Výpočet betonových sloupů namáhaných ohybem a osovou silou v modulu RF-CONCRETE Columns

Co je kombinovaný ohyb?

Kombinovaný ohyb je dán systémem (M_G0, N), který se uvažuje v bodu C označovaném jako střed tlaku. Vzdálenost G₀C se označuje jako excentricita vnější síly vzhledem k těžišti G₀ prostého betonového průřezu.

U kombinovaného ohybu tak hodnota ohybového momentu závisí pouze na tomto bodě, v kterém dochází k redukci sil, zde G₀.

Při kombinovaném ohybu je nejdříve třeba stanovit polohu středu tlaku výpočtem e₀.

Zohlednění geometrických imperfekcí a účinků druhého řádu v MSÚ

Při analýze prvků a konstrukcí je třeba zohlednit nepříznivé účinky případných geometrických imperfekcí konstrukce a také odchylky v poloze zatížení. Odchylky v rozměrech průřezů se zpravidla zohledňují dílčími součiniteli spolehlivosti materiálů.

Poměrná štíhlost a účinná délka samostatných prvků

Jak vidíme na obrázku 01, v modulu RF-CONCRETE Columns lze vybrat součinitel vzpěrné délky β při modelování podporových podmínek samostatných prvků s konstantním průřezem a volnou délkou l.

Předem stanovené hodnoty součinitele vzpěrné délky okolo osy y

Kritérium štíhlosti pro samostatné prvky

Předpokládá se, že účinky druhého řádu lze zanedbat, pokud se ověří, že součinitel štíhlosti je menší než kritérium štíhlosti.

Zohlednění dotvarování

Účinek dotvarování je třeba zohlednit při analýze druhého řádu, přičemž se zohlední jak obecné podmínky dotvarování, tak doba působení různých zatížení zjednodušeným způsobem pomocí účinného součinitele dotvarování.

Parametry dotvarování ve vstupních údajích

Stěny a jednotlivé sloupy vyztužených konstrukcí

U samostatných prvků lze účinek imperfekcí zohlednit jako excentricitu e_i.

Přímé průřezy se symetrickou výztuží

Pro zohlednění odchylek v rozměrech průřezů se má spočítat ohybový moment v MSÚ:

Výpočet oceli pomocí interakčních diagramů

Diagramy interakce momentu a normálové síly slouží k rychlému posouzení a ověření přímých průřezů, jejichž tvar i rozdělení výztuže se stanoví předem. Interakční diagramy se vytvoří pouze pro mezní stav únosnosti. Interakční diagram je zakreslen pomocí dvou křivek, které tvoří spojitou a uzavřenou linii, takzvanou interakční křivku. Průběh těchto křivek vychází z rovnic výslednice a výsledného momentu a závisí především na následujících parametrech:

• Diagramy deformací betonu a oceli
• Pracovní diagramy betonu a oceli

Poslední rovnice nám umožňuje stanovit nutný průřez výztuže interpolací polí křivek ρ interakčního diagramu pomocí redukovaného ortonormálního souřadného systému (μ, υ).

Teorie v porovnání s modulem RF-CONCRETE Columns

Na jednoduchém příkladu porovnáme výsledky v modulu RF-CONCRETE Columns s výše popsanými teoretickými vzorci.

• Zatížení redukovaná na těžiště prostého betonu, prvku vyztužené konstrukce:
• Stálé:
• N_g = 85 kN
• M_g = 90 kN.m
• Proměnné:
• N_q = 75 kN
• M_q = 80 kNm

• Materiály:
• Beton C 25/30
• Ocel: S 500

• Momentový poměr v patě sloupu:
• |M01| / |M02| = 1 / 3

• 3D prohlížeč | Google
• 3D prohlížeč | Babylon
• Virtuální realita

RFEM model s modelovaným stálým zatížením

Materiálové charakteristiky

f_cd = 1 ⋅ 25 / 1,5 = 16,67 MPa

f_yd = 500 / 1,15 = 434,78 MPa

Mezní stav únosnosti

Namáhání ve výpočtech v mezním stavu únosnosti:

