Расчет железобетонных балок по ACI 318-14 в RFEM

Описание

Сечение дважды армированной бетонной балки, показанное на рисунке 01, будет рассчитываться по ULS в соответствии с ACI 318-14 [1] с использованием факторных сочетаний нагрузок LRFD. К балке прилагается равномерная статическая нагрузка без учета факторов и временная нагрузка в размере 2,0 тысяч фунтов/фут и 3,2 тысячи фунтов/фут, соответственно. Выбранная прямоугольная балка имеет общее сечение 25 ⋅ 11 дюймов. Данный материал (бетон) имеет прочность на сжатие (f'_c), равную 5000 psi (фунтов на кв. дюйм), а арматурная сталь имеет предел текучести (f_y), равный 60 000 psi. Сжатая арматура (A) состоит из двух стержней № 8_с расстоянием между центрами тяжести (d ') 3,0 дюйма от верхнего сжимаемого волокна и общей площадью 1,57 дюйма². Растягивающая арматура (A_s ) состоит из шести стержней № 8 с расстоянием между центрами тяжести (d) 20,5 дюйма от верхнего сжатого волокна и общей площадью 4,71 дюйма². Арматура, работающая на сдвиг (A_v), представляет собой хомуты №4 общей площадью 0,4 кв. дюйма. Размеры и диаграмма напряжений и деформаций сечения балки показаны на рисунке 01.

Stahlbetonquerschnitt: Spannungs-Dehnungs-Diagramm

Величина момента

Требуемый номинальный момент M_u от прилагаемых нагрузок составляет 4512,00 kip-in. Для выведения уравнения нахождения номинального момента нам потребуются следующие допущения.

Сжатая арматура не достигает предела: ε '_s <ε_y → f'_s = E_s ⋅ ε '_s
Растянутая арматура достигает: ε_s ≥ ε_y → f_s = f_y

С помощью уравнения, приведенного ниже, мы можем определить нейтральную ось, а затем проанализировать диаграмму напряжений и деформаций балки. Уравнение получено путем задания сил сжатия, равных растягивающим силам, для достижения равновесия:
T_s = C'_s + C_c → A_s ⋅ f_y - A'_s ⋅ f'_s - 0,85 ⋅ f'_c ⋅ a ⋅ b = 0

Применив диаграмму деформаций и подобные треугольники, мы можем предположить, что:

Мы также знаем, что: a = β₁ ⋅ C_NA

Подставляя β₁ ⋅ C_NA и [T0_] вместо a и ε, соответственно, в уравнение равновесия выше, можно рассчитать нейтральную ось, поскольку все значения известны, кроме C_NA.

Согласно таблице 22.2.2.4.3 из ACI 318-14 [1] , β₁ равно 0,80. Решая вопрос о C_NA, мы находим, что оно равно примерно 5,83 дюйма от верхнего волокна с экстремальным сжатием.

Данные допущения (1 и 2) необходимо проверить. Допущение 1 заключается в расчете деформации сжатой арматуры (ε'_s) и ее сопоставлении с деформацией текучести (ε_y). Если ε'_s меньше, чем ε_y, то наше предположение верно. Допущение 2 заключается в расчете деформации растянутой стальной арматуры (ε_s) и ее сравнении ее ε_y. Если ε_s больше, чем ε_y, то наше предположение верно. Мы проверим с помощью расчета (не показан), что предположения 1 и 2 верны.

Наконец, для определения номинального момента (M_n) мы зададим сумму моментов в месте сжатого бетона (C_c) равной нулю. Это показано на диаграмме рисунка 01.

Уравнение имеет следующий вид:

Прежде чем мы сможем найти M_n, мы должны заменить C '_s и T_s на

Уравнение имеет следующий вид:

Мы также должны вычислить значение a, умножив β₁ на C_NA, перед расчетом M_n.

a = 4,66 дюйма

Подставляя полученные значения в уравнение M_n, мы получим следующее:

M_n будет равно 5122,69 kip-in.

