1200x

001935

Ann-Kathrin Dannwerth, B.Sc.

2025-02-11

Прямой расчёт деформаций железобетонной балки с учётом ползучести и усадки

Данная статья рассматривает прямой расчет деформации железобетонной балки с учетом длительных воздействий ползучести и усадки. На примере одноопорной балки объясняется прямой расчет согласно Еврокоду 2 (EN 1992-1-1, пункт 7.4.3). Особое внимание уделяется усилению натяжением, поведению в треснувшем состоянии на основе коэффициента распределения (параметра повреждения), а также учету поведения при усадке и ползучести.

В этой статье проводится прямая расчётная деформация железобетонной балки с учётом длительных эффектов ползучести и усадки. На примере показано, как эти эффекты влияют на деформацию элемента и включаются в расчёт. Поясняется, какие входные данные в RFEM 6 необходимы для корректного учёта всех важных факторов и как коэффициент распределения влияет на жёсткость элемента.

Входные данные

Геометрия, армирование и нагрузка описаны следующими параметрами:

Система

Тип балки: однопролётная балка
Пролёт: l = 4,210 м

Поперечное сечение

Толщина пластины: h = 20 см
Ширина пластины b = 100 см
Материал: бетон C20/25 с E_cm = 30,000 MN/m² и сталь B 500A
Армирование: A_{s,-z,(нижн.)} = 4.45 см² с 7 ∅ 9 и d₁ = 30 мм
Рабочая высота нижнего армирования: d_{def,+z (нижн.)} = 17 см

Постоянные нагрузки

Собственный вес: g_s = 0,20 м ⋅ 1м ⋅ 25 кН/м³ = 5,00 кН/м
Покрытие и штукатурка: g_bp = 1,50 кН/м
Сумма: g_k,gesamt = 6,5 кН/м

Модель конструкции с визуализацией постоянных нагрузок и их распределения

Постоянные нагрузки

Изменяемые нагрузки

Рабочая нагрузка (офис): q_b = 2,00 кН/м с ψ₂ = 0,3
Балансирующая стена: q_t = 1,25 кН/м с ψ₂ = 1,0

Техническое изображение изменяющихся нагрузок с временными воздействиями

Переменные нагрузки

Квази-постоянная нагрузка

6,5 кН/м + 0,3 ⋅ 2,00 кН/м + 1,0 ⋅ 1,25 кН/м = 8,35 кН/м

Расчётный изгибающий момент для расчёта прогиба

M_y,Ed,def = 8,35 кН/м ⋅ (4,21 м)² / 8 = 18,50 кНм

Исходные значения для расчёта деформаций

Средний модуль упругости бетона: E_cm = 30.000 MN/m²

Изображение модуля упругости как соотношения напряжения и деформации

Модуль упругости

Продольный коэффициент армирования: ρ = A_s / A_c = 4,45 см² / (20 см ⋅ 100 см) = 0,223 %

Подробный вид расположения арматуры с видимой арматурной сталью

Расположение арматуры, подробный вид

Деформация усадки: ε_sh = -0,5 ‰
Число ползучести: φ = 2

Необходимо активировать опцию «Расширенные временные характеристики бетона» в настройках поперечного сечения, чтобы задать число ползучести вручную.

Изображение расширенных времязависимых характеристик материалов, иллюстрирующее поведение бетона со временем

Расширенные характеристики бетона, зависящие от времени

В доступной вкладке сначала необходимо установить галочки на «Ползучесть» и «Усадка», чтобы можно было просмотреть и изменить «Основные значения временных характеристик». Число ползучести φ было задано с помощью ввода φ₀, ϵ_cd,0 и ϵ_ca(∞).

Диалоговое окно для редактирования сечений железобетоннных конструкций | Опции ввода для ползучести и усадки

Диалоговое окно RFEM | Железобетонное сечение: Ползучесть и усадка

Ползучесть

Эффекты ползучести учитываются путем уменьшения модуля упругости E_c бетона.

Эффективный модуль упругости E_c,eff учитывает длительные эффекты бетона, особенно ползучесть. Ползучесть описывает долгосрочную деформацию бетона под постоянной нагрузкой. Число ползучести φ уменьшает модуль упругости E_cm (средний модуль упругости бетона), чтобы отразить фактическую жёсткость бетона на протяжении длительного времени. Это значение используется в дальнейших расчётах, таких как расчёт момента инерции или соотношения жёсткостей.

E_{c, eff} = \frac{E_{cm}}{1 + φ}

Эффективный модуль упругости по по 7.4.3 (5) форм. 7,20

E_c,eff = 30.000 MN/m² / (1 + 2) = 10.001,2 MN/m²

Эффективный модуль сдвига бетона G_c,eff Эффективный модуль сдвига описывает устойчивость бетона к деформациям сдвига и определяется соотношением поперечной деформации к продольной (коэффициентом поперечной деформации v бетона). Это значение особенно важно при расчётах деформаций поперечного сечения и доказательствах по сдвигу.

