арматура не достигает предела: ε's < εy → f's = Es ⋅ ε's
Растянутая арматура достигает: εs ≥ εy → fs = fy

С помощью уравнения, приведенного ниже, мы можем определить нейтральную ось, а затем проанализировать диаграмму напряжений и деформаций балки. Уравнение получено путем задания сил сжатия, равных растягивающим силам, для достижения равновесия:
Ts = C's + Cc → As ⋅ fy - A's ⋅ f's - 0,85 ⋅ f'c ⋅ a ⋅ b = 0

Применив диаграмму деформаций и подобные треугольники, мы можем предположить, что:
$\mathrm\varepsilon'_{\mathrm s}\;=\;\frac{{\mathrm\varepsilon}_{\mathrm{cu}}\;\cdot\;({\mathrm c}_{\mathrm{NA}}\;-\;\mathrm d')}{{\mathrm c}_{\mathrm{NA}}}$

Мы также знаем, что: a = β1 ⋅ CNA

Подставив выражения β1 ⋅ CNA и $\mathrm\varepsilon'_{\mathrm s}\;=\;\frac{{\mathrm\varepsilon}_{\mathrm{cu}}\;\cdot\;({\mathrm c}_{\mathrm{NA}}\;-\;\mathrm d')}{{\mathrm c}_{\mathrm{NA}}}$ вместо а и ε's соответственно в уравнение равновесия, мы можем рассчитать нейтральную ось, для этого известны все значения, за исключением CNA.

${\mathrm A}_\mathrm s\;\cdot\;{\mathrm f}_\mathrm y\;-\;\frac{\mathrm A'_\mathrm s\;\cdot\;{\mathrm E}_\mathrm s\;\cdot\;{\mathrm\varepsilon}_\mathrm{cu}\;\cdot\;({\mathrm C}_\mathrm{NA}\;-\;\mathrm d')}{{\mathrm C}_\mathrm{NA}}\;-\;0,85\;\cdot\;\mathrm f'_\mathrm c\;\cdot\;{\mathrm\beta}_1\;\cdot\;{\mathrm C}_\mathrm{NA}\;\cdot\;\mathrm b\;=\;0$

Согласно таблице 22.2.2.4.3 нормы ACI 318-14 [1] β1 равно 0,80. Решив уравнение с CNA, мы получим, что оно равно около 5,83 дюйма от верхнего предельно сжатого слоя.

Данные допущения (1 и 2) необходимо проверить. Допущение 1 заключается в расчете деформации сжатой арматуры (ε's) и ее сопоставлении с деформацией текучести (εy). Если ε's меньше, чем εy, то наше предположение верно. Допущение 2 заключается в расчете деформации растянутой стальной арматуры (εs) и ее сравнении ее εy. Если εs больше, чем εy, то наше предположение верно. С помощью расчета мы убедимся (не показано в статье), что допущения 1 и 2 верны.

Наконец, для определения номинального момента (Mn) мы зададим сумму моментов в месте сжатого бетона (Cc) равной нулю. Это показано на диаграмме рисунка 01.

Уравнение имеет следующий вид:
${\mathrm M}_{\mathrm n}\;=\;\mathrm C'_{\mathrm s}\;⋅\;({\textstyle\frac{\mathrm a}2}\;-\;\mathrm d')\;+\;{\mathrm T}_{\mathrm s}\;⋅\;(\mathrm d\;-\;{\textstyle\frac{\mathrm a}2})$

Прежде чем мы сможем определить Mn, мы должны подставить значения C's и Ts вместо $\mathrm A'_{\mathrm s}\;⋅\;{\mathrm E}_{\mathrm s}\;⋅\;{\mathrm\varepsilon}_{\mathrm{cu}}\;⋅\;\frac{({\mathrm C}_{\mathrm{NA}}\;-\;\mathrm d')}{{\mathrm C}_{\mathrm{NA}}}$ и As ⋅ fy соответственно.

