1832x

001897

2024-09-10

Imperfekcje we wzorach do kontroli obliczeń dla analizy wyboczenia giętnego

Analiza wyboczenia giętnego jest połączeniem analizy stateczności i stanu granicznego nośności, stosowana w konstrukcjach stalowych od setek lat. Punktem wyjścia do rozważenia kwestii stateczności jest krytyczne obciążenie wyboczeniowe, ale dotychczas nie przeprowadzono obliczeń bez uwzględnienia imperfekcji. Jak dokładnie określane są te imperfekcje?

Informacje

Aby lepiej zrozumieć ten artykuł, zalecamy najpierw przeczytać artykuł na temat obciążenia wyboczeniowego Eulera: KB 1895.

KB 1895 | Woher kommt die Formel der idealen Knicklast druckbeanspruchter Einzelglieder?

Szczegółowo opisano podstawy i podobne przekształcenia równań różniczkowych.

Imperfekcja elementu konstrukcyjnego składa się z następujących elementów:

Imperfekcje geometryczne
Imperfekcje materiałowe
Wprowadzenie do obciążenia mimośrodowego

Ponieważ imperfekcje są rozłożone wzdłuż długości elementu konstrukcyjnego, najpierw stosowana jest do nich funkcja:

e (x) = e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

e₀	Początkowa imperfekcja

Funkcja imperfekcji

KB 001897 | Imperfektionsfunktion visualisiert anhand der Eigenformen

Funkcja imperfekcji zwizualizowana za pomocą kształtów drgań

Ponadto obliczenia te uwzględniają dodatkowe efekty z analizy drugiego rzędu. Należy je jednak bezwzględnie uwzględniać jako dodatkowe i obecne tylko w wyprowadzeniu prawidłowej funkcji zginania od imperfekcji. Ze względu na to, że obliczenia te opierają się na efektach analizy drugiego rzędu, nie można zrezygnować z obliczeń sił wewnętrznych zgodnie z teorią drugiego rzędu. Dodatkowe efekty analizy drugiego rzędu uwzględnione w tej koncepcji obliczeniowej są bardzo niewielkie i należy je zastosować do już zmodyfikowanych sił wewnętrznych w całej konstrukcji. Podobnie jak w przypadku wyznaczania idealnego obciążenia wyboczeniowego, funkcją początkową jest równowaga momentów wewnętrznych i siły osiowej wraz z jej mimośrodem.

Poniższy rysunek przedstawia sposób wyznaczania obciążenia wyboczeniowego Eulera's, porównuje go przy użyciu wzorów Eulera's oraz obliczeń metodami numerycznymi. W tym przypadku odchylenie wynosi tylko 0,47%. Pokazuje to, w jaki sposób kilkaset lat temu stworzono podstawy współczesnej analizy stateczności.

Porównanie krytycznych obciążeń wyboczeniowych według współczesnej analizy stateczności oraz wzorów wynikających z równań różniczkowych według Eulera

Vergleich der kritischen Knicklasten nach modernen Stabilitätsanalyse und aus Differentialgleichungen entspringenden Formeln nach Euler

Jednak mimośród ten składa się teraz z części będącej czystą funkcją imperfekcji oraz z części analizy drugiego rzędu odkształcenia. Wynika stąd następujący wzór:

EI \cdot w^{''} (x) = - M (x) = - N \cdot [w (x) + e (x)]

w^{''} (x) + \frac{N}{EI} \cdot w (x) = - \frac{N}{EI} \cdot e (x)

Zastosowanie imperfekcji

Ponownie, dla podstawienia zostaje wprowadzona stała α:

α = \sqrt{\frac{N}{EI}}

Stała α

Wstawiając stałą i funkcję imperfekcji, otrzymujemy następujące równanie różniczkowe:

w^{''} (x) + α^{2} \cdot w (x) = - α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

równanie różniczkowe z imperfekcjami oraz analiza drugiego rzędu

Odpowiada to niejednorodnemu równaniu różniczkowemu:

- α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

Niejednorodna część równania różniczkowego imperfekcji

Reprezentuje on funkcję imperfekcji, a zatem nie może wynosić 0.