G_{c, eff} = \frac{E_{c, eff}}{2 \cdot (1 + ν)}

Эффективный модуль сдвига бетона

G_c,eff = 10.001,2 MN/m² / (2 ⋅ (1 + 0,2)) = 4.167,180 MN/m²

Соотношение модулей упругости для ненарушенного состояния (долговременная нагрузка) α_e,l Соотношение α_e,l показывает, насколько сталь более жесткая по сравнению с бетоном при долговременной нагрузке. E_s является модулем упругости стали, а E_c,l эффективным модулем упругости бетона в ненарушенном состоянии (идентично с E_c,eff). Поскольку бетон из-за таких длительных эффектов, как ползучесть, имеет меньшую жёсткость, значение α_e,l в этом состоянии выше. Это соотношение используется при расчёте центра тяжести и эффективных характеристик поперечного сечения.

α_{e, I} = \frac{E_{s}}{E_{c, I}}

Эффективный модульный коэффициент для состояния без трещин (длительная нагрузка)

α_e,l = 2 ⋅ 10⁵ MN/m² / 10.001,2 MN/m² = 20

Соотношение модулей упругости для ненарушенного состояния (кратковременная нагрузка) α_e,I,st Соотношение α_e,I,st описывает соотношение жёсткости стали к бетону при кратковременной нагрузке. В отличие от α_e,l, здесь используется средний модуль упругости E_cm без учёта эффектов ползучести. Это отражает фактическую нагрузочную ситуацию, когда бетон подвергается кратковременной нагрузке. Это значение особенно важно для доказательства кратковременных нагрузок.

α_{e, I, st} = \frac{E_{s}}{E_{cm}}

Эффективное модульное соотношение для состояния без трещин (кратковременная нагрузка)

α_e,I,st = 2 ⋅ 10⁵ MN/m² / 30.000 MN/m² = 6,67

Соотношение модулей упругости для повреждённого состояния α_e,II В повреждённом состоянии бетон в зоне растяжения считается неактивным. Соотношение α_e,II учитывает это, включая только эффективный модуль упругости E_c,eff бетона. Это значение показывает, что жёсткость стали по сравнению с бетоном в повреждённом состоянии выше, что подчеркивает важность армирования в таких случаях.

α_{e, II} = \frac{E_{s}}{E_{c, eff}}

Эффективное соотношение модулей для состояния с трещинами

α_e,II = 2 ⋅ 10⁵ MN/m² / 10.001,2 MN/m² = 20,00

Геометрические параметры ненарушенного состояния

Центр тяжести идеального поперечного сечения в ненарушенном состоянии под долговременной нагрузкой, z_I, описывает положение центра тяжести с учётом бетонной площади и армирования. При этом влияние армирования масштабируется коэффициентом пересчёта α_e,l, который представляет соотношение между модулем упругости стали и эффективным модулем упругости бетона. Это особенно важно, поскольку долговременные нагрузки, такие как ползучесть, ослабляют бетон. Центр тяжести влияет на расчёт моментов и деформаций в поперечном сечении и, таким образом, является центральным параметром для статического анализа.

z_{I} = \frac{\frac{b \cdot h^{2}}{2} + α_{e, I} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} \cdot d_{ef, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot d_{ef, - z, (oben)})}{b \cdot h + α_{e, I} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})}

Расстояние от центра тяжести до теоретического сечения в нерастрескавшемся состоянии при длительной нагрузке

Эффективная площадь поперечного сечения в ненарушенном состоянии под долговременной нагрузкой, A_I, представляет собой эффективную площадь, которая несёт нагрузки. Помимо бетонной площади, также учитывается площадь армирования, которая увеличивается на коэффициент α_e,l. Таким образом, жёсткость поперечного сечения отображается более реалистично. Это значение является решающим для оценки несущей способности и расчёта деформации элемента.

A_{I} = b \cdot h + α_{e, I} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})

Эффективная площадь сечения в ненарушенном состоянии при длительном воздействии

A_I = 1.000 мм ⋅ 200 мм + 20 ⋅ (4,45 см² + 0 см²) = 2.089,05 см²

Эффективный момент инерции идеального центра тяжести в ненарушенном состоянии под долговременной нагрузкой, I_I, описывает устойчивость поперечного сечения к изгибу. Он учитывает как бетонную площадь, так и армирование, причём последнее создаёт дополнительные моменты из-за своего положения относительно центра тяжести. Этот момент инерции является центральным фактором для расчёта деформации и показывает, насколько сильно поперечное сечение может противостоять изгибающим моментам.

