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001935

Ann-Kathrin Dannwerth, B.Sc.

2025-02-11

Calcolo diretto delle deformazioni di una trave in cemento armato considerando la viscosità e il ritiro

Il contributo tecnico tratta il calcolo diretto della deformazione di una trave in calcestruzzo armato considerando gli effetti a lungo termine di viscosità e ritiro. Utilizzando una trave su singola campata, viene illustrato il calcolo diretto secondo Eurocodice 2 (EN 1992-1-1, sezione 7.4.3). Particolare enfasi viene posta sul rafforzamento a trazione, il comportamento nello stato fessurato in base al fattore di distribuzione (parametro di danno) e la considerazione del comportamento di ritiro e viscosità.

In questo articolo tecnico viene effettuato il calcolo diretto della deformazione di una trave in cemento armato, tenendo conto anche degli effetti a lungo termine di fluage e ritiro. Tramite un esempio viene mostrato come questi effetti influenzano la deformazione di un componente e come entrano nel calcolo. Verrà spiegato quali input sono necessari in RFEM 6 per considerare correttamente tutti i fattori rilevanti e come il fattore di distribuzione influisce sulla rigidità del componente.

Dati di Input

Geometria, armatura e carico sono descritti dai seguenti parametri:

Sistema

Tipo di trave: Trave a campata singola
Luce: l = 4,210 m

Sezione trasversale

Spessore piastra: h = 20 cm
Larghezza piastra b = 100 cm
Materiale: Cemento C20/25 con E_cm = 30,000 MN/m² e B 500A
Armatura: A_s,-z,(sotto) = 4.45 cm² con 7 ∅ 9 e d₁ = 30 mm
Altezza utile dell'armatura inferiore: d_{def,+z (sotto)} = 17 cm

Carichi permanenti

Peso proprio: g_s = 0,20 m ⋅ 1m ⋅ 25 kN/m³ = 5,00 kN/m
Rivestimento e intonaco: g_bp = 1,50 kN/m
Somma: g_k,totale = 6,5 kN/m

Carichi permanenti

Carichi variabili

Carico utile (Ufficio): q_b = 2,00 kN/m con ψ₂ = 0,3
Compensazione parete divisoria: q_t = 1,25 kN/m con ψ₂ = 1,0

Carichi variabili

Carico quasi-permanente

6,5 kN/m + 0,3 ⋅ 2,00 kN/m + 1,0 ⋅ 1,25 kN/m = 8,35 kN/m

Momento flettente di calcolo per il calcolo delle deflessioni

M_y,Ed,def = 8,35 kN/m ⋅ (4,21 m)² / 8 = 18,50 kNm

Valori iniziali del calcolo delle deformazioni

Modulo elastico medio del calcestruzzo: E_cm = 30.000 MN/m²

Modulo di elasticità

Rapporto di armatura longitudinale: ρ = A_s / A_c = 4,45 cm² / ( 20 cm ⋅ 100 cm) = 0,223 %

Vista dettagliata della disposizione delle armature con barre in acciaio visibili

Disposizione dell'armatura nel dettaglio

Deformazione da ritiro: ε_sh = -0,5 ‰
Numero di fluage: φ = 2

L'opzione "Caratteristiche dipendenti dal tempo avanzate del calcestruzzo" deve essere attivata nelle impostazioni della sezione trasversale per poter impostare il numero di fluage in modo personalizzato.

Valori delle proprietà del materiale dipendenti dal tempo e comportamento del calcestruzzo nel tempo.

Proprietà avanzate del calcestruzzo dipendenti dal tempo

Nel pannello ora disponibile, devono essere selezionate le caselle "Fluage" e "Ritiro" per poter visualizzare e modificare i "Valori di base delle caratteristiche dipendenti dal tempo". Il numero di fluage φ è stato impostato qui tramite i valori φ₀, ϵ_cd,0 e ϵ_ca(∞).

Finestra di dialogo per la modifica delle sezioni di calcestruzzo armato | Opzioni di input per viscosità e ritiro

RFEM-Dialogo | Sezione in calcestruzzo: Creep e shrinkage

Fluage

Gli effetti del fluage sono catturati da una riduzione del modulo di elasticità E_c del calcestruzzo.

Il modulo elastico efficace E_c,eff tiene conto degli effetti a lungo termine del calcestruzzo, in particolare il fluage. Il fluage descrive la deformazione a lungo termine del calcestruzzo sotto un carico costante. Attraverso il numero di fluage φ, il modulo elastico E_cm (modulo elastico medio del calcestruzzo) viene ridotto, in modo che la rigidità effettiva del calcestruzzo venga rappresentata su un lungo periodo. Questo valore viene utilizzato in ulteriori calcoli come nel momento di inerzia o nel rapporto delle rigidità.

E_{c, eff} = \frac{E_{cm}}{1 + φ}

Modulo di elasticità efficace sec. a 7.4.3 (5) Eq. 7.20

E_c,eff = 30.000 MN/m² / ( 1 + 2 ) = 10.001,2 MN/m²

Modulo di taglio efficace del calcestruzzo G_c,eff Il modulo di taglio efficace descrive la resistenza del calcestruzzo alle deformazioni di taglio ed è determinato dal rapporto di deformazione laterale sulla deformazione longitudinale (il numero di Poisson del calcestruzzo). Questo valore è particolarmente importante nei calcoli delle deformazioni delle sezioni trasversali e nei requisiti di taglio.