Уравнение имеет следующий вид:
${\mathrm M}_\mathrm n\;=\;\mathrm A'_\mathrm s\;\cdot\;{\mathrm E}_\mathrm s\;\cdot\;{\mathrm\varepsilon}_\mathrm{cu}\;\cdot\;\frac{({\mathrm C}_\mathrm{NA}\;-\;\mathrm d')}{{\mathrm C}_\mathrm{NA}}\;\cdot\;(\frac{\mathrm a}2\;-\;\mathrm d')\;+\;{\mathrm A}_\mathrm s\;\cdot\;{\mathrm f}_\mathrm y\;\cdot\;(\mathrm d\;-\;\frac{\mathrm a}2)$

Мы также должны вычислить значение a, умножив β1 на CNA, перед расчетом Mn.

a = 4,66 дюйма

Подставляя полученные значения в уравнение Mn, мы получим следующее:
${\mathrm M}_{\mathrm n}\;=\;1,57\;\cdot\;29000\;\cdot\;\frac{0,003\;\cdot\;(5,83\;-\;2,5)}{5,83}\;\cdot\;\left(\frac{4,66}2\;-\;3,0\right)\;+\;4,71\;\cdot\;60\;\cdot\;\left(20,5\;-\;\frac{4,66}2\right)$

Mn будет равно 5122,69 kip-in.

Наконец, коэффициент надежности (φ) определим по таблице 21.2.2 нормы ACI 318 -14 [1]. Для вычисления φ деформация при растяжении сравнивается с предельной деформацией, равной 0,005. εt равно 0,00755 и больше 0,005. Для балки решающей является деформация при растяжении. По таблице 21.2.2 φ равен 0,90. При умножении полученного коэффициента на Mn мы получим φMn равное 4610,42 kip-in. Таким образом, несущая способность балки достаточна для приложенного изгибающего момента.

φMn > Mu = 4512,00 kip-in - в порядке.

Прочность на сдвиг

Примечание: Примем эффективную высоту (d) для расчета на сдвиг равной 22,5 дюйма в отличие от 20,5 дюймов, заданных в описании решения. Точка приложения максимальной силы сдвига также является точкой минимального изгибающего момента (лицевая сторона опоры). Для приведения аналитических вычислений в соответствие с расчетом арматуры в модуле RF-CONCRETE Members, эффективная высота балки в модуле задана на основе количества требуемой растянутой арматуры, а не рассчитанной растянутой арматуры. Поэтому при минимальном изгибающем моменте в поверхности опоры требуется только один слой растянутой арматуры с учетом заданной полезной высоты 22,5 дюйма.

В соответствии с разделом 22.5.1.1 [1], мы рассчитаем номинальную прочность балки на сдвиг (V n). Для расчета на сдвиг применяется следующее уравнение:
Vn = φ ⋅ (Vc + Vs)

Согласно таблице 22.5.5.1 [1] прочность бетона на сдвиг Vc равна минимуму из уравнений a, b и c, которые мы решим ниже в разделах 1, 2 и 3.

  1. Уравнение a имеет следующий вид:

    ${\mathrm V}_{\mathrm c-\mathrm a}\;=\;\left(1,9\;\cdot\;\mathrm\lambda\;\cdot\;\sqrt{\mathrm f'_{\mathrm c}}\;+\;2500\;\cdot\;{\mathrm\rho}_{\mathrm w}\;\cdot\;\frac{{\mathrm V}_{\mathrm u}\;\cdot\;\mathrm d}{{\mathrm M}_{\mathrm u}}\right)\;\cdot\;{\mathrm b}_{\mathrm w}\;\cdot\;\mathrm d,\;\mathrm{with}\;\mathrm\lambda\;=\;1$

    Mu достигается при Vu на расстоянии d от поверхности опоры (раздел 9.4.3.2 [1]). Таким образом, Mu равно 1533,38 kip-in. Vu = 61,10 kips.

    ${\mathrm\rho}_{\mathrm w}\;=\;\frac{{\mathrm A}_{\mathrm s}}{{\mathrm b}_{\mathrm w}\;\cdot\;\mathrm d}\;=\;0,01992$

    Vca = 44,96 kips.

