Bemessung von Stahlbetonträgern nach ACI 318-14 in RFEM

Fachbeitrag

Mit RF-BETON Stäbe ist es möglich, Betonträger nach ACI 318-14 zu bemessen. Aus sicherheitstechnischen Gründen ist es wichtig, Zug-, Druck- und Schubbewehrung von Betonträgern genau zu bemessen. Im folgenden Beitrag wird die Betonbemessung inklusive Momentenfestigkeit, Schubfestigkeit und erforderlicher Bewehrung in RF-BETON Stäbe anhand von Schritt-für Schritt-Gleichungen unter Verwendung der Norm ACI 318-14 gezeigt. Der doppelt bewehrte Betonträger im Beispiel enthält Schubbewehrung und es wird der Nachweis im Grenzzustand der Tragfähigkeit (GZT) geführt.

Beschreibung

Für den doppelt bewehrten Balkenquerschnitt aus Stahlbeton, abgebildet in Bild 01, wird der Nachweis im Grenzzustand der Tragfähigkeit (ULS) nach ACI 318-14 [1] geführt, wobei LRFD-Lastkombinationen mit Beiwerten verwendet werden. Eine gleichförmige Eigen- und Nutzlast von 2,0 kip/ft und 3,2 kip/ft ohne Beiwerte wird jeweils auf den Träger aufgebracht. Der gewählte rechteckige Balken hat einen Gesamtquerschnitt von 25 in. ⋅ 11 in. Das Betonmaterial hat eine Druckfestigkeit (f'c) von 5.000 psi, während der Betonstahl eine Streckgrenze (fy) von 60.000 psi hat. Die Druckbewehrung (A's) besteht aus zwei Stäben der Nr. 8 mit einem Schwerpunktabstand (d') von 3,0 in. vom oberen Rand mit einer Gesamtfläche von 1,57 in². Die Zugbewehrung (As) besteht aus sechs Stäben der Nr. 8 mit einem Schwerpunktabstand (d') von 20,5 in. vom oberen Rand mit einer Gesamtfläche von 4,71 in². Die Schubbewehrung (Av) beinhaltet Bügel der Nr. 4 mit einer Gesamtfläche von 0,4 in². Die Abmessungen und das Spannungs-Dehnungs-Diagramm des Trägerquerschnitts sind in Bild 01 dargestellt.

Bild 01 - Stahlbetonquerschnitt: Spannungs-Dehnungs-Diagramm

Momentenfestigkeit

Das erforderliche Nennmoment Mu der aufgebrachten Lasten beträgt 4512,00 kip-in. Die folgenden Annahmen sind Voraussetzung, um die Gleichung zur Ableitung der Nennmomente zu erhalten.

Druckbewehrung fließt nicht: ε's < εy → f's = Es ⋅ ε's
Zugbewehrung fließt: εs ≥ εy → fs = fy

Mit der nachfolgenden Gleichung kann die Nulllinie bestimmt werden, nachdem das Spannungs-Dehnungs-Diagramm des Trägers untersucht wurde. Die Gleichung wird hergeleitet, indem die Druckkräfte gleich den Zugkräften gesetzt werden, um das Gleichgewicht zu erfüllen:
Ts = C's + Cc → As ⋅ fy - A's ⋅ f's - 0.85 ⋅ f'c ⋅ a ⋅ b = 0

Unter Verwendung des Dehnungsdiagramms und ähnlicher Dreiecke kann Folgendes angenommen werden:
$\mathrm\varepsilon'_{\mathrm s}\;=\;\frac{{\mathrm\varepsilon}_{\mathrm{cu}}\;\cdot\;({\mathrm c}_{\mathrm{NA}}\;-\;\mathrm d')}{{\mathrm c}_{\mathrm{NA}}}$

Bekannt ist auch: a = β1 ⋅ CNA

Durch Einsetzen von β1 ⋅ CNA und $\mathrm\varepsilon'_{\mathrm s}\;=\;\frac{{\mathrm\varepsilon}_{\mathrm{cu}}\;\cdot\;({\mathrm c}_{\mathrm{NA}}\;-\;\mathrm d')}{{\mathrm c}_{\mathrm{NA}}}$ für a und ε's in die Gleichgewichtsbedingung oben kann die Nulllinie berechnet werden, da alle Werte außer CNA bekannt sind.

