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2024-09-10

Imperfezioni nelle formule di verifica per l'analisi di instabilità flessionale

L'analisi di instabilità flessionale è una combinazione di stabilità e verifica allo stato limite ultimo che è stata utilizzata nelle strutture in acciaio per centinaia di anni. Il carico critico di instabilità è il punto di partenza per considerare il problema di stabilità, ma nessun progetto è stato ancora eseguito senza considerare le imperfezioni. Come vengono determinate esattamente queste imperfezioni?

Informazione

Per una migliore comprensione di questo articolo, ti consigliamo di leggere prima l'articolo sul carico di instabilità di Eulero: KB 1895.

KB 1895 | Woher kommt die Formel der idealen Knicklast druckbeanspruchter Einzelglieder?

Le trasformazioni di base e simili delle equazioni differenziali sono descritte in dettaglio qui.

L'imperfezione di un componente strutturale è costituita dai seguenti componenti:

Imperfezioni geometriche
Imperfezioni del materiale
Introduzione del carico eccentrico

Poiché queste imperfezioni sono distribuite lungo la lunghezza del componente strutturale, viene prima applicata una funzione:

e (x) = e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

e₀	Imperfezione iniziale

Funzione di imperfezione

KB 001897 | Imperfektionsfunktion visualisiert anhand der Eigenformen

Funzione di imperfezione visualizzata utilizzando le forme modali

Inoltre, questo progetto include effetti aggiuntivi dall'analisi del secondo ordine. Tuttavia, sono strettamente da considerare come aggiuntivi e solo virtualmente presenti nella derivazione della corretta funzione di flessione dall'imperfezione. Non è esplicitamente possibile fare a meno del calcolo delle forze interne secondo l'analisi del secondo ordine a causa di questo progetto individuale che si basa sugli effetti dell'analisi del secondo ordine. Gli effetti aggiuntivi dell'analisi del secondo ordine inclusa in questo concetto di progetto sono molto piccoli e dovrebbero essere applicati alle forze interne già modificate dell'intera struttura. Come nel caso della determinazione del carico di instabilità ideale, la funzione iniziale è l'equilibrio dei momenti interni e della forza assiale con la sua eccentricità.

L'immagine seguente mostra come viene determinato il carico di instabilità di Eulero' e lo confronta utilizzando le formule di Eulero' e la determinazione basata su metodi numerici. In questo caso, la deviazione è solo dello 0,47%. Questo mostra come le basi di una moderna analisi di stabilità siano state poste diverse centinaia di anni fa.

Confronto di carichi critici di instabilità secondo la moderna analisi di stabilità e formule risultanti da equazioni differenziali secondo Eulero

Vergleich der kritischen Knicklasten nach modernen Stabilitätsanalyse und aus Differentialgleichungen entspringenden Formeln nach Euler

Tuttavia, questa eccentricità è ora composta da una parte che è puramente la funzione di imperfezione e da una parte dell'analisi degli spostamenti generalizzati del secondo ordine. Questo ci dà la seguente formula:

EI \cdot w^{''} (x) = - M (x) = - N \cdot [w (x) + e (x)]

w^{''} (x) + \frac{N}{EI} \cdot w (x) = - \frac{N}{EI} \cdot e (x)

Applicazione dell'imperfezione

Anche in questo caso, viene introdotta la costante α per la sostituzione:

α = \sqrt{\frac{N}{EI}}

Costante α

Inserendo la costante e la funzione di imperfezione si ottiene la seguente equazione differenziale:

w^{''} (x) + α^{2} \cdot w (x) = - α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

equazione differenziale con imperfezioni e analisi del secondo ordine

Ciò corrisponde a un'equazione differenziale disomogenea:

- α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

Parte disomogenea dell'equazione differenziale dell'imperfezione

Rappresenta la funzione di imperfezione e quindi non può essere 0.