I_{I} = b \cdot \frac{h^{3}}{12} + b \cdot h \cdot (z_{I} - \frac{h}{2}) ² + α_{e, I} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} \cdot {(d_{ef, - z, (unten)} - z_{I})}^{2} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot {(z_{I} - d_{ef, - z, (oben)})}^{2})

Эффективный момент инерции идеального центра тяжести в нераскрывшемся состоянии при длительном воздействии нагрузки

I_{I} = \frac{1000 mm \cdot {(200 mm)}^{3}}{12} + 1000 mm \cdot 200 mm \cdot {(103 mm - \frac{200 mm}{2})}^{2} + 20 \cdot (4.45 {cm}^{2} \cdot {(170 mm - 103 mm)}^{2} + 0) = 70844.30 {cm}^{4}

Пример: Момент инерции эффективного условного центра тяжести в нерасчетном состоянии под нагрузкой длительного воздействия

Эксцентриситет идеального центра тяжести поперечного сечения в ненарушенном состоянии, e_I, указывает на отклонение центра тяжести от геометрического центра поперечного сечения. Этот эксцентриситет важен, так как он влияет на моменты, возникающие в поперечном сечении, что напрямую влияет на деформации.

e = z_{I} - \frac{h}{2}

Эксцентриситет идеального центра тяжести сечения в состоянии без трещин

e_I = 103 мм - 200 мм / 2 = 3 мм

Центр тяжести идеального поперечного сечения в ненарушенном состоянии под кратковременной нагрузкой, z_I,st, описывает положение центра тяжести под нагрузками, при которых не учитываются эффекты ползучести или усадки. Коэффициент пересчёта α_e,I,st, используемый в краткосрочном расчёте, поэтому меньше, чем при долговременных нагрузках. Это положение центра тяжести имеет решающее значение для распределения нагрузок и определения моментов при кратковременных нагрузках.

z_{I, st} = \frac{b \cdot \frac{h}{2} + α_{e, I, st} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} \cdot d_{ef, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot d_{ef, - z, (oben)})}{b \cdot h + α_{e, I, st} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})}

Эквивалентное расстояние центра тяжести невозмущенного сечения под кратковременной нагрузкой

z_{I, st} = \frac{1000 mm \cdot \frac{200 mm}{2} + 6.67 \cdot (4.45 {cm}^{2} \cdot 170 mm + 0)}{1000 mm \cdot 200 mm + 6.67 \cdot (4.45 {cm}^{2} + 0)} = 101 mm

Пример: Расстояние от центра тяжести идеального сечения в состоянии без трещин при кратковременной нагрузке

Эффективная площадь поперечного сечения в ненарушенном состоянии при кратковременной нагрузке, A_I,st, аналогична площади A_I, но корректируется коэффициентом пересчёта α_e,I,st, который не учитывает долговременные эффекты. Это приводит к меньшей площади и влияет на расчёт несущей способности при кратковременных нагрузках.

A_{I, st} = b \cdot h + α_{e, I, st} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})

Эффективная площадь сечения в ненарушенном состоянии при кратковременной нагрузке

A_I,st = 1000 мм ⋅ 200 мм + 6,67 ⋅ (4,45 см² + 0 см²) = 2.029,69 см²

Эффективный момент инерции идеального центра тяжести в ненарушенном состоянии при кратковременной нагрузке, I_I,st, представляет собой устойчивость поперечного сечения к изгибу без учёта долговременных эффектов. Он учитывает как бетонную, так и армированную площадь и их расстояния от центра тяжести, что важно для расчёта деформации под краткосрочными нагрузками.

I_{I, st} = \frac{b \cdot h^{3}}{12} + b \cdot h \cdot {(z_{I, st} - \frac{h}{2})}^{2} + α_{e, I, st} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} \cdot {(d_{ef, - z, (unten)} - z_{1, st})}^{2} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot {(z_{1, st} - d_{ef, - z, (oben)})}^{2})

Эффективный момент инерции воображаемого центра тяжести в нерастрескавшемся состоянии при кратковременной нагрузке

I_{I, st} = \frac{1000 mm \cdot {(200 mm)}^{3}}{12} + 1000 mm \cdot 200 mm \cdot {(101 mm - \frac{200 mm}{2})}^{2} + 6.67 \cdot (4.45 {cm}^{2} \cdot {(170 mm - 101 mm)}^{2} + 0) = 68100.10 {cm}^{4}

Пример: эффективный момент инерции текущего центра тяжести в нерасколенном состоянии при кратковременной нагрузке

Геометрические параметры повреждённого состояния

Центр тяжести идеального поперечного сечения в повреждённом состоянии, z_II, учитывает изменённую несущую способность поперечного сечения, так как бетонная зона растяжения после образования трещин больше не несёт нагрузки. Положение центра тяжести пересчитывается с учётом только компрессионной зоны бетона и армирования. Этот параметр является центральным для анализа поперечного сечения после трещины и влияет на несущую способность и деформацию.

z_{II} = \frac{\frac{b \cdot {x_{II}}^{2}}{2} + α_{e, II} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} \cdot d_{ef, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot d_{ef, - z, (oben)})}{b \cdot x_{II} + α_{e, II} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})}

Расстояние до центра тяжести идеального сечения в созоянии трещин

z_{II} = \frac{\frac{1000 mm \cdot {(46.8 mm)}^{2}}{2} + 20 \cdot (4.45 {cm}^{2} \cdot 170 mm + 0)}{1000 mm \cdot 46.8 mm + 20 \cdot (4.45 {cm}^{2} + 0)} = 46.8 mm

Пример: Расстояние от центра тяжести идеального сечения в состоянии с трещинами

Эффективная площадь поперечного сечения в повреждённом состоянии, A_II, представляет собой оставшуюся площадь после образования трещин. Здесь учитывается только бетонная компрессионная зона и армированная площадь, что значительно снижает жёсткость поперечного сечения. Это значение решающе для анализа несущей способности повреждённых сечений.