${\mathrm A}_\mathrm s\;\cdot\;{\mathrm f}_\mathrm y\;-\;\frac{\mathrm A'_\mathrm s\;\cdot\;{\mathrm E}_\mathrm s\;\cdot\;{\mathrm\varepsilon}_\mathrm{cu}\;\cdot\;({\mathrm C}_\mathrm{NA}\;-\;\mathrm d')}{{\mathrm C}_\mathrm{NA}}\;-\;0,85\;\cdot\;\mathrm f'_\mathrm c\;\cdot\;{\mathrm\beta}_1\;\cdot\;{\mathrm C}_\mathrm{NA}\;\cdot\;\mathrm b\;=\;0$

Bei Verwendung der Tabelle 22.2.2.4.3 des ACI 318 - 14 [1] ergibt sich, dass β1 gleich 0,80 ist. Bei Auflösen der Gleichung nach CNA ergibt sich, dass der Wert ungefähr gleich 5,83 in. vom oberen äußeren Rand beträgt. 

Die oben genannten Annahmen (1 und 2) müssen verifiziert werden. Annahme 1 besteht darin, die Dehnung in der Druckbewehrung (ε's)  zu berechnen und sie mit der Fließdehnung (εy) zu vergleichen. Wenn ε's kleiner als εist, dann ist die Annahme korrekt. Bei Annahme 2 muss die Berechnung der Dehnung der Zugbewehrung (εs) und der Vergleich mit εy erfolgen. Wenn εs größer ist als εy, ist die Annahme korrekt. Durch Berechnung (hier nicht gezeigt) wird verifiziert, dass die Annahmen 1 und 2 korrekt sind.

Um schließlich nach dem Nennmoment (Mn) aufzulösen, wird die Summe der Momente um die Stelle des druckbeanspruchten Betons (Cc) gleich null gesetzt. In Bild 01 wird das im Diagramm ersichtlich.

Die Gleichung lautet wie folgt:
${\mathrm M}_{\mathrm n}\;=\;\mathrm C'_{\mathrm s}\;⋅\;({\textstyle\frac{\mathrm a}2}\;-\;\mathrm d')\;+\;{\mathrm T}_{\mathrm s}\;⋅\;(\mathrm d\;-\;{\textstyle\frac{\mathrm a}2})$

Bevor nach Mn aufgelöst werden kann, muss man C's und Ts für $\mathrm A'_{\mathrm s}\;⋅\;{\mathrm E}_{\mathrm s}\;⋅\;{\mathrm\varepsilon}_{\mathrm{cu}}\;⋅\;\frac{({\mathrm C}_{\mathrm{NA}}\;-\;\mathrm d')}{{\mathrm C}_{\mathrm{NA}}}$ bzw. As ⋅ fy einsetzen.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
${\mathrm M}_\mathrm n\;=\;\mathrm A'_\mathrm s\;\cdot\;{\mathrm E}_\mathrm s\;\cdot\;{\mathrm\varepsilon}_\mathrm{cu}\;\cdot\;\frac{({\mathrm C}_\mathrm{NA}\;-\;\mathrm d')}{{\mathrm C}_\mathrm{NA}}\;\cdot\;(\frac{\mathrm a}2\;-\;\mathrm d')\;+\;{\mathrm A}_\mathrm s\;\cdot\;{\mathrm f}_\mathrm y\;\cdot\;(\mathrm d\;-\;\frac{\mathrm a}2)$

Ebenso ist es erforderlich a zu berechnen, indem β1 und CNA zusammen multipliziert werden, bevor Mn berechnet wird.

a = 4,66 in.

Setzt man diese Werte in die Mn-Gleichung ein, ergibt sich folgende Gleichung:
${\mathrm M}_{\mathrm n}\;=\;1,57\;\cdot\;29.000\;\cdot\;\frac{0,003\;\cdot\;(5,83\;-\;2,5)}{5,83}\;\cdot\;\left(\frac{4,66}2\;-\;3,0\right)\;+\;4,71\;\cdot\;60\;\cdot\;\left(20,5\;-\;\frac{4,66}2\right)$

Mn wird berechnet mit 5122,69 kip-in.

Schließlich wird der Sicherheitsfaktor (φ) bestimmt, indem Tabelle 21.2.2 des ACI 318 -14 [1] herangezogen wird. Um φ zu bestimmen, wird die Zugdehnung mit der Bruchdehnung von 0,005 verglichen. εt ist gleich 0,00755 und damit größer als 0,005. Für den Balken ist Zugdehnung entscheidend (tension controlled). Anhand Tabelle 21.2.2 ergibt sich, dass φ gleich 0,90 ist. Wenn man diesen Faktor mit Mn multipliziert, ist φMn gleich 4610,42 kip-in. Daher ist die Tragfähigkeit des Balkens ausreichend, um dem einwirkenden Biegemoment standzuhalten.

φMn > Mu = 4512.00 kip-in o.k.

