2160x

001897

2024-09-10

Несовершенства в расчётных формулах для анализа потери устойчивости при изгибе

Расчёт на потерю устойчивости при изгибе - это сочетание расчёта на устойчивость и расчёта по предельным состояниям, которые использовалось в стальных конструкциях на протяжении сотен лет. Критическая нагрузка при продольном изгибе является исходной точкой для рассмотрения задачи устойчивости, но ни один расчет не выполняется без учета несовершенств. Как именно определяются эти несовершенства?

Инфо

Для лучшего понимания данной статьи, рекомендуем сначала прочитать статью о нагрузке Эйлера при потере устойчивости: KB 1895.

КБ 1895 | Woher kommt die Formel der idealen Knicklast druckbeanspruchter Einzelglieder?

В ней подробно описаны исходные данные и подобные преобразования дифференциальных уравнений.

Несовершенство конструктивного элемента состоит из следующих компонентов:

Геометрические несовершенства
Несовершенства материала
Ввод внецентренной нагрузки

Поскольку данные несовершенства распределены по длине элемента конструкции, сначала применим к ним соответствующую функцию:

e (x) = e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

e₀	Начальное несовершенство

Функция несовершенства

КБ 001897 | Imperfektionsfunktion visualisiert anhand der Eigenformen

Функция несовершенства, визуализированная с помощью форм колебаний

Кроме того, данный расчет включает в себя дополнительные эффекты из расчета второго порядка. Тем не менее, их следует рассматривать как дополнительные и учитываемые только виртуально в получении правильной функции изгиба от несовершенства. Из-за индивидуального расчета, основанного на эффектах расчета второго порядка, нельзя обойтись без расчета внутренних сил по методу второго порядка. Дополнительные эффекты расчета второго порядка, включенные в данную расчетную концепцию, очень малы и должны быть применены к уже измененным внутренним силам всей конструкции. Как и в случае определения идеальной нагрузки потери продольной устойчивости, начальной функцией является равновесие внутренних моментов и осевой силы с ее эксцентриситетом.

На следующем рисунке показано определение нагрузки Эйлера при продольном изгибе, а также сравнение нахождения с применением формул Эйлера и определения на основе численных методов. В данном случае отклонение составляет всего 0,47%. Это показывает, что основы современного расчета на устойчивость были заложены несколько сотен лет назад.

Vergleich der kritischen Knicklasten nach modernen Stabilitätsanalyse und aus Differentialgleichungen entspringenden Formeln nach Euler

Данный эксцентриситет теперь состоит из части, которая является чистой функцией несовершенства, и части расчета деформации по теории второго порядка. Мы получим следующую формулу:

EI \cdot w^{''} (x) = - M (x) = - N \cdot [w (x) + e (x)]

w^{''} (x) + \frac{N}{EI} \cdot w (x) = - \frac{N}{EI} \cdot e (x)

Применение несовершенства

Снова для замены вводится константа α:

α = \sqrt{\frac{N}{EI}}

Константа α

После ввода константы и функции несовершенства мы получим следующее дифференциальное уравнение:

w^{''} (x) + α^{2} \cdot w (x) = - α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

дифференциальное уравнение с несовершенствами и расчет по методу второго порядка

Это соответствует неоднородному дифференциальному уравнению:

- α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

Неоднородная часть дифференциального уравнения несовершенства

Оно представляет функцию несовершенства и, следовательно, не может быть равно 0.

Сначала находится решение однородного уравнения:

w'' (x) + α^{2} \cdot w (x) = 0

Дифференциальное уравнение Эйлера с α

w (x) = A \sin (α x) + B \cos (α x)

DGL прогиба после приведения к реальному компоненту

Затем необходимо решить данную часть уравнения:

w_{p} (x) = C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

{w_{p}}^{''} (x) = - {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

Частная часть DOF для несовершенств

Если подставить данное решение в однородное уравнение, то мы получим:

- {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L}) + α^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L}) = - α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

- {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C + α^{2} \cdot C = - α^{2} \cdot e_{0}

C \cdot (α^{2} - {(\frac{π}{L})}^{2}) = - α^{2} \cdot e_{0} | / (α^{2} - {(\frac{π}{L})}^{2})

C = \frac{α^{2} \cdot e_{0}}{{(\frac{π}{2})}^{2} - α^{2}}

Ввод решения частиц несовершенства ODE

Его можно разделить на sin(π·x/L), так как компоненты и, следовательно, x никогда не имеют длину 0 м.

Таким образом, общее решение неоднородного дифференциального уравнения является следующим:

w (x) = w_{h} (x) + w_{p} (x)

w (x) = Asin (αx) + Bcos (αx) + \frac{α^{2} \cdot e_{0}}{{(\frac{π}{2})}^{2} - α^{2}} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

w_h	Однородное решение дифференциального уравнения
w_p	Решение дифференциального уравнения в виде частиц

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения

При граничных условиях W(x=0) мы получим B и w(x=L) = 0. В результате B = 0, и дифференциальное уравнение сводится к:

w (x) = A \cdot \sin (α \cdot x) + \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{{(π^{2} - αL)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π x}{L})

Сокращенное дифференциальное уравнение для прогиба с несовершенствами

Поскольку при A ≢ 0 должна возникнуть нагрузка Эйлера при продольном изгибе, а несовершенство снова должно стать бесконечно малым, необходимо рассмотреть случай A = 0!

