Calcul de poteaux béton soumis à la flexion-composée avec RF-CONCRETE Columns

C'est quoi la flexion-composée ?

La flexion-composée est désignée par le système ( M_G0, N ), appliquée en un point C, appelé centre de pression. La distance G₀C est appelée excentricité de la force extérieure par rapport au centre de gravité G₀ de la section de béton seule.

En flexion composée, la valeur du moment de flexion dépend donc uniquement de ce point où l'on effectue la réduction des forces, ici G₀.

La première chose à faire en flexion composée, est de rechercher la position du centre de pression en calculant e₀.

Prise en compte des imperfections géométriques et des effets du second ordre à l'ELU.

L'analyse des éléments et des structures doit tenir compte des effets défavorables des imperfections géométriques éventuelles de la structure ainsi que des écarts dans la position des charges. Les écarts sur les dimensions des sections sont normalement pris en compte dans les coefficients partiels de sécurité relatifs aux matériaux.

Élancement et longueur efficace des éléments isolés.

La figure 01 montre la possibilité sur RF-CONCRETE Columns de sélectionner le coefficient β de longueur de flambement, à l'aide de la modélisation des conditions d'appuis d'éléments isolés de section constante et de longueur libre l.

Valeurs prédéfinies du coefficient de longueur de flambement autour de l’axe y

Critère d'élancement pour les éléments isolés.

On admet que les effets du second ordre peuvent être négligés si on vérifie que le coefficient d'élancement est inférieur au critère d'élancement.

Prise en compte du fluage.

L'effet du fluage doit être pris en compte dans l'analyse du second ordre, en considérant à la fois les conditions générales du fluage, et de la durée d'application des différentes charges, de manière simplifiée au moyen d'un coefficient de fluage effectif.

Paramètres du fluage dans les données d’entrée

Cas des voiles et poteaux isolés des structures contreventées.

Dans le cas d'éléments isolés, l'effet des imperfections peut être pris en compte comme une excentricité e_i.

Cas des sections droites avec un ferraillage symétrique.

Pour tenir compte des écarts sur les dimensions des sections, il convient de calculer à l'ELU le moment de flexion:

Calcul des aciers à l'aide des diagrammes d'interactions.

Les diagrammes d'interaction moment-effort normal sont des abaques permettant un dimensionnement ou une vérification rapide de sections droites dont la forme et la distribution des armatures sont fixées à l'avance. Les diagrammes d'interactions sont établis uniquement pour l'état limite ultime. Un diagramme d'interaction est dessiné à l'aide de 2 courbes constituant un contour continu et fermé appelé courbe d'interaction. Le tracé de ces courbes se base sur les équations de la résultante et du moment résultant, dépendant notamment des paramètres suivants:

• Diagrammes de déformation du béton et de l'acier
• Diagrammes de contraintes du béton et de l'acier

Cette dernière équation nous permettra de déterminer la section d'armature nécessaire, en interpolant les réseaux de courbes ρ du diagramme d'interaction, à l'aide du repère orthonormé réduit (μ, υ).

Comparaison de la théorie avec le module additionnel RF-CONCRETE Columns

Par l'intermédiaire d'un exemple simple, nous allons comparer les résultats obtenus avec le module additionnel RF-CONCRETE Columns avec les formules théoriques décrites avant.

• Sollicitations ramenées au centre de gravité du béton seul, d'un élément d'une structure contreventée:
• Permanentes:
• N_g = 85 kN
• M_g = 90 kN.m
• Variables:
• N_q = 75 kN
• M_q = 80 kNm

• Matériaux:
• Béton C 25 / 30
• Aciers : S 500 à palier incliné

• Rapport des moments en pied de poteau:
• |M01| / |M02| = 1 / 3

• Visionneuse 3D | Google
• Visionneuse 3D | Babylon
• Réalité virtuelle

Modèle RFEM avec les charges permanentes modélisées

Caractéristiques des matériaux

f_cd = 1 ⋅ 25 / 1,5 = 16,67 MPa

f_yd = 500 / 1,15 = 434,78 MPa

État limite ultime

Sollicitations de calculs à l'état limite ultime:

M_Ed= 1,35 ⋅ M_g+ 1,5 ⋅ M_q

M_Ed= 1,35 ⋅ 90 + 1,5 ⋅ 80 = 241,50 kNm

N_Ed= 1,35 ⋅ N_g + 1,5 ⋅ N_q

N_Ed= 1,35 ⋅ 85 + 1,5 ⋅ 75 = 227,25 kN

Affichage des charges déterminantes

Prise en compte des imperfections géométriques sans effets du second ordre à l'ELU

