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2024-09-10

Imperfeições nas fórmulas de verificação para a análise de encurvadura por flexão

A análise de encurvadura por flexão é uma combinação de estabilidade e verificação do estado limite último que é utilizada em estruturas de aço há centenas de anos. A carga de encurvadura crítica é o ponto de partida para considerar o problema de estabilidade, mas ainda não foi realizado um dimensionamento sem considerar as imperfeições. Como são determinadas exatamente estas imperfeições?

Informação

Para uma melhor compreensão deste artigo, recomendamos primeiro a leitura do artigo sobre a carga de encurvadura de Euler: KB 1895.

KB 1895 | Woher kommt die Formel der idealen Knicklast druckbeanspruchter Einzelglieder?

Os fundamentos e as transformações de equações semelhantes das equações diferenciais são descritas em detalhe aqui.

A imperfeição de um componente estrutural é constituída pelos seguintes componentes:

Imperfeições geométricas
Imperfeições do material
Introdução de cargas excêntricas

Uma vez que estas imperfeições estão distribuídas ao longo do comprimento do elemento estrutural, é primeiro aplicada uma função à estas:

e (x) = e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

e₀	Imperfeição inicial

Função de imperfeição

KB 001897 | Imperfektionsfunktion visualisiert anhand der Eigenformen

Função de imperfeição visualizada utilizando formas próprias

Além disso, esta verificação inclui efeitos adicionais da análise de segunda ordem. No entanto, devem ser consideradas estritamente como adicionais e apenas virtualmente presentes na derivação da função de flexão correta a partir da imperfeição. Não é possível dispensar o cálculo dos esforços internos de acordo com a análise de segunda ordem por causa deste dimensionamento individual que é baseado nos efeitos da análise de segunda ordem. Os efeitos adicionais da análise de segunda ordem incluídos neste conceito de dimensionamento são muito pequenos e devem ser aplicados aos esforços internos já alterados de toda a estrutura. Tal como no caso da determinação da carga de encurvadura ideal, a função inicial é o equilíbrio dos momentos internos e da força axial com a sua excentricidade.

A imagem a seguir mostra como a carga de encurvadura de Euler' é determinada e compara-a utilizando as fórmulas de Euler' e a determinação com base em métodos numéricos. Neste caso, o desvio é de apenas 0,47%. Isto ilustra como as bases de uma análise de estabilidade moderna foram lançadas há várias centenas de anos.

Comparação das cargas de encurvadura críticas de acordo com a análise de estabilidade moderna e as fórmulas resultantes das equações diferenciais de acordo com Euler

Vergleich der kritischen Knicklasten nach modernen Stabilitätsanalyse und aus Differentialgleichungen entspringenden Formeln nach Euler

No entanto, esta excentricidade é agora composta por uma parte que é puramente a função de imperfeição e uma parte da análise de deformação de segunda ordem. Isto dá-nos a seguinte fórmula:

EI \cdot w^{''} (x) = - M (x) = - N \cdot [w (x) + e (x)]

w^{''} (x) + \frac{N}{EI} \cdot w (x) = - \frac{N}{EI} \cdot e (x)

Aplicação da imperfeição

Novamente, a constante α é introduzida para a substituição:

α = \sqrt{\frac{N}{EI}}

Constante α

Ao inserir a constante e a função de imperfeição resulta na seguinte equação diferencial:

w^{''} (x) + α^{2} \cdot w (x) = - α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

equação diferencial com imperfeições e análise de segunda ordem

Isto corresponde a uma equação diferencial não homogénea:

- α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

Parte não homogénea da equação diferencial da imperfeição

Representa a função de imperfeição e, portanto, não pode ser 0.

Primeiro, procura-se a solução da equação homogénea:

w'' (x) + α^{2} \cdot w (x) = 0

A equação diferencial de Euler com α

w (x) = A \sin (α x) + B \cos (α x)

Equação diferencial da flecha após redução para componente real

Em seguida, é necessário resolver a parte específica da equação:

w_{p} (x) = C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

{w_{p}}^{''} (x) = - {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

Parte específica do GDL para imperfeições

Se substituirmos esta solução particulada na equação homogénea, o resultado é:

- {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L}) + α^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L}) = - α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

- {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C + α^{2} \cdot C = - α^{2} \cdot e_{0}

C \cdot (α^{2} - {(\frac{π}{L})}^{2}) = - α^{2} \cdot e_{0} | / (α^{2} - {(\frac{π}{L})}^{2})

C = \frac{α^{2} \cdot e_{0}}{{(\frac{π}{2})}^{2} - α^{2}}

Inserir solução particulada de imperfeição ODE

Pode ser dividido por sin(π·x/L), porque os componentes e assim x nunca têm um comprimento de 0 m.

Assim, a solução total da equação diferencial não homogénea resulta em:

w (x) = w_{h} (x) + w_{p} (x)

w (x) = Asin (αx) + Bcos (αx) + \frac{α^{2} \cdot e_{0}}{{(\frac{π}{2})}^{2} - α^{2}} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

w_h	Solução homogénea da equação diferencial
w_p	Solução particulada da equação diferencial

Solução total da equação diferencial não homogénea

Assim, as condições de fronteira W(x=0) resultam em B e w(x=L) = 0. Isso resulta em B = 0 e a equação diferencial é reduzida a:

w (x) = A \cdot \sin (α \cdot x) + \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{{(π^{2} - αL)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π x}{L})

Equação diferencial reduzida para flecha com imperfeições

Uma vez que a carga de encurvadura de Euler' deve resultar de A ≢ 0 e a imperfeição deve tornar-se infinitesimal novamente, é necessário considerar o caso A = 0!

