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2024-09-10

Imperfezioni nelle formule di verifica per l'analisi di instabilità flessionale

L'analisi di instabilità flessionale è una combinazione di stabilità e verifica allo stato limite ultimo che è stata utilizzata nelle strutture in acciaio per centinaia di anni. Il carico critico di instabilità è il punto di partenza per considerare il problema di stabilità, ma nessun progetto è stato ancora eseguito senza considerare le imperfezioni. Come vengono determinate esattamente queste imperfezioni?

Informazione

Per una migliore comprensione di questo articolo, ti consigliamo di leggere prima l'articolo sul carico di instabilità di Eulero: KB 1895.

KB 1895 | Woher kommt die Formel der idealen Knicklast druckbeanspruchter Einzelglieder?

Dort sind der Hintergrund und ähnliche Gleichungsumformungen der Differentialgleichungen ausführlich beschrieben.

Die Imperfektion des Bauteils besteht aus folgenden Anteilen:

geometrische Imperfektionen
materielle Imperfektionen
exzentrische Lasteinleitung

Da sich diese Imperfektionen über die Länge des Bauteils verteilen, wird für sie zunächst eine Funktion angesetzt:

e (x) = e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

e₀	Imperfezione iniziale

Funzione di imperfezione

KB 001897 | Imperfektionsfunktion visualisiert anhand der Eigenformen

Funzione di imperfezione visualizzata utilizzando le forme modali

Weiterhin beinhaltet dieser Nachweis zusätzliche Effekte aus Theorie II. Ordnung. Diese sind aber streng als zusätzlich wahrzunehmen und nur virtuell in der Herleitung der richtigen Biegefunktion aus der Imperfektion vorhanden. Es ist ausdrücklich kein Verzicht auf die Berechnung der Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung ermöglicht aufgrund dieses Einzelnachweises, der auf Effekten der Theorie II. Ordnung beruht. Die zusätzlichen Effekte aus Theorie II. Ordnung, die in diesem Nachweiskonzept enthalten sind, sind sehr gering und sollten auf die bereits veränderten Schnittgrößen des Gesamttragwerks angewandt werden. Die Ausgangfunktion ist – wie bei der Ermittlung der idealen Knicklast – das Gleichgewicht innerer Momente und der Normalkraft mit ihrer Ausmitte.

Das folgende Bild zeigt, wie die Eulersche Knicklast ermittelt wird, und vergleicht dies anhand der Formeln nach Euler sowie der Ermittlung anhand von numerischen Methoden. Dabei lässt sich eine Abweichung von nur 0,47 % feststellen. Dies verdeutlicht, wie vor mehreren hundert Jahren die Grundlage der modernen Stabilitätsanalyse geschaffen wurde.

Confronto di carichi critici di instabilità secondo la moderna analisi di stabilità e formule risultanti da equazioni differenziali secondo Eulero

Vergleich der kritischen Knicklasten nach modernen Stabilitätsanalyse und aus Differentialgleichungen entspringenden Formeln nach Euler

Die Ausmitte setzt sich nun jedoch zusammen aus einem Teil, der rein aus der Imperfektionsfunktion besteht, und einem Teil der Verformungen infolge Theorie II. Ordnung. Damit ergibt sich folgende Formel:

EI \cdot w^{''} (x) = - M (x) = - N \cdot [w (x) + e (x)]

w^{''} (x) + \frac{N}{EI} \cdot w (x) = - \frac{N}{EI} \cdot e (x)

Applicazione dell'imperfezione

Wieder wird die Konstante α zur Substitution eingeführt:

α = \sqrt{\frac{N}{EI}}

Costante α

Daraus ergibt sich bei Einsetzen der Konstante sowie der Imperfektionsfunktion folgende Differentialgleichung:

w^{''} (x) + α^{2} \cdot w (x) = - α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

equazione differenziale con imperfezioni e analisi del secondo ordine

Dies entspricht einer inhomogenen Differentialgleichung:

- α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

Parte disomogenea dell'equazione differenziale dell'imperfezione

Sie stellt die Imperfektionsfunktion dar und kann somit nicht 0 sein.