G_{c, eff} = \frac{E_{c, eff}}{2 \cdot (1 + ν)}

Modulo di taglio efficace del calcestruzzo

G_c,eff = 10.001,2 MN/m² / ( 2 ⋅ ( 1 + 0,2 ) ) = 4.167,180 MN/m²

Rapporto dei moduli E per lo stato non fessurato (carico a lungo termine) α_e,l Il rapporto α_e,l indica quanto l'acciaio è più rigido rispetto al calcestruzzo sotto carico a lungo termine. E_s è il modulo elastico dell'acciaio, E_c,l è il modulo elastico efficace del calcestruzzo nello stato non fessurato (identico a E_c,eff). Poiché il calcestruzzo presenta una rigidità inferiore a causa degli effetti a lungo termine come il fluage, il valore di α_e,l è più alto in questo stato. Questo rapporto viene utilizzato nel calcolo del baricentro e dei valori efficaci delle sezioni trasversali.

α_{e, I} = \frac{E_{s}}{E_{c, I}}

Rapporto modulare efficace per stato non fessurato (carico di lunga durata)

α_e,l = 2 ⋅ 10⁵ MN/m² / 10.001,2 MN/m² = 20

Rapporto dei moduli E per lo stato non fessurato (carico a breve termine) α_e,I,st Il rapporto α_e,I,st descrive il rapporto della rigidità dell'acciaio rispetto al calcestruzzo sotto carico a breve termine. A differenza di α_e,l, qui viene utilizzato il modulo elastico medio E_cm, senza considerare gli effetti di fluage. Questo riflette la situazione di carico reale quando il calcestruzzo è caricato solo per breve tempo. Questo valore è particolarmente rilevante per la verifica dei carichi a breve termine.

α_{e, I, st} = \frac{E_{s}}{E_{cm}}

Rapporto modulare efficace per stato non fessurato (carico di breve durata)

α_e,I,st = 2 ⋅ 10⁵ MN/m² / 30.000 MN/m² = 6,67

Rapporto dei moduli E per lo stato fessurato α_e,II Nello stato fessurato, il calcestruzzo nella zona di trazione è considerato non resistente. Il rapporto α_e,II tiene conto di ciò, includendo solo il modulo elastico efficace E_c,eff del calcestruzzo. Questo valore mostra che la rigidità dell'acciaio è maggiore rispetto a quella del calcestruzzo nello stato fessurato, sottolineando l'importanza dell'armatura in questi casi.

α_{e, II} = \frac{E_{s}}{E_{c, eff}}

Rapporto modulare efficace per stato fessurato

α_e,II = 2 ⋅ 10⁵ MN/m² / 10.001,2 MN/m² = 20,00

Parametri geometrici non fessurati

Il distanza del baricentro della sezione ideale nello stato non fessurato sotto carico a lungo termine, z_I, descrive la posizione del baricentro tenendo conto dell'area del calcestruzzo e dell'armatura. L'effetto dell'armatura è scalato con un fattore di conversione α_e,l, che rappresenta il rapporto tra il modulo elastico dell'acciaio e il modulo elastico efficace del calcestruzzo. Questo è particolarmente importante, poiché i carichi a lungo termine, come il fluage, indeboliscono il calcestruzzo. Il baricentro influenza il calcolo dei momenti e delle deformazioni nella sezione trasversale ed è quindi un parametro centrale per l'analisi statica.

z_{I} = \frac{\frac{b \cdot h^{2}}{2} + α_{e, I} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} \cdot d_{ef, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot d_{ef, - z, (oben)})}{b \cdot h + α_{e, I} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})}

Distanza dei centriideali della sezione non fessurata a lungo termine

Larea della sezione trasversale efficace nello stato non fessurato sotto carico a lungo termine, A_I, rappresenta l'area effettiva che sopporta i carichi. Oltre all'area del calcestruzzo, viene considerata anche l'area dell'armatura, completata dal fattore α_e,l. In questo modo, la rigidezza della sezione trasversale è rappresentata più realisticamente. Questo valore è decisivo per la valutazione della capacità portante e per il calcolo della deformazione del componente.

A_{I} = b \cdot h + α_{e, I} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})

Area Di Sezione Effettiva in Stato Non Fessurato per Azioni a Lungo Termine

A_I = 1.000 mm ⋅ 200 mm + 20 ⋅ ( 4,45 cm² + 0 cm² ) = 2.089,05 cm²

Il momento di inerzia efficace del baricentro ideale nello stato non fessurato sotto carico a lungo termine, I_I, descrive la resistenza della sezione trasversale alla flessione. Tiene conto sia dell'area del calcestruzzo che dell'armatura, dove quest'ultima, data la sua posizione relativa al baricentro, genera ulteriori momenti. Questo momento di inerzia è un fattore centrale per il calcolo della deformazione e mostra la capacità della sezione trasversale di resistere ai momenti flettenti.

