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10.09.2024

Imperfections dans les formules de vérification pour l’analyse du flambement par flexion

L’analyse du flambement par flexion est une combinaison d’analyse de stabilité et de vérification à l’état limite ultime utilisée dans les structures en acier depuis très longtemps. La charge critique de flambement est le point de départ de l'étude du problème de stabilité, mais aucune vérification n’a encore été effectuée sans considérer les imperfections. Comment déterminer ces imperfections ?

Informations

Pour une meilleure compréhension de cet article, nous vous recommandons de lire l'article sur la charge de flambement selon Euler : KB 1895.

KB 1895 | Origine de la formule pour la charge de flambement idéale des différentes barres comprimées

Les transformations des équations différentielles y sont détaillées.

L’imperfection du composant structural est constituée des composantes suivantes :

Imperfections géométriques
Imperfections matérielles
Application de la charge excentrée

Comme ces imperfections sont distribuées sur la longueur du composant structural, une fonction leur est d’abord appliquée :

e (x) = e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

e₀	Imperfection initiale

Fonction d'imperfection

Fonction d’imperfection visualisée à l’aide des modes propres

De plus, cette vérification inclut les effets supplémentaires de l’analyse du second ordre. Cependant, elles doivent être considérées comme supplémentaires et seulement virtuellement disponibles dans la dérivation de la fonction de flexion correcte à partir de l’imperfection. Il est explicitement impossible de se passer du calcul des efforts internes selon l’analyse du second ordre à partir de cette vérification individuelle, qui est basée sur les effets de la théorie du second ordre. Les effets additionnels de l’analyse du second ordre inclus dans ce concept de calcul sont très faibles et doivent être appliqués aux efforts internes déjà modifiés de l’ensemble de la structure. Tout comme lors de la détermination de la charge de flambement idéale, la fonction initiale est l’équilibre des moments internes et de l’effort normal avec son excentrement.

L’image suivante montre comment la charge de flambement selon Euler est déterminée et la compare à l’aide des formules d’Euler avec la détermination à l’aide des méthodes numériques. Dans ce cas, l’écart n’est que de 0,47 %. Cela montre comment la base d’une analyse de stabilité moderne a été posée il y a plusieurs siècles.

Comparaison des charges de flambement critiques selon l’analyse de stabilité moderne et des formules issues des équations différentielles selon Euler

Cependant, l’excentrement est maintenant composé d’une partie constituée uniquement de la fonction d’imperfection et d’une partie des déformations de l’analyse du second ordre. On obtient ainsi la formule suivante :

EI \cdot w^{''} (x) = - M (x) = - N \cdot [w (x) + e (x)]

w^{''} (x) + \frac{N}{EI} \cdot w (x) = - \frac{N}{EI} \cdot e (x)

Application de l'imperfection

De nouveau, la constante α est introduite pour la substitution :

α = \sqrt{\frac{N}{EI}}

Constante α

En insérant la constante et la fonction d’imperfection, on obtient l’équation différentielle suivante :

w^{''} (x) + α^{2} \cdot w (x) = - α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

équation différentielle avec des imperfections et analyse du second ordre

Cela correspond à une équation différentielle non homogène :

- α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

Partie non homogène de l'équation différentielle de l'imperfection

Elle représente la fonction d’imperfection et ne peut donc pas être égale à 0.

Tout d’abord, la solution de l’équation homogène est recherchée :

w'' (x) + α^{2} \cdot w (x) = 0

Équation différentielle d'Euler avec α

w (x) = A \sin (α x) + B \cos (α x)

DGL de la flèche après réduction en composant réel

Ensuite, il est nécessaire de résoudre la partie particulière de l’équation :

w_{p} (x) = C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

{w_{p}}^{''} (x) = - {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

Partie spécifique du DDL pour les imperfections

Si nous substituons cette solution particulière dans l’équation homogène, le résultat est :

- {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L}) + α^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L}) = - α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

- {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C + α^{2} \cdot C = - α^{2} \cdot e_{0}

C \cdot (α^{2} - {(\frac{π}{L})}^{2}) = - α^{2} \cdot e_{0} | / (α^{2} - {(\frac{π}{L})}^{2})

C = \frac{α^{2} \cdot e_{0}}{{(\frac{π}{2})}^{2} - α^{2}}

Insertion de la solution de particules d'imperfection ODE

Elle peut être divisée par sin(π∙x/L) car les composants et donc x ne font jamais 0 m de long.

Ainsi, la solution totale de l’équation différentielle non homogène se traduit par :

w (x) = w_{h} (x) + w_{p} (x)

w (x) = Asin (αx) + Bcos (αx) + \frac{α^{2} \cdot e_{0}}{{(\frac{π}{2})}^{2} - α^{2}} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

w_h	solution homogène de l’OSD
w_P	solution particulière de la HDL

Solution totale de l'équation différentielle non homogène

Des conditions aux limites W(x = 0), il résulte donc B et w(x = L) = 0. On obtient alors B = 0 et l’équation différentielle est réduite à :

w (x) = A \cdot \sin (α \cdot x) + \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{{(π^{2} - αL)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π x}{L})

Équation différentielle réduite pour les flèches avec imperfections

Étant donné que la charge de flambement selon Euler doit être résultante pour A ≢ 0 et que l’imperfection doit devenir à nouveau infinitésimale, le cas A = 0 doit être considéré !

