1021x

001935

Ann-Kathrin Dannwerth, B.Sc.

11.2.2025

Přímá analýza deformací železobetonového nosníku se zohledněním dotvarování a smršťování

Odborný článek se zabývá přímým výpočtem deformace železobetonového nosníku s ohledem na dlouhodobé vlivy dotvarování a smršťování. Na příkladu jednopólového nosníku je vysvětlen přímý výpočet podle Eurokódu 2 (EN 1992-1-1, oddíl 7.4.3). Zvláštní důraz je kladen na ztužení při tahovém namáhání, chování v prasklém stavu s ohledem na distribuční faktor (poškozovací parametr) a na zohlednění smršťování a dotvarování.

V tomto odborném článku se provádí přímý výpočet deformace železobetonového nosníku s přihlédnutím k dlouhodobým účinkům dotvarování a smršťování. Na příkladu je ukázáno, jak tyto efekty ovlivňují deformaci konstrukce a jak se promítají do výpočtu. Je vysvětleno, jaké zadání je v RFEM 6 nutné pro zohlednění všech relevantních faktorů a jak ovlivňuje rozdělovací faktor tuhost konstrukce.

Vstupní údaje

Geometrie, výztuž a zatížení jsou popsány následujícími parametry:

Systém

Typ nosníku: Nosník o jednom poli
Rozpon: l = 4,210 m

Průřez

Tloušťka desky: h = 20 cm
Šířka desky: b = 100 cm
Materiál: Beton C20/25 s E_cm = 30,000 MN/m² a B 500A
Výztuž: A_s,-z,(dole) = 4,45 cm² s 7 ∅ 9 a d₁ = 30 mm
Užitná výška spodní výztuže: d_{def,+z (dole)} = 17 cm

Stálá zatížení

Vlastní tíha: g_s = 0,20 m ⋅ 1m ⋅ 25 kN/m³ = 5,00 kN/m
Krytina a omítka: g_bp = 1,50 kN/m
Součet: g_k,celkem = 6,5 kN/m

Model konstrukce s vizualizací stálých zatížení a jejich rozložení

Trvalá zatížení

Proměnná zatížení

Užitné zatížení (kancelář): q_b = 2,00 kN/m s ψ₂ = 0,3
Vyrovnání příčky: q_t = 1,25 kN/m s ψ₂ = 1,0

Technické znázornění proměnných zatížení s časově závislými vlivy

Proměnná zatížení

Kvantitativní trvalé zatížení

6,5 kN/m + 0,3 ⋅ 2,00 kN/m + 1,0 ⋅ 1,25 kN/m = 8,35 kN/m

Designový moment ohybu pro výpočet průhybu

M_y,Ed,def = 8,35 kN/m ⋅ (4,21 m)² / 8 = 18,50 kNm

Předběžné hodnoty pro výpočet deformace

Střední modul pružnosti betonu: E_cm = 30.000 MN/m²

Znázornění materiálové vlastnosti modulu pružnosti jako zobrazení vztahu napětí-přetvoření

Modul pružnosti

Podélný výztužný poměr: ρ = A_s / A_c = 4,45 cm² / ( 20 cm ⋅ 100 cm) = 0,223 %

Detail uspořádání výztuže s viditelnými ocelovými pruty

Uspořádání výztuže v detailu

Změna délky smršťováním: ε_sh = -0,5 ‰
Činitel dotvarování: φ = 2

Možnost „Pokročilé časově závislé vlastnosti betonu“ musí být v nastavení průřezu aktivována, aby bylo možné činitel dotvarování uživatelsky definovat.

Obrázek rozšířených časově závislých charakteristik materiálu znázorňující chování betonu v čase.

Pokročilé časově závislé parametry betonu

Ve zobrazené záložce je nejprve třeba zaškrtnout políčka „Dotvarování“ a „Smršťování“, aby bylo možné zobrazit a upravit „Základní hodnoty časově závislých parametrů“. Činitel dotvarování φ je zde definován zadáním φ₀, ϵ_cd,0 a ϵ_ca(∞).

RFEM dialog | Železobetonový průřez: Dotvarování a smršťování

Dotvarování

Efekty dotvarování jsou zaznamenány snížením modulu pružnosti betonu E_c.