Zunächst wird die Lösung der homogenen Gleichung gesucht:

w'' (x) + α^{2} \cdot w (x) = 0

Equazione differenziale di Eulero con α

w (x) = A \sin (α x) + B \cos (α x)

DGL dell'inflessione dopo la riduzione alla componente reale

Anschließend muss der partikuläre Teil der Gleichung gelöst werden:

w_{p} (x) = C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

{w_{p}}^{''} (x) = - {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

Parte particolare di DOF per le imperfezioni

Setzt man nun diese partikuläre Lösung in die homogene Gleichung ein, ergibt sich:

- {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L}) + α^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L}) = - α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

- {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C + α^{2} \cdot C = - α^{2} \cdot e_{0}

C \cdot (α^{2} - {(\frac{π}{L})}^{2}) = - α^{2} \cdot e_{0} | / (α^{2} - {(\frac{π}{L})}^{2})

C = \frac{α^{2} \cdot e_{0}}{{(\frac{π}{2})}^{2} - α^{2}}

Inserimento della soluzione particellare dell'Imperfezione ODE

Es darf durch sin(π·x/L) dividiert werden, da die Bauteile und somit x nie 0 m lang sind.

Somit ergibt sich als Gesamtlösung der inhomogenen Differentialgleichung:

w (x) = w_{h} (x) + w_{p} (x)

w (x) = Asin (αx) + Bcos (αx) + \frac{α^{2} \cdot e_{0}}{{(\frac{π}{2})}^{2} - α^{2}} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

w_h	soluzione omogenea dell'OSD
w_P	soluzione particolare dell'HDL

Soluzione totale dell'equazione differenziale disomogenea

Aus den Randbedingungen W(x=0) ergibt sich somit B und w(x=L) = 0. Dadurch ergibt sich somit B = 0 und die Differentialgleichung reduziert sich auf:

w (x) = A \cdot \sin (α \cdot x) + \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{{(π^{2} - αL)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π x}{L})

Equazione differenziale ridotta per inflessione con imperfezioni

Da hier für A ≢ 0 die Eulersche Knicklast resultieren muss und die Imperfektion wieder infinitesimal werden muss, muss hier der Fall A = 0 betrachtet werden!

Somit ergibt sich die Gleichung:

w (x) = \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(αL)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

Equazione differenziale della linea di flessione per imperfezioni applicate

Nun lässt sich das Kräftegleichgewicht der inneren und äußeren Kräfte bilden:

M (x) = N \cdot [w (x) + e (x)]

M (x) = N \cdot (\frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} + 1) \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot (\frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} + \frac{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}) \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{(α \cdot L)^{2} + π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{π^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{1}{1 - \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2}}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

α = \sqrt{\frac{N}{EI}} = > N \cdot \frac{1}{1 - \frac{N \cdot L^{2}}{{EIπ}^{2}}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

Determinazione del momento flettente massimo in funzione della forza assiale

Beim Einsetzen der Eulerschen Knicklast sowie einer Extremwertberechnung ergibt sich somit das maximale Biegemoment.

M (x) = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

M^{'} (x) = \frac{π}{L} \cdot \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} \cdot \cos (\frac{π \cdot x}{L}) = 0

\cos (\frac{π \cdot x}{L}) = 0 = > x = 0

M (x = 0) = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} = M_{max}

Determinazione del valore estremo del momento flettente

Der Vergrößerungsfaktor (1-N/N_cr)^-1 wird als Dischinger Faktor bezeichnet.

Auf der sicheren Seite liegend wird ein Flächenträgheitsmoment angesetzt, das den Steg vernachlässigt. Ferner werden weitere Imperfektionsbeiwerte in Abhängigkeit von der Stahlgüte sowie Verhältnisse der Profilabmessungen (Knickkurven) genutzt, um das Knickversagen auf Basis von plastizierenden Flanschen zu bemessen. Man könnte daher die Wahl der Knickkurve als eine vereinfachte Art der Querschnittsklassifizierung betrachten, die bei beulgefährdeten Querschnitten den Ansatz der plastizierenden Querschnitte wieder reduziert. Vereinfacht wird von einer linearen Interaktion ausgegangen.