Ainsi, l’équation est la suivante :

w (x) = \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(αL)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

Équation différentielle de la ligne de flexion pour les imperfections appliquées

L’équilibre des forces des efforts internes et externes peut maintenant être calculé :

M (x) = N \cdot [w (x) + e (x)]

M (x) = N \cdot (\frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} + 1) \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot (\frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} + \frac{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}) \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{(α \cdot L)^{2} + π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{π^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{1}{1 - \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2}}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

α = \sqrt{\frac{N}{EI}} = > N \cdot \frac{1}{1 - \frac{N \cdot L^{2}}{{EIπ}^{2}}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

Détermination du moment fléchissant maximal en fonction de l'effort normal

Le moment fléchissant maximal est ainsi obtenu lors de l’application de la charge de flambement selon Euler et du calcul des valeurs extrêmes.

M (x) = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

M^{'} (x) = \frac{π}{L} \cdot \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} \cdot \cos (\frac{π \cdot x}{L}) = 0

\cos (\frac{π \cdot x}{L}) = 0 = > x = 0

M (x = 0) = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} = M_{max}

Détermination de la valeur extrême du moment fléchissant

Le facteur de majoration (1-N/N_cr)^-1 est appelé facteur de Dischinger.

Pour assurer un résultat le plus précis possible, un second moment d’inertie de surface négligeant l’âme est appliqué. De plus, d’autres facteurs d’imperfection dépendant de la nuance d’acier et des rapports des cotations de la section (courbes de flambement) sont utilisés pour vérifier le rupture de flambement à partir des semelles plastiques. Vous pouvez donc considérer la sélection de la courbe de flambement comme un type simplifié de classification des sections, ce qui réduit l’application des sections plastiques pour les sections sujettes au flambement. Pour simplifier, une interaction linéaire est supposée.

Interaction linéaire M/N

Le rayon de giration simplifié est déterminé comme suit :

i = \sqrt{\frac{I}{A}} = \sqrt{\frac{2 \cdot ((b \cdot tf) \cdot {(\frac{h}{2})}^{2}}{2 \cdot (b \cdot tf)}} = \frac{h}{2}

Rayon de giration sans âme

Dans ce cas, seuls les composants de Steiner des semelles autour de l’axe fort sont considérés.

À présent, l’équation du moment maximal en fonction de la charge de flambement idéale peut être insérée dans l’équation de l’interaction linéaire :

\frac{\frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0}}{N_{pl} \cdot \frac{h}{2}} + \frac{N}{N_{pl}} = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot \frac{N}{N_{pl}} \cdot \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}} + \frac{N}{N_{pl}} = 1

N ...	effort normal maximal avant le flambement
e₀	pré-déformation sélectionnée
N_cr	Charge critique de flambement
N_pl	résistance plastique aux efforts normaux
h	Hauteur de la section

Insertion de l'équation des moments en fonction de la charge de flambement élastique dans la formule d'interaction

De plus, les constantes suivantes sont introduites :

χ = \frac{N}{N_{pl}}; λ = \frac{N_{pl}}{N_{cr}}; \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}}; e_{0} = \frac{L}{m}; α = \frac{λ_{1}}{m}

= > \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}} = \frac{(\frac{L}{m})}{i} = \frac{(\frac{L}{i})}{m} = \frac{λ}{m} = \frac{\bar{λ} \cdot λ_{1}}{m} = \bar{λ} \cdot α

e₀	Pré-déformation
L	Longueur structurale de la barre
λ₁	Élancement limite
α	facteur d'imperfection des différentes courbes de flambement
λ	Élancement
$\overline{λ}$	élancement correspondant
m	Le diviseur de la pré-déformation est ajusté aux courbes de flambement

Coefficients

Dans ce cas, une valeur déterminée à partir des tests est appliquée pour α :

Facteurs d’imperfection des courbes de flambement

En substituant les constantes dans l’équation de l’interaction linéaire, on obtient le terme suivant :

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ = 1

χ ...	Facteur de réduction du rapport de l'effort normal auquel le poteau est défaillant à cause du flambement par flexion et de la résistance plastique
α	Le facteur d'imperfection résulte du rapport entre l'élancement limite et l'amplitude d'imperfection.
λ^-	Élancement limite

Équation pour le facteur de réduction basée sur l'interaction linéaire M/N

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ = 1 | - 1

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ - 1 = 0 | \cdot 1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}

= > χ^{2} - \frac{2 ϕ}{λ^{2}} \cdot χ + \frac{1}{λ^{2}} = 0

χ_{1, 2} = + \frac{ϕ}{λ^{2}} \pm \sqrt{{(\frac{ϕ}{λ^{2}})}^{2} - \frac{1}{λ^{2}}} = \frac{ϕ}{λ^{2}} \pm \frac{1}{λ^{2}} \cdot \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}} = \frac{1}{λ^{2}} (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})

= \frac{1}{λ^{2}} \cdot \frac{(ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}}) \cdot (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})}{\cdot (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})} = \frac{1}{λ^{2}} \cdot \frac{ϕ^{2} - (ϕ^{2} - λ^{2})}{(ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})}

χ = \frac{1}{ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}}}

Résolution de l'équation au carré pour le flambement par flexion

Références

Comité Européen de normalisation. calcul des structures en acier - Partie 1-1 : Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau. CEN, Brüssel, Mai 2005.

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