Élancement géométrique pour des éléments isolés, en considérant le poteau articulé dans un massif de fondation et encastré dans une poutre :

l₀ = √2 / 2 ⋅ l = √2 / 2 ⋅ 6,00 = 4,24 m

Coefficients de flambement définis par l’utilisateur dans les données d’entrée

Rayon d'inertie dans le plan parallèle au côté h = 55 cm

i_y = h / √12 = 0,55 / √12 = 0,159 m

Rayon d'inertie dans le plan parallèle au côté b = 24 cm

i_z = b / √12 = 0,24 / √12 = 0,069 m

Élancements

λ_y = 4,24 / 0,159 = 26,67 m

λ_z = 4,24 / 0,069 = 61,45 m

Affichage des valeurs d’élancement

Élancement limite:

Par défaut, le programme prend en compte les valeurs en fonction des effets du fluage pour A, des armatures initiales définies sur RF-CONCRETE Columns pour B, et du rapport des moments en pied et en tête de la barre étudiée pour C. Il est cependant possible de définir soi-même ces valeurs:

A = 0,7

B = 1,1

C = 1,7 - 1 / 3 = 1,37

n = ( 227,25 ⋅ 10^-3 ) / ( 0,24 ⋅ 0,55 ⋅ 16,67 ) = 0,103

λ_lim = ( 20 ⋅ 0,7 ⋅ 1,1 ⋅ 1,37 ) / √( 0,103 ) = 65,74

λ_y< λ_lim ⟹ Calcul en flexion composée dans le plan XZ

λ_z< λ_lim ⟹ Calcul en compression simple dans le plan XY

Affichage des valeurs d’élancement limite

Les coefficients d'élancement étant inférieurs aux valeurs limites, il est inutile de vérifier la pièce au flambement et l'on peut se contenter d'un calcul en flexion composée sans tenir compte des effets du second ordre, sous les sollicitations d'excentrement ci-après :

e₀ = e₁ + e_i

Excentrement dû aux sollicitations de calcul

e₁ = M_Ed / N_Ed

e₁ : Excentrement dû aux sollicitations de calcul

e₁ = 241,50 / 227,25 = 1,063 m

Sollicitations corrigées pour le calcul en flexion composée.

Poteau isolé d'une structure contreventée:

θ₀ = 1 / 200

α_h = 2 / √6 = 0,816

α_m = √0,5 ⋅ ( 1 + 1 / 1 ) = 1

θ_i = 0,816 ⋅ 1 / 200 = 0,0041

e_i = 0,0041 ⋅ 4,24 / 2 = 0,0087 m

Détail du calcul des excentricités

Sollicitations ramenées au centre de gravité de la section de béton seul.

e₀ = e₁+ e_i ≥ Δe₀

e₀ = 1,063 + 0,0087 = 1,072 m

L'excentricité minimale est respectée.

M_EdG0 = 227,25 ⋅ 1,072 = 243,61 kNm

Affichage du moment déterminant dû à l’excentrement

Diagramme d'interaction pour une section rectangulaire à armature symétrique en flexion composée.

ν_Ed = ( 227,25 ⋅ 10^-3) / ( 0,24 ⋅ 0,55 ⋅ 16,67 ) = 0,103

μ_Ed = ( 243,61 ⋅ 10^-3) / ( 0,24 ⋅ 0,55² ⋅ 16,67 ) = 0,201

Le diagramme d'interaction utilisé pour déterminer les armatures nécessaires en fonction des efforts réduit ν_Ed, μ_Ed, est accessible dans les abaques de diagrammes d'interaction (Jean Perchat, Traité de béton armé, 3ème édition LE MONITEUR, France, 2017).

Par lecture graphique, on interpole alors la valeur trouvée entre les courbes d'interactions ρ = 0,35 et ρ = 0,40 ce qui nous donne ρ = 0,375.

A_s = ( 0,375 ⋅ 0,24 ⋅ 0,55 ⋅ 16,67 ) / ( 434,78 ) ⋅ 10⁴ = 18,98 cm²

Armatures requises déterminées par RF-CONCRETE Columns

La différence de 0,10 cm² trouvé sur les armatures provient de la précision de l'ordinateur sur l'interpolation des valeurs du diagramme d'interaction.