I_{I} = b \cdot \frac{h^{3}}{12} + b \cdot h \cdot (z_{I} - \frac{h}{2}) ² + α_{e, I} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} \cdot {(d_{ef, - z, (unten)} - z_{I})}^{2} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot {(z_{I} - d_{ef, - z, (oben)})}^{2})

Momento d'inerzia efficace del centro di gravità immaginario nello stato non fessurato con carico a lungo termine

I_{I} = \frac{1000 mm \cdot {(200 mm)}^{3}}{12} + 1000 mm \cdot 200 mm \cdot {(103 mm - \frac{200 mm}{2})}^{2} + 20 \cdot (4.45 {cm}^{2} \cdot {(170 mm - 103 mm)}^{2} + 0) = 70844.30 {cm}^{4}

Esempio: Inerzia efficace del baricentro ideale nello stato non fessurato sotto carico a lungo termine

Leccentricità del baricentro ideale nello stato non fessurato, e_I, indica la deviazione del baricentro dal centro geometrico della sezione trasversale. Questa eccentricità è importante perché influisce sui momenti che si sviluppano nella sezione trasversale, che a loro volta influenzano direttamente le deformazioni.

e = z_{I} - \frac{h}{2}

Eccentricità del baricentro ideale della sezione nello stato non fessurato

e_I = 103 mm - 200 mm / 2 = 3 mm

Il distanza del baricentro della sezione ideale nello stato non fessurato sotto carico a breve termine, z_I,st, descrive la posizione del baricentro sotto carichi che non considerano effetti di fluage o ritiro. Il fattore di conversione α_e,I,st, utilizzato nel calcolo a breve termine, è quindi inferiore ai carichi a lungo termine. Questo distanza del baricentro è fondamentale per la distribuzione dei carichi e la determinazione dei momenti sotto carichi brevi.

z_{I, st} = \frac{b \cdot \frac{h}{2} + α_{e, I, st} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} \cdot d_{ef, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot d_{ef, - z, (oben)})}{b \cdot h + α_{e, I, st} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})}

Distanza del baricentro della sezione ideale nello stato non fessurato sotto carico a breve termine

z_{I, st} = \frac{1000 mm \cdot \frac{200 mm}{2} + 6.67 \cdot (4.45 {cm}^{2} \cdot 170 mm + 0)}{1000 mm \cdot 200 mm + 6.67 \cdot (4.45 {cm}^{2} + 0)} = 101 mm

Esempio: distanza del baricentro della sezione trasversale ideale nello stato non fessurato sotto carico di breve durata

Larea della sezione trasversale efficace nello stato non fessurato sotto carico a breve termine, A_I,st, è simile all'area A_I, ma viene regolata tramite il fattore di conversione α_e,I,st, che non considera effetti a lungo termine. Questo porta a un'area minore e ha implicazioni sul calcolo della capacità portante per carichi brevi.

A_{I, st} = b \cdot h + α_{e, I, st} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})

Area della sezione efficace a breve termine con sezione integra

A_I,st = 1000 mm ⋅ 200 mm + 6,67 ⋅ ( 4,45 cm² + 0 cm² ) = 2.029,69 cm²

Il momento di inerzia efficace del baricentro ideale nello stato non fessurato sotto carico a breve termine, I_I,st, rappresenta la resistenza della sezione trasversale alla flessione senza l'influenza di effetti a lungo termine. Tiene conto sia dell'area del calcestruzzo che dell'area dell'armatura e delle loro distanze dal baricentro, decisivo per il calcolo della deformazione sotto carichi brevi.

I_{I, st} = \frac{b \cdot h^{3}}{12} + b \cdot h \cdot {(z_{I, st} - \frac{h}{2})}^{2} + α_{e, I, st} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} \cdot {(d_{ef, - z, (unten)} - z_{1, st})}^{2} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot {(z_{1, st} - d_{ef, - z, (oben)})}^{2})

Momento d’inerzia effettivo del baricentro ideale in condizioni integre per carichi di breve durata

I_{I, st} = \frac{1000 mm \cdot {(200 mm)}^{3}}{12} + 1000 mm \cdot 200 mm \cdot {(101 mm - \frac{200 mm}{2})}^{2} + 6.67 \cdot (4.45 {cm}^{2} \cdot {(170 mm - 101 mm)}^{2} + 0) = 68100.10 {cm}^{4}

Esempio: Inerzia efficace del baricentro ideale allo stato fessurato durante i carichi a breve termine

Parametri geometrici fessurati

Il distanza del baricentro della sezione ideale nello stato fessurato, z_II, tiene conto della capacità portante modificata della sezione trasversale, poiché la zona di trazione del calcestruzzo dopo la formazione delle fessure non supporta più i carichi. La posizione del baricentro viene ricalcolata tenendo conto solo della zona di compressione del calcestruzzo e dell'armatura. Questo parametro è centrale per l'analisi della sezione dopo la formazione delle fessure e influenza la capacità portante e la deformazione.

z_{II} = \frac{\frac{b \cdot {x_{II}}^{2}}{2} + α_{e, II} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} \cdot d_{ef, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot d_{ef, - z, (oben)})}{b \cdot x_{II} + α_{e, II} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})}

Distanza dei baricentri delle sezioni trasversali ideali nello stato fessurato

z_{II} = \frac{\frac{1000 mm \cdot {(46.8 mm)}^{2}}{2} + 20 \cdot (4.45 {cm}^{2} \cdot 170 mm + 0)}{1000 mm \cdot 46.8 mm + 20 \cdot (4.45 {cm}^{2} + 0)} = 46.8 mm

Esempio: distanza del baricentro della sezione trasversale ideale nello stato fessurato

Larea della sezione trasversale efficace nello stato fessurato, A_II, rappresenta l'area rimanente dopo la formazione delle fessure. Qui vengono considerate solo la zona di compressione del calcestruzzo e l'area dell'armatura, il che riduce notevolmente la rigidità della sezione trasversale. Questo valore è decisivo per l'analisi della capacità portante in sezioni fessurate.