A_{II} = b \cdot x_{II} + α_{e, II} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})

Действенная площадь сечения в растрескавшемся состоянии

A_II = 1.000 мм ⋅ 46,8 мм + 20 ⋅ (4,45 см² + 0) = 557,41 см²

Эффективный момент инерции идеального центра тяжести в повреждённом состоянии, I_II, описывает устойчивость к изгибу после образования трещин. Поскольку зона растяжения больше не является несущей, момент инерции значительно сокращается. Это значение является ключевым фактором для расчёта деформации и оценки несущей способности повреждённых сечений.

I_{II} = \frac{b \cdot {x_{II}}^{3}}{12} + b \cdot x_{II} \cdot (z_{II} - \frac{x_{II}}{2})^{2} + α_{e, II} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} \cdot ((d_{ef, - z, (unten)} - z_{II})^{2} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot (z_{II} - d_{ef, - z, (oben)})^{2})

Эффективный момент инерции идеального центра тяжести в трещиностойком состоянии

I_{II} = \frac{1000 mm \cdot {(46.8 mm)}^{3}}{12} + 1000 mm \cdot 46.8 mm \cdot {(46.8 mm - \frac{46.8 mm}{2})}^{2} + 20 \cdot 4.45 {cm}^{2} \cdot {(170 mm - 46.8 mm)}^{2} + 0 = 16933.50 {cm}^{4}

Пример: приведенный момент инерции идеального центра тяжести в треснувшем состоянии

Эксцентриситет идеального центра тяжести поперечного сечения в повреждённом состоянии, e_II, описывает смещение центра тяжести из-за образования трещин. Это смещение влияет на возникающие моменты и деформацию сечения и, следовательно, является важным параметром для статического анализа.

e_{II} = z_{II} - \frac{h}{2}

Эксцентриситет идеального центра тяжести сечения в состоянии с трещинами

e_II = 46,8 мм - 200 мм / 2 = -53,2 мм

Усадка

Нормальная сила из-за усадки, N_sh, возникает, потому что армирование не участвует в деформации бетона, вызванной усадкой, и, таким образом, воспринимает силы. Эти силы являются результатом взаимодействия между бетонной растягивающей силой и реакцией армирования. Полученное значение показывает, насколько сильно армирование подвергается нагрузке из-за усадки. В этом месте используется косвенно заданная усадочная деформация ε_sh = -0,5 ‰.

N_{sh} = - E_{s} \cdot ε_{sh} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})

Осьовая сила из усадки

N_sh = -2 ⋅ 10⁵ MN/m² ⋅ (-0,000.5) ⋅ (4,45 см² + 0,00) = 44,532 kN

Эксцентриситет усадочной силы к центру тяжести идеального поперечного сечения в ненарушенном состоянии, e_sh,I, описывает расположение результирующей усадочной силы относительно центра тяжести поперечного сечения. Больший эксцентриситет приводит к более высоким моментам и большим деформациям.

e_{sh, I} = \frac{A_{s, def, - z, (unten)} \cdot d_{ef, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot d_{ef, - z, (oben)}}{A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)}} - z_{1}

Эксцентриситет усадочной силы к центру тяжести идеальной секции в ненарушенном состоянии

e_sh,I = (4,45 см² ⋅ 170 мм + 0) / (4,45 см² + 0) - 103 мм = 67 мм

Усадочный момент для ненарушенного состояния, M_sh,I, возникает из усадочной силы N_sh и эксцентриситета e_sh,I. Он показывает, как усадочная сила создаёт момент, воздействуя на поперечное сечение. Этот момент значительно влияет на деформации и напряжения в поперечном сечении и должен быть учтён при расчёте.

M_{sh, I} = N_{sh} \cdot e_{sh, I}

Момент усадки для состояния без трещин

M_sh,I = 44,532 kN ⋅ 67 мм = 2,98 kNm

Диаграмма, показывающая распределение усилий Nsh и Msh по конструктивному элементу.

Анализ внутренних сил: N_sh и M_sh

Коэффициент кривизны для ненарушенного состояния k_sh,I указывает на то, как усадочный момент влияет на деформации элемента в зависимости от нормальной силы и эксцентриситета. Он показывает, как распределение усадочной силы и расположение центра тяжести влияют на деформации элемента. Это значение является ключевым для полноты описания деформаций поперечного сечения из-за усадки.

k_{sh, I} = \frac{M_{sh, I} + M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot e_{I}}{M_{y, Ed, def} - N_{Ed} - e_{I}}

