1827x

001897

10.9.2024

Imperfekce ve vzorcích pro posouzení na vzpěr

Posouzení na vzpěr je kombinací posouzení stability a mezního stavu únosnosti, která se v ocelových konstrukcích používá již stovky let. Kritické kritické zatížení je přitom výchozím bodem pro zohlednění otázky stability, ale dosud nebylo provedeno žádné posouzení bez zohlednění imperfekcí. Jak přesně se tyto imperfekce stanoví?

Informace

Pro lepší pochopení tohoto článku doporučujeme nejdříve přečíst článek o Eulerově kritickém zatížení: KB 1895.

KB 1895 | Vzorec pro ideální zatížení při vzpěru jednotlivých prutů namáhaných tlakem

Zde jsou podrobně popsány základní a podobné transformace diferenciálních rovnic.

Imperfekce konstrukčního prvku se skládá z následujících složek:

Geometrické imperfekce
Imperfekce materiálu
Excentrické zatížení

Vzhledem k tomu, že tyto imperfekce jsou rozděleny po délce konstrukčního prvku, použijeme nejdříve funkci:

e (x) = e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

e₀	Počáteční imperfekce

Funkce imperfekce

KB 001897 | Imperfektionsfunktion visualisiert anhand der Eigenformen

Imperfekční funkce vizualizovaná pomocí vlastních tvarů

Toto posouzení navíc zahrnuje další účinky z analýzy druhého řádu. Je však třeba je zohlednit jako přídavné a pouze virtuálně přítomné při odvození správné ohybové funkce z imperfekce. Vzhledem k tomuto individuálnímu posouzení, které vychází z účinků teorie druhého řádu, není výslovně možné upustit od výpočtu vnitřních sil podle teorie druhého řádu. Přídavné účinky analýzy druhého řádu obsažené v tomto návrhu jsou velmi malé a měly by být aplikovány na již upravené vnitřní síly celé konstrukce. Stejně jako v případě výpočtu ideálního kritického zatížení je výchozí funkcí rovnováha vnitřních momentů a normálové síly s její excentricitou.

Následující obrázek ukazuje, jak se stanoví Euler'sova vzpěrná síla, a porovnává ho pomocí Eulerova' vzorců a stanovení na základě numerických metod. V tomto případě činí odchylka pouze 0,47 %. To ukazuje, jak byly před několika sty lety položeny základy moderní stabilitní analýzy.

Porovnání kritických zatížení při vzpěru podle moderních stabilitních analýz a vzorců odvozených z diferenciálních rovnic podle Eulera

Vergleich der kritischen Knicklasten nach modernen Stabilitätsanalyse und aus Differentialgleichungen entspringenden Formeln nach Euler

Tato excentricita se ovšem nyní skládá z části, která je čistě imperfekční funkcí, a části z analýzy deformací druhého řádu. Získáme tak následující vzorec:

EI \cdot w^{''} (x) = - M (x) = - N \cdot [w (x) + e (x)]

w^{''} (x) + \frac{N}{EI} \cdot w (x) = - \frac{N}{EI} \cdot e (x)

Použití imperfekce

Pro substituci se opět zavádí konstanta α:

α = \sqrt{\frac{N}{EI}}

Konstantní α

Vložením konstanty a imperfekční funkce dostaneme následující diferenciální rovnici:

w^{''} (x) + α^{2} \cdot w (x) = - α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

diferenciální rovnice s imperfekcemi a analýza druhého řádu

To odpovídá nehomogenní diferenciální rovnici:

- α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

Nehomogenní část diferenciální rovnice imperfekce

Představuje funkci imperfekce, a proto nemůže být 0.

Nejdříve se hledá řešení homogenní rovnice:

w'' (x) + α^{2} \cdot w (x) = 0

Eulerova diferenciální rovnice s α

w (x) = A \sin (α x) + B \cos (α x)

DGL průhybu po redukci na skutečnou složku

Poté je třeba vyřešit příslušnou část rovnice:

w_{p} (x) = C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

{w_{p}}^{''} (x) = - {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

Zvláštní část stupně volnosti pro imperfekce

Pokud dosadíme tento partikulární roztok do homogenní rovnice, dostaneme:

- {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L}) + α^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L}) = - α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

- {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C + α^{2} \cdot C = - α^{2} \cdot e_{0}

C \cdot (α^{2} - {(\frac{π}{L})}^{2}) = - α^{2} \cdot e_{0} | / (α^{2} - {(\frac{π}{L})}^{2})

C = \frac{α^{2} \cdot e_{0}}{{(\frac{π}{2})}^{2} - α^{2}}

Vložení partikulárního řešení imperfekce ODR

Lze ji vydělit pomocí sin(π·x/L), protože složky a tím i x nemají nikdy délku 0 m.

Výsledkem celkového řešení nehomogenní diferenciální rovnice je:

w (x) = w_{h} (x) + w_{p} (x)

w (x) = Asin (αx) + Bcos (αx) + \frac{α^{2} \cdot e_{0}}{{(\frac{π}{2})}^{2} - α^{2}} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

w_h	Homogenní řešení diferenciální rovnice
w_p	Partikulární řešení diferenciální rovnice

Celkové řešení nehomogenní diferenciální rovnice

Z okrajových podmínek W(x=0) tak vyplývá B a w(x=L) = 0. Výsledkem je B = 0 a diferenciální rovnice se redukuje na:

w (x) = A \cdot \sin (α \cdot x) + \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{{(π^{2} - αL)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π x}{L})

Redukovaná diferenciální rovnice pro průhyb s imperfekcemi

Vzhledem k tomu, že pro A ≢ 0 musí vyplývat Eulerovo' kritické zatížení a imperfekce musí být opět infinitesimální, je třeba zohlednit případ A = 0!