A_{II} = b \cdot x_{II} + α_{e, II} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})

Area efficace della sezione in stato di fessurato

A_II = 1.000 mm ⋅ 46,8 mm + 20 ⋅ ( 4,45 cm² + 0 ) = 557,41 cm²

Il momento di inerzia efficace del baricentro ideale nello stato fessurato, I_II, descrive la resistenza alla flessione dopo la formazione delle fessure. Poiché la zona di trazione non è più resistente, il momento di inerzia diminuisce notevolmente. Questo valore è un fattore essenziale per il calcolo della deformazione e la valutazione della capacità portante delle sezioni fessurate.

I_{II} = \frac{b \cdot {x_{II}}^{3}}{12} + b \cdot x_{II} \cdot (z_{II} - \frac{x_{II}}{2})^{2} + α_{e, II} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} \cdot ((d_{ef, - z, (unten)} - z_{II})^{2} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot (z_{II} - d_{ef, - z, (oben)})^{2})

Momento d’inerzia efficace del centroide equivalente in stato fessurato

I_{II} = \frac{1000 mm \cdot {(46.8 mm)}^{3}}{12} + 1000 mm \cdot 46.8 mm \cdot {(46.8 mm - \frac{46.8 mm}{2})}^{2} + 20 \cdot 4.45 {cm}^{2} \cdot {(170 mm - 46.8 mm)}^{2} + 0 = 16933.50 {cm}^{4}

Esempio: Momento di inerzia efficace del centro di taglio ideale nello stato fessurato

Leccentricità del baricentro ideale nello stato fessurato, e_II, descrive lo spostamento del baricentro a causa della formazione di fessure. Questo spostamento influisce sui momenti che si sviluppano nella sezione trasversale, influenzando direttamente la deformazione del componente ed è quindi un parametro chiave per l'analisi statica.

e_{II} = z_{II} - \frac{h}{2}

Eccentricità del baricentro ideale della sezione nello stato fessurato

e_II = 46,8 mm - 200 mm / 2 = -53,2 mm

Ritiro

La forza normale dovuta al ritiro, N_sh, si genera perché l'armatura non segue la deformazione del calcestruzzo causata dal ritiro e quindi prende su di sé delle forze. Queste forze derivano dall'interazione tra la forza di trazione del calcestruzzo e la reazione dell'armatura. Il valore calcolato indica quanto è sollecitata l'armatura dal ritiro. Qui viene utilizzata la deformazione da ritiro ε_sh = -0,5 ‰ impostata indirettamente dall'utente.

N_{sh} = - E_{s} \cdot ε_{sh} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})

Forza assiale da ritiro

N_sh = -2 ⋅ 10⁵ MN/m² ⋅ ( -0,000.5 ) ⋅ ( 4,45 cm² + 0,00 ) = 44,532 kN

Leccentricità della forza di ritiro rispetto al baricentro della sezione ideale nello stato non fessurato, e_sh,I, descrive la posizione della forza risultante dal ritiro rispetto al baricentro della sezione. Una maggiore eccentricità porta a momenti più elevati e maggiori deformazioni.

e_{sh, I} = \frac{A_{s, def, - z, (unten)} \cdot d_{ef, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot d_{ef, - z, (oben)}}{A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)}} - z_{1}

Eccentricità della forza di ritiro rispetto al baricentro della sezione ideale non fessurata

e_sh,I = ( 4,45 cm² ⋅ 170 mm + 0 ) / ( 4,45 cm² + 0 ) - 103 mm = 67 mm

Il momento da ritiro per lo stato non fessurato, M_sh,I, risulta dalla forza di ritiro N_sh e dall'eccentricità e_sh,I. Esso rappresenta come la forza di ritiro generi un momento agendo sulla sezione trasversale. Questo momento influisce significativamente sulle deformazioni e tensioni nella sezione trasversale e deve essere considerato nel dimensionamento.

M_{sh, I} = N_{sh} \cdot e_{sh, I}

Momento di ritiro per stato non fessurato

M_sh,I = 44,532 kN ⋅ 67 mm = 2,98 kNm

Diagramma che mostra la distribuzione degli sforzi interni Nsh e Msh su un elemento strutturale.

Analisi delle forze interne: N_sh e M_sh

Il coefficiente di curvatura per lo stato non fessurato k_sh,I indica come il momento di ritiro agisce in relazione alla forza normale e all'eccentricità. Mostra come la distribuzione della forza di ritiro e la posizione del baricentro influenzano le deformazioni del componente. Questo valore è essenziale per descrivere completamente le deformazioni della sezione trasversale dovute al ritiro.

k_{sh, I} = \frac{M_{sh, I} + M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot e_{I}}{M_{y, Ed, def} - N_{Ed} - e_{I}}