Efektivní modul pružnosti E_c,eff zohledňuje dlouhodobé efekty betonu, zejména dotvarování. Dotvarování popisuje dlouhodobé délkové změny betonu při konstantním zatížení. Díky činiteli dotvarování φ je střední modul pružnosti betonu E_cm snížen, aby skutečná tuhost betonu dlouhodobě odpovídala realitě. Tato hodnota se používá v dalších výpočtech, jako je výpočet momentu setrvačnosti nebo poměru tuhostí.

E_{c, eff} = \frac{E_{cm}}{1 + φ}

Účinný modul pružnosti podle k 7.4.3 (5) Rovnice 7.20

E_c,eff = 30.000 MN/m² / ( 1 + 2 ) = 10.001,2 MN/m²

Efektivní modul posouvání betonu G_c,eff
Efektivní modul posouvání popisuje odolnost betonu proti posouvání a je určen poměrem příčné a podélné deformace (Poissonovým poměrem betonu v). Tato hodnota je důležitá zejména při výpočtech průřezových deformací a prokazování posouvání.

G_{c, eff} = \frac{E_{c, eff}}{2 \cdot (1 + ν)}

Účinný smykový modul betonu

G_c,eff = 10.001,2 MN/m² / ( 2 ⋅ ( 1 + 0,2 ) ) = 4.167,180 MN/m²

Poměr E-profilů pro nerozlomený stav (dlouhodobé zatížení) α_e,l
Poměr α_e,l udává, kolik pevnější je ocel ve srovnání s betonem při dlouhodobém zatížení. E_s je modul pružnosti oceli, E_c,l je efektivní modul pružnosti betonu v nerozlomeném stavu (identický s E_c,eff). Protože beton vlivem dlouhodobých efektů jako dotvarování vykazuje nižší tuhost, hodnota α_e,l je v tomto stavu vyšší. Tento poměr se používá při výpočtu těžišť a efektivních průřezových hodnot.

α_{e, I} = \frac{E_{s}}{E_{c, I}}

Účinný modulární poměr pro stav bez trhlin (dlouhodobé zatížení)

α_e,l = 2 ⋅ 10⁵ MN/m² / 10.001,2 MN/m² = 20

Poměr E-profilů pro nerozlomený stav (krátkodobé zatížení) α_e,I,st
Poměr α_e,I,st popisuje poměr tuhosti oceli k betonu při krátkodobém zatížení. Na rozdíl od α_e,l je zde použit střední modul pružnosti E_cm bez vlivu dotvarování. To odráží skutečnou zatěžovací situaci, kdy je beton zatížen pouze krátkodobě. Tato hodnota je zvláště důležitá pro prokazování krátkodobých zatížení.

α_{e, I, st} = \frac{E_{s}}{E_{cm}}

Účinný poměr modulů pro stav bez trhlin (krátkodobé zatížení)

α_e,I,st = 2 ⋅ 10⁵ MN/m² / 30.000 MN/m² = 6,67

Poměr E-profilů pro rozlomený stav α_e,II
V rozlomeném stavu se beton v tahové zóně považuje za nenosný. Poměr α_e,II to zohledňuje tím, že se zahrnuje pouze efektivní modul pružnosti E_c,eff betonu. Tato hodnota ukazuje, že tuhost oceli je ve srovnání s betonem v rozlomeném stavu vyšší, což zdůrazňuje význam výztuže v takových případech.

α_{e, II} = \frac{E_{s}}{E_{c, eff}}

Účinný modulární poměr pro stav s trhlinami

α_e,II = 2 ⋅ 10⁵ MN/m² / 10.001,2 MN/m² = 20,00

Geometrické parametry nerozlomené

An Těžištní vzdálenost ideálního průřezu v nerozlomeném stavu při dlouhodobém zatížení, z_I, popisuje umístění těžiště při zohlednění betonové plochy a výztuže. Vliv výztuže je škálován faktorem α_e,l, který představuje poměr mezi modulem pružnosti oceli a efektivním modulem pružnosti betonu. To je zvláště důležité, protože dlouhodobá zatížení jako dotvarování oslabují beton. Těžiště ovlivňuje výpočet momentů a deformací v průřezu a je tedy klíčovým parametrem pro statickou analýzu.