Schubfestigkeit

Hinweis: Die Nutzhöhe (d) für Berechnungen der Schubfestigkeit wird mit 22,5 in. angenommen im Gegensatz zu den 20,5 in., die in der Problemstellung definiert wurden. Die Position der maximalen Querkraft ist auch die Position des minimalen Biegungsmoments (Vorderseite des Auflagers). Um die analytischen Berechnungen in Zusammenhang mit der Bewehrungsbemessung in RF-BETON Stäbe zu setzen, basiert die Nutzhöhe im Zusatzmodul vielmehr auf der erforderlichen Zugbewehrung als auf der vorhandenen Zugbewehrung. Mit dem minimalen Biegungsmoment an der Auflagefläche ist deswegen nur eine Lage an Zugbewehrung erforderlich mit einer gegebenen Nutzhöhe von 22,5 in.

Anhand von Abschnitt 22.5.1.1 [1] wird die Nennscherfestigkeit (Vn) des Balkens berechnet. Die folgende Gleichung wird zur Berechnung des Nominalschubs herangezogen:
Vn = φ ⋅ (Vc + Vs)

Mit Bezug auf Tabelle 22.5.5.1 [1] ist die Schubfestigkeit für Beton Vc gleich dem Minimum der Gleichungen a, b und c, die in den nachfolgenden Abschnitten 1, 2 und 3 berechnet werden.

  1. Gleichung a lautet:

    ${\mathrm V}_{\mathrm c-\mathrm a}\;=\;\left(1,9\;\cdot\;\mathrm\lambda\;\cdot\;\sqrt{\mathrm f'_{\mathrm c}}\;+\;2.500\;\cdot\;{\mathrm\rho}_{\mathrm w}\;\cdot\;\frac{{\mathrm V}_{\mathrm u}\;\cdot\;\mathrm d}{{\mathrm M}_{\mathrm u}}\right)\;\cdot\;{\mathrm b}_{\mathrm w}\;\cdot\;\mathrm d,\;\mathrm{mit}\;\mathrm\lambda\;=\;1$

    Mu tritt bei Vu auf, mit dem Abstand d von der Auflagerfläche (Abschnitt 9.4.3.2 [1]). Somit ist Mu gleich 1533,38 kip-in. Vu = 61,10 kips.

    ${\mathrm\rho}_{\mathrm w}\;=\;\frac{{\mathrm A}_{\mathrm s}}{{\mathrm b}_{\mathrm w}\;\cdot\;\mathrm d}\;=\;0,01992$

    Vc-a = 44,96 kips

  2. Gleichung b lautet:

    ${\mathrm V}_{\mathrm c-\mathrm b}\;=\;\left(1,9\;\cdot\;\mathrm\lambda\;\cdot\;\sqrt{\mathrm f'_{\mathrm c}}\;+\;2.500\;\cdot\;{\mathrm\rho}_{\mathrm w}\right)\;\cdot\;{\mathrm b}_{\mathrm w}\;\cdot\;\mathrm d$

    Vc-b = 46,26 kips

  3. Gleichung c lautet:

    ${\mathrm V}_{\mathrm c-\mathrm c}\;=\;3,5\;\cdot\;\mathrm\lambda\;\cdot\;\sqrt{\mathrm f'_{\mathrm c}}\;\cdot\;{\mathrm b}_{\mathrm w}\;\cdot\;\mathrm d$

    Vc-c = 61,25 kips

Anhand des kleinsten Wertes aus den obigen Gleichungen ergibt sich, dass Vc gleich 44,96 kips ist.

Gemäß des Nominalschubs der Betonberechnung ergibt sich die Mindestschubbewehrung aus Abschnitt 9.6.3 [1]. Wenn hier die erforderliche maximale Scherfestigkeit Vu kleiner als 0,5 ⋅ φ ⋅ Vc ist, dann ist eine Schubbewehrung erforderlich.

Vu < 0,5 ⋅ φ ⋅ Vc
mit
φ = 0,75 (Tabelle 21.2.1 [1])

Deswegen ist Vu = 61,10 kips > 16,86 kips. Daher sind Bügel erforderlich.

Der theoretische Abstand wird anhand Abschnitt 9.5.1.1 [1] bestimmt:
φ ⋅ Vn > Vu

(Vc + Vs) wird für Vn eingesetzt.

${\mathrm V}_{\mathrm s}\;>\;\frac{{\mathrm V}_{\mathrm u}\;-\;\mathrm\phi\;\cdot\;{\mathrm V}_{\mathrm c}}{\mathrm\phi}$

Damit ist Vs > 36,51 kips.

Aus Abschnitt 22.5.10.5.3 [1] wird die folgende Gleichung verwendet, um die erforderliche Scherfestigkeit für Stahl zu berechnen:
${\mathrm V}_{\mathrm s}\;=\;\frac{{\mathrm A}_{\mathrm v}\;\cdot\;{\mathrm f}_{\mathrm{yt}}\;\cdot\;\mathrm d}{\mathrm s}$

mit fyt als Streckgrenze der Zugbewehrung und d als Abstand vom oberen Rand zum Schwerpunkt der Zugbewehrung.

