Calcul de poutres béton armé selon CI 318-14 dans RFEM

Article technique

RF-CONCRETE Members permet de calculer des poutres béton selon l'ACI 318-14. Il est important de calculer avec précision la traction, la compression et les armatures de cisaillement des poutres béton pour des raisons de sécurité. Cet article détaille en plusieurs étapes le calcul des armatures dans RF-CONCRETE Members à l'aide d'équations analytiques selon la norme ACI 318-14, laquelle inclut la résistance de moment, la résistance au cisaillement et les armatures requises. L'exemple de poutre en béton doublement armé analysé ici comprend une armature d'effort tranchant et est calculé ) à l'ULS.

Description

La section de poutre en béton à double armature, illustrée à la figure 01, sera conçue sous ULS conformément à la norme ACI 318-14 [1] à l' aide de combinaisons de charges pondérées LRFD. Une charge morte et vive uniforme de 2 kip / ft et de 3,2 kip / ft sont appliquées au faisceau, respectivement. La poutre rectangulaire sélectionnée a une section transversale totale de 25 in 11 in. Le béton a une résistance à la compression (f ' c ) de 5 000 psi, tandis que l'acier d'armature a une limite d'élasticité (f y ) de 60 000 psi. L'armature de compression (A « s) est constitué de deux barres n ° 8 avec une distance centroïde (d ») de 3,0 à. de la fibre de compression supérieure avec une superficie totale de 1,57 in². Le ferraillage de traction (A s ) est constitué de six barres n ° 8 avec une distance centroïde (d) de 20,5 pouces. de la fibre de compression supérieure avec une superficie totale de 4,71 in². L'armature de cisaillement (A v ) comprend des étriers n ° 4 pour une surface totale de 0,4 po². Les dimensions et le diagramme de contrainte / déformation de la section transversale de la poutre sont illustrés à la Figure 01.

Moment Force

Le moment nominal requis, M u , par rapport aux charges appliquées est de 4512,00 kip-in. Déduire l'équation pour trouver le moment nominal nécessite les hypothèses suivantes.

L'acier de compression ne donne pas: ε 's < ε y → f ' s = E s ⋅ ε 's
L'acier de traction donne: ε s ≥ ε y → f s = f y

En analysant le diagramme de contrainte et de déformation du faisceau, l’axe neutre peut être trouvé avec l’équation ci-dessous. L'équation est dérivée en réglant les forces de compression égales aux forces de traction afin de satisfaire à l'équilibre:
Ts = C's + Cc → As ⋅ fy - A's ⋅ f's - 0,85 ⋅ f'c ⋅ a ⋅ b = 0

En utilisant le diagramme de déformation et des triangles similaires, nous pouvons supposer:
$\mathrm\varepsilon'_{\mathrm s}\;=\;\frac{{\mathrm\varepsilon}_{\mathrm{cu}}\;\cdot\;({\mathrm c}_{\mathrm{NA}}\;-\;\mathrm d')}{{\mathrm c}_{\mathrm{NA}}}$

Nous savons aussi: a = β 1 ⋅ C NA

Substituer β1 ⋅ CNA and $\mathrm\varepsilon'_{\mathrm s}\;=\;\frac{{\mathrm\varepsilon}_{\mathrm{cu}}\;\cdot\;({\mathrm c}_{\mathrm{NA}}\;-\;\mathrm d')}{{\mathrm c}_{\mathrm{NA}}}$ for a and ε's pour un et ε' respectivement s dans l'équation d'équilibre ci - dessus , l’axe neutre peut être calculé car toutes les valeurs sont connues sauf C NA .

${\mathrm A}_\mathrm s\;\cdot\;{\mathrm f}_\mathrm y\;-\;\frac{\mathrm A'_\mathrm s\;\cdot\;{\mathrm E}_\mathrm s\;\cdot\;{\mathrm\varepsilon}_\mathrm{cu}\;\cdot\;({\mathrm C}_\mathrm{NA}\;-\;\mathrm d')}{{\mathrm C}_\mathrm{NA}}\;-\;0.85\;\cdot\;\mathrm f'_\mathrm c\;\cdot\;{\mathrm\beta}_1\;\cdot\;{\mathrm C}_\mathrm{NA}\;\cdot\;\mathrm b\;=\;0$

En utilisant le tableau 22.2.2.4.3 de l’ACI 318 - 14 [1] , β 1 est égal à 0,80. En résolvant pour C NA , nous trouvons qu’elle équivaut à environ 5,83 in. de la fibre de compression extrême supérieure.