Коэффициент кривизны для состояния без трещин

k_sh,I = (2,98 kNm + 18,5 kNm - 0) / (18,50 kNm – 0) = 1,161

Эксцентриситет усадочной силы к центру тяжести идеального поперечного сечения в повреждённом состоянии, e_sh,II, описывает расположение результирующей усадочной силы относительно центра тяжести поперечного сечения в повреждённом состоянии. При этом учитываются моменты площадей армирования, A_{s,def, +z,(нижн.)} и A_{s,def, -z,(верхн.)}, по их положению d_{ef, +z,(нижн.)} и d_{ef, -z,(верхн.)}, и делятся на всю площадь армирования. Из результата вычитается центр тяжести повреждённого сечения, z_II. Этот эксцентриситет влияет на усадочный момент, так как больший эксцентриситет приводит к большему моменту.

e_{sh, II} = \frac{A_{s, def, + z, (unten)} \cdot d_{ef, + z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot d_{ef, - z, (oben)}}{A_{s, def, + z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)}} - z_{II}

Эксцентриситет усадочной силы к центру тяжести идеального сечения в растрескавшемся состоянии

e_sh,II = (4,45 см² ⋅ 170 мм + 0) / (4,45 см² + 0) – 46,8 мм = 123,2 мм

Изгибающий момент из-за нормальной силы N_sh для повреждённого состояния, M_sh,II, определяется умножением усадочной силы N_sh на ранее рассчитанный эксцентриситет e_sh,II. Этот момент описывает дополнительное изгибающее влияние, которое усадочная сила оказывает на поперечное сечение. Особенно в повреждённом состоянии, когда бетонная зона растяжения больше не несёт нагрузки, это значение имеет значение.

M_{sh, II} = N_{sh} \cdot e_{sh, II}

Изгибающий момент от осевой силы_Nsh для состояния с трещинами

M_sh,II = 44,532 kN ⋅ 123,2 мм = 5,48 kNm

Коэффициент кривизны для повреждённого состояния, k_sh,II, указывает на то, как сильно деформация поперечного сечения подвергается воздействию усадочного момента и других воздействующих сил. При этом учитываются усадочный момент M_sh,II, существующий изгибающий момент M_y,Ed,def, а также нормальная сила N_Ed и её эксцентриситет e_II. Расчёт приводит результирующий момент к отношению к моменту без усадки, давая, таким образом, меру влияния усадочной силы.

k_{sh, II} = \frac{M_{sh, II} + M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot e_{II}}{M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot e_{II}}

Коэффициент кривизны для состояния с трещинами

k_sh,II = (5,48 kNm + 18,50 kNm - 0) / (18,50 kNm - 0) = 1,296

Деформация поперечного сечения

Деформация поперечного сечения описывает кривизну элемента, вызванную внешними воздействиями, с учётом его материальных и статусных параметров.

Расчёт деформации поперечного сечения в ненарушенном состоянии, κ_I, описывает кривизну поперечного сечения, возникающую из-за усадочного момента и эластичных свойств материала. При этом учитывается усадочный момент M_y,Ed,def, а также нормальная сила N_Ed и её эксцентриситет e_I. Эти величины умножаются на коэффициент k_sh,I, который описывает влияние усадочного момента в ненарушенном состоянии. В знаменателе стоят эффективный модуль упругости бетона, E_c,eff, и момент инерции ненарушенного сечения, I_I, которые определяют жёсткость поперечного сечения.

κ_{I} = \frac{k_{sh, I} \cdot (M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot e_{I})}{E_{c, eff} \cdot I_{I}}

Расчет деформации сечения в состоянии без трещин

κ_I = (1,161 ⋅ (18,50 kNm - 0)) / (10.001,2 MN/m² ⋅ 70.844,30 см⁴) = 3 мрад/м

Расчёт деформации поперечного сечения в повреждённом состоянии, κ_II, показывает кривизну поперечного сечения после образования трещин, учитывая усадочный момент и уменьшенную несущую способность повреждённого сечения. При этом учитываются усадочный момент M_y,Ed,def, нормальная сила N_Ed и её эксцентриситет e_II, умноженные на коэффициент k_sh,II, который описывает влияние усадочного момента в повреждённом состоянии. В знаменателе находятся эффективный модуль упругости бетона, E_c,eff, и уменьшенный момент инерции повреждённого сечения, I_II, которые отражают уменьшенную жёсткость поперечного сечения. Деформация поперечного сечения в повреждённом состоянии заметно больше, чем в ненарушенном, из-за уменьшенной жёсткости повреждённого сечения.

κ_{II} = \frac{k_{sh, II} \cdot (M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot e_{II})}{E_{c, eff} \cdot I_{II}}

Расчет деформации сечения в состоянии с трещинами

κ_II = (1,296 ⋅ (18,50 kNm - 0)) / (10.001,2 MN/m² ⋅ 16.933,50 см⁴) = 14,2 мрад/м

Конечное состояние

Конечное состояние описывает максимальные напряжения, которые могут возникнуть в ненарушенном поперечном сечении как при долговременных, так и кратковременных нагрузках, чтобы обеспечить устойчивость и эксплуатационную пригодность элемента.

Максимальное напряжение в ненарушенном состоянии при долговременной нагрузке, σ_max,It, описывает наибольшее напряжение, которое может возникнуть в ненарушенном сечении вследствие долговременных нагрузок. Оно состоит из двух частей:

вклад нормальных сил N_Ed и N_sh
вклад изгибающих моментов M_y,Ed,def, M_sh,I и момента, возникающего из-за эксцентриситета (z_I - h/2) нормальной силы N_Ed.