Najpierw poszukiwane jest rozwiązanie jednorodnego równania:

w'' (x) + α^{2} \cdot w (x) = 0

Równanie różniczkowe Eulera z α

w (x) = A \sin (α x) + B \cos (α x)

DGL ugięcia po redukcji do składowej rzeczywistej

Następnie należy rozwiązać konkretną część równania:

w_{p} (x) = C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

{w_{p}}^{''} (x) = - {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

Szczególna część DOF dla imperfekcji

Jeżeli podstawimy to rozwiązanie do równania jednorodnego, otrzymamy wynik:

- {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L}) + α^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L}) = - α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

- {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C + α^{2} \cdot C = - α^{2} \cdot e_{0}

C \cdot (α^{2} - {(\frac{π}{L})}^{2}) = - α^{2} \cdot e_{0} | / (α^{2} - {(\frac{π}{L})}^{2})

C = \frac{α^{2} \cdot e_{0}}{{(\frac{π}{2})}^{2} - α^{2}}

Wprowadzenie rozwiązania imperfekcji cząstek stałych ODE

Można ją podzielić przez sin(π·x/L), ponieważ składowe, a tym samym x, nigdy nie mają długości 0 m.

Zatem rozwiązanie całkowite niejednorodnego równania różniczkowego wynosi:

w (x) = w_{h} (x) + w_{p} (x)

w (x) = Asin (αx) + Bcos (αx) + \frac{α^{2} \cdot e_{0}}{{(\frac{π}{2})}^{2} - α^{2}} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

w_h	Jednorodne rozwiązanie równania różniczkowego
w_p	Cząstkowe rozwiązanie równania różniczkowego

Rozwiązanie całkowite niejednorodnego równania różniczkowego

Zatem warunki brzegowe W (x=0) powodują, że B i w (x=L) = 0. W rezultacie B = 0, a równanie różniczkowe zostaje zredukowane do:

w (x) = A \cdot \sin (α \cdot x) + \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{{(π^{2} - αL)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π x}{L})

Zredukowane równanie różniczkowe dla ugięcia z imperfekcjami

Ponieważ obciążenie wyboczeniowe Eulera ' musi wystąpić dla A 0, a imperfekcja musi znów być nieskończenie mała, konieczne jest uwzględnienie przypadku A = 0!

Zatem równanie ma postać:

w (x) = \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(αL)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

Równanie różniczkowe linii zginania dla zastosowanych imperfekcji

Teraz można obliczyć równowagę sił wewnętrznych i zewnętrznych:

M (x) = N \cdot [w (x) + e (x)]

M (x) = N \cdot (\frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} + 1) \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot (\frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} + \frac{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}) \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{(α \cdot L)^{2} + π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{π^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{1}{1 - \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2}}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

α = \sqrt{\frac{N}{EI}} = > N \cdot \frac{1}{1 - \frac{N \cdot L^{2}}{{EIπ}^{2}}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

Wyznaczanie maksymalnego momentu zginającego w funkcji siły osiowej

Korzystając z obciążenia wyboczeniowego Eulera's i obliczając wartości ekstremalne, uzyskuje się maksymalny moment zginający.

M (x) = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

M^{'} (x) = \frac{π}{L} \cdot \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} \cdot \cos (\frac{π \cdot x}{L}) = 0

\cos (\frac{π \cdot x}{L}) = 0 = > x = 0

M (x = 0) = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} = M_{max}

Wyznaczanie wartości ekstremalnej momentu zginającego

Współczynnik powiększenia (1-N/N_cr )^-1 nazywany jest współczynnikiem Dischingera.

W celu zapewnienia jak najdokładniejszych wyników stosowany jest powierzchniowy moment bezwładności, który pominie środnik. Ponadto, do obliczania uszkodzenia wyboczeniowego, w zależności od gatunku stali i stosunków wymiarów przekroju (krzywe wyboczeniowe), wykorzystywane są inne współczynniki imperfekcji, na podstawie uplastycznionych pasów. Z tego względu można wybrać krzywą wyboczenia jako uproszczony typ klasyfikacji przekrojów, co ogranicza stosowanie przekrojów uplastyczniających w przypadku przekrojów podatnych na wyboczenie. Dla uproszczenia przyjęto interakcję liniową.