z_{I} = \frac{\frac{b \cdot h^{2}}{2} + α_{e, I} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} \cdot d_{ef, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot d_{ef, - z, (oben)})}{b \cdot h + α_{e, I} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})}

Vzdálenost těžiště ideálního průřezu v neporušeném stavu při dlouhodobém zatížení

Efektivní průřezová plocha v nerozlomeném stavu při dlouhodobém zatížení, A_I, představuje efektivní plochu, která nese zatížení. Kromě betonové plochy se zohledňuje i plocha výztuže doplněná faktorem α_e,l. Tím se tuhost průřezu realističtěji zobrazuje. Tato hodnota je rozhodující pro hodnocení únosnosti a výpočet deformace konstrukce.

A_{I} = b \cdot h + α_{e, I} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})

Účinná průřezová plocha v nezpevněném stavu při dlouhodobém zatížení

A_I = 1.000 mm ⋅ 200 mm + 20 ⋅ ( 4,45 cm² + 0 cm² ) = 2.089,05 cm²

Efektivní moment setrvačnosti ideálního těžiště průřezu v nerozlomeném stavu při dlouhodobém zatížení, I_I, popisuje odolnost průřezu proti ohybu. Zohledňuje jak betonovou plochu, tak výztuž, přičemž poslední jmenovaná vzhledem ke své poloze vůči těžišti vytváří další momenty. Tento moment setrvačnosti je centrálním faktorem pro výpočet deformací a ukazuje, jak silně může průřez odolávat momentům ohybu.

I_{I} = b \cdot \frac{h^{3}}{12} + b \cdot h \cdot (z_{I} - \frac{h}{2}) ² + α_{e, I} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} \cdot {(d_{ef, - z, (unten)} - z_{I})}^{2} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot {(z_{I} - d_{ef, - z, (oben)})}^{2})

Účinný moment setrvačnosti myšleného těžiště ve stavu bez trhlin při dlouhodobém zatížení

I_{I} = \frac{1000 mm \cdot {(200 mm)}^{3}}{12} + 1000 mm \cdot 200 mm \cdot {(103 mm - \frac{200 mm}{2})}^{2} + 20 \cdot (4.45 {cm}^{2} \cdot {(170 mm - 103 mm)}^{2} + 0) = 70844.30 {cm}^{4}

Příklad: Účinný moment setrvačnosti ideálního těžiště v neporušeném stavu bez trhlin při dlouhodobém zatížení

Excentricita ideálního těžiště průřezu v nerozlomeném stavu, e_I, udává odchylku těžiště od geometrického středu průřezu. Tato excentricita je důležitá, protože ovlivňuje momenty vznikající v průřezu, což přímo ovlivňuje deformace.

e = z_{I} - \frac{h}{2}

Excentricita ideálního těžiště průřezu ve stavu bez trhlin

e_I = 103 mm - 200 mm / 2 = 3 mm

Těžištní vzdálenost ideálního průřezu v nerozlomeném stavu při krátkodobém zatížení, z_I,st, popisuje polohu těžiště při zatížení, které nezohledňuje dotvarovací nebo smrštitelné efekty. Konverzní faktor α_e,I,st, který se používá při krátkodobých výpočtech, je proto menší než při dlouhodobém zatížení. Tento těžištní odstup je rozhodující pro rozložení zatížení a určení momentů při krátkodobém zatížení.

z_{I, st} = \frac{b \cdot \frac{h}{2} + α_{e, I, st} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} \cdot d_{ef, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot d_{ef, - z, (oben)})}{b \cdot h + α_{e, I, st} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})}

Vzdálenost těžiště ideálního průřezu ve stavu bez trhlin při krátkodobém zatížení

z_{I, st} = \frac{1000 mm \cdot \frac{200 mm}{2} + 6.67 \cdot (4.45 {cm}^{2} \cdot 170 mm + 0)}{1000 mm \cdot 200 mm + 6.67 \cdot (4.45 {cm}^{2} + 0)} = 101 mm

Příklad: Vzdálenost těžiště ideálního průřezu ve stavu bez trhlin při krátkodobém zatížení

Efektivní průřezová plocha v nerozlomeném stavu při krátkodobém zatížení, A_I,st, je podobná ploše A_I, ale je upravena konverzním faktorem α_e,I,st, který nebere v úvahu dlouhodobé efekty. To vede k menší ploše a má dopad na výpočet únosnosti při krátkodobých zatíženích.