Наконец, коэффициент безопасности (φ) определяется по таблице 21.2.2 из ACI 318 -14 [1]. Для вычисления φ деформация при растяжении сравнивается с предельной деформацией, равной 0,005. ε_t равно 0,00755 и больше 0,005. Для балки решающей является деформация при растяжении. По таблице 21.2.2 φ равен 0,90. При умножении полученного коэффициента на M_n мы получим φM_n равное 4610,42 kip-in. Таким образом, несущая способность балки достаточна для приложенного изгибающего момента.

φM_n > M_u = 4512,00 кип-дюйм в норме

Прочность на сдвиг

Примечание: Эффективная глубина (d) для расчетов на сдвиг принята равной 22,5 дюйма, в отличие от 20,5 дюймов, указанных в формулировке проблемы. Точка приложения максимальной силы сдвига также является точкой минимального изгибающего момента (лицевая сторона опоры). Для приведения аналитических вычислений в соответствие с расчетом арматуры в модуле RF-CONCRETE Members, эффективная высота балки в модуле задана на основе количества требуемой растянутой арматуры, а не рассчитанной растянутой арматуры. Таким образом, с минимальным изгибающим моментом на опорной поверхности требуется только один слой растянутой арматуры, учитывая эффективную глубину 22,5 дюйма.

На основании гл. 22.5.1.1 [1], мы рассчитаем номинальную прочность балки на сдвиг (V _n). Для расчета на сдвиг применяется следующее уравнение:
V_n = φ ⋅ (V_c + V_s)

Согласно таблице 22.5.5.1 [1] , прочность бетона на сдвиг V_c равна минимуму из уравнений a, b и c, рассчитанных в разделах 1, 2 и 3 ниже.

1. Уравнение a имеет следующий вид:

   ${\mathrm{V}}_{\mathrm{c}-\mathrm{a}} = \left(1.9 · \mathrm{\lambda } · \sqrt{\mathrm{f}{\text{'}}_{\mathrm{c}}} 2,500 · {\mathrm{\rho }}_{\mathrm{w}} · \frac{{\mathrm{V}}_{\mathrm{u}} · \mathrm{d}}{{\mathrm{M}}_{\mathrm{u}}}\right) · {\mathrm{b}}_{\mathrm{w}} · \mathrm{d}, \mathrm{with} \mathrm{\lambda } = 1$

   Формула 7

   M_u возникает в точке V_u, которая находится на расстоянии d от поверхности опоры (раздел 9.4.3.2 [1] ). Таким образом, M_u равно 1533,38 kip-in. V_u = 61,10 kips.

   ${\mathrm{\rho }}_{\mathrm{w}} = \frac{{\mathrm{A}}_{\mathrm{s}}}{{\mathrm{b}}_{\mathrm{w}} · \mathrm{d}} = 0.01992$

   Формула 8

   V_ca = 44,96 kips.

2. Уравнение b имеет следующий вид:

   ${\mathrm{V}}_{\mathrm{c}-\mathrm{b}} = \left(1.9 · \mathrm{\lambda } · \sqrt{\mathrm{f}{\text{'}}_{\mathrm{c}}} 2,500 · {\mathrm{\rho }}_{\mathrm{w}}\right) · {\mathrm{b}}_{\mathrm{w}} · \mathrm{d}$

   Формула 9

   V_cb = 46,26 kips.

3. Уравнение c имеет следующий вид:

   ${\mathrm{V}}_{\mathrm{c}-\mathrm{c}} = 3.5 · \mathrm{\lambda } · \sqrt{\mathrm{f}{\text{'}}_{\mathrm{c}}} · {\mathrm{b}}_{\mathrm{w}} · \mathrm{d}$

   Формула 10

   V_cc = 61,25 kips.

Таким образом, выбрав минимальное значение из вышеприведенных уравнений, мы получим, что V_c равно 44,96 kips (тыс. фунтов на кв. дюйм).

После номинального сдвига в расчете бетона, минимальная арматура на сдвиг находится с помощью п. 9.6.3 [1]. Здесь, если требуемая прочность на сдвиг V_u меньше 0,5 ⋅ φ ⋅ V_c, тогда требуется армирование на сдвиг.

