Volver a la base de datos de conocimientos

1840x

001897

10-09-2024

Imperfecciones en fórmulas de comprobación de diseño para el análisis de pandeo por flexión

El análisis de pandeo por flexión es una combinación de estabilidad y cálculo del estado límite último que se ha utilizado en estructuras de acero durante cientos de años. La carga crítica de pandeo es el punto de partida aquí para considerar el problema de la estabilidad, pero aún no se ha realizado ningún cálculo sin considerar las imperfecciones. ¿Cómo se determinan exactamente estas imperfecciones?

Información

Para una mejor comprensión de este artículo, recomendamos leer primero el artículo sobre la carga de pandeo de Euler: KB 1895.

KB 1895 | Woher kommt die Formel der idealen Knicklast druckbeanspruchter Einzelglieder?

Las transformaciones de fondo y similares de las ecuaciones diferenciales se describen en detalle allí.

La imperfección de un componente estructural consta de los siguientes componentes:

Imperfecciones geométricas
Imperfecciones del material
Introducción de carga excéntrica

Dado que estas imperfecciones se distribuyen a lo largo del componente estructural, primero se les aplica una función:

e (x) = e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

e₀	Imperfección inicial

Función de imperfección

KB 001897 | Imperfektionsfunktion visualisiert anhand der Eigenformen

Función de imperfección visualizada usando deformadas del modo

Además, este cálculo incluye efectos adicionales del análisis de segundo orden. Sin embargo, se deben considerar estrictamente como adicionales y solo presentes virtualmente en la derivación de la función de flexión correcta de la imperfección. No es posible prescindir explícitamente del cálculo de esfuerzos internos según el análisis de segundo orden debido a este cálculo individual que se basa en los efectos del análisis de segundo orden. Los efectos adicionales del análisis de segundo orden incluidos en este concepto de cálculo son muy pequeños y se deben aplicar a los esfuerzos internos ya modificados de toda la estructura. Como en el caso de la determinación de la carga de pandeo ideal, la función inicial es el equilibrio de los momentos internos y el esfuerzo axil con su excentricidad.

La siguiente imagen muestra cómo se determina la carga de pandeo de Euler' y la compara utilizando las fórmulas de Euler' y la determinación basada en métodos numéricos. En este caso, la desviación es solo del 0,47%. Esto ilustra cómo se sentaron las bases de un análisis de estabilidad moderno hace varios cientos de años.

Vergleich der kritischen Knicklasten nach modernen Stabilitätsanalyse und aus Differentialgleichungen entspringenden Formeln nach Euler

Sin embargo, esta excentricidad ahora se compone de una parte que es puramente la función de imperfección y una parte del análisis de deformación de segundo orden. Esto nos da la siguiente fórmula:

EI \cdot w^{''} (x) = - M (x) = - N \cdot [w (x) + e (x)]

w^{''} (x) + \frac{N}{EI} \cdot w (x) = - \frac{N}{EI} \cdot e (x)

Aplicación de la imperfección

Nuevamente, se introduce la constante α para la sustitución:

α = \sqrt{\frac{N}{EI}}

Constante α

La inserción de la constante y la función de imperfección da como resultado la siguiente ecuación diferencial:

w^{''} (x) + α^{2} \cdot w (x) = - α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

ecuación diferencial con imperfecciones y análisis de segundo orden

Esto corresponde a una ecuación diferencial no homogénea:

- α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

Parte no homogénea de la ecuación diferencial de la imperfección

Representa la función de imperfección y, por lo tanto, no puede ser 0.

Primero, se busca la solución de la ecuación homogénea:

w'' (x) + α^{2} \cdot w (x) = 0

Ecuación diferencial de Euler con α

w (x) = A \sin (α x) + B \cos (α x)

LGD de flecha después de la reducción a la componente real

Luego, es necesario resolver la parte particular de la ecuación:

w_{p} (x) = C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

{w_{p}}^{''} (x) = - {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

Parte particular del GDL para imperfecciones

Si sustituimos esta solución de partículas en la ecuación homogénea, el resultado es:

- {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L}) + α^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L}) = - α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

- {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C + α^{2} \cdot C = - α^{2} \cdot e_{0}

C \cdot (α^{2} - {(\frac{π}{L})}^{2}) = - α^{2} \cdot e_{0} | / (α^{2} - {(\frac{π}{L})}^{2})

C = \frac{α^{2} \cdot e_{0}}{{(\frac{π}{2})}^{2} - α^{2}}

Insertar solución de partículas de la EDO de imperfección

Se puede dividir entre sen(π·x/L), porque los componentes y, por lo tanto, x nunca tienen una longitud de 0 m.

Por lo tanto, la solución total de la ecuación diferencial no homogénea da como resultado:

w (x) = w_{h} (x) + w_{p} (x)

w (x) = Asin (αx) + Bcos (αx) + \frac{α^{2} \cdot e_{0}}{{(\frac{π}{2})}^{2} - α^{2}} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

w_h	Solución homogénea de la ecuación diferencial
w_p	Solución de partículas de la ecuación diferencial

Solución total de la ecuación diferencial no homogénea

Por lo tanto, las condiciones de contorno W(x=0) dan como resultado B y w(x=L) = 0. Esto da como resultado B = 0 y la ecuación diferencial se reduce a:

w (x) = A \cdot \sin (α \cdot x) + \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{{(π^{2} - αL)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π x}{L})

Ecuación diferencial reducida para flecha con imperfecciones

Ya que la carga de pandeo de Euler' debe resultar para A ≢ 0 y la imperfección debe volverse infinitesimal de nuevo, ¡es necesario considerar el caso A = 0!