Rovnice tedy zní:

w (x) = \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(αL)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

Rozdílová rovnice ohybové linie pro použité imperfekce

Nyní můžeme spočítat rovnováhu vnitřních a vnějších sil:

M (x) = N \cdot [w (x) + e (x)]

M (x) = N \cdot (\frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} + 1) \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot (\frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} + \frac{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}) \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{(α \cdot L)^{2} + π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{π^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{1}{1 - \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2}}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

α = \sqrt{\frac{N}{EI}} = > N \cdot \frac{1}{1 - \frac{N \cdot L^{2}}{{EIπ}^{2}}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

Stanovení maximálního ohybového momentu v závislosti na normálové síle

Při použití Eulerova' zatížení při boulení a výpočtu extrémních hodnot dostaneme maximální ohybový moment.

M (x) = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

M^{'} (x) = \frac{π}{L} \cdot \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} \cdot \cos (\frac{π \cdot x}{L}) = 0

\cos (\frac{π \cdot x}{L}) = 0 = > x = 0

M (x = 0) = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} = M_{max}

Stanovení extrémní hodnoty ohybového momentu

Součinitel zvětšení (1-N/N_cr )^-1 se nazývá Dischingerův součinitel.

Pro zajištění co nejpřesnějších výsledků se použije moment setrvačnosti plochy, který zanedbává stojinu. Kromě toho se používají další součinitele imperfekce v závislosti na třídě oceli a poměrech rozměrů průřezu (vzpěrné křivky) pro posouzení neúčinnosti při boulení na základě plastifikujících pásnic. Volbu vzpěrné křivky lze proto uvažovat jako zjednodušený typ klasifikace průřezů, který v případě průřezů náchylných ke vzpěru omezuje použití plastifikujících průřezů. Pro zjednodušení se předpokládá lineární interakce.

Lineární M/N interakce

Zjednodušený poloměr setrvačnosti se stanoví následovně:

i = \sqrt{\frac{I}{A}} = \sqrt{\frac{2 \cdot ((b \cdot tf) \cdot {(\frac{h}{2})}^{2}}{2 \cdot (b \cdot tf)}} = \frac{h}{2}

Poloměr setrvačnosti bez stojiny

V tomto případě se zohledňují pouze Steinerovy složky pásnic okolo hlavní osy.

Nyní lze v rovnici lineární interakce použít rovnici pro maximální moment jako funkci ideálního vzpěrného zatížení:

\frac{\frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0}}{N_{pl} \cdot \frac{h}{2}} + \frac{N}{N_{pl}} = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot \frac{N}{N_{pl}} \cdot \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}} + \frac{N}{N_{pl}} = 1

N	Maximální normálová síla před vzpěrem
e₀	Vybraná počáteční deformace
N_cr	Kritická síla pro vzpěr
N_pl	Plastická únosnost při působení normálových sil
h	Výška průřezu

Vložení momentové rovnice v závislosti na pružném vzpěrném zatížení do interakčního vzorce

Dále jsou zavedeny následující konstanty:

χ = \frac{N}{N_{pl}}; λ = \frac{N_{pl}}{N_{cr}}; \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}}; e_{0} = \frac{L}{m}; α = \frac{λ_{1}}{m}

= > \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}} = \frac{(\frac{L}{m})}{i} = \frac{(\frac{L}{i})}{m} = \frac{λ}{m} = \frac{\bar{λ} \cdot λ_{1}}{m} = \bar{λ} \cdot α

e₀	Počáteční deformace
L	Konstrukční délka prutu
λ₁	Mezní štíhlost
α	Součinitel imperfekce z různých vzpěrných křivek
λ	Štíhlosti
λ ‾	Související štíhlost
m	Dělitel počáteční deformace se přizpůsobí vzpěrným křivkám

Faktory zobrazení

V tomto případě se pro α použije hodnota stanovená ze zkoušek:

KB 001897 | Imperfektionsbeiwerte der Knicklinien

Součinitele imperfekce vzpěrných křivek

Pokud dosadíme do rovnice lineární interakce konstanty, dostaneme následující výraz:

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ = 1

χ	Redukční součinitel z poměru normálové síly, při které sloup vypadne z důvodu rovinného vzpěru a plastické únosnosti
α	Součinitel imperfekce se stanoví z poměru mezní štíhlosti k amplitudě imperfekce.
λ^-	Mezní štíhlost

Rovnice pro redukční součinitel na základě lineární interakce M/N

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ = 1 | - 1

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ - 1 = 0 | \cdot 1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}

= > χ^{2} - \frac{2 ϕ}{λ^{2}} \cdot χ + \frac{1}{λ^{2}} = 0

χ_{1, 2} = + \frac{ϕ}{λ^{2}} \pm \sqrt{{(\frac{ϕ}{λ^{2}})}^{2} - \frac{1}{λ^{2}}} = \frac{ϕ}{λ^{2}} \pm \frac{1}{λ^{2}} \cdot \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}} = \frac{1}{λ^{2}} (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})

= \frac{1}{λ^{2}} \cdot \frac{(ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}}) \cdot (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})}{\cdot (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})} = \frac{1}{λ^{2}} \cdot \frac{ϕ^{2} - (ϕ^{2} - λ^{2})}{(ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})}

χ = \frac{1}{ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}}}

Řešení kvadratické rovnice pro rovinný vzpěr

Reference

Evropský výbor pro normalizaci. Navrhování ocelových konstrukcí – Část 1-1: Obecná pravidla a pravidla pro pozemní stavby, EN 1993-1-1:2005. Brusel: CEN.

;