Вторая часть усиливается моментом инерции I_I и расстоянием (h — z_I).

σ_{\max, It} = \frac{N_{Ed} + N_{sh}}{A_{I}} + \frac{M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot (z_{I} - h / 2) + M_{sh, I}}{I_{I}} \cdot (h - z_{I})

Максимальное напряжение в состоянии без трещин при длительной нагрузке

σ_{\max, lt} = \frac{0 + 44.532 kN}{2, 089.05 {cm}^{2}} + \frac{18.50 kNm - 0 + 2.98 kNm}{70, 844.30 {cm}^{4}} \cdot (200 mm - 103 mm) = 3.155 MN / m^{2}

Пример: Максимальное напряжение в состоянии без трещин при длительной нагрузке

Максимальное напряжение в ненарушенном состоянии при кратковременной нагрузке, σ_max,st, указывает на наибольшее напряжение в сечении под кратковременными нагрузками. В отличие от долговременной нагрузки, здесь учитываются только нормальная сила N_Ed и M_y,Ed,def, так как нет разрушающих влияний от усадки.

σ_{\max, st} = \frac{N_{Ed}}{A_{I, st}} + \frac{M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot (z_{I, st} - h / 2)}{I_{I, st}} \cdot (h - z_{I, st})

Максимальное напряжение в состоянии без трещин при кратковременной нагрузке

σ_{\max, st} = \frac{0}{2029.69 {cm}^{2}} + \frac{18.50 kNm - 0}{68, 100.10 {cm}^{4}} \cdot (200 mm - 101 mm) = 2.689 MN / m^{2}

Пример: Максимальное напряжение в состоянии без трещин при кратковременной нагрузке

Максимальное напряжение в ненарушенном состоянии, σ_max, является большим из двух значений напряжений от долговременной и кратковременной нагрузок. Оно обеспечивает учёт наиболее высокой возможной нагрузки на сечение.

σ_{\max} = \max (σ_{\max, I}; σ_{\max, st})

Максимальное напряжение в состоянии без трещин

σ_max = max(3,155 MN/m²; 2,689 MN/m²) = 3,155 MN/m²

Коэффициент распределения (параметр повреждения), ζ_d, описывает переход между поведением сечения в ненарушенном и повреждённом состоянии. Он рассчитывается как соотношение между характерной прочностью бетона на растяжение, f_ctm, и максимальным напряжением, σ_max. При этом учитывается нелинейность с помощью экспоненциальной зависимости.

ζ_{d} = 1 - β \cdot (f_{ctm} / σ_{\max}) ²

β	Длительность нагрузки или коэффициент повторения

параметр повреждения по 7.4.3 (3) формула 7,19

ζ_d = 1 – 0,5 ⋅ (2,200 MN/m² / 3,155 MN/m²)² = 0,757 ≤ 1 при: β = 1,0 (кратковременная нагрузка) β = 0,5 (долговременная нагрузка или множество циклов повторяющихся нагрузок) Если коэффициент распределения ζ_d = 1, то элемент полностью находится в повреждённом состоянии. Если же ζ_d равен 0, то бетон полностью ненарушен.

Инфо

Прямая расчётная деформация зависит от коэффициента распределения. Дополнительные советы можно найти в статье Коэффициент распределения ζ при расчёте деформаций железобетонных элементов.

Схематическое изображение коэффициента распределения в диаграмме распределения нагрузок

Коэффициент распределения — расчёт и изображение

Для расчёта коэффициента распределения ζ_d важно, какой вариант был выбран для определения состояния трещин. Опция "Состояние трещин вычисляется на основе соответствующей нагрузки" приводит к тому, что состояние трещин (коэффициент распределения ζ_d) рассчитывается исключительно на основе текущей нагрузки (нагрузочная комбинация) – как в этом примере. Другие опции описаны более подробно в руководстве.

Обнаружение трещин в элементах конструкции

Анализ трещиностойкости

Кривизна поперечного сечения, κ_f, рассчитывается путём интерполяции между повреждённым (κ_II) и ненарушенным (κ_I) состоянием, взвешенным коэффициентом распределения, ζ_d. Это позволяет реалистично описать кривизну в переходном состоянии.

κ_{f} = ζ_{d} \cdot κ_{II} + (1 - ζ_{d}) \cdot κ_{I}

Кривизна сечения по 7.4.3 (3), уравнение 7.18

κ_f = 0,757 ⋅ 14,2 мрад/м + (1 – 0,757) ⋅ 3 мрад/м = 11,5 мрад/м

Идеальная площадь поперечного сечения, A_f, описывает переход между ненарушенной площадью поперечного сечения, A_I, и площадью повреждённого поперечного сечения, A_II. Также здесь происходит взвешивание с помощью коэффициента распределения, ζ_d.