Innanzitutto, si cerca la soluzione dell'equazione omogenea:

w'' (x) + α^{2} \cdot w (x) = 0

Equazione differenziale di Eulero con α

w (x) = A \sin (α x) + B \cos (α x)

DGL dell'inflessione dopo la riduzione alla componente reale

Quindi, è necessario risolvere la parte particolare dell'equazione:

w_{p} (x) = C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

{w_{p}}^{''} (x) = - {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

Parte particolare di DOF per le imperfezioni

Se sostituiamo questa soluzione di particolato nell'equazione omogenea, il risultato è:

- {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L}) + α^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L}) = - α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

- {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C + α^{2} \cdot C = - α^{2} \cdot e_{0}

C \cdot (α^{2} - {(\frac{π}{L})}^{2}) = - α^{2} \cdot e_{0} | / (α^{2} - {(\frac{π}{L})}^{2})

C = \frac{α^{2} \cdot e_{0}}{{(\frac{π}{2})}^{2} - α^{2}}

Inserimento della soluzione particellare dell'Imperfezione ODE

Può essere diviso per sin(π·x/L), perché le componenti e quindi x non hanno mai una lunghezza di 0 m.

Pertanto, la soluzione totale dell'equazione differenziale disomogenea risulta in:

w (x) = w_{h} (x) + w_{p} (x)

w (x) = Asin (αx) + Bcos (αx) + \frac{α^{2} \cdot e_{0}}{{(\frac{π}{2})}^{2} - α^{2}} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

w_h	Soluzione omogenea dell'equazione differenziale
w_p	Soluzione particellare dell'equazione differenziale

Soluzione totale dell'equazione differenziale disomogenea

Pertanto, le condizioni al contorno W(x=0) risultano in B e w(x=L) = 0. Ciò risulta in B = 0 e l'equazione differenziale è ridotta a:

w (x) = A \cdot \sin (α \cdot x) + \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{{(π^{2} - αL)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π x}{L})

Equazione differenziale ridotta per inflessione con imperfezioni

Poiché il carico di instabilità di Eulero's deve risultare per A ≢ 0 e l'imperfezione deve diventare di nuovo infinitesima, è necessario considerare il caso A = 0!

Quindi, l'equazione è:

w (x) = \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(αL)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

Equazione differenziale della linea di flessione per imperfezioni applicate

Ora, l'equilibrio delle forze interne ed esterne può essere calcolato:

M (x) = N \cdot [w (x) + e (x)]

M (x) = N \cdot (\frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} + 1) \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot (\frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} + \frac{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}) \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{(α \cdot L)^{2} + π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{π^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{1}{1 - \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2}}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

α = \sqrt{\frac{N}{EI}} = > N \cdot \frac{1}{1 - \frac{N \cdot L^{2}}{{EIπ}^{2}}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

Determinazione del momento flettente massimo in funzione della forza assiale

Quando si utilizza il carico di instabilità di Eulero' e si calcolano i valori estremi, si ottiene il momento flettente massimo.

M (x) = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

M^{'} (x) = \frac{π}{L} \cdot \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} \cdot \cos (\frac{π \cdot x}{L}) = 0

\cos (\frac{π \cdot x}{L}) = 0 = > x = 0

M (x = 0) = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} = M_{max}

Determinazione del valore estremo del momento flettente

Il coefficiente di ingrandimento (1-N/N_cr )^-1 è chiamato coefficiente di Dischinger.

Al fine di garantire i risultati più accurati, viene applicato un momento di inerzia superficiale che trascura l'anima. Inoltre, altri coefficienti di imperfezione, a seconda del tipo di acciaio e dei rapporti delle dimensioni della sezione trasversale (curve di instabilità), vengono utilizzati per progettare la rottura per instabilità sulla base di ali di plastificazione. Pertanto, è possibile considerare la selezione della curva di instabilità come un tipo semplificato di classificazione delle sezioni trasversali, che riduce l'applicazione di sezioni trasversali di plastificazione nel caso di sezioni soggette a instabilità. Per semplificazione, si assume un'interazione lineare.

