O que é a flexão combinada?
A flexão combinada é designada pelo sistema (MG0, N) aplicado num ponto C, designado por centro de pressão. A distância G0 C é designada por excentricidade da força externa em relação ao centro de gravidade G0 da secção de betão puro.
Na flexão combinada, o valor do momento fletor depende apenas deste ponto, onde é realizada a redução das forças; aqui, é G0.
e0 |
Excentricité par rapport au centre de gravité de la section de béton seule |
MEdG0 |
Valeur de calcul du moment fléchissant par rapport au centre de gravité de la section de béton seule |
NEd |
Valeur de calcul de l’effort normal agissant |
A primeira coisa a fazer na flexão combinada é encontrar a posição do centro de pressão calculando e0.
Consideração de imperfeições geométricas e efeitos de segunda ordem em U'
A análise de elementos e estruturas deve ter em consideração os efeitos desfavoráveis de quaisquer imperfeições geométricas na estrutura, bem como os desvios na posição das cargas. Os desvios nas dimensões das secções' são normalmente considerados pelos coeficientes parciais de segurança para os materiais.
Esbelteza e comprimento efetivo de elementos isolados
λ |
Coefficient d’élancement |
l0 |
longueur efficace déterminée |
i |
Rayon de giration de la section de béton non fissurée |
β |
Coefficient de longueur de flambement |
l |
Longueur libre |
A Figura 01 mostra a possibilidade no RF-CONCRETE Columns de selecionar o coeficiente do comprimento de encurvadura β através da modelação das condições de apoio de elementos isolados com secção constante e o comprimento livre l.
Critério de esbelteza para elementos isolados
É assumido que os efeitos de segunda ordem podem ser negligenciados se for verificado que o coeficiente de esbelteza é inferior ao critério de esbelteza.
λ |
Critère d’élancement |
λlim |
Élancement limite |
φef |
Coefficient de fluage effectif |
ω |
Ratio mécanique d’armatures |
rm |
Rapport des moments |
M01, M02 |
Valeurs algébriques des moments du premier ordre aux deux extrémités de l’éléments |
Consideração da fluência
O efeito da fluência deve ser considerado na análise de segunda ordem, considerando as condições gerais de fluência e a duração da aplicação de diferentes cargas de forma simplificada através de um coeficiente de fluência efetivo.
φef |
Coefficient de fluage effectif |
φ(∞,t0) |
Valeur finale du coefficient de fluage |
M0Eqp |
Moment de service du premier ordre sous la combinaison d’actions quasi permanente |
M0Ed |
Moment ultime du premier ordre sous la combinaison de charges de calcul (y compris imperfections géométriques) |
Paredes e pilares isolados de estruturas contraventadas
No caso de elementos isolados, o efeito das imperfeições pode ser considerado como excentricidadeei.
ei |
Excentricité due aux imperfections |
θi |
Inclinaison globale de la structure |
θ0 |
Valeur de base recommandée par l’AN |
αh |
Coefficient de réduction relatif à la longueur |
αm |
Coefficient de réduction relatif au nombre d’éléments, où m est le nombre d’éléments verticaux contribuant à l’effet total |
Secções retas com armadura simétrica
Para ter em consideração os desvios nas dimensões das secções, o momento fletor deve ser calculado no ULS:
MEdG0 |
Moment de flexion |
MEd |
Valeur de calcul du moment fléchissant |
Δe0 |
Excentricité minimale requise |
h |
Hauteur de la section droite dans le plan de flexion |
Cálculo de aços através de 'diagramas de interação
Os diagramas de interação momento-força normal são gráficos que permitem o dimensionamento ou a verificação rápidos de secções retas cuja forma e distribuição de armaduras são determinadas previamente. Os diagramas de interação são definidos apenas para o estado limite último. Um diagrama de interação é desenhado a partir de 2 curvas que constituem um contorno contínuo e fechado designado por curva de interação. O percurso destas curvas é baseado nas equações da resultante e do momento resultante, dependendo em particular dos seguintes parâmetros:
- Diagramas de deformação de betão e aço
- Diagramas de tensões de betão e aço
Assim, para a secção dada (betão, armadura, posição do aço de armadura), são definidas quantidades sem dimensão, com base nas forças internas de dimensionamento NEd e MEdG0.
νEd |
Effort normal réduit |
Ac |
Aire totale de la section de béton seul |
b |
Largeur de la section droite dans le plan de flexion |
fcd |
Valeur de calcul de la résistance en compression du béton |
ρ |
Pourcentage mécanique d’armatures |
As |
Section d’armatures |
fyd |
Limite d’élasticité de calcul de l’acier de béton armé |
A última equação permite-nos determinar a secção de armadura necessária através da interpolação dos campos de curva ρ do diagrama de interacção utilizando o sistema de coordenadas ortonormal reduzido (μ, υ).
Comparação da teoria com o módulo adicional RF-CONCRETE Columns
Utilizando um exemplo simples, comparamos os resultados no RF-CONCRETE Columns com as fórmulas teóricas descritas anteriormente.