Les hypothèses ci-dessus (1 et 2) doivent être vérifiées. Hypothèse 1 consiste à calculer la contrainte dans l'acier de compression (ε » s) et en la comparant avec la souche de rendement (ε y). Si l « ε est inférieur à ε y, notre hypothèse est correcte. L’hypothèse 2 exige de calculer la déformation de l’armature en acier résistant à la traction (ε s ) et de la comparer à ε y . Si ε s est supérieur à ε y , alors notre hypothèse est correcte. Nous vérifions par le calcul (non montré) que les hypothèses 1 et 2 sont valides.

Enfin, pour résoudre le moment nominal (M n ), nous fixons la somme des moments autour de l’emplacement du béton en compression (C c ) égale à zéro. Ceci peut être vu dans le diagramme de la figure 01.

Cette équation devient:
${\mathrm M}_{\mathrm n}\;=\;\mathrm C'_{\mathrm s}\;⋅\;({\textstyle\frac{\mathrm a}2}\;-\;\mathrm d')\;+\;{\mathrm T}_{\mathrm s}\;⋅\;(\mathrm d\;-\;{\textstyle\frac{\mathrm a}2})$

Avant de pouvoir résoudre Mn , nous devons remplacer C's and Ts for $\mathrm A'_{\mathrm s}\;⋅\;{\mathrm E}_{\mathrm s}\;⋅\;{\mathrm\varepsilon}_{\mathrm{cu}}\;⋅\;\frac{({\mathrm C}_{\mathrm{NA}}\;-\;\mathrm d')}{{\mathrm C}_{\mathrm{NA}}}$ and As ⋅ fy respectivement.

L'équation devient:
${\mathrm M}_\mathrm n\;=\;\mathrm A'_\mathrm s\;\cdot\;{\mathrm E}_\mathrm s\;\cdot\;{\mathrm\varepsilon}_\mathrm{cu}\;\cdot\;\frac{({\mathrm C}_\mathrm{NA}\;-\;\mathrm d')}{{\mathrm C}_\mathrm{NA}}\;\cdot\;(\frac{\mathrm a}2\;-\;\mathrm d')\;+\;{\mathrm A}_\mathrm s\;\cdot\;{\mathrm f}_\mathrm y\;\cdot\;(\mathrm d\;-\;\frac{\mathrm a}2)$

Nous devons également calculer a en multipliant β 1 et C NA ensemble avant de calculer M n .

a = 4,66 po

En substituant ces valeurs dans l'équation de M n , on obtient ce qui suit:
${\mathrm M}_{\mathrm n}\;=\;1,57\;\cdot\;29 000\;\cdot\;\frac{0,003\;\cdot\;(5,83\;-\;2,5)}{5,83}\;\cdot\;\left(\frac{4,66}2\;-\;3,0\right)\;+\;4,71\;\cdot\;60\;\cdot\;\left(20,5\;-\;\frac{4,66}2\right)$

Mn est calculé à 5 122,69 kip-in.

Enfin, le facteur de sécurité () est déterminé en consultant le tableau 21.2.2 de l’ACI 318 -14 [1] . Pour déterminer, la contrainte de tension est comparée à la contrainte ultime de 0,005. ε t est égal à 0,00755 et supérieur à 0,005. Le faisceau est contrôlé en tension. D'après le tableau 21.2.2, est égal à 0,90. En multipliant ce facteur par M n , M n est égal à 4610,42 kip-in. Par conséquent, la capacité en moment du faisceau est suffisante pour résister au moment de flexion appliqué.

φM n > M u = 4512.00 kip-in ok

Résistance au cisaillement

Remarque : La profondeur effective (d) pour les calculs de conception en cisaillement est de 22,5 pouces. opposé à la 20.5 dans. énoncées dans l'énoncé du problème. L'emplacement de la force de cisaillement maximale est également l'emplacement du moment de flexion minimal (face du support). Pour corréler les calculs analytiques à la conception de l'armature dans les éléments RF-CONCRETE, le module complémentaire base la profondeur effective sur l'armature de traction requise plutôt que sur l'armature de traction fournie. Par conséquent, avec un moment de flexion minimal au niveau de la face de support, une seule couche de renforcement de traction est requise pour une profondeur effective de 22,5 pouces.