Interazione lineare M/N

Il raggio di inerzia semplificato è determinato come segue:

i = \sqrt{\frac{I}{A}} = \sqrt{\frac{2 \cdot ((b \cdot tf) \cdot {(\frac{h}{2})}^{2}}{2 \cdot (b \cdot tf)}} = \frac{h}{2}

Raggio di inerzia senza anima

In questo caso, vengono considerate solo le componenti di Steiner delle ali attorno all'asse maggiore.

Ora, l'equazione per il momento massimo in funzione del carico di instabilità ideale può essere utilizzata nell'equazione dell'interazione lineare:

\frac{\frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0}}{N_{pl} \cdot \frac{h}{2}} + \frac{N}{N_{pl}} = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot \frac{N}{N_{pl}} \cdot \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}} + \frac{N}{N_{pl}} = 1

N	Forza assiale massima prima dell'instabilità
e₀	Deformazione preliminare selezionata
N_cr	Carico dell'instabilità critica
N_pl	Resistenza plastica alle forze assiali
h	altezza della sezione trasversale

Inserimento dell'equazione del momento dipendente dal carico di instabilità elastico nella formula di interazione

Inoltre, vengono introdotte le seguenti costanti:

χ = \frac{N}{N_{pl}}; λ = \frac{N_{pl}}{N_{cr}}; \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}}; e_{0} = \frac{L}{m}; α = \frac{λ_{1}}{m}

= > \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}} = \frac{(\frac{L}{m})}{i} = \frac{(\frac{L}{i})}{m} = \frac{λ}{m} = \frac{\bar{λ} \cdot λ_{1}}{m} = \bar{λ} \cdot α

e₀	predeformazione
L	Lunghezza strutturale dell'asta
λ₁	Snellezza limite
α	Coefficiente di imperfezione da varie curve di instabilità
λ	Snellezza
λ ‾	Snellezza relativa
m	Il divisore della pre-deformazione è adattato alle curve di instabilità

Coefficienti

In questo caso, viene applicato un valore determinato dai test per α:

KB 001897 | Imperfektionsbeiwerte der Knicklinien

Coefficienti di imperfezione delle curve di instabilità

Quando si sostituiscono le costanti nell'equazione dell'interazione lineare, risulta il seguente termine:

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ = 1

χ	Coefficiente di riduzione dal rapporto tra la forza assiale alla quale la colonna si rompe a causa dell'instabilità flessionale e della resistenza plastica
α	Il coefficiente di imperfezione risulta dal rapporto tra la snellezza limite e l'ampiezza dell'imperfezione.
λ^-	Snellezza limite

Equazione per il coefficiente di riduzione basato sull'interazione lineare M/N

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ = 1 | - 1

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ - 1 = 0 | \cdot 1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}

= > χ^{2} - \frac{2 ϕ}{λ^{2}} \cdot χ + \frac{1}{λ^{2}} = 0

χ_{1, 2} = + \frac{ϕ}{λ^{2}} \pm \sqrt{{(\frac{ϕ}{λ^{2}})}^{2} - \frac{1}{λ^{2}}} = \frac{ϕ}{λ^{2}} \pm \frac{1}{λ^{2}} \cdot \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}} = \frac{1}{λ^{2}} (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})

= \frac{1}{λ^{2}} \cdot \frac{(ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}}) \cdot (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})}{\cdot (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})} = \frac{1}{λ^{2}} \cdot \frac{ϕ^{2} - (ϕ^{2} - λ^{2})}{(ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})}

χ = \frac{1}{ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}}}

Risoluzione dell'equazione quadratica per instabilità flessionale

Bibliografia

Comitato europeo di normalizzazione. (2005). Eurocodice 3: Progettazione di strutture in acciaio, Parte 1-1: Regole generali e regole per gli edifici, EN 1993-1-1:2005. Bruxelles: CEN.

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