Coefficiente di curvatura per stato non fessurato

k_sh,I = ( 2,98 kNm + 18,5 kNm - 0 ) / ( 18,50 kNm – 0 ) = 1,161

Leccentricità della forza di ritiro rispetto al baricentro della sezione ideale nello stato fessurato, e_sh,II, descrive la posizione della forza risultante dal ritiro rispetto al baricentro della sezione nello stato fessurato. Sono considerati i momenti delle aree dell'armatura, A_{s,def, +z,(sotto)} e A_{s,def, -z,(sopra)}, rispetto alla loro posizione, d_{ef, +z,(sotto)} e d_{ef, -z,(sopra)}, e divisi per tutta l'area dell'armatura. Dal risultato viene sottratto il distanza del baricentro della sezione fessurata, z_II. Questa eccentricità influisce sul momento da ritiro, poiché una maggiore eccentricità porta a un momento maggiore.

e_{sh, II} = \frac{A_{s, def, + z, (unten)} \cdot d_{ef, + z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot d_{ef, - z, (oben)}}{A_{s, def, + z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)}} - z_{II}

Eccentricità della forza da ritiro rispetto al centro del teorico della sezione nello stato fessurato

e_sh,II = ( 4,45 cm² ⋅ 170 mm + 0 ) / ( 4,45 cm² + 0 ) – 46,8 mm = 123,2 mm

Il momento flettente dovuto alla forza normale N_sh per lo stato fessurato, M_sh,II, si ottiene moltiplicando la forza di ritiro N_sh per l'eccentricità precedentemente calcolata e_sh,II. Questo momento descrive la sollecitazione flettente aggiuntiva che la forza di ritiro esercita sulla sezione trasversale. Soprattutto nello stato fessurato, in cui la zona di trazione del calcestruzzo non supporta più i carichi, questo valore è rilevante.

M_{sh, II} = N_{sh} \cdot e_{sh, II}

Momento flettente dovuto alla forza assiale N_sh per lo stato fessurato

M_sh,II = 44,532 kN ⋅ 123,2 mm = 5,48 kNm

Il coefficiente di curvatura per lo stato fessurato, k_sh,II, indica quanto la deformazione della sezione trasversale è influenzata dal momento da ritiro e dalle restanti forze agenti. Si considerano il momento da ritiro M_sh,II, il momento flettente esistente M_y,Ed,def nonché la forza normale N_Ed e la sua eccentricità e_II. Il calcolo mette in relazione il momento risultante con il momento senza ritiro, fornendo così una misura per l'influenza della forza di ritiro.

k_{sh, II} = \frac{M_{sh, II} + M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot e_{II}}{M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot e_{II}}

Coefficiente di curvatura per lo stato fessurato

k_sh,II = ( 5,48 kNm + 18,50 kNm - 0 ) / ( 18,50 kNm - 0 ) = 1,296

Deformazione della sezione trasversale

La deformazione della sezione trasversale descrive la curvatura causata da effetti esterni di un componente, tenendo conto dei suoi parametri materiali e di stato.

Il calcolo della deformazione della sezione trasversale nello stato non fessurato, κ_I, descrive la curvatura della sezione trasversale causata dal momento di ritiro e dalle proprietà elastiche del materiale. Si tiene conto del momento di ritiro M_y,Ed,def, così come della forza normale N_Ed e della sua eccentricità e_I. Queste grandezze sono moltiplicate per il fattore k_sh,I, che descrive l'influenza del momento di ritiro nello stato non fessurato. Al denominatore ci sono il modulo elastico efficace del calcestruzzo, E_c,eff, e il momento di inerzia della sezione non fessurata, I_I, che determinano la rigidità della sezione.

κ_{I} = \frac{k_{sh, I} \cdot (M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot e_{I})}{E_{c, eff} \cdot I_{I}}

Calcolo della deformazione della sezione trasversale nello stato non fessurato

κ_I = ( 1,161 ⋅ ( 18,50 kNm - 0) ) / ( 10.001,2 MN/m² ⋅ 70.844,30 cm⁴ ) = 3 mrad/m

Il calcolo della deformazione della sezione trasversale nello stato fessurato, κ_II, mostra la curvatura della sezione trasversale dopo la formazione delle fessure, tenendo conto del momento di ritiro e della capacità portante ridotta della sezione fessurata. Vengono moltiplicati il momento di ritiro M_y,Ed,def, la forza normale N_Ed e la sua eccentricità e_II, con il fattore k_sh,II, che descrive l'influenza del momento di ritiro nello stato fessurato. Al denominatore ci sono il modulo elastico efficace del calcestruzzo, E_c,eff, e il momento di inerzia ridotto della sezione fessurata, I_II, che riflettono la minore rigidità della sezione trasversale. La deformazione della sezione trasversale nello stato fessurato è notevolmente maggiore rispetto allo stato non fessurato, poiché la rigidità della sezione fessurata è ridotta.

κ_{II} = \frac{k_{sh, II} \cdot (M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot e_{II})}{E_{c, eff} \cdot I_{II}}

Calcolo della deformazione della sezione trasversale nello stato fessurato

κ_II = ( 1,296 ⋅ ( 18,50 kNm - 0 ) ) / ( 10.001,2 MN/m² ⋅ 16.933,50 cm⁴ ) = 14,2 mrad/m

Stato finale

Lo stato finale descrive le tensioni massime che si possono verificare nella sezione trasversale non fessurata sia sotto carichi a lungo termine che a breve termine per garantire la capacità di carico e l'idoneità all'uso del componente.