A_{f} = \frac{A_{I} \cdot A_{II}}{ζ_{d} \cdot A_{I} + (1 - ζ_{d}) \cdot A_{II}}

Идеальная площадь сечения

A_{f} = \frac{2, 089.05 {cm}^{2} \cdot 557.41 {cm}^{2}}{0.757 \cdot 2089.05 {cm}^{2} + (1 - 0.757) \cdot 557.41 {cm}^{2}} = 678.30 {cm}^{2}

Пример: Идеальная площадь сечения

Идеальный момент инерции, I_y,f, описывает момент сечения с учётом коэффициента распределения, ζ_d, а также моментов инерции в ненарушенном, I_I, и повреждённом, I_II, состояниях. Дополнительно учитываются факторы, такие как k_sh,II и k_sh,I, которые учитывают влияния усадки в соответствующем состоянии.

I_{y, f} = \frac{I_{I} \cdot I_{II}}{ζ_{d} \cdot I_{I} \cdot k_{sh, II} + (1 - ζ_{d}) \cdot I_{II} \cdot k_{sh, I}}

Идеальный момент инерции

I_{y, f} = \frac{70.844, 3 {cm}^{4} \cdot 16.933, 5 {cm}^{4}}{(0, 757 \cdot 70.844, 30 {cm}^{4} \cdot 1, 296 + (1 - 0, 757) \cdot 16.933, 50 {cm}^{4} \cdot 1, 161)} = 16.145, 50 {cm}^{4}

Пример: Момент идеальной инерции

Эксцентриситет центра тяжести, e_f, описывает расположение результирующего центра тяжести поперечного сечения на основе перехода между ненарушенным и повреждённым состоянием. Он учитывает коэффициент распределения, ζ_d, а также эффективные модули упругости, E_c,eff, и моменты инерции, I_I и I_II.

e_{f} = \frac{ζ_{d} \cdot E_{c, eff} \cdot I_{I} \cdot e_{I} + (1 - ζ_{d}) \cdot E_{c, eff} \cdot I_{II} \cdot e_{II}}{ζ_{d} \cdot E_{c, eff} \cdot I_{I} + (1 - ζ_{d}) \cdot E_{c, eff} \cdot I_{II}}

Эксцентриситет центра тяжести

e_{f} = \frac{0.757 \cdot 10, 001.2 MN / m^{2} \cdot 70, 844.30 {cm}^{4} \cdot (- 53.2 mm) + (1 - 0.757) \cdot 10, 001.2 MN / m^{2} \cdot 16, 933.50 {cm}^{4} \cdot 3 mm}{0.757 \cdot 10, 001.2 MN / m^{2} \cdot 70, 844.30 {cm}^{4} + (1 - 0.757) \cdot 10, 001.2 MN / m^{2} \cdot 16, 933.50 {cm}^{4}} = - 49.2 mm

Пример: Эксцентриситет центра тяжести

Идеальный момент инерции к геометрическому центру поперечного сечения, I_y,0,f, учитывает дополнительно к идеальному моменту инерции, I_y,f, и идеальной площади поперечного сечения, A_f, также смещение центра тяжести из-за эксцентриситета, e_f. Это смещение учитывается с помощью части Стефана от A_f.

I_{y, 0, f} = I_{y, f} + A_{f} \cdot {e_{f}}^{2}

Идеальный момент инерции к геометрическому центру сечения

I_y,0,f = 16.145,50 см⁴ + 678,30 см² ⋅ (-49,2 мм)² = 32.538,80 см⁴

Конечные жёсткости

Конечные жёсткости элемента описывают его сопротивление деформациям и вращениям при различных нагрузках. Рассматриваются как осевые, так и изгибные жёсткости, а также крутильные и сдвиговые жёсткости. Эти значения служат основой для анализа поведения элемента и его пригодности в эксплуатации.

Тангенциальная мембранная жёсткость, EA_f, описывает осевую жёсткость поперечного сечения с учётом эффективного модуля упругости бетона, E_c,eff, и идеальной площади поперечного сечения, A_f.

{EA}_{f} = E_{c, eff} \cdot A_{f}

Касательная жесткость мембраны

EA_f = 10.001,2 MN/m² ⋅ 678,30 см² = 678.387 кН

Тангенциальная изгибная жёсткость, EI_y,0,f, описывает устойчивость сечения к изгибу относительно идеального центра тяжести. Она определяется эффективным модулем упругости бетона, E_c,eff, и идеальным моментом инерции, I_y,0,f.

{EI}_{y, 0, f} = E_{c, eff} \cdot I_{y, 0, f}

Касательная изгибная жесткость

EI_y,0,f = 10.001,2 MN/m² ⋅ 32.538,80 см⁴ = 3.254,28 кНм²

Тангенциальная изгибная жёсткость, EI_z,0,f, описывает устойчивость сечения к изгибу относительно локальной оси z. Она определяется эффективным модулем упругости бетона, E_c,eff, и моментом инерции относительно оси z, I_z.

