10392x

001681

Bastian Ackermann, M.Sc.

2021-01-07

Определение идеальной жесткости пружины для боковых опор стержней, неустойчивых при изгибе

В случае, когда стержню нужна из-за сжимающей осевой силы боковая опора для предотвращения потери устойчивости, всегда необходимо убедиться, что эта опора действительно способна данную потерю предотвратить. Вследствие этого, в нашей статье мы определим идеальную жесткость пружины для боковой опоры с помощью модели Винтера.

По Джорджу Винтеру, идеальная жесткость пружины - это минимальная жесткость, которая необходима для полного предотвращения неустойчивости при продольном изгибе основного стержня с учетом критической нагрузки, и, соответственно, действует в качестве полноценной опоры. Винтер говорит о «полном придании жесткости». В соответствии с этим, прохождение через нулевую точку кривой потери устойчивости при изгибе должно быть в точке данной опорной пружины, таким образом, чтобы сама кривая потери устойчивости была двух- или многоволновой вместо одноволновой.

В модели Винтера рассматривается идеально прямой сжатый стержень с шарнирами на обоих концах, который поддерживается в середине опорной пружиной. Чтобы определить идеальную жесткость пружины, Винтер разработал идеализированную модель, показанную на рисунке 01.

1 Идеализированная модель Винтера

Условный шарнир основан на предположении о наличии точки перегиба на кривой потери устойчивости при изгибе, если расстояния между опорами одинаковы. Если в качестве осевой сжимающей силы применить критическую нагрузку P_e, а стержень при этом перемещается на расстояние w в области опорной пружины, то после разреза на условном шарнире и установки равновесия моментов мы получим идеальную жесткость пружины C_ideal.

C_{ideal} = \frac{2 \cdot P_{e}}{L}

C_ideal	Ideale Federsteifigkeit
P_e	Verzweigungslast
L	Stützweite zwischen Auflager und Stützfeder

Идеальная жесткость пружины

На основе зависимости между жесткостью пружины и критической нагрузкой мы получим функцию, показанную на рисунке 02. Таким образом, при жесткости пружины меньшей, чем C_ideal возникает форма потери устойчивости с боковым смещением в области опорной пружины.

2 Связь между жесткостью пружины и критической нагрузкой

Критическую нагрузку P_e можно определить с помощью дополнительных модулей RSBUCK и RF-STABILITY или вручную следующим образом.

P_{e} = \frac{π ² \cdot E \cdot I}{L ²}

P_e	Verzweigungslast
E	Elastizitätsmodul
I	Flächenträgheitsmoment
L	Stützweite zwischen Auflager und Stützfeder

критическая нагрузка

Определение идеальной жесткости пружины на конкретном примере

В модели (рисунок 03) сжатый стержень (IPE 400), шарнирно опертый с обеих сторон, с параметрами E = 21 000 кН/см², I_z = 1318 см⁴ и L = 5 м, поддерживается в середине опорной пружиной.

3 Модель: Стабилизированный стержень с потерей устойчивости

В результате, критическая нагрузка Р_е равна 1089 кН, а идеальная жесткость пружины C_ideal - 436 кН/м для опорной пружины, заданной в середине стержня.

Нахождение стабилизирующей силы в опорной пружине на примере стержня, неустойчивого при изгибе, с несовершенством

После выполнения, в дополнение к выше изложенной теории, испытаний колонн на предельную нагрузку при продольном изгибе, было обнаружено, что теоретически идеальная жесткость пружины недостаточна для колонн с геометрическими несовершенствами.

Поэтому деформация w на рисунке 01 дополняется предварительной деформацией w₀ для получения w_tot.

w_tot = w + w₀

После установления равновесия моментов вокруг условного шарнира (рисунок 01) мы получим:
P ⋅ (w + w₀ ) = C ⋅ w ⋅ L / 2

В результате:

w_{ges} = \frac{w_{0}}{1 - \frac{2 * P}{C * L}}

w_ges	Gesamtverformung aus Knickauslenkung und Vorkrümmung
w₀	Vorverformung aus Vorkrümmung aufgrund geometrischer Imperfektion
P	Vorhandene Drucknormalkraft im Knickstab
C	Federsteifigkeit der seitlichen Stützfeder
L	Stützweite zwischen Auflager und Stützfeder

Общая деформация

При C_ideal = 2 ⋅ P_e/ L:

w_{ges} = \frac{w_{0}}{1 - \frac{P}{P_{e}}}

w_ges	Gesamtverformung aus Knickauslenkung und Vorkrümmung
w₀	Vorverformung aus Vorkrümmung aufgrund geometrischer Imperfektion
P	Vorhandene Drucknormalkraft im Knickstab
P_e	Verzweigungslast im Knickstab

Общая деформация

Стабилизирующая сила F_c находится по данным уравнениям:

F_{c} = C * w = \frac{2 * P}{L} * \frac{w_{0}}{1 - \frac{P}{P_{e}}}

F_c	Seitliche Stabilisierungskraft
C	Federsteifigkeit der seitlichen Stützung
w	Seitliche Auslenkung des Knickstabes in der Mitte
P	Drucknormalkraft im Knickstab
L	Stützweite zwischen Auflager und Stützfeder
w₀	Vorverformung aus Vorkrümmung aufgrund geometrischer Imperfektion
P_e	Verzweigungslast des Knickstabes

Стабилизирующая сила

Таким образом, стабилизирующую силу F_c можно определить на основе следующих параметров:

Действительная сжимающая сила P = 500 кН
Расстояние между опорой и опорной пружиной L = 5,00 м
Несовершенство в виде предварительного изгиба w₀ = L_total / 300 = 10 / 300 = 0,0333 м

Критическая нагрузка P_e = 1089 кН

В результате мы получим стабилизирующую нагрузку F_c = 12,3 кН. В RFEM получим 11,7 кН.

Заключение

Чтобы проверить правильность полученной жесткости пружины, можно посмотреть на результаты в модуле RF-STABILITY. Первая собственная форма соответствует двухволновой кривой потери устойчивости при изгибе с переходом через нулевое значение на уровне опорной пружины, в то время как вторая собственная форма представляет собой одноволновую кривую потери устойчивости, с опиранием на опорную пружину (рисунок 04). Обе формы имеют примерно одинаковую критическую нагрузку, вызывающую потерю устойчивости при изгибе.

4 Формы колебаний 1 и 2 из модуля RF-STABILITY

База знаний

KB 001681 | Определение идеальной жесткости пружины для боковых опор на стержнях с потерей устойчивости

Автор

Г-н Аккерманн является контактным лицом по вопросам продаж.

Ссылки

Krahwindel, M.: Zur Beanspruchung stabilisierender Konstruktionen im Stahlbau. Дюссельдорф: VDI, 2001

;