Таким образом, уравнение выглядит следующим образом:

w (x) = \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(αL)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

Дифференциальное уравнение линии изгиба для применяемых несовершенств

Теперь можно рассчитать равновесие внутренних и внешних сил:

M (x) = N \cdot [w (x) + e (x)]

M (x) = N \cdot (\frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} + 1) \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot (\frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} + \frac{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}) \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{(α \cdot L)^{2} + π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{π^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{1}{1 - \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2}}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

α = \sqrt{\frac{N}{EI}} = > N \cdot \frac{1}{1 - \frac{N \cdot L^{2}}{{EIπ}^{2}}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

Определение максимального изгибающего момента в зависимости от нормальной силы

При использовании нагрузки Эйлера при потере устойчивости и расчете экстремальных значений мы получим максимальный изгибающий момент.

M (x) = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

M^{'} (x) = \frac{π}{L} \cdot \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} \cdot \cos (\frac{π \cdot x}{L}) = 0

\cos (\frac{π \cdot x}{L}) = 0 = > x = 0

M (x = 0) = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} = M_{max}

Определение экстремального значения изгибающего момента

Коэффициент увеличения (1-N/N_cr )^-1 называется коэффициентом Дишингера.

Для обеспечения наиболее точных результатов применяется момент инерции поверхности, который не учитывает стенку. Кроме того, для расчета на выход из работы при продольном изгибе на основе пластификации полок используются другие коэффициенты несовершенства, зависящие от класса стали и соотношений размеров сечения (кривые потери продольной устойчивости). Таким образом, можно рассматривать выбор кривой потери устойчивости в качестве упрощенного типа классификации сечений, который уменьшает применение пластификации сечений в случае сечений, склонных к потере продольной продольной устойчивости. Для упрощения предполагается линейное взаимодействие.

Линейное взаимодействие M/N

Упрощенный радиус вращения определяется следующим образом:

i = \sqrt{\frac{I}{A}} = \sqrt{\frac{2 \cdot ((b \cdot tf) \cdot {(\frac{h}{2})}^{2}}{2 \cdot (b \cdot tf)}} = \frac{h}{2}

Радиус инерции без стенки

В этом случае учитываются только компоненты Штейнера для полок вокруг главной оси.

Теперь уравнение для максимального момента как функции идеальной нагрузки потери продольной устойчивости можно применить в уравнении линейного взаимодействия:

\frac{\frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0}}{N_{pl} \cdot \frac{h}{2}} + \frac{N}{N_{pl}} = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot \frac{N}{N_{pl}} \cdot \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}} + \frac{N}{N_{pl}} = 1

N	Максимальная осевая сила перед потерей устойчивости
e₀	Выбранная предварительная деформация
N_cr	Критическая нагрузка при потере устойчивости
N_pl	Пластическое сопротивление нормальным силам
h	высота сечения

Подстановка уравнения моментов, зависящего от упругой нагрузки потери устойчивости, в формулу взаимодействия

Кроме того, будут введены следующие константы:

χ = \frac{N}{N_{pl}}; λ = \frac{N_{pl}}{N_{cr}}; \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}}; e_{0} = \frac{L}{m}; α = \frac{λ_{1}}{m}

= > \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}} = \frac{(\frac{L}{m})}{i} = \frac{(\frac{L}{i})}{m} = \frac{λ}{m} = \frac{\bar{λ} \cdot λ_{1}}{m} = \bar{λ} \cdot α

e₀	преддеформация
L	Конструктивная длина компонента
λ₁	Предельная гибкость
α	Коэффициент несовершенства из различных кривых потери устойчивости
λ	Гибкость
λ ‾	Соответствующая гибкость
m	Делитель предварительной деформации приведен в соответствие с кривыми потери устойчивости

Коэффициенты

В данном случае для α применяется значение, определенное на основе испытаний:

КБ 001897 | Imperfektionsbeiwerte der Knicklinien

Коэффициенты несовершенства для кривых потери устойчивости

При замене констант в уравнении линейного взаимодействия мы получим следующее:

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ = 1

χ	Понижающий коэффициент из соотношения нормальной силы, при которой колонна выходит из работы из-за потери устойчивости при изгибе, к пластической прочности
α	Коэффициент несовершенства определяется как отношение предельной гибкости к амплитуде несовершенства.
λ^-	Предельная гибкость

Уравнение для понижающего коэффициента, основанного на линейном взаимодействии M/N

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ = 1 | - 1

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ - 1 = 0 | \cdot 1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}

= > χ^{2} - \frac{2 ϕ}{λ^{2}} \cdot χ + \frac{1}{λ^{2}} = 0

χ_{1, 2} = + \frac{ϕ}{λ^{2}} \pm \sqrt{{(\frac{ϕ}{λ^{2}})}^{2} - \frac{1}{λ^{2}}} = \frac{ϕ}{λ^{2}} \pm \frac{1}{λ^{2}} \cdot \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}} = \frac{1}{λ^{2}} (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})

= \frac{1}{λ^{2}} \cdot \frac{(ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}}) \cdot (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})}{\cdot (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})} = \frac{1}{λ^{2}} \cdot \frac{ϕ^{2} - (ϕ^{2} - λ^{2})}{(ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})}

χ = \frac{1}{ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}}}

Решение квадратичного уравнения для потери устойчивости при изгибе

Ссылки

Европейский комитет по стандартизации. Расчет стальных конструкций - Часть 1-1: Общие правила и правила для надземных сооружений, EN 1993-1-1:2005. Брюссель: CEN, 1993

;