La massima tensione nello stato non fessurato sotto carico a lungo termine, σ_max,It, descrive la massima tensione che può verificarsi nella sezione trasversale non fessurata a seguito di carichi a lungo termine. Si compone di due contributi:

il contributo delle forze normali N_Ed e N_sh
il contributo dei momenti flettenti M_y,Ed,def, M_sh,I e del momento generato dall'eccentricità (z_I - h/2) della forza normale N_Ed.

Il secondo contributo è amplificato dal momento di inerzia I_I e dalla distanza (h - z_I).

σ_{\max, It} = \frac{N_{Ed} + N_{sh}}{A_{I}} + \frac{M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot (z_{I} - h / 2) + M_{sh, I}}{I_{I}} \cdot (h - z_{I})

Tensione massima in stato non fessurato durante il carico di lunga durata

σ_{\max, lt} = \frac{0 + 44.532 kN}{2, 089.05 {cm}^{2}} + \frac{18.50 kNm - 0 + 2.98 kNm}{70, 844.30 {cm}^{4}} \cdot (200 mm - 103 mm) = 3.155 MN / m^{2}

Esempio: tensione massima in stato non fessurato durante il carico di lunga durata

La massima tensione nello stato non fessurato sotto carico a breve termine, σ_max,st, indica la massima tensione nella sezione trasversale sotto carichi brevi. A differenza del carico a lungo termine, qui si considerano solo la forza normale N_Ed e il momento M_y,Ed,def, poiché non sono presenti grandezze derivanti dal ritiro.

σ_{\max, st} = \frac{N_{Ed}}{A_{I, st}} + \frac{M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot (z_{I, st} - h / 2)}{I_{I, st}} \cdot (h - z_{I, st})

Tensione massima in stato non fessurato sotto carico di breve durata

σ_{\max, st} = \frac{0}{2029.69 {cm}^{2}} + \frac{18.50 kNm - 0}{68, 100.10 {cm}^{4}} \cdot (200 mm - 101 mm) = 2.689 MN / m^{2}

Esempio: tensione massima in stato non fessurato sotto carico di breve durata

La massima tensione nello stato non fessurato, σ_max, è il maggiore dei due valori di tensione derivanti da carichi a lungo termine e a breve termine. Garantisce che venga considerata la massima sollecitazione possibile della sezione trasversale.

σ_{\max} = \max (σ_{\max, I}; σ_{\max, st})

Tensione massima in stato non fessurato

σ_max = max( 3,155 MN/m²; 2,689 MN/m² ) = 3,155 MN/m²

Il coefficiente di distribuzione (parametro di danno), ζ_d, descrive la transizione tra il comportamento della sezione trasversale nello stato non fessurato e fessurato. Viene calcolato tramite il rapporto tra la resistenza caratteristica a trazione del calcestruzzo, f_ctm, e la massima tensione, σ_max. La non linearità viene considerata tramite la relazione esponenziale.

ζ_{d} = 1 - β \cdot (f_{ctm} / σ_{\max}) ²

β	Durata del carico o coefficiente di ripetizione

parametro di danno secondo 7.4.3 (3) Eq. 7.19

ζ_d = 1 – 0,5 ⋅ (2,200 MN/m² / 3,155 MN/m²)² = 0,757 ≤ 1 con: β = 1,0 (carico breve) β = 0,5 (carico lungo termine o molti cicli di stress ripetuti) Se il coefficiente di distribuzione ζ_d = 1, il componente si trova completamente nello stato fessurato. Se ζ_d è pari a 0, il calcestruzzo è completamente non fessurato.

Informazione

Il calcolo diretto della deformazione dipende fortemente dal coefficiente di distribuzione. Ulteriori informazioni si trovano nell'articolo tecnico Coefficiente di distribuzione ζ nel calcolo delle deformazioni degli elementi in cemento armato.

Rappresentazione schematica del coefficiente di distribuzione in un diagramma di distribuzione del carico

Coefficiente di distribuzione: calcolo e rappresentazione

Per il calcolo del coefficiente di distribuzione ζ_d è importante quale opzione è stata selezionata nel riconoscimento dello stato di fessura. L'opzione "Stato di fessura calcolato dal carico appropriato" comporta che lo stato di fessura (coefficiente di distribuzione ζ_d) venga calcolato esclusivamente dal carico corrente (combinazione di carichi), come in questo esempio. Le altre opzioni sono descritte più dettagliatamente nel manuale.

Individuazione delle fessure negli elementi strutturali

Analisi dello stato di fessurazione

La curvatura della sezione trasversale, κ_f, viene calcolata tramite un'interpolazione tra lo stato fessurato (κ_II) e non fessurato (κ_I), ponderata tramite il coefficiente di distribuzione, ζ_d. Questo permette una descrizione realistica del comportamento della curvatura nello stato di transizione.

κ_{f} = ζ_{d} \cdot κ_{II} + (1 - ζ_{d}) \cdot κ_{I}

Curvatura della sezione trasversale secondo 7.4.3 (3), Eq. 7.18

κ_f = 0,757 ⋅ 14,2 mrad/m + (1 – 0,757) ⋅ 3 mrad/m = 11,5 mrad/m

Larea della sezione trasversale ideale, A_f, descrive la transizione tra l'area della sezione non fessurata, A_I, e l'area della sezione fessurata, A_II. Anche qui, la ponderazione avviene tramite il coefficiente di distribuzione, ζ_d.

