10916x

001705

Ing. Milan Gérard

5.2.2021

Výpočet betonových sloupů namáhaných ohybem a osovou silou v modulu RF-CONCRETE Columns

V tomto příspěvku se budeme zabývat prvky, na jejichž průřez působí současně ohybový moment, posouvající síla a osová tlaková nebo tahová síla. V našem příkladu ovšem nebudeme uvažovat namáhání posouvající silou.

Co je kombinovaný ohyb?

Kombinovaný ohyb je dán systémem (M_G0, N), který se uvažuje v bodu C označovaném jako střed tlaku. Vzdálenost G₀C se označuje jako excentricita vnější síly vzhledem k těžišti G₀ prostého betonového průřezu.

U kombinovaného ohybu tak hodnota ohybového momentu závisí pouze na tomto bodě, v kterém dochází k redukci sil, zde G₀.

e_{0} = \frac{M_{{EdG}_{0}}}{N_{Ed}}

e₀	excentricita vzhledem k těžišti prostého betonového průřezu
Θ	Stabilitní součinitel
C_d	Součinitel zesílení deformace podle tabulky 12.2-1

Excentricita vzhledem k těžišti prostého betonového průřezu

Při kombinovaném ohybu je nejdříve třeba stanovit polohu středu tlaku výpočtem e₀.

Zohlednění geometrických imperfekcí a účinků druhého řádu v MSÚ

Při analýze prvků a konstrukcí je třeba zohlednit nepříznivé účinky případných geometrických imperfekcí konstrukce a také odchylky v poloze zatížení. Odchylky v rozměrech průřezů se zpravidla zohledňují dílčími součiniteli spolehlivosti materiálů.

Poměrná štíhlost a účinná délka samostatných prvků

λ = \frac{l_{0}}{i}

l_{0} = β \cdot l

λ	štíhlostní poměr
l₀	stanovená vzpěrná délka
i	poloměr setrvačnosti betonového průřezu bez trhlin
β	součinitel vzpěrné délky
I_e	Součinitel důležitosti definovaný v kapitole 11.5.1

Součinitel štíhlosti

Jak vidíme na obrázku 01, v modulu RF-CONCRETE Columns lze vybrat součinitel vzpěrné délky β při modelování podporových podmínek samostatných prvků s konstantním průřezem a volnou délkou l.

1 Předem stanovené hodnoty součinitele vzpěrné délky okolo osy y

Štíhlostní kritérium pro osamělé prvky

Předpokládá se, že účinky druhého řádu lze zanedbat, pokud se ověří, že součinitel štíhlosti je menší než kritérium štíhlosti.

λ < λ_{\lim}

λ_{\lim} = \frac{20 \cdot A \cdot B \cdot C}{\sqrt{n}} podle francouzské NP

A = \frac{1}{1 + 0, 2 \cdot φ_{ef}} = 0, 7 pokud φ_{ef} není znám

B = \sqrt{1 + 2 \cdot ω} = 1, 1 pokud ω není znám

C = 1, 7 - r_{m} = 0, 7 pokud r_{m} není znám

n = \frac{N_{Ed}}{A_{C} \cdot f_{cd}}

r_{m} = \{\begin{cases} 1, pro obecně nevyztužené prvky \\ 1, pro vyztužené prvky s momenty prvního řádu hlavně vlivem imperfekcí nebo příčných zatížení \\ \frac{M_{01}}{M_{02}} \leq 1, v jiných případech \end{cases}

λ	kritérium štíhlosti
λ_lim	mezní štíhlost
φ_ef	účinný součinitel dotvarování
ω	mechanický stupeň vyztužení
r_m	momentový součinitel
M₀₁, M₀₂	algebraické momenty prvního řádu na obou koncích prvku

Kritérium štíhlosti

Zohlednění dotvarování

Účinek dotvarování je třeba zohlednit při analýze druhého řádu, přičemž se zohlední jak obecné podmínky dotvarování, tak doba působení různých zatížení zjednodušeným způsobem pomocí účinného součinitele dotvarování.

φ_{ef} = φ (\infty, t_{0}) \cdot \frac{M_{0 E_{qp}}}{M_{0 Ed}}

φ_ef	účinný součinitel dotvarování
φ(∞,t₀)	konečná hodnota součinitele dotvarování
M_0Eqp	provozní moment prvního řádu při kvazistálé kombinaci účinků
M_0Ed	konečný moment prvního řádu při kombinaci návrhových zatížení (včetně geometrických imperfekcí)

Účinný součinitel dotvarování

2 Parametry dotvarování ve vstupních údajích

Stěny a jednotlivé sloupy vyztužených konstrukcí

U samostatných prvků lze účinek imperfekcí zohlednit jako excentricitu e_i.

