10899x

001705

M.eng. Милан Жерар

2021-02-05

Расчет железобетонных колонн, подверженных комбинированному изгибу в модуле RF-CONCRETE Columns

В данной статье будут рассмотриваться элементы, сечение которых подвергается одновременно действию изгибающего момента, поперечной силы и осевой сжимающей или растягивающей силы. Тем не менее в рамках нашего примера не будет учитываться действие поперечной силы.

Что такое комбинированная нагруженность изгибом?

Комбинированная изгибающая нагрузка определяется системой (M_G0, N), действующей в точке C, называемой центром давления. Расстояние G₀C называется эксцентриситетом внешней силы по отношению к центру тяжести G₀ чистого сечения из бетона.

Таким образом, при комбинированной изгибающей нагрузке значение изгибающего момента зависит только от той точки, в которой производится уменьшение сил, в данном случае G₀.

e_{0} = \frac{M_{{EdG}_{0}}}{N_{Ed}}

e₀	эксцентриситет по отношению к центру тяжести чистого бетонного сечения
Θ	Коэффициент устойчивости
C_d	Коэффициент усиления деформации по таблице 12.2-1

Эксцентриситет относительно центра тяжести чистого бетонного профиля

При комбинированной изгибающей нагрузке сначала необходимо определить положение центра давления с помощью вычисления e₀.

Учет геометрических несовершенств и эффектов второго порядка в предельном состоянии первой группы

При расчете элементов и конструкций необходимо учитывать неблагоприятное воздействие геометрических несовершенств конструкции, а также отклонения в положении нагрузок. Отклонения в размерах сечений обычно учитываются с помощью частных коэффициентов надежности материалов.

Гибкость и полезная длина одиночных элементов

λ = \frac{l_{0}}{i}

l_{0} = β \cdot l

λ	коэффициент гибкости
l₀	расчетная полезная длина
i	радиус инерции железобетонного профиля без трещин
β	коэффициент длины потери устойчивости
I_e	Значение коэффициента, определенного в разделе 11.5.1

Коэффициент гибкости

На рисунке 01 показаны возможности выбора в модуле RF-CONCRETE Columns коэффициента длины продольного изгиба β посредством моделирования условий опирания одиночных элементов с постоянным сечением и свободной длиной l.

1 Предварительно заданные значения коэффициента длины потери устойчивости вокруг оси Y

Критерий гибкости для единичных элементов

Предполагается, что эффектами второго порядка можно пренебречь, в случае, если подтверждено, что коэффициент гибкости ниже, чем критерий гибкости.

λ < λ_{\lim}

λ_{\lim} = \frac{20 \cdot A \cdot B \cdot C}{\sqrt{n}} selon l ’ AN française

A = \frac{1}{1 + 0, 2 \cdot φ_{ef}} = 0, 7 si φ_{ef} est inconnu

B = \sqrt{1 + 2 \cdot ω} = 1, 1 si ω est inconnu

C = 1, 7 - r_{m} = 0, 7 si r_{m} est inconnu

n = \frac{N_{Ed}}{A_{C} \cdot f_{cd}}

r_{m} = \{\begin{cases} 1, si éléments non contreventés en général \\ 1, si éléments contreventés avec moments du premier ordre dus principalement à des imperfections ou à des charges transversales \\ \frac{M_{01}}{M_{02}} \leq 1, si autres cas \end{cases}

λ	критерий гибкости
λ_lim	предельная гибкость
φ_ef	эффективный коэффициент ползучести
ω	механический процент армирования
r_m	соотношение моментов
M₀₁ , M₀₂	алгебраические значения моментов первого порядка на обоих концах элемента

Критерий гибкости

Учет ползучести

Влияние ползучести необходимо включить в анализ второго порядка, учитывая как общие условия ползучести, так и длительность приложения различных нагрузок в упрощенной форме с помощью эффективного коэффициента ползучести.

φ_{ef} = φ (\infty, t_{0}) \cdot \frac{M_{0 E_{qp}}}{M_{0 Ed}}

φ_ef	эффективный коэффициент ползучести
φ (∞, t₀ )	конечное значение коэффициента ползучести
M_0Eqp	момент эксплуатации первого порядка при квазипостоянном сочетании воздействий
M_0Ed	предельный момент первого порядка при сочетании расчетных нагрузок (включая геометрические несовершенства)

Эффективный коэффициент ползучести

2 Параметры ползучести во входных данных

Стены и отдельные опоры из стержневых конструкций

В случае одиночных элементов влияние несовершенств можно учесть в виде эксцентриситета e_i.

