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1827x

001897

2024-09-10

弯曲屈曲分析的缺陷公式计算

弯曲屈曲分析是将稳定性和承载能力极限状态进行计算的结合，在钢结构中的应用已有数百年的历史。这里该临界屈曲荷载是考虑稳定性的起点，但是还没有在不考虑缺陷的情况下进行设计。那么这些缺陷是如何确定的呢？

信息

为了更好的理解本文的内容，建议您首先阅读关于欧拉屈曲荷载的相关文章：知识库 1895。

知识库 1895 | Woher kommt die Formel der idealen Knicklast druckbeanspruchter Einzelglieder?

这里对微分方程的背景和相似的方程变换进行了详细的介绍。

结构构件的缺陷由以下部分组成：

几何缺陷
材料缺陷
偏心荷载介绍

由于这些缺陷沿结构构件的长度方向分布，所以首先要使用一个函数来计算它们：

e (x) = e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

e₀

初始缺陷

缺陷功能

知识库 001897 | Imperfektionsfunktion visualisiert anhand der Eigenformen

缺陷函数的振型可视化

此外，该设计还考虑了二阶分析的效应。但是严格来说它们是附加的，只是在从缺陷推导正确的弯矩函数时几乎出现。不可能因为这种个别的设计是基于结构二阶分析的效应，就可以忽略按照二阶分析的内力计算。该设计概念中包含的二阶分析的附加效应非常小，应该应用于整个结构已经修改的内力。与确定理想屈曲荷载的情况一样，内弯矩和轴力与其偏心之间的平衡。

下图显示了如何确定欧拉屈曲荷载，并将欧拉公式和数值计算方法进行了比较。在这种情况下，偏差仅为0.47%。这里阐述了现代稳定性分析的基础是如何在数百年前建立的。

Vergleich der kritischen Knicklasten nach modernen Stabilitätsanalyse und aus Differentialgleichungen entspringenden Formeln nach Euler

但是，该偏心现在由一部分二阶变形计算组成，该计算结果只是缺陷的函数，二阶计算的结果。得到以下公式：

EI \cdot w^{''} (x) = - M (x) = - N \cdot [w (x) + e (x)]

w^{''} (x) + \frac{N}{EI} \cdot w (x) = - \frac{N}{EI} \cdot e (x)

应用缺陷

在这里我们需要再次介绍常数 α：

α = \sqrt{\frac{N}{EI}}

常数 α

代入常数和缺陷函数得到以下微分方程：

w^{''} (x) + α^{2} \cdot w (x) = - α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

考虑微分方程的缺陷，二阶分析

这是一个非齐次的微分方程：

- α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

缺陷微分方程的非均匀部分

缺陷函数，不能为零。

首先，求齐次方程的解：

w'' (x) + α^{2} \cdot w (x) = 0

欧拉微分方程

w (x) = A \sin (α x) + B \cos (α x)

折减为实部后的挠度 DGL

然后，求解方程的特定部分：

w_{p} (x) = C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

{w_{p}}^{''} (x) = - {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

缺陷的特定自由度

如果我们将这个颗粒状解代入齐次方程中，则结果为：

- {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L}) + α^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L}) = - α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

- {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C + α^{2} \cdot C = - α^{2} \cdot e_{0}

C \cdot (α^{2} - {(\frac{π}{L})}^{2}) = - α^{2} \cdot e_{0} | / (α^{2} - {(\frac{π}{L})}^{2})

C = \frac{α^{2} \cdot e_{0}}{{(\frac{π}{2})}^{2} - α^{2}}

插入缺陷 ODE 的粒子解

它可以通过 sin(π·x/L) 进行划分，因为其分量和 x 的长度都不是 0 m。

这个非齐次微分方程的总解为：

w (x) = w_{h} (x) + w_{p} (x)

w (x) = Asin (αx) + Bcos (αx) + \frac{α^{2} \cdot e_{0}}{{(\frac{π}{2})}^{2} - α^{2}} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

w_h	微分方程的齐次解
w_p	微分方程的粒子解

非齐次微分方程的全解

根据边界条件 W(x=0) ，截面 B 和 w(x=L) = 0。这导致B = 0，微分方程简化为：

w (x) = A \cdot \sin (α \cdot x) + \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{{(π^{2} - αL)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π x}{L})

简化的缺陷挠度微分方程

因为当 A ≢ 0 时，欧拉屈曲荷载必须再次出现，并且缺陷必须再次变为无穷小，所以有必要考虑工况 A = 0！

公式为：

w (x) = \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(αL)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