  2. Уравнение b имеет следующий вид:

    ${\mathrm V}_{\mathrm c-\mathrm b}\;=\;\left(1,9\;\cdot\;\mathrm\lambda\;\cdot\;\sqrt{\mathrm f'_{\mathrm c}}\;+\;2500\;\cdot\;{\mathrm\rho}_{\mathrm w}\right)\;\cdot\;{\mathrm b}_{\mathrm w}\;\cdot\;\mathrm d$

    Vcb = 46,26 kips.

  3. Уравнение c имеет следующий вид:

    ${\mathrm V}_{\mathrm c-\mathrm c}\;=\;3,5\;\cdot\;\mathrm\lambda\;\cdot\;\sqrt{\mathrm f'_{\mathrm c}}\;\cdot\;{\mathrm b}_{\mathrm w}\;\cdot\;\mathrm d$

    Vcc = 61,25 kips.

Таким образом, выбрав минимальное значение из вышеприведенных уравнений, мы получим, что Vc равно 44,96 kips (тыс. фунтов на кв. дюйм).

После расчета бетона на номинальный сдвиг определим минимальное поперечное армирование в соответствии с разделом 9.6.3 [1]. Если требуемая максимальная прочность на сдвиг Vu меньше, чем 0,5 ⋅ φ ⋅ Vc, то требуется арматура, работающая на срез.

Vu < 0,5 ⋅ φ ⋅ Vc
Где
φ = 0,75 (по таблице 21.2.1 [1])

Таким образом Vu = 61,10 kips > 16,86 kips. Требуются арматурные хомуты.

Расчетный шаг арматуры определим согласно разделу 9.5.1.1 [1]:
φ ⋅ Vn > Vu

Подставим выражение (Vc + Vs) вместо Vn.

${\mathrm V}_{\mathrm s}\;>\;\frac{{\mathrm V}_{\mathrm u}\;-\;\mathrm\phi\;\cdot\;{\mathrm V}_{\mathrm c}}{\mathrm\phi}$

Мы получим, что Vs > 36,51 kips.

Согласно разделу 22.5.10.5.3 [1], для расчета требуемой прочности арматуры на сдвиг мы применим следующее уравнение:
${\mathrm V}_{\mathrm s}\;=\;\frac{{\mathrm A}_{\mathrm v}\;\cdot\;{\mathrm f}_{\mathrm{yt}}\;\cdot\;\mathrm d}{\mathrm s}$

Где fyt - предел текучести стальной растянутой арматуры, а d - расстояние от верхнего сжатого слоя до центра тяжести растянутой арматуры.

Максимальный шаг (s) будет равен 14,79 дюймов Шаг 14 дюймов будет применен у арматуры, работающей на сдвиг. При шаге s = 14 дюймов, по приведенному выше уравнению прочность арматуры на сдвиг Vs будет равна 38,57 kips.

По таблице 9.7.6.2.2 [1] мы определим максимальный шаг армирования. Нужно решить следующее уравнение для того, чтобы определить, какое уравнение из таблицы 9.7.6.2.2 применимо в нашем случае:
$4\;\cdot\;\sqrt{\mathrm f'_{\mathrm c}}\;\cdot\;{\mathrm b}_{\mathrm w}\;\cdot\;\mathrm d\;=\;4\;\cdot\;\sqrt{5000\;\mathrm{psi}}\;\cdot\;11\;\mathrm{in}\;\cdot\;22.5\;\mathrm{in}\;=\;70.00\;\mathrm{kips}$

Прочность арматуры на сдвиг Vs = 38,57 kips, что меньше расчетного значения 70,00 kips. По таблице 9.7.6.2.2 мы можем определить максимальный шаг арматуры, с помощью минимального значения из следующих вычислений:
${\mathrm s}_\max\;=\;\min\;\left(\frac{\mathrm d}{24},\frac{\mathrm d}2\right)$

Максимальный шаг равен 11,25 дюйма. Шаг арматуры, определенный ранее для стержней №4, и равный 14 дюймов несоразмерен, вместо него следует применить значение 11 дюймов. Необходимо убедиться, что несущая способность при сдвиге больше, чем требуемая максимальная прочность на сдвиг, для того, чтобы быть уверенным, что шаг и арматура, работающая на сдвиг, отвечают требованиям. С учетом нового максимального шага 11 дюймов мы получим значение Vs, равное 49,09 kips.