{EI}_{z, 0, f} = E_{c, eff} \cdot I_{z}

Касательная изгибная жесткость

EI_z,0,f = 10.001,2 MN/m² ⋅ 1.666.670 см⁴ = 166.687 кНм²

Диалог RFEM | Визуализация результатов и распределения жёсткости для технической оценки

Диалоговое окно RFEM Характеристики жёсткостей

Фактор r описывает уменьшение жёсткости на сдвиг, основываясь на соотношении идеальных моментов инерции I_f и I_I.

r = \frac{I_{f}}{I_{I}}

Коэффициент r

r = 16.145,50 см⁴/70.844,30 см⁴ = 0,228

Жёсткость на сдвиг относительно оси y, GA_y,f, учитывает эффективный модуль сдвига бетона, G_c,eff, площадь поперечного сечения A_c,y и коэффициент снижения r.

{GA}_{y, f} = G_{c, eff} \cdot A_{c, y} \cdot r

Жёсткость на сдвиг относительно оси y

GA_y,f = 4.167,18 MN/m² ⋅ 1.666,67 см² ⋅ 0,228 = 158284 кН

Жёсткость на сдвиг относительно оси z, GA_z,f, рассчитывается аналогично жёсткости на ось y.

{GA}_{z, f} = G_{c, eff} \cdot A_{c, z} \cdot r

Жесткость на сдвиг относительно оси z

GA_z,f = 4.167,18 MN/m² ⋅ 1.666,67 см² ⋅ 0,228 = 158.284 кН

Крутильная жёсткость, GI_T,f, в рассматриваемом случае соответствует крутильной жёсткости в ненарушенном состоянии, GI_T,I.

{GI}_{T, f} = {GI}_{T, I}

жесткость поворотной пружины

GI_T,f = 7.770 кНм²

Экстрацентральный элемент жёсткости, ES_y, описывает дополнительное напряжение поперечного сечения из-за эксцентриситета e_f. Оно рассчитывается умножением осевой жёсткости EA_f на эксцентриситет e_f.

{ES}_{y, f} = {EA}_{f} \cdot e_{f}

внецентренный элемент жесткости

ES_y = 678.387 кН ⋅ (-49,2 мм) = -33.350,20 кНм

Прогиб

Для обеспечения эксплуатационной пригодности фактическая деформация сравнивается с допустимыми предельными значениями. При этом общая деформация корректируется на предыдущее кривизну и проверяется на соответствие установленным пределам.

При расчёте прогиба основное сочетание нагрузок рассматривается без временных эффектов, таких как ползучесть и усадка (кратковременно), в то время как соответствующие комбинации нагрузок всегда рассчитываются с временными характеристиками (долговременно). Если существует более одной соответствующей нагрузки, основой берётся прогиб той нагрузки, который имеет наибольшее значение.

Предельный прогиб в направлении z, u_z,lim, рассчитывается с помощью эталонной длины в направлении z, L_z,ref, и критерия предельного прогиба, L_z,ref/u_z,lim.

u_{z, \lim} = \frac{L_{z, ref}}{L_{z, ref} / u_{z, \lim}}

Предельный прогиб вдоль z

u_z,lim = 4,210 м / 250 = 16,8 мм

Прогиб в направлении z, u_z, получается из разницы общей прогиба, u_z,ges, и предыдущего кривизны в точке x, u_z,c.

u_{z} = u_{z, ges} - u_{z, c}

Прогиб вдоль z

u_z = 19,4 мм - 0 = 19,4 мм

График основной и предельной деформации прогиба

Результаты: Прогиб и предельный прогиб

Доказательство

η = \max (u_{z} / u_{z, \lim}; u_{y} / u_{y, \lim})

Расчет ограничений деформации железобетонных компонентов

η = max(19,4 мм / 16,8 мм; 0,0 мм / 16,8 мм) = 1,155 Так как η = 1,155 > 1, допустимый прогиб превышен!

Графическое представление деформации и использования пределов на сложной системе конструкций

Прогибы в ПС, искренние линии прогибов и использование

Заключение

Расчёт деформаций по приближённым методам, установленным в нормах, таким как расчёт деформаций согласно разделу 7.4.3 EN 1992-1-1, осуществляется с использованием эффективных жёсткостей, которые рассчитываются в конечных элементах в зависимости от предельного состояния (повреждённого или ненарушенного). Эти эффективные жёсткости являются основой для последующего расчёта деформаций элемента с использованием дальнейшего анализа методом конечных элементов.

Для определения эффективных жёсткостей рассматривается армированный бетонный поперечный сечение, где железобетонное сечение классифицируется на "поврежденное" или "ненарушенное" в зависимости от определённых значений усилий для предельного состояния пригодности. Влияние бетона между трещинами учитывается с помощью коэффициента распределения, например, согласно уравнению 7.19 (EN 1992-1-1). Поведение материала бетона при этом до прочности бетона на растяжение считается линейно-упругим, что достаточно точно для пригодности.

Учёт длительных эффектов ползучести и усадки происходит при определении эффективных жёсткостей на уровне поперечного сечения элемента, чтобы обеспечить реалистичное изображение деформаций под долговременными нагрузками.

Автор

Госпожа Даннверт поддерживает пользователей в службе поддержки клиентов и занимается развитием в области геотехники.

;