Liniowa interakcja M/N

Uproszczony promień bezwładności obliczany jest w następujący sposób:

i = \sqrt{\frac{I}{A}} = \sqrt{\frac{2 \cdot ((b \cdot tf) \cdot {(\frac{h}{2})}^{2}}{2 \cdot (b \cdot tf)}} = \frac{h}{2}

Promień bezwładności bez środnika

W tym przypadku uwzględniane są tylko składowe Steinera dla pasów względem osi mocnej.

Teraz w równaniu interakcji liniowej można zastosować równanie na maksymalny moment w funkcji idealnego obciążenia wyboczeniowego:

\frac{\frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0}}{N_{pl} \cdot \frac{h}{2}} + \frac{N}{N_{pl}} = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot \frac{N}{N_{pl}} \cdot \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}} + \frac{N}{N_{pl}} = 1

N	Maksymalna siła osiowa przed wyboczeniem
e₀	Wybrane odkształcenie wstępne
N_cr	Krytyczne obciążenie wyboczeniowe
N_pl	Nośność plastyczna przy obciążeniu osiowym
h	wysokość przekroju

Wstawienie równania momentu zależnego od obciążenia sprężystego przy wyboczeniu do wzoru na interakcję

Ponadto wprowadzono następujące stałe:

χ = \frac{N}{N_{pl}}; λ = \frac{N_{pl}}{N_{cr}}; \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}}; e_{0} = \frac{L}{m}; α = \frac{λ_{1}}{m}

= > \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}} = \frac{(\frac{L}{m})}{i} = \frac{(\frac{L}{i})}{m} = \frac{λ}{m} = \frac{\bar{λ} \cdot λ_{1}}{m} = \bar{λ} \cdot α

e₀	Deformacja wstępna
L	Konstrukcyjna długość pręta
λ₁	Smukłość graniczna
α	Współczynnik imperfekcji na podstawie różnych krzywych wyboczenia
λ	smukłość
λ ‾	Powiązana smukłość
m	Dzielnik odkształcenia wstępnego dostosowany do krzywych wyboczenia

Współczynniki

W tym przypadku dla α zostaje zastosowana wartość wyznaczona na podstawie badań:

KB 001897 | Imperfektionsbeiwerte der Knicklinien

Współczynniki imperfekcji krzywych wyboczenia

Po podstawieniu stałych w równaniu interakcji liniowej otrzymujemy następujący składnik:

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ = 1

χ	Współczynnik redukcyjny ze stosunku siły osiowej, przy której słup ulega uszkodzeniu w wyniku wyboczenia giętnego do nośności plastycznej
α	Współczynnik imperfekcji wynika ze stosunku smukłości granicznej do amplitudy imperfekcji.
λ^-	Smukłość graniczna

Równanie dla współczynnika redukcyjnego opartego na interakcji liniowej M/N

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ = 1 | - 1

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ - 1 = 0 | \cdot 1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}

= > χ^{2} - \frac{2 ϕ}{λ^{2}} \cdot χ + \frac{1}{λ^{2}} = 0

χ_{1, 2} = + \frac{ϕ}{λ^{2}} \pm \sqrt{{(\frac{ϕ}{λ^{2}})}^{2} - \frac{1}{λ^{2}}} = \frac{ϕ}{λ^{2}} \pm \frac{1}{λ^{2}} \cdot \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}} = \frac{1}{λ^{2}} (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})

= \frac{1}{λ^{2}} \cdot \frac{(ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}}) \cdot (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})}{\cdot (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})} = \frac{1}{λ^{2}} \cdot \frac{ϕ^{2} - (ϕ^{2} - λ^{2})}{(ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})}

χ = \frac{1}{ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}}}

Obliczanie równania kwadratowego dla wyboczenia giętnego

Odniesienia

Europejski Komitet Normalizacyjny. Design of Steel Structures - Part 1-1: Reguły ogólne dla budynków, EN 1993-1-1:2005. Bruksela: CEN.

;