A_{f} = \frac{A_{I} \cdot A_{II}}{ζ_{d} \cdot A_{I} + (1 - ζ_{d}) \cdot A_{II}}

Area della sezione ideale

A_{f} = \frac{2, 089.05 {cm}^{2} \cdot 557.41 {cm}^{2}}{0.757 \cdot 2089.05 {cm}^{2} + (1 - 0.757) \cdot 557.41 {cm}^{2}} = 678.30 {cm}^{2}

Esempio: Area della sezione ideale

Il momento di inerzia ideale, I_y,f, descrive il momento della sezione considerando il coefficiente di distribuzione, ζ_d, nonché i momenti di inerzia negli stati non fessurato, I_I, e fessurato, I_II. Fattori aggiuntivi come k_sh,II e k_sh,I considerano gli effetti del ritiro nei rispettivi stati.

I_{y, f} = \frac{I_{I} \cdot I_{II}}{ζ_{d} \cdot I_{I} \cdot k_{sh, II} + (1 - ζ_{d}) \cdot I_{II} \cdot k_{sh, I}}

Momento di inerzia ideale

I_{y, f} = \frac{70.844, 3 {cm}^{4} \cdot 16.933, 5 {cm}^{4}}{(0, 757 \cdot 70.844, 30 {cm}^{4} \cdot 1, 296 + (1 - 0, 757) \cdot 16.933, 50 {cm}^{4} \cdot 1, 161)} = 16.145, 50 {cm}^{4}

Esempio: Momento di inerzia ideale

Leccentricità del baricentro, e_f, descrive la posizione del baricentro risultante della sezione trasversale, basata sulla transizione tra stato non fessurato e fessurato. Considera il coefficiente di distribuzione, ζ_d, nonché i rispettivi moduli elastici, E_c,eff, e momenti di inerzia, I_I e I_II.

e_{f} = \frac{ζ_{d} \cdot E_{c, eff} \cdot I_{I} \cdot e_{I} + (1 - ζ_{d}) \cdot E_{c, eff} \cdot I_{II} \cdot e_{II}}{ζ_{d} \cdot E_{c, eff} \cdot I_{I} + (1 - ζ_{d}) \cdot E_{c, eff} \cdot I_{II}}

Eccentricità del baricentro

e_{f} = \frac{0.757 \cdot 10, 001.2 MN / m^{2} \cdot 70, 844.30 {cm}^{4} \cdot (- 53.2 mm) + (1 - 0.757) \cdot 10, 001.2 MN / m^{2} \cdot 16, 933.50 {cm}^{4} \cdot 3 mm}{0.757 \cdot 10, 001.2 MN / m^{2} \cdot 70, 844.30 {cm}^{4} + (1 - 0.757) \cdot 10, 001.2 MN / m^{2} \cdot 16, 933.50 {cm}^{4}} = - 49.2 mm

Esempio: Eccentricità del baricentro

Il momento di inerzia ideale rispetto al centro geometrico della sezione trasversale, I_y,0,f, considera, oltre al momento di inerzia ideale, I_y,f, e all'area della sezione trasversale ideale, A_f, anche lo spostamento del baricentro dovuto all'eccentricità, e_f. Questo spostamento è considerato tramite il contributo di Steiner di A_f.

I_{y, 0, f} = I_{y, f} + A_{f} \cdot {e_{f}}^{2}

Momento di inerzia ideale rispetto al centro geometrico della sezione trasversale

I_y,0,f = 16.145,50 cm⁴ + 678,30 cm² ⋅ ( -49,2 mm )² = 32.538,80 cm⁴

Rigidità finali

Le rigidità finali di un componente descrivono la sua resistenza alle deformazioni e rotazioni sotto diversi tipi di carichi. Vengono considerate sia le rigidità assiali e flettenti che quelle torsionali e di taglio. Questi valori costituiscono la base per l'analisi del comportamento strutturale e dell'idoneità all'uso di un componente.

La rigidità tangenziale a membrana, EA_f, descrive la rigidità assiale della sezione trasversale tenendo conto del modulo elastico efficace del calcestruzzo, E_c,eff, e dell'area della sezione trasversale ideale, A_f.

{EA}_{f} = E_{c, eff} \cdot A_{f}

Rigidezza tangente della membrana

EA_f = 10.001,2 MN/m² ⋅ 678,30 cm² = 678.387 kN

La rigidità tangenziale a flessione, EI_y,0,f, descrive la resistenza della sezione trasversale alla flessione rispetto al baricentro ideale. Viene determinata dal modulo elastico efficace del calcestruzzo, E_c,eff, e dal momento di inerzia ideale, I_y,0,f.

{EI}_{y, 0, f} = E_{c, eff} \cdot I_{y, 0, f}

Rigidezza tangente alla flessione

EI_y,0,f = 10.001,2 MN/m² ⋅ 32.538,80 cm⁴ = 3.254,28 kNm²

La rigidità tangenziale a flessione, EI_z,0,f, descrive la resistenza della sezione trasversale alla flessione rispetto all'asse z locale. Viene definita dal modulo elastico efficace del calcestruzzo, E_c,eff, e dal momento di inerzia rispetto all'asse z, I_z.