e_{i} = θ_{i} \cdot \frac{l_{0}}{2}

θ_{i} = θ_{0} \cdot α_{h} \cdot α_{m}

θ_{0} = \frac{1}{200}

\frac{2}{3} \leq α_{h} = \frac{2}{\sqrt{l}} \leq 1

α_{m} = \sqrt{0, 5 \cdot (1 + \frac{1}{m})}

e_i	excentricita vlivem imperfekcí
θ_I	celkový sklon konstrukce
θ₀	základní hodnota doporučená NP
α_h	redukční součinitel vztahující se k délce
α_m	redukční součinitel vztažený na počet prvků, kdy m je počet svislých prvků přispívajících k celkovému účinku

Excentricita vlivem imperfekcí

Přímé průřezy se symetrickou výztuží

Pro zohlednění odchylek v rozměrech průřezů se má spočítat ohybový moment v MSÚ:

M_{{EdG}_{0}} = M_{Ed} + N_{Ed} \cdot ∆ e_{0}

∆ e_{0} = Ma x \{\begin{cases} 20 mm \\ \frac{h}{30} : požadovaná minimální excentricita \end{cases}

M_EdG0	ohybový moment
M_Ed	návrhová hodnota ohybového momentu
Δe₀	požadovaná minimální excentricita
h	výška přímého průřezu v rovině ohybu

Ohybový moment

Výpočet oceli pomocí interakčních diagramů

Diagramy interakce momentu a normálové síly slouží k rychlému posouzení a ověření přímých průřezů, jejichž tvar i rozdělení výztuže se stanoví předem. Interakční diagramy se vytvoří pouze pro mezní stav únosnosti. Interakční diagram je zakreslen pomocí dvou křivek, které tvoří spojitou a uzavřenou linii, takzvanou interakční křivku. Průběh těchto křivek vychází z rovnic výslednice a výsledného momentu a závisí především na následujících parametrech:

Diagramy deformací betonu a oceli
Pracovní diagramy betonu a oceli

Tak se pro daný průřez (beton, výztuž, poloha výztužné oceli) definují z návrhových vnitřních sil N_Ed a M_EdG0 bezrozměrné veličiny.

ν_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{A_{c} \cdot f_{cd}}

A_{c} = b \cdot h

ν_Ed	redukovaná osová síla
A_c	celková plocha betonového průřezu
b	šířka přímého průřezu v rovině ohybu
f_cd	návrhová hodnota pevnosti betonu v tlaku

Redukovaná osová síla

μ_{Ed} = \frac{M_{{EdG}_{0}}}{A_{c} \cdot h \cdot f_{cd}}

μ_Ed	ohybový moment v G₀ redukovaný

Ohybový moment v G0 redukovaný

ρ = \frac{A_{s} \cdot f_{yd}}{A_{c} \cdot f_{cd}}

ρ	procento mechanické výztuže
A_s	průřezová plocha výztuže
f_yd	návrhová mez kluzu oceli ve vyztuženém betonu

Procento mechanické výztuže

Poslední rovnice nám umožňuje stanovit nutný průřez výztuže interpolací polí křivek ρ interakčního diagramu pomocí redukovaného ortonormálního souřadného systému (μ, υ).

Teorie v porovnání s modulem RF-CONCRETE Columns

Na jednoduchém příkladu porovnáme výsledky v modulu RF-CONCRETE Columns s výše popsanými teoretickými vzorci.

Zatížení redukovaná na těžiště prostého betonu, prvku vyztužené konstrukce:
- Stálé:
  - N_g = 85 kN
  - M_g = 90 kN.m
- Proměnné:
  - N_q = 75 kN
  - M_q = 80 kNm
Materiály:
- Beton C 25/30
- Ocel: S 500
Momentový poměr v patě sloupu:
- |M01:| / |M02| = 1/3

3 RFEM model s modelovaným stálým zatížením

Materiálové charakteristiky

f_{cd} = α_{cc} \cdot \frac{f_{ck}}{γ_{c}}

f_cd	návrhová hodnota pevnosti betonu v tlaku
α_cc	součinitel zohledňující dlouhodobé účinky na pevnost v tlaku
f_ck	charakteristická pevnost betonu v tlaku
γ_c	dílčí součinitel spolehlivosti betonu

Návrhová hodnota pevnosti betonu v tlaku

f_cd = 1 ⋅ 25 / 1,5 = 16,67 MPa

f_{y d} = \frac{f_{y k}}{γ_{s}}

f_yk	charakteristická mez kluzu oceli ve vyztuženém betonu
γ_s	dílčí součinitel spolehlivosti výztužné oceli

Návrhová mez kluzu oceli ve vyztuženém betonu

f_yd = 500 / 1,15 = 434,78 MPa

Mezní stav únosnosti

Namáhání ve výpočtech v mezním stavu únosnosti:
M_Ed= 1,35 ⋅ M_g+ 1,5 ⋅ M_q
M_Ed= 1,35 ⋅ 90 + 1,5 ⋅ 80 = 241,50 kNm
N_Ed= 1,35 ⋅ N_g + 1,5 ⋅ N_q
N_Ed= 1,35 ⋅ 85 + 1,5 ⋅ 75 = 227,25 kN