应用缺陷的弯矩线微分方程

现在，可以计算内力和外力的平衡状态：

M (x) = N \cdot [w (x) + e (x)]

M (x) = N \cdot (\frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} + 1) \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot (\frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} + \frac{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}) \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{(α \cdot L)^{2} + π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{π^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{1}{1 - \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2}}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

α = \sqrt{\frac{N}{EI}} = > N \cdot \frac{1}{1 - \frac{N \cdot L^{2}}{{EIπ}^{2}}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

计算最大弯矩与轴力的关系

当计算欧拉屈曲荷载极值时，即取最大弯矩。

M (x) = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

M^{'} (x) = \frac{π}{L} \cdot \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} \cdot \cos (\frac{π \cdot x}{L}) = 0

\cos (\frac{π \cdot x}{L}) = 0 = > x = 0

M (x = 0) = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} = M_{max}

确定弯矩极值

该放大系数 (1-N/N_cr )^-1称为 Dischinger 系数。

为了得到最准确的结果，张拉时的惯性矩忽略不计。此外，根据钢的等级和截面尺寸比（屈曲曲线），可以使用其他缺陷系数进行屈曲破坏设计，该类型的翼缘是基于塑性变形翼缘。因此，可以考虑选择屈曲曲线作为一种简化的截面分类，在有屈曲现象的情况下减少塑性截面的使用。为简化起见，假设线性相关性。

线性M/N相互作用

简化回转半径按下式计算：

i = \sqrt{\frac{I}{A}} = \sqrt{\frac{2 \cdot ((b \cdot tf) \cdot {(\frac{h}{2})}^{2}}{2 \cdot (b \cdot tf)}} = \frac{h}{2}

无腹板时惯性矩

这种情况下只考虑翼缘绕强轴的Steiner分量。

现在可以在线性相互作用方程中使用最大弯矩与理想屈曲荷载的关系：

\frac{\frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0}}{N_{pl} \cdot \frac{h}{2}} + \frac{N}{N_{pl}} = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot \frac{N}{N_{pl}} \cdot \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}} + \frac{N}{N_{pl}} = 1

N	屈曲前最大轴力
e₀	选择预变形
N_cr	临界屈曲荷载
N_pl	轴力塑性承载力
h	截面高度

在相互作用公式中插入取决于弹性屈曲荷载的弯矩公式

此外，还引入了以下常数：

χ = \frac{N}{N_{pl}}; λ = \frac{N_{pl}}{N_{cr}}; \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}}; e_{0} = \frac{L}{m}; α = \frac{λ_{1}}{m}

= > \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}} = \frac{(\frac{L}{m})}{i} = \frac{(\frac{L}{i})}{m} = \frac{λ}{m} = \frac{\bar{λ} \cdot λ_{1}}{m} = \bar{λ} \cdot α

e₀	预变形
L	杆件长度
λ₁	极限长细比
α	根据不同屈曲曲线的缺陷系数
λ	长细比
λ ‾	相关长细比
m	根据屈曲曲线调整预变形的除数

系数

这种情况下 α 采用试验确定的值：

知识库 001897 | Imperfektionsbeiwerte der Knicklinien

屈曲曲线的缺陷系数

将线性耦合公式中的常数代入，得到以下各项：

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ = 1

χ	使柱子发生弯曲屈曲破坏的轴力与塑性承载力的比值的折减系数
α	缺陷系数是由极限长细比与缺陷幅度的比值得出。
λ^-	极限长细比

基于线性M/N相互作用的折减系数公式

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ = 1 | - 1

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ - 1 = 0 | \cdot 1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}

= > χ^{2} - \frac{2 ϕ}{λ^{2}} \cdot χ + \frac{1}{λ^{2}} = 0

χ_{1, 2} = + \frac{ϕ}{λ^{2}} \pm \sqrt{{(\frac{ϕ}{λ^{2}})}^{2} - \frac{1}{λ^{2}}} = \frac{ϕ}{λ^{2}} \pm \frac{1}{λ^{2}} \cdot \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}} = \frac{1}{λ^{2}} (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})

= \frac{1}{λ^{2}} \cdot \frac{(ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}}) \cdot (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})}{\cdot (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})} = \frac{1}{λ^{2}} \cdot \frac{ϕ^{2} - (ϕ^{2} - λ^{2})}{(ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})}

χ = \frac{1}{ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}}}

求解弯曲屈曲的二次方程

参考

欧洲标准化委员会。 (2005)。欧洲规范 3：钢结构设计，第 1-1 部分：一般规范和建筑规范，EN 1993-1-1:2005。布鲁塞尔：CEN。

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