e_{i} = θ_{i} \cdot \frac{l_{0}}{2}

θ_{i} = θ_{0} \cdot α_{h} \cdot α_{m}

θ_{0} = \frac{1}{200}

\frac{2}{3} \leq α_{h} = \frac{2}{\sqrt{l}} \leq 1

α_{m} = \sqrt{0, 5 \cdot (1 + \frac{1}{m})}

e_i	эксцентриситет из -за несовершенства
θ_и	общий наклон конструкции
θ₀	базовое значение, рекомендованное NA
α_h	понижающий коэффициент длины
α_m	понижающий коэффициент, относящийся к количеству элементов, где m - количество вертикальных элементов, дающих общий эффект

Эксцентриситет из -за несовершенства

Прямые профили с симметричным армированием

Для учета отклонений в размерах профиля следует рассчитать изгибающий момент в предельном состоянии первой группы:

M_{E {dG}_{0}} = M_{Ed} + N_{Ed} \cdot ∆ e_{0}

∆ e_{0} = Ma x \{\begin{cases} 20 mm \\ \frac{h}{30} : excentricité minimale requise \end{cases}

M_EdG0	Изгибающий момент
M_ED	Расчетная величина изгибающего момента
Δe_{[LinkToImage02]}	требуемый минимальный эксцентриситет
h	высота прямого сечения в плоскости изгиба

изгибающий момент

Расчет стали по диаграммам взаимодействия

Диаграммы взаимосвязи момент - нормальная сила представляют собой вычислительное средство, позволяющее быстро рассчитать или проверить прямые профили, для которых заранее определена форма и распределение арматуры. Диаграммы взаимосвязи разработаны только для предельного состояния по несущей способности. Диаграмма взаимосвязи строится с помощью двух кривых, образующих непрерывный и замкнутый контур, который называется кривой взаимосвязи. Ход этих кривых основан на уравнениях равнодействующей и результирующего момента, и зависит, прежде всего, от следующих параметров:

Диаграммы деформации бетона и стали
Диаграммы напряжения бетона и стали

Таким образом, для данного сечения (бетон, арматура, расположение арматурной стали) величины определяются без размеров, на основе расчетных внутренних сил N_Ed и M_EdG0.

ν_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{A_{c} \cdot f_{cd}}

A_{c} = b \cdot h

ν_ED	пониженная осевая сила
A_c	общая площадь сечения чистого бетона
B	ширина прямого сечения в плоскости изгиба
f_cd	расчетное значение прочности бетона на сжатие

Пониженная осевая сила

μ_{Ed} = \frac{M_{{EdG}_{0}}}{A_{c} \cdot h \cdot f_{cd}}

μ_ED	изгибающий момент уменьшен в G₀

Изгибающий момент уменьшается в G0

ρ = \frac{A_{s} \cdot f_{yd}}{A_{c} \cdot f_{cd}}

ρ	механический процент армирования
A_s	площадь армирования
f_yd	расчетный предел текучести железобетонной стали

Механический процент армирования

Последнее уравнение позволяет найти требуемое сечение арматуры путем интерполяции полей кривых ρ на диаграмме взаимосвязи с помощью приведенной ортогональной системы координат (μ, υ).

Сравнение теории с дополнительным модулем RF-CONCRETE Columns

На простом примере мы сравним результаты, полученные в модуле RF-CONCRETE Columns, с теоретическими формулами, описанными выше.

Нагружение, действующее в центре тяжести чистого бетона, на элемент стержневой конструкции:
- Постоянное:
  - N_g = 85 кН
  - M_g = 90 кН.м
- Переменная:
  - N_q = 75 кН
  - M_q = 80 кНм
Материалы:
- бетон C 25/30
- Сталь: S 500
Соотношение моментов в основании колонны:
- |M01:| / |M02| = 1/3

3 Модель RFEM с смоделированными постоянными нагрузками

Характеристики материала

f_{cd} = α_{cc} \cdot \frac{f_{ck}}{γ_{c}}

f_cd	Расчетное значение прочности бетона на сжатие
α_cc	коэффициент, учитывающий долговременное воздействие на прочность при сжатии
f_ck	характеристическая прочность бетона на сжатие
γ_c	частный коэффициент надежности по бетону

Расчётное значение прочности бетона на сжатие

f_cd = 1 ⋅ 25 / 1,5 = 16,67 МПа

f_{y d} = \frac{f_{y k}}{γ_{s}}

f_yk	нормативный предел текучести арматурной стали
γ_s	частичный коэффициент надежности арматурной стали

Расчетный предел текучести арматурной стали

f_yd = 500 / 1,15 = 434,78 МПа

Предельное состояние 1-й группы

Нагрузка расчета в предельном состоянии по несущей способности:
M_Ed = 1,35 ⋅ M_g + 1,5 ⋅ M_q
M_Ed = 1,35 ⋅ 90 + 1,5 ⋅ 80 = 241,50 кНм
N_Ed = 1,35 ⋅ N_g + 1,5 ⋅ N_q
N_Ed = 1,35 ⋅ 85 + 1,5 ⋅ 75 = 227,25 кН