Basé sur Sect. 22.5.1.1 [1] , nous calculons la résistance nominale au cisaillement (V n ) du faisceau. L'équation suivante est utilisée pour calculer le cisaillement nominal:
Vn = φ ⋅ (Vc + Vs)

En se référant au tableau 22.5.5.1 [1] , la résistance au cisaillement du béton V c est égale au minimum des équations a, b et c calculées dans les sections 1, 2 et 3 ci-dessous.

  1. L'équation a est donnée comme:

    ${\mathrm V}_{\mathrm c-\mathrm a}\;=\;\left(1,9\;\cdot\;\mathrm\lambda\;\cdot\;\sqrt{\mathrm f'_{\mathrm c}}\;+\;2 500\;\cdot\;{\mathrm\rho}_{\mathrm w}\;\cdot\;\frac{{\mathrm V}_{\mathrm u}\;\cdot\;\mathrm d}{{\mathrm M}_{\mathrm u}}\right)\;\cdot\;{\mathrm b}_{\mathrm w}\;\cdot\;\mathrm d,\;\mathrm{with}\;\mathrm\lambda\;=\;1$

    M u apparaît à V u qui est à une distance d de la face de support (section 9.4.3.2 [1] ). Par conséquent, M u est égal à 1533,38 kip-in. Vu = 61,10 kips.

    ${\mathrm\rho}_{\mathrm w}\;=\;\frac{{\mathrm A}_{\mathrm s}}{{\mathrm b}_{\mathrm w}\;\cdot\;\mathrm d}\;=\;0,01992$

    Vc-a = 44,96 kips

  2. L'équation b est donnée comme:

    ${\mathrm V}_{\mathrm c-\mathrm b}\;=\;\left(1,9\;\cdot\;\mathrm\lambda\;\cdot\;\sqrt{\mathrm f'_{\mathrm c}}\;+\;2 500\;\cdot\;{\mathrm\rho}_{\mathrm w}\right)\;\cdot\;{\mathrm b}_{\mathrm w}\;\cdot\;\mathrm d$

    Vc-b = 46,26 kips

  3. L'équation c est donnée comme:

    ${\mathrm V}_{\mathrm c-\mathrm c}\;=\;3,5\;\cdot\;\mathrm\lambda\;\cdot\;\sqrt{\mathrm f'_{\mathrm c}}\;\cdot\;{\mathrm b}_{\mathrm w}\;\cdot\;\mathrm d$

    Vc-c = 61,25 kips

Par conséquent, en sélectionnant la valeur minimale dans les équations ci-dessus, nous trouvons que V c est égal à 44,96 kips.

Après le cisaillement nominal du calcul du béton, on trouve l’armature de cisaillement minimale en utilisant la Sect. 9.6.3 [1]. Ici, si la résistance au cisaillement V u requise est inférieure à 0,5 then V c, un renfort au cisaillement est requis.

Vu < 0,5 ⋅ φ ⋅ Vc
Où,
φ = 0,75 (Tableau 21.2.1 [1])

Par conséquent, Vu = 61,10 kips> 16,86 kips. Les étriers sont nécessaires.

L'espacement théorique est déterminé à partir de la Sect. 9.5.1.1 [1] :
φ ⋅ Vn > Vu

On substitue (Vc + Vs) for Vn.

${\mathrm V}_{\mathrm s}\;>\;\frac{{\mathrm V}_{\mathrm u}\;-\;\mathrm\phi\;\cdot\;{\mathrm V}_{\mathrm c}}{\mathrm\phi}$

Ainsi, Vs > 36,51 kips.

De Sect. 22.5.10.5.3 [1] , nous utilisons l'équation suivante pour calculer la résistance au cisaillement de l'acier requise:
${\mathrm V}_{\mathrm s}\;=\;\frac{{\mathrm A}_{\mathrm v}\;\cdot\;{\mathrm f}_{\mathrm{yt}}\;\cdot\;\mathrm d}{\mathrm s}$

Où, f yt est la limite d'élasticité de l'armature en acier en traction et d est la distance entre la fibre de compression supérieure et le centroïde de l'armature en traction.