- Carga aplicada ao centro de gravidade do betão puro, de um elemento de uma estrutura contraventada:
- Permanente:
- Ng = 85 kN
- Mg = 90 kN.m
- Variável:
- Nq = 75 kN
- Mq = 80 kNm
- Permanente:
- Materiais:
- Betão C 25/30
- Aço: S 500
- Relação de momentos na base do pilar:
- |M01:| / |M02| = 1/3
Características do material
fcd |
Valeur de calcul de la résistance en compression du béton |
αcc |
Facteur tenant compte des effets à long terme sur la résistance en compression |
fck |
Résistance caracteristique en compression du béton |
γc |
Coefficient partiel relatif au béton |
fcd = 1 ⋅ 25/1,5 = 16,67 MPa
fyk |
Limite caractéristique d’élasticité de l’acier de béton armé |
γs |
Coefficient partiel relatif à l’acier de béton armé |
fyd = 500/1,15 = 434,78 MPa
estado limite último
Carregamento dos cálculos no estado limite último:
MEd = 1,35 ⋅ Mg + 1,5 ⋅ Mq
MEd = 1,35 ⋅ 90 + 1,5 ⋅ 80 = 241,50 kNm
NEd = 1,35 ⋅ Ng + 1,5 ⋅ Nq
NEd = 1,35 ⋅ 85 + 1,5 ⋅ 75 = 227,25 kN
Consideração de imperfeições geométricas sem efeitos de segunda ordem no ULS
Esbelteza geométrica para elementos isolados, considerando o pilar inserido num bloco de fundação e restringido por uma viga:
l0 = √2/2 ⋅ l = √2/2 ⋅ 6,00 = 4,24 m
Raio de giração no plano paralelo ao lado h = 55 cm
iy = h/√12 = 0,55/√12 = 0,159 m
Raio de giração no plano paralelo ao lado h = 24 cm
iz = b/√12 = 0,24/√12 = 0,069 m
Esbeltezas
λy = 4,24/0,159 = 26,67 m
λz = 4,24/0,069 = 61,45 m
Limitar esbelteza:
Por defeito, o programa tem em consideração os valores de acordo com os efeitos de fluência para A, as armaduras iniciais definidas no RF-CONCRETE Columns para B e a relação dos momentos na parte superior e inferior da barra analisada para C. No entanto, é possível definir esses valores por si mesmo:
A = 0,7
B = 1,1
C = 1,7 - 1/3 = 1,37
n = (227,25 ⋅10-3 )/(0,24 ⋅ 0,55 ⋅ 16,67) = 0,103
λlim = (20 ⋅ 0,7 ⋅ 1,1 ⋅ 1,37)/√(0,103) = 65,74
λy < λlim ⟹ cálculo de flexão combinado no plano XZ
cálculo de λz < λlim ⟹ para compressão simples no plano XY
Sendo os coeficientes de esbelteza inferiores aos valores limite, é vão verificar a parte quanto à encurvadura, e é suficiente ter um cálculo para a flexão combinada sem ter em consideração os efeitos de segunda ordem, sob as seguintes tensões de excentricidade:
e0 = e1 + ei
Excentricidade devido a carregamento computacional
e1 = MEd/NEd
e1: Excentricidade devido a carregamento computacional
e1 = 241,50/227,25 = 1,063 m
Carga corrigida para cálculo de flexão combinada
Pilar isolado de estrutura contraventada:
θ0 = 1/200
αh = 2/√6 = 0,816
αm = √0,5 ⋅ (1 + 1/1) = 1
θi = 0,816 ⋅ 1/200 = 0,0041
ei = 0,0041 ⋅ 4,24/2 = 0,0087 m
Carga aplicada ao centro de gravidade da secção de betão puro
e0 = e1 + ei ≥ Δe0
e0 = 1,063 + 0,0087 = 1,072 m
A excentricidade mínima foi respeitada.
MEdG0 = 227,25 ⋅ 1,072 = 243,61 kNm
Diagrama de interação para uma secção retangular com armadura simétrica em flexão combinada
νEd = (227,25 ⋅ 10-3 )/(0,24 ⋅ 0,55 ⋅ 16,67) = 0,103
µEd = (243,61 ⋅ 10-3 )/(0,24 ⋅ 0,552 ⋅ 16,67) = 0,201
O diagrama de interação utilizado para determinar a armadura necessária de acordo com as forças reduzidas νEd, μEd pode ser consultado nas tabelas dos diagramas de interação (JeanPerchat, Traité de béton armé, 3 a edição do LE Moniteur, França 2017).
Na saída gráfica, o valor encontrado é então interpolado entre as curvas de interação ρ = 0,35 e ρ = 0,40, resultando em ρ = 0,375.
As = (0,375 ⋅ 0,24 ⋅ 0,55 ⋅ 16,67)/(434,78) ⋅ 104 = 18,98 cm2
A diferença de 0,10 cm² encontrada para a armadura provém da precisão do computador na interpolação dos valores do diagrama de interação.