Vn = φ ⋅ (Vc + Vs) = 0,75 ⋅ (44,96 + 49,09) > Vu= 61,10 kips

Vn = 70,54 > 61,10 kips

Для окончательной проверки расчета мы проверим правильность размеров сечения согласно разделу 22.5.1.2. [1]. Для этого мы сравним максимальную прочность на сдвиг со значением из формулы 22.5.1.2 нормы ACI 318-14 [1]:
${\mathrm V}_{\mathrm u}\;\leqslant\;\mathrm\phi\;\cdot\;({\mathrm V}_{\mathrm c}\;+\;8\;\cdot\;\sqrt{\mathrm f'_{\mathrm c}}\;\cdot\;{\mathrm b}_{\mathrm w}\;\cdot\;\mathrm d)$

Данное значение равно 105,04 kips и больше, чем Vu. Таким образом, заданные размеры сечения достаточны.

Результаты

Вместо расчета армирования бетона вручную мы может применить дополнительный модуль RF-/CONCRETE Members и выполнить расчет по норме ACI 318-14 [1]. Данный модуль определит требуемую арматуру в соответствии с приложенными к балке нагрузками. Кроме того, программа рассчитает существующую арматуру на основе размеров стержней, заданных пользователем, с учетом требований к шагу арматуры по норме. Пользователь имеет возможность внести небольшие изменения в предоставленный расчет арматуры с помощью таблицы результатов.

Модуль RF-CONCRETE Members на основе нагрузок, заданных в нашем примере, рассчитал площадь требуемой растянутой арматуры, равную 4,46 кв. дюйма и существующую арматуру (6) - стержни №8 (As = 4,72 кв. дюйма). Схема арматуры показана на рисунке 02.

Pисунок 02 - Диаграмма растяжения и сжатия арматуры в RFEM

Требуемая стержневая арматура, работающая на сдвиг, была также рассчитана в RF-CONCRETE Members и равна 0,41 кв. дюйма/фут. Для достижения минимальной площади и обеспечения равномерного шага хомутов вдоль длины балки 20 футов программа рекомендует нам стержни №4  с шагом равным 10,91 дюйма. Схема арматуры, работающей на сдвиг, показана на рисунке 03.

Pисунок 03 - Диаграмма арматурных хомутов в RFEM

Ключевые слова

ACI 318-14 железобетон расчет балок

Литература

[1]   ACI 318-14, Building Code Requirements for Structural Concrete and Commentary

Загрузки

Ссылки

Контакты

Свяжитесь с Dlubal

У вас есть какие-либо вопросы или необходим совет?
Свяжитесь с нами через бесплатную поддержку по электронной почте, в чате или на форуме или найдите различные предлагаемые решения и полезные советы на страницах часто задаваемых вопросов.

+49 9673 9203 0

info@dlubal.com

RFEM Основная программа
RFEM 5.xx

Основная программа

Программное обеспечение для расчета конструкций методом конечных элементов (МКЭ) плоских и пространственных конструктивных систем, состоящих из плит, стен, оболочек, стержней (балок), тел и контактных элементов

Цена первой лицензии
3 540,00 USD
RFEM Железобетонные конструкции
RF-CONCRETE 5.xx

Дополнительный модуль

Расчет железобетонных стержней и поверхностей (плиты, стены, плоские конструкции, оболочки)

Цена первой лицензии
810,00 USD
RFEM Железобетонные конструкции
ACI 318 for RFEM 5.xx

Расширение модуля к RFEM

Расширение модулей для проектирования железобетонных конструкций расчетом по ACI 318

Цена первой лицензии
360,00 USD
RSTAB Основная программа
RSTAB 8.xx

Основная программа

Программное обеспечение для расчета конструкций рам, балок и ферм, выполняющее линейные и неьинейные расчеты внутренних сил, деформаций и опорных реакций

Цена первой лицензии
2 550,00 USD
RSTAB Железобетонные конструкции
ACI 318 for RSTAB 8.xx

Расширение модуля к RSTAB

Расширение модулей для проектирования железобетонных конструкций расчетом по ACI 318

Цена первой лицензии
360,00 USD