{EI}_{z, 0, f} = E_{c, eff} \cdot I_{z}

Rigidezza tangente alla flessione

EI_z,0,f = 10.001,2 MN/m² ⋅ 1.666.670 cm⁴ = 166.687 kNm²

Riquadro di RFEM | Visualizzazione delle distribuzioni dei risultati e della rigidezza per valutazione tecnica

Rigidezza della Molle nel Dialogo di RFEM

Il fattore r descrive la riduzione della rigidità di taglio basata sul rapporto dei momenti di inerzia ideali I_f e I_I.

r = \frac{I_{f}}{I_{I}}

Coefficiente r

r = 16.145,50 cm⁴/70.844,30 cm⁴ = 0,228

La rigidità di taglio rispetto all'asse y, GA_y,f, considera il modulo di taglio efficace del calcestruzzo, G_c,eff, l'area della sezione trasversale A_c,y e il fattore di riduzione r.

{GA}_{y, f} = G_{c, eff} \cdot A_{c, y} \cdot r

Rigidezza a taglio sull'asse y

GA_y,f = 4.167,18 MN/m² ⋅ 1.666,67 cm² ⋅ 0,228 = 158284 kN

La rigidità di taglio rispetto all'asse z, GA_z,f, è calcolata in modo analogo all'asse y.

{GA}_{z, f} = G_{c, eff} \cdot A_{c, z} \cdot r

Rigidezza a taglio sull'asse z

GA_z,f = 4.167,18 MN/m² ⋅ 1.666,67 cm² ⋅ 0,228 = 158.284 kN

La rigidità torsionale, GI_T,f, corrisponde nel caso analizzato alla rigidità torsionale nello stato non fessurato, GI_T,I.

{GI}_{T, f} = {GI}_{T, I}

Rigidezza rotazionale

GI_T,f = 7.770 kNm²

Lelemento di rigidità eccentrico, ES_y, descrive la sollecitazione aggiuntiva della sezione trasversale causata dall'eccentricità e_f. Viene calcolato tramite la rigidità assiale EA_f e l'eccentricità e_f.

{ES}_{y, f} = {EA}_{f} \cdot e_{f}

elemento di rigidezza eccentrica

ES_y = 678.387 kN ⋅ ( -49,2 mm ) = -33.350,20 kNm

Flessione

Per garantire l'idoneità all'uso, la deformazione reale viene confrontata con i valori limite consentiti. La deflessione totale viene corretta per la curvatura iniziale e confrontata con i limiti predefiniti.

Nel calcolo della flessione, si considera la combinazione principale dei carichi senza effetti dipendenti dal tempo come fluage e ritiro (a breve termine), mentre le combinazioni di carico associate vengono sempre calcolate con proprietà dipendenti dal tempo (a lungo termine). Se è presente più di un carico associato, si adopera la flessione relativa al carico con il valore più alto.

La deflessione limite in direzione z, u_z,lim, viene calcolata in base alla lunghezza di riferimento in direzione z, L_z,ref, e al criterio di deflessione limite, L_z,ref/u_z,lim.

u_{z, \lim} = \frac{L_{z, ref}}{L_{z, ref} / u_{z, \lim}}

Inflessione limite in direzione z

u_z,lim = 4,210 m / 250 = 16,8 mm

La deflessione in direzione z, u_z, è la differenza tra la deflessione totale, u_z,ges, e la curvatura iniziale nella posizione x, u_z,c.

u_{z} = u_{z, ges} - u_{z, c}

Inflessione in direzione z

u_z = 19,4 mm - 0 = 19,4 mm

Diagramma della freccia decisiva e della freccia limite

Andamento dei risultati: Freccia e freccia limite

Verifica

η = \max (u_{z} / u_{z, \lim}; u_{y} / u_{y, \lim})

Verifica dei limiti di deformazione per componenti in cemento armato

η = max( 19,4 mm / 16,8 mm; 0,0 mm / 16,8 mm ) = 1,155 Poiché η = 1,155 > 1, la deflessione consentita è superata!

Visualizzazione di SLS, diagramma di deformazione e sfruttamento in un sistema strutturale

SLE, andamento della deformazione e utilizzo

Conclusione

Il calcolo della deformazione secondo i metodi approssimativi definiti dalle normative, come il calcolo della deformazione secondo il paragrafo 7.4.3 di EN 1992-1-1, avviene utilizzando rigidità efficaci che vengono calcolate negli elementi finiti a seconda dello stato limite (fessurato o non fessurato). Queste rigidità efficaci costituiscono la base per il successivo calcolo della deformazione del componente tramite un'ulteriore analisi FEM.

Per determinare le rigidità efficaci, si considera la sezione trasversale in cemento armato e, in base alle sollecitazioni determinati per lo stato limite di servizio, la sezione del cemento armato viene classificata come "fessurata" o "non fessurata". La partecipazione del calcestruzzo tra le fessure viene considerata tramite un coefficiente di distribuzione, ad esempio secondo l'equazione 7.19 (EN 1992-1-1). Il comportamento del materiale cementizio viene considerato come linearmente elastico fino al carico di trazione del cemento, il che è sufficientemente preciso per l'idoneità all'uso.

La considerazione degli effetti a lungo termine di fluage e ritiro avviene nella determinazione delle rigidità efficaci a livello della sezione trasversale del componente, per garantire una rappresentazione realistica delle deformazioni sotto carichi a lungo termine.

Autore

La signora Dannwerth supporta gli utenti nell'assistenza clienti e si occupa dello sviluppo nel settore della geotecnica.

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