Por lo tanto, la ecuación es:

w (x) = \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(αL)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

Ecuación diferencial de la línea de flexión para imperfecciones aplicadas

Ahora, se puede calcular el equilibrio de las fuerzas internas y externas:

M (x) = N \cdot [w (x) + e (x)]

M (x) = N \cdot (\frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} + 1) \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot (\frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} + \frac{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}) \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{(α \cdot L)^{2} + π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{π^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{1}{1 - \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2}}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

α = \sqrt{\frac{N}{EI}} = > N \cdot \frac{1}{1 - \frac{N \cdot L^{2}}{{EIπ}^{2}}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

Determinación del momento flector máximo en función del esfuerzo axil

Cuando se usa la carga de pandeo de Euler' y se calculan los valores extremos, se obtiene el momento flector máximo.

M (x) = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

M^{'} (x) = \frac{π}{L} \cdot \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} \cdot \cos (\frac{π \cdot x}{L}) = 0

\cos (\frac{π \cdot x}{L}) = 0 = > x = 0

M (x = 0) = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} = M_{max}

Determinación del valor extremo del momento flector

El factor de aumento (1-N/N_cr )^-1 se llama factor de Dischinger.

Para garantizar los resultados más precisos, se aplica un momento de inercia superficial que omite el alma. Además, se utilizan otros factores de imperfección, dependiendo del tipo de acero y las razones de las dimensiones de la sección (curvas de pandeo), para calcular el fallo por pandeo sobre la base de la plastificación de las alas. Por lo tanto, puede considerar la selección de la curva de pandeo como un tipo simplificado de clasificación de la sección, lo que reduce la aplicación de secciones plastificadas en el caso de secciones propensas a pandeo. Para simplificar, se supone una interacción lineal.

Interacción lineal M/N

El radio de giro simplificado se determina de la siguiente manera:

i = \sqrt{\frac{I}{A}} = \sqrt{\frac{2 \cdot ((b \cdot tf) \cdot {(\frac{h}{2})}^{2}}{2 \cdot (b \cdot tf)}} = \frac{h}{2}

Radio de giro sin alma

En este caso, solo se consideran los componentes de Steiner de las alas sobre el eje mayor.

Ahora, la ecuación para el momento máximo como función de la carga de pandeo ideal se puede usar en la ecuación de la interacción lineal:

\frac{\frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0}}{N_{pl} \cdot \frac{h}{2}} + \frac{N}{N_{pl}} = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot \frac{N}{N_{pl}} \cdot \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}} + \frac{N}{N_{pl}} = 1

N	Esfuerzo axil máximo antes de pandeo
e₀	Predeformación seleccionada
N_cr	Carga crítica de pandeo
N_pl	Resistencia plástica a esfuerzos axiles
h	Altura de la sección

Insertar la ecuación del momento en función de la carga de pandeo elástico en la fórmula de interacción

Además, se introducen las siguientes constantes:

χ = \frac{N}{N_{pl}}; λ = \frac{N_{pl}}{N_{cr}}; \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}}; e_{0} = \frac{L}{m}; α = \frac{λ_{1}}{m}

= > \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}} = \frac{(\frac{L}{m})}{i} = \frac{(\frac{L}{i})}{m} = \frac{λ}{m} = \frac{\bar{λ} \cdot λ_{1}}{m} = \bar{λ} \cdot α

e₀	Predeformación
L	Longitud estructural de la barra
λ₁	Esbeltez límite
α	Coeficiente de imperfección de varias curvas de pandeo
λ	Esbeltez
λ ‾	Esbeltez relacionada
m	El divisor de la deformación previa se ajusta a las curvas de pandeo

Factores

En este caso, se aplica un valor determinado a partir de las pruebas para α:

KB 001897 | Imperfektionsbeiwerte der Knicklinien

Coeficientes de imperfección de las curvas de pandeo

Al sustituir las constantes en la ecuación de la interacción lineal, resulta el siguiente término:

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ = 1

χ	Coeficiente de reducción de la relación del esfuerzo axil en el que falla el pilar debido al pandeo por flexión y la resistencia plástica
α	El factor de imperfección resulta de la relación entre la esbeltez límite y la amplitud de la imperfección.
λ^-	Esbeltez límite

Ecuación para el factor de reducción basado en la interacción lineal M/N

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ = 1 | - 1

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ - 1 = 0 | \cdot 1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}

= > χ^{2} - \frac{2 ϕ}{λ^{2}} \cdot χ + \frac{1}{λ^{2}} = 0

χ_{1, 2} = + \frac{ϕ}{λ^{2}} \pm \sqrt{{(\frac{ϕ}{λ^{2}})}^{2} - \frac{1}{λ^{2}}} = \frac{ϕ}{λ^{2}} \pm \frac{1}{λ^{2}} \cdot \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}} = \frac{1}{λ^{2}} (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})

= \frac{1}{λ^{2}} \cdot \frac{(ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}}) \cdot (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})}{\cdot (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})} = \frac{1}{λ^{2}} \cdot \frac{ϕ^{2} - (ϕ^{2} - λ^{2})}{(ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})}

χ = \frac{1}{ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}}}

Resolución de la ecuación cuadrática para pandeo por flexión

Referencias

Comité Europeo de Normalización. Cálculo de estructuras de acero - Parte 1-1: Normas generales y reglas para la edificación, EN 1993-1-1:2005. Bruselas: CEN.

;