V_u <0,5 ⋅ φ ⋅ V_c
где
φ = 0,75 (по таблице 21.2.1 [1])

Следовательно, V_u = 61,10 тысячи фунтов> 16,86 тысячи фунтов. Требуются арматурные хомуты.

Теоретический шаг определяется по п. 9.5.1.1 [1]:
φ ⋅ V_n > V_u

Подставим выражение (V_c + V_s) вместо V_n.

Итак, V_s > 36,51 тысячи фунтов.

Из гл. 22.5.10.5.3 [1], для расчета требуемой прочности арматуры на сдвиг мы применим следующее уравнение:

Где f_yt - предел текучести стальной растянутой арматуры, а d - расстояние от верхнего сжатого слоя до центра тяжести растянутой арматуры.

Максимальное расстояние рассчитано как 14,79 дюйма. Для поперечной арматуры используется шаг 14 дюймов. Используя шаг s = 14 дюймов, вычисленное выше уравнение для прочности стали на сдвиг, V_s, составило бы 38,57 тысячи фунтов.

По таблице 9.7.6.2.2 [1] мы определим максимальный шаг армирования. Нужно решить следующее уравнение для того, чтобы определить, какое уравнение из таблицы 9.7.6.2.2 применимо в нашем случае:

Прочность арматуры на сдвиг V_s = 38,57 kips, что меньше расчетного значения 70,00 kips. По таблице 9.7.6.2.2 мы можем определить максимальный шаг арматуры, с помощью минимального значения из следующих вычислений:

Максимальный шаг сдвига составляет 11,25 дюйма. Шаг сдвига, определенный ранее для стержней №4, расположенных на расстоянии 14 дюймов, недостаточен, и вместо этого следует использовать 11 дюймов. Мы проверяем, что номинальная прочность на сдвиг превышает требуемую предельную прочность на сдвиг, чтобы гарантировать, что арматура на сдвиг и интервалы являются адекватными. Что касается нашего нового максимального шага в 11 дюймов, мы получаем значение V_s, равное 49,09 тысячи фунтов.

V_n = φ ⋅ (V_c + V_s ) = 0,75 ⋅ (44,96 + 49,09)> V_u = 61,10 тысяч фунтов

V_n = 70,54> 61,10 тысячи фунтов

Окончательная проверка включает в себя определение достаточности размеров сечения на основании п. 22.5.1.2. [1]. Для этого предел прочности на сдвиг сравнивается с формулой. 22.5.1.2 из ACI 318-14 [1] :

Данное значение равно 105,04 kips и больше, чем V_u. Таким образом, заданные размеры сечения достаточны.

Результаты

Альтернативой для расчета арматуры является использование дополнительного модуля RF-/CONCRETE Members и выполнение расчета в соответствии с ACI 318-14 [1]. Данный модуль определит требуемую арматуру в соответствии с приложенными к балке нагрузками. Кроме того, программа рассчитает существующую арматуру на основе размеров стержней, заданных пользователем, с учетом требований к шагу арматуры по норме. Пользователь имеет возможность внести небольшие изменения в предоставленный расчет арматуры с помощью таблицы результатов.

На основе приложенных нагрузок для этого примера компания RF-CONCRETE Members определила требуемую минимальную растянутую арматуру в 4,46 дюйма² и арматуру в размере (6) стержней №8 (A_s = 4,72 дюйма²). Этот план армирования показан на рисунке 02.

Zug- und Druckbewehrung RFEM-Diagramm

Требуемая арматура на сдвиг для стержня в RF-CONCRETE Members была рассчитана и составила 0,41 дюйм²/фут. Чтобы соответствовать этой минимальной площади и обеспечить равномерный шаг хомутов по длине 20-футовой балки, программа рекомендовала стержни №4 с шагом 10,91 дюйма. Схема арматуры, работающей на сдвиг, показана на рисунке 03.

Bügelbewehrung RFEM-Diagramm