Interazione lineare M/N

Der vereinfachte Trägheitsradius wird wie folgt ermittelt:

i = \sqrt{\frac{I}{A}} = \sqrt{\frac{2 \cdot ((b \cdot tf) \cdot {(\frac{h}{2})}^{2}}{2 \cdot (b \cdot tf)}} = \frac{h}{2}

Raggio di inerzia senza anima

Dabei werden nur die Steineranteile der Flansche um die starke Achse betrachtet.

Nun lässt sich die Gleichung für das maximale Moment in Abhängigkeit von der idealen Knicklast in die Gleichung der linearen Interkation einsetzen:

\frac{\frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0}}{N_{pl} \cdot \frac{h}{2}} + \frac{N}{N_{pl}} = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot \frac{N}{N_{pl}} \cdot \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}} + \frac{N}{N_{pl}} = 1

N	forza assiale massima prima dell'instabilità
e₀	pre-deformazione selezionata
N_cr	Carico dell'instabilità critica
N_pl	resistenza plastica alle forze normali
h	Altezza del profilo

Inserimento dell'equazione del momento dipendente dal carico di instabilità elastico nella formula di interazione

Weitergehend werden nun folgende Konstanten eingeführt:

χ = \frac{N}{N_{pl}}; λ = \frac{N_{pl}}{N_{cr}}; \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}}; e_{0} = \frac{L}{m}; α = \frac{λ_{1}}{m}

= > \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}} = \frac{(\frac{L}{m})}{i} = \frac{(\frac{L}{i})}{m} = \frac{λ}{m} = \frac{\bar{λ} \cdot λ_{1}}{m} = \bar{λ} \cdot α

e₀	predeformazione
[LinkToImage01]	Lunghezza strutturale dell'asta
λ₁	Snellezza limite
α	coefficiente di imperfezione dalle varie curve di instabilità
λ	Snellezza
$\overline{λ}$	snellezza relativa
m	Il divisore della pre-deformazione è adattato alle curve di instabilità

Coefficienti

Dabei wird für α ein aus Versuchen ermittelter Wert angesetzt:

KB 001897 | Imperfektionsbeiwerte der Knicklinien

Coefficienti di imperfezione delle curve di instabilità

Beim Substituieren der Konstanten in die Gleichung der linearen Interaktion ergibt sich folgender Term:

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ = 1

χ	Coefficiente di riduzione dal rapporto tra la forza assiale alla quale la colonna si rompe a causa dell'instabilità flessionale e della resistenza plastica
α	Il coefficiente di imperfezione risulta dal rapporto tra la snellezza limite e l'ampiezza dell'imperfezione.
λ^-	Snellezza limite

Equazione per il coefficiente di riduzione basato sull'interazione lineare M/N

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ = 1 | - 1

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ - 1 = 0 | \cdot 1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}

= > χ^{2} - \frac{2 ϕ}{λ^{2}} \cdot χ + \frac{1}{λ^{2}} = 0

χ_{1, 2} = + \frac{ϕ}{λ^{2}} \pm \sqrt{{(\frac{ϕ}{λ^{2}})}^{2} - \frac{1}{λ^{2}}} = \frac{ϕ}{λ^{2}} \pm \frac{1}{λ^{2}} \cdot \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}} = \frac{1}{λ^{2}} (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})

= \frac{1}{λ^{2}} \cdot \frac{(ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}}) \cdot (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})}{\cdot (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})} = \frac{1}{λ^{2}} \cdot \frac{ϕ^{2} - (ϕ^{2} - λ^{2})}{(ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})}

χ = \frac{1}{ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}}}

Risoluzione dell'equazione quadratica per instabilità flessionale

Bibliografia

Comitato europeo di normalizzazione. Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau. CEN, Brüssel, Mai 2005.

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