Assim, a equação é:

w (x) = \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(αL)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

Equação diferencial da linha de flexão para imperfeições aplicadas

Agora, o equilíbrio das forças internas e externas pode ser calculado:

M (x) = N \cdot [w (x) + e (x)]

M (x) = N \cdot (\frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} + 1) \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot (\frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} + \frac{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}) \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{(α \cdot L)^{2} + π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{π^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{1}{1 - \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2}}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

α = \sqrt{\frac{N}{EI}} = > N \cdot \frac{1}{1 - \frac{N \cdot L^{2}}{{EIπ}^{2}}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

Determinação do momento fletor máximo em função da força axial

Quando utiliza a carga de encurvadura de Euler' e calcula os valores extremos, obtém o momento fletor máximo.

M (x) = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

M^{'} (x) = \frac{π}{L} \cdot \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} \cdot \cos (\frac{π \cdot x}{L}) = 0

\cos (\frac{π \cdot x}{L}) = 0 = > x = 0

M (x = 0) = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} = M_{max}

Determinação do valor extremo do momento fletor

O fator de majoração (1-N/N_cr )^-1 é designado por fator de Dischinger.

Para assegurar resultados mais precisos, é aplicado um momento de inércia de superfície que negligencia a alma. Além disso, são utilizados outros fatores de imperfeição, dependendo da classe de aço e das relações das dimensões da secção (curvas de encurvadura), para dimensionar a rotura por encurvadura com base nos banzos plastificados. Por isso, pode considerar a seleção do modo de encurvadura como um tipo simplificado de classificação da secção que reduz a aplicação de secções plastificadas no caso de secções com tendência para a encurvadura. Para simplificação, é assumida uma interação linear.

Interação linear M/N

O raio de giração simplificado é determinado da seguinte forma:

i = \sqrt{\frac{I}{A}} = \sqrt{\frac{2 \cdot ((b \cdot tf) \cdot {(\frac{h}{2})}^{2}}{2 \cdot (b \cdot tf)}} = \frac{h}{2}

Raio de giração sem alma

Neste caso, apenas são considerados os componentes de Steiner dos banzos em torno do eixo principal.

Agora, a equação para o momento máximo em função da carga de encurvadura ideal pode ser utilizada na equação da interacção linear:

\frac{\frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0}}{N_{pl} \cdot \frac{h}{2}} + \frac{N}{N_{pl}} = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot \frac{N}{N_{pl}} \cdot \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}} + \frac{N}{N_{pl}} = 1

N	Força axial máxima antes da encurvadura
e₀	Pré-deformação selecionada
N_cr	Carga de encurvadura crítica
N_pl	Resistência plástica a esforços axiais
h	altura da secção

Inserir a equação do momento dependendo da carga de encurvadura elástica na fórmula de interação

Além disso, são introduzidas as seguintes constantes:

χ = \frac{N}{N_{pl}}; λ = \frac{N_{pl}}{N_{cr}}; \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}}; e_{0} = \frac{L}{m}; α = \frac{λ_{1}}{m}

= > \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}} = \frac{(\frac{L}{m})}{i} = \frac{(\frac{L}{i})}{m} = \frac{λ}{m} = \frac{\bar{λ} \cdot λ_{1}}{m} = \bar{λ} \cdot α

e₀	pré-deformação
L	Comprimento estrutural da barra
λ₁	Esbelteza limite
α	Fator de imperfeição de várias curvas de encurvadura
λ	Esbelteza
λ ‾	Esbelteza relacionada
m	O divisor da pré-deformação está ajustado às curvas de encurvadura

Coeficientes

Neste caso, é aplicado um valor determinado a partir dos testes para α:

KB 001897 | Imperfektionsbeiwerte der Knicklinien

Coeficientes de imperfeição de curvas de encurvadura

Ao substituir as constantes na equação da interação linear, resulta o seguinte termo:

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ = 1

χ	Fator de redução da relação da força axial à qual o pilar rompe devido à encurvadura por flexão e à resistência plástica
α	O fator de imperfeição resulta da relação entre a esbelteza limite e a amplitude da imperfeição.
λ^-	Esbelteza limite

Equação para fator de redução com base na interação linear M/N

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ = 1 | - 1

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ - 1 = 0 | \cdot 1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}

= > χ^{2} - \frac{2 ϕ}{λ^{2}} \cdot χ + \frac{1}{λ^{2}} = 0

χ_{1, 2} = + \frac{ϕ}{λ^{2}} \pm \sqrt{{(\frac{ϕ}{λ^{2}})}^{2} - \frac{1}{λ^{2}}} = \frac{ϕ}{λ^{2}} \pm \frac{1}{λ^{2}} \cdot \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}} = \frac{1}{λ^{2}} (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})

= \frac{1}{λ^{2}} \cdot \frac{(ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}}) \cdot (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})}{\cdot (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})} = \frac{1}{λ^{2}} \cdot \frac{ϕ^{2} - (ϕ^{2} - λ^{2})}{(ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})}

χ = \frac{1}{ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}}}

A solucionar equação quadrática para encurvadura por flexão

Referências

Comité Europeia para a normalização. (2005). Eurocódigo 3: Dimensionamento de estruturas de aço, parte 1-1: Regras gerais e regras para edifícios, EN 1993-1-1:2005. Bruxelas: CEN.

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