M_Ed= 1,35 ⋅ M_g+ 1,5 ⋅ M_q

M_Ed= 1,35 ⋅ 90 + 1,5 ⋅ 80 = 241,50 kNm

N_Ed = 1,35 ⋅ N_g + 1,5 ⋅ N_q

N_Ed = 1,35 ⋅ 85 + 1,5 ⋅ 75 = 227,25 kN

Zobrazení rozhodujících zatížení

Zohlednění geometrických imperfekcí bez účinků druhého řádu v MSÚ

Geometrická štíhlost pro samostatné prvky s ohledem na sloup uložený do základového bloku a vetknutý do nosníku:

l₀ = √2 / 2 ⋅ l = √2 / 2 ⋅ 6,00 = 4,24 m

Uživatelsky definované součinitele vzpěrné délky ve vstupních údajích

Poloměr setrvačnosti v rovině rovnoběžné se stranou h = 55 cm

i_y = h / √12 = 0,55 / √12 = 0,159 m

Poloměr setrvačnosti v rovině rovnoběžné se stranou b = 24 cm

i_z = b / √12 = 0,24 / √12 = 0,069 m

Štíhlostní poměry

λ_y = 4,24 / 0,159 = 26,67 m

λ_z = 4,24 / 0,069 = 61,45 m

Zobrazení hodnot štíhlosti

Mezní štíhlost:

Standardně program zohledňuje hodnoty podle účinků dotvarování pro A, počáteční výztuže zadané v modulu RF-CONCRETE Columns pro B a poměr momentů v hlavě a patě posuzovaného prutu pro C. Nicméně tyto hodnoty můžeme definovat sami:

A = 0,7

B = 1,1

C = 1,7 - 1 / 3 = 1,37

n = ( 227,25 ⋅ 10^-3 ) / ( 0,24 ⋅ 0,55 ⋅ 16,67 ) = 0,103

λ_lim = ( 20 ⋅ 0,7 ⋅ 1,1 ⋅ 1,37 ) / √( 0,103 ) = 65,74

λ_y< λ_lim ⟹ výpočet při kombinovaném ohybu v rovině XZ

λ_z< λ_lim ⟹ výpočet při prostém tlaku v rovině XY

Zobrazení mezních hodnot štíhlosti

Vzhledem k tomu, že součinitele štíhlosti jsou nižší než mezní hodnoty, je zbytečné prověřovat dílec na vzpěr a postačí provést výpočet u kombinovaného ohybu bez zohlednění účinků druhého řádu při následujících excentrických zatíženích:

e₀ = e₁ + e_i

Excentricita vlivem výpočtového zatížení

e₁ = M_Ed / N_Ed

e₁: Excentricita vlivem výpočtového zatížení

e₁ = 241,50 / 227,25 = 1,063 m

Korigované zatížení pro výpočet při kombinovaném ohybu

Samostatný sloup vyztužené konstrukce:

θ₀ = 1 / 200

α_h = 2 / √6 = 0,816

α_m = √0,5 ⋅ ( 1 + 1 / 1 ) = 1

θ_i = 0,816 ⋅ 1 / 200 = 0,0041

e_i = 0,0041 ⋅ 4,24 / 2 = 0,0087 m

Detaily výpočtu excentricity

Zatížení redukovaná na těžiště prostého betonového průřezu:

e₀ = e₁+ e_i ≥ Δe₀

e₀ = 1,063 + 0,0087 = 1,072 m

Minimální excentricita je dodržena.

M_EdG0 = 227,25 ⋅ 1,072 = 243,61 kNm

Zobrazení rozhodujícího momentu vlivem excentricity

Interakční diagram pro obdélníkový průřez se symetrickou výztuží při kombinovaném ohybu

ν_Ed = ( 227,25 ⋅ 10^-3) / ( 0,24 ⋅ 0,55 ⋅ 16,67 ) = 0,103

μ_Ed = ( 243,61 ⋅ 10^-3) / ( 0,24 ⋅ 0,55² ⋅ 16,67 ) = 0,201

Interakční diagram ke stanovení nutné výztuže podle redukovaných sil ν_Ed, μ_Ed je k dispozici v pomocných interakčních diagramech (Jean Perchat, Traité de béton armé, 3. vydání, LE MONITEUR, Francie, 2017).

V grafickém výstupu se pak nalezená hodnota interpoluje mezi interakčními křivkami ρ = 0,35 a ρ = 0,40, a výsledkem je ρ = 0,375.

A_s = ( 0,375 ⋅ 0,24 ⋅ 0,55 ⋅ 16,67 ) / ( 434,78 ) ⋅ 10⁴ = 18,98 cm²

Nutná výztuž stanovená pomocí RF-CONCRETE Columns

Rozdíl ve výztuži 0,10 cm² plyne z přesnosti počítače při interpolaci hodnot interakčního diagramu.