4 Отображение определяющих нагрузок

Учет геометрических несовершенств без эффектов второго порядка в предельном состоянии первой группы

Геометрическая гибкость одиночных элементов с учетом колонны, заделанной в фундаментный блок и защемленной балкой:
l₀ = √2 / 2 ⋅ l = √2 / 2 ⋅ 6,00 = 4,24 м

5 Пользовательские коэффициенты потери устойчивости во входных данных

Радиус инерции в плоскости, параллельной стороне h = 55 см
i_y = h / √12 = 0,55 / √12 = 0,159 м

Радиус инерции в плоскости, параллельной стороне b = 24 см
i_z = b / √12 = 0,24 / √12 = 0,069 м

Значения гибкости
λ_y = 4,24 / 0,159 = 26,67 м
λ_z = 4,24 / 0,069 = 61,45 м

6 Отображение значений гибкости

Предельная гибкость:
По умолчанию программа учитывает значения по эффектам ползучести для A, по исходной арматуре, заданной в RF-CONCRETE Columns, для B, и по соотношению моментов в капители и основании рассчитываемого стержня для C. Тем не менее, эти значения можно определить самостоятельно:
А = 0,7
B = 1,1
С = 1,7 - 1 / 3 = 1,37
n = ( 227,25 ⋅ 10^-3 ) / ( 0,24 ⋅ 0,55 ⋅ 16,67 ) = 0,103
λ_lim = ( 20 ⋅ 0,7 ⋅ 1,1 ⋅ 1,37 ) / √( 0,103 ) = 65,74
λ_y < λ_lim ⟹ расчет при комбинированной изгибающей нагрузке в плоскости XZ
λ_z < λ_lim ⟹ расчет при чистом сжатии в плоскости XY

7 Отображение пределов коэффициента гибкости

Поскольку коэффициенты гибкости ниже, чем предельные значения, то нет смысла проверять элемент на потерю устойчивости при продольном изгибе, а достаточно выполнить расчет при комбинированной изгибающей нагрузке без учета эффектов второго порядка при следующих напряжениях эксцентриситета:
e₀= e₁ + e_i

Эксцентриситет вследствие вычислительной нагрузки
e₁ = M_Ed / N_Ed
e₁: Эксцентриситет вследствие вычислительной нагрузки
e₁= 241,50 / 227,25 = 1,063 м

Нагрузки, скорректированные для расчета комбинированного нагружения изгибом

Одиночная колонна из стержневой конструкции:
θ₀ = 1 / 200
α_h = 2 / √6 = 0,816
α_m = √0,5 ⋅ ( 1 + 1 / 1 ) = 1
θ_i = 0,816 ⋅ 1 / 200 = 0,0041
e_i = 0,0041 ⋅ 4,24 / 2 = 0,0087 м

∆ e_{0} = Max \{\begin{cases} 20 mm \\ \frac{50}{30} \end{cases} = Max \{\begin{array}{l} 20 mm \\ 1, 83 mm \end{array} = 20 mm

Прямой разрез с симметричной арматурой

8 Подробности расчета эксцентриситета

Нагрузки, действующие в центре тяжести чистого бетонного сечения:

e₀ = e₁ + e_i ≥ Δe₀
e₀ = 1,063 + 0,0087 = 1,072 м

Минимальный эксцентриситет соблюден.
M_EdG0 = 227,25 ⋅ 1,072 = 243,61 кНм

9 Отображение определяющего момента из -за эксцентриситета

Диаграмма взаимосвязи для прямоугольного сечения с симметричным армированием при комбинированной изгибающей нагрузке

ν_Ed = ( 227,25 ⋅ 10^-3) / ( 0,24 ⋅ 0,55 ⋅ 16,67 ) = 0,103
μ_Ed = ( 243,61 ⋅ 10 ^-3) / ( 0,24 ⋅ 0,55² ⋅ 16,67 ) = 0,201

Диаграмма взаимосвязи для определения требуемого объема армирования согласно приведенным силам ν_Ed, μ_Ed доступна в вычислительных средствах диаграмм взаимодействия (Jean Perchat, Traité de béton armé, 3-е издание LE MONITEUR, Франция, 2017).

В графическом воспроизведении найденное значение затем интерполируется между кривыми взаимосвязи ρ = 0,35 и ρ = 0,40, в результате чего мы получим ρ = 0,375.
A_s = ( 0,375 ⋅ 0,24 ⋅ 0,55 ⋅ 16,67 ) / ( 434,78 ) ⋅ 10⁴ = 18,98 см²