4 Zobrazení rozhodujících zatížení

Zohlednění geometrických imperfekcí bez účinků druhého řádu v MSÚ

Geometrická štíhlost pro samostatné prvky s ohledem na sloup uložený do základového bloku a vetknutý do nosníku:
l₀ = √2 / 2 ⋅ l = √2 / 2 ⋅ 6,00 = 4,24 m

5 Uživatelsky definované součinitele vzpěrné délky ve vstupních údajích

Poloměr setrvačnosti v rovině rovnoběžné se stranou h = 55 cm
i_y = h / √12 = 0,55 / √12 = 0,159 m

Poloměr setrvačnosti v rovině rovnoběžné se stranou b = 24 cm
i_z = b / √12 = 0,24 / √12 = 0,069 m

Štíhlostní poměry
λ_y = 4,24 / 0,159 = 26,67 m
λ_z = 4,24 / 0,069 = 61,45 m

6 Zobrazení hodnot štíhlosti

Mezní štíhlost:
Standardně program zohledňuje hodnoty podle účinků dotvarování pro A, počáteční výztuže zadané v modulu RF-CONCRETE Columns pro B a poměr momentů v hlavě a patě posuzovaného prutu pro C. Nicméně tyto hodnoty můžeme definovat sami:
A = 0,7
B = 1,1
C = 1,7 - 1 / 3 = 1,37
n = ( 227,25 ⋅ 10^-3 ) / ( 0,24 ⋅ 0,55 ⋅ 16,67 ) = 0,103
λ_lim = ( 20 ⋅ 0,7 ⋅ 1,1 ⋅ 1,37 ) / √( 0,103 ) = 65,74
λ_y< λ_lim ⟹ výpočet při kombinovaném ohybu v rovině XZ
λ_z< λ_lim ⟹ výpočet při prostém tlaku v rovině XY

7 Zobrazení mezních hodnot štíhlosti

Vzhledem k tomu, že součinitele štíhlosti jsou nižší než mezní hodnoty, je zbytečné prověřovat dílec na vzpěr a postačí provést výpočet u kombinovaného ohybu bez zohlednění účinků druhého řádu při následujících excentrických zatíženích:
e₀ = e₁ + e_i

Excentricita vlivem výpočtového zatížení
e₁= M_Ed / N_Ed
e₁: Excentricita vlivem výpočtového zatížení
e₁= 241,50 / 227,25 = 1,063 m

Korigované zatížení pro výpočet při kombinovaném ohybu

Samostatný sloup vyztužené konstrukce:
θ₀ = 1 / 200
α_h = 2 / √6 = 0,816
α_m = √0,5 ⋅ ( 1 + 1 / 1 ) = 1
θ_i = 0,816 ⋅ 1 / 200 = 0,0041
e_i = 0,0041 ⋅ 4,24 / 2 = 0,0087 m

∆ e_{0} = Max \{\begin{cases} 20 mm \\ \frac{50}{30} \end{cases} = Max \{\begin{array}{l} 20 mm \\ 1, 83 mm \end{array} = 20 mm

Přímý průřez se symetrickou výztuží

8 Detaily výpočtu excentricity

Zatížení redukovaná na těžiště prostého betonového průřezu:

e₀ = e₁+ e_i ≥ Δe₀
e₀ = 1,063 + 0,0087 = 1,072 m

Minimální excentricita je dodržena.
M_EdG0 = 227,25 ⋅ 1,072 = 243,61 kNm

9 Zobrazení rozhodujícího momentu vlivem excentricity

Interakční diagram pro obdélníkový průřez se symetrickou výztuží při kombinovaném ohybu

ν_Ed = ( 227,25 ⋅ 10^-3) / ( 0,24 ⋅ 0,55 ⋅ 16,67 ) = 0,103
μ_Ed = ( 243,61 ⋅ 10^-3) / ( 0,24 ⋅ 0,55² ⋅ 16,67 ) = 0,201

Interakční diagram ke stanovení nutné výztuže podle redukovaných sil ν_Ed, μ_Ed je k dispozici v pomocných interakčních diagramech (Jean Perchat, Traité de béton armé, 3. vydání, LE MONITEUR, Francie, 2017).

V grafickém výstupu se pak nalezená hodnota interpoluje mezi interakčními křivkami ρ = 0,35 a ρ = 0,40, a výsledkem je ρ = 0,375.
A_s = ( 0,375 ⋅ 0,24 ⋅ 0,55 ⋅ 16,67 ) / ( 434,78 ) ⋅ 10⁴ = 18,98 cm²