L’espacement maximal est calculé à 14,79 po. Un espacement de 14 po pour le renforcement de cisaillement est utilisé. En utilisant un espacement de s = 14 po, l'équation ci-dessus pour la résistance au cisaillement de l'acier, V s , est calculée comme étant 38,57 kips.

À l’aide du tableau 9.7.6.2.2 [1] , il faut déterminer l’écartement maximum du cisaillement. L'équation suivante est calculée pour déterminer quelle équation du tableau 9.7.6.2.2 est applicable:
$4\;\cdot\;\sqrt{\mathrm f'_{\mathrm c}}\;\cdot\;{\mathrm b}_{\mathrm w}\;\cdot\;\mathrm d\;=\;4\;\cdot\;\sqrt{5 000\;\mathrm{psi}}\;\cdot\;11\;\mathrm{in}\;\cdot\;22,5\;\mathrm{in}\;=\;70,00\;\mathrm{kips}$

La résistance au cisaillement de l'acier, V s = 38,57 kips, est inférieure à la valeur calculée de 70,00 kips. En se référant au tableau 9.7.6.2.2, l’espacement maximal entre les cisaillements peut être déterminé en utilisant la valeur minimale des calculs suivants:
${\mathrm s}_\max\;=\;\min\;\left(\frac{\mathrm d}{24},\frac{\mathrm d}2\right)$

L’espacement maximum entre les cisaillements est déterminé à 11,25 po. L’espacement des cisaillements déterminé précédemment avec des barres n ° 4 espacées de 14 po. n'est pas suffisant et 11 pouces devraient être utilisés à la place. Nous vérifions que la capacité nominale de cisaillement est supérieure à la résistance au cisaillement ultime requise afin de garantir que le ferraillage de cisaillement et l'espacement sont adéquats. En ce qui concerne notre nouvel espacement maximal de 11 pouces, nous recevons une valeur V s de 49,09 kips.

Vn = φ ⋅ (Vc + Vs) = 0,75 ⋅ (44,96 + 49,09) > Vu= 61,10 kips

Vn = 70,54 > 61,10 kips

La vérification finale consiste à déterminer si les dimensions de la section transversale sont suffisantes en fonction de la Sect. 22.5.1.2. [1] Pour ce faire, la résistance au cisaillement ultime est comparée à Eqn. 22.5.1.2 de l’ACI 318-14 [1] :
${\mathrm V}_{\mathrm u}\;\leqslant\;\mathrm\phi\;\cdot\;({\mathrm V}_{\mathrm c}\;+\;8\;\cdot\;\sqrt{\mathrm f'_{\mathrm c}}\;\cdot\;{\mathrm b}_{\mathrm w}\;\cdot\;\mathrm d)$

Cette valeur de 105,04 kips est supérieure à V u . Par conséquent, les dimensions actuelles de la section sont suffisantes.

Résultats

Une alternative pour la conception de l'armature de béton consiste à utiliser le module supplémentaire Membres RF / CONCRETE et à effectuer la conception conformément à l'ACI 318-14 [1] . Le module déterminera le ferraillage requis pour résister aux charges appliquées sur la poutre. En outre, le programme concevra également le ferraillage fourni en fonction des tailles de barre spécifiées par l'utilisateur, tout en tenant compte des exigences d'espacement de la norme. L'utilisateur a la possibilité d'apporter de petits ajustements à la disposition des armatures fournie dans le tableau des résultats.

Sur la base des charges appliquées pour cet exemple, RF-CONCRETE Members a déterminé un renforcement de tension minimal requis de 4,46 pouces² et un renforcement fourni de (6) barres n ° 8 (A s = 4,72 pouces²). Cette disposition des armatures est illustrée à la figure 02.

Figure 03 - Diagramme RFEM de traction et de compression

Le ferraillage de cisaillement requis pour le membre au sein des membres RF-CONCRETE a été calculé comme étant de 0,41 in.² / ft. Pour respecter cette zone minimale et assurer un espacement uniforme des étriers le long de la longueur de 20 pieds. faisceau, le programme a recommandé 4 barres à 10,91 po. espacement. La disposition des armatures de cisaillement est illustrée à la figure 03.

Figure 03 - Diagramme RFEM de traction et de compression

Mots-Clés

ACI 318-14 Béton armé Conception de faisceau

Littérature

[1]   ACI 318-14, Building Code Requirements for Structural Concrete and Commentary

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