Der maximale Abstand (s) wird mit 14,79 in. berechnet. Ein Abstand von 14 in. wird für die Schubbewehrung verwendet. Bei Einsetzen von s = 14,00 in. in die obere Gleichung für die Schubfestigkeit von Stahl ergibt sich Vs = 38,57 kips.

Anhand von Tabelle 9.7.6.2.2 [1] ist der maximale Bügelabstand zu bestimmen. Die folgende Gleichung wird berechnet, um zu bestimmen, welche Gleichung in Tabelle 9.7.6.2.2 zutreffend ist:
$4\;\cdot\;\sqrt{\mathrm f'_{\mathrm c}}\;\cdot\;{\mathrm b}_{\mathrm w}\;\cdot\;\mathrm d\;=\;4\;\cdot\;\sqrt{5.000\;\mathrm{psi}}\;\cdot\;11\;\mathrm{in}\;\cdot\;22,5\;\mathrm{in}\;=\;70,00\;\mathrm{kips}$

Die Schubfestigkeit für Stahl Vs = 38,57 kips ist kleiner als der berechnete Wert von 70,00 kips. Gemäß Tabelle 9.7.6.2.2 kann der maximale Bügelabstand bestimmt werden, indem der kleinste Wert aus den folgenden Berechnungen genommen wird:
${\mathrm s}_\max\;=\;\min\;\left(\frac{\mathrm d}{24},\frac{\mathrm d}2\right)$

Der maximale Bügelabstand wird mit 11,25 in. berechnet. Der vorher bestimmte Bügelabstand von 14 in. mit den Stäben der Nr. 4 ist nicht ausreichend und 11 inches sollten stattdessen verwendet werden. Wir verifizieren, dass die Schubtragwirkung größer ist als die erforderliche maximale Scherfestigkeit, um sicherzugehen, dass Schubbewehrung und Abstand ausreichend sind. Hinsichtlich des neuen maximalen Abstands von 11 in. ergibt sich ein Vs-Wert von 49,09 kips.

Vn = φ ⋅ (Vc + Vs) = 0,75 ⋅ (44,96 + 49,09) > Vu= 61,10 kips

Vn = 70,54 > 61,10 kips

Zur endgültigen Verifikation muss bestimmt werden, ob die Querschnittsabmessungen auf Basis des Abschnitts 22.5.1.2 [1] ausreichend sind. Dazu wird die maximale Scherfestigkeit mit Gleichung 22.5.1.2 des ACI 318-14 [1] verglichen:
${\mathrm V}_{\mathrm u}\;\leqslant\;\mathrm\phi\;\cdot\;({\mathrm V}_{\mathrm c}\;+\;8\;\cdot\;\sqrt{\mathrm f'_{\mathrm c}}\;\cdot\;{\mathrm b}_{\mathrm w}\;\cdot\;\mathrm d)$

Dieser Wert von 105,04 kips ist größer als Vu. Daher sind die aktuellen Querschnittsabmessungen ausreichend.

Ergebnisse

Eine Alternative zur manuellen Ermittlung der Bewehrungs ist die Verwendung des Zusatzmoduls RF-/BETON Stäbe und die Bemessung nach der Norm ACI 318-14 [1]. Das Modul bestimmt die erforderliche Bewehrung, um den einwirkenden Lasten am Balken standzuhalten. Darüber hinaus bemisst das Programm auch die vorhandene Bewehrung, die auf den Stabdurchmessern basiert, die vom Anwender definiert wurden, wobei die Normanforderungen bezüglich der Abstände berücksichtigt werden. Der Anwender kann kleine Anpassungen an die vorhandene Bewehrungsanordnung in der Ergebnistabelle vornehmen.

Für die einwirkenden Lasten in diesem Beispiel ermittelt RF-BETON Stäbe eine erforderliche Mindestzugbewehrung von 4,46 in.² und eine vorhandene Bewehrung von (6) Stäben der Nr. 8 (As = 4,72 in.²). Die Bewehrungsanordnung ist in Bild 02 dargestellt.

Bild 02 - Zug- und Druckbewehrung RFEM-Diagramm

Die erforderliche Schubbewehrung für den Stab in RF-BETON Stäbe wird mit 0,41 in.²/ft berechnet. Um diese Mindestfläche zu erreichen und um für einen gleichmäßigen Bügelabstand entlang des Balkens mit einer Länge von 20 ft. zu sorgen, empfiehlt das Programm Stäbe der Größe 4 mit einem Abstand von 10,91 in. Die Schubbewehrungsanordnung ist in Bild 03 dargestellt.

Bild 03 - Bügelbewehrung RFEM-Diagramm

Schlüsselwörter

ACI 318-14 Stahlbeton Trägerbemessung

Literatur

[1]   ACI 318-14, Building Code Requirements for Structural Concrete and Commentary

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