A_{I, st} = b \cdot h + α_{e, I, st} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})

Efektivní průřezová plocha ve stavu bez trhlin při krátkodobém zatížení

A_I,st = 1000 mm ⋅ 200 mm + 6,67 ⋅ ( 4,45 cm² + 0 cm² ) = 2.029,69 cm²

Efektivní moment setrvačnosti ideálního těžiště průřezu v nerozlomeném stavu při krátkodobém zatížení, I_I,st, představuje odolnost průřezu vůči ohybu bez vlivu dlouhodobých efektů. Zohledňuje jak betonovou, tak i výztužovou plochu a jejich vzdálenosti od těžiště, což je pro výpočet deformací při krátkodobých zatíženích rozhodující.

I_{I, st} = \frac{b \cdot h^{3}}{12} + b \cdot h \cdot {(z_{I, st} - \frac{h}{2})}^{2} + α_{e, I, st} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} \cdot {(d_{ef, - z, (unten)} - z_{1, st})}^{2} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot {(z_{1, st} - d_{ef, - z, (oben)})}^{2})

Účinný moment setrvačnosti ideálního těžiště při neporušeném stavu bez trhlin při krátkodobém zatížení

I_{I, st} = \frac{1000 mm \cdot {(200 mm)}^{3}}{12} + 1000 mm \cdot 200 mm \cdot {(101 mm - \frac{200 mm}{2})}^{2} + 6.67 \cdot (4.45 {cm}^{2} \cdot {(170 mm - 101 mm)}^{2} + 0) = 68100.10 {cm}^{4}

Příklad: Účinný moment setrvačnosti ideálního těžiště v stavu bez trhlin při krátkodobém zatěžování

Geometrické parametry rozlomené

Těžištní vzdálenost ideálního průřezu v rozlomeném stavu, z_II, bere v úvahu změněnou únosnost průřezu, protože tahová zóna betonu po vzniku trhlin již nenese zatížení. Poloha těžiště je nově vypočítána, přičemž se zohledňuje pouze tlaková zóna betonu a výztuž. Tento parametr je stěžejní pro analýzu průřezu po vzniku trhlin a ovlivňuje únosnost a deformaci.

z_{II} = \frac{\frac{b \cdot {x_{II}}^{2}}{2} + α_{e, II} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} \cdot d_{ef, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot d_{ef, - z, (oben)})}{b \cdot x_{II} + α_{e, II} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})}

Vzdálenost těžiště ideálního průřezu u poškozeného průřezu

z_{II} = \frac{\frac{1000 mm \cdot {(46.8 mm)}^{2}}{2} + 20 \cdot (4.45 {cm}^{2} \cdot 170 mm + 0)}{1000 mm \cdot 46.8 mm + 20 \cdot (4.45 {cm}^{2} + 0)} = 46.8 mm

Příklad: Vzdálenost těžiště ideálního průřezu ve stavu s trhlinami

Efektivní průřezová plocha v rozlomeném stavu, A_II, představuje zbývající plochu po vzniku trhliny. Zde je zohledněna pouze betonová tlaková zóna a výztužová plocha, což značně snižuje tuhost průřezu. Tato hodnota je rozhodující pro analýzu únosnosti v rozlomených průřezech.

A_{II} = b \cdot x_{II} + α_{e, II} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})

Účinná plocha průřezu ve stavu s trhlinami

A_II = 1.000 mm ⋅ 46,8 mm + 20 ⋅ ( 4,45 cm² + 0 ) = 557,41 cm²

Efektivní moment setrvačnosti ideálního těžiště průřezu v rozlomeném stavu, I_II, popisuje odolnost proti ohybu po vzniku trhliny. Protože tahová zóna již není nosná, značně se snižuje moment setrvačnosti. Tato hodnota je klíčovým faktorem pro výpočet deformace a hodnocení únosnosti rozlomených průřezů.

I_{II} = \frac{b \cdot {x_{II}}^{3}}{12} + b \cdot x_{II} \cdot (z_{II} - \frac{x_{II}}{2})^{2} + α_{e, II} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} \cdot ((d_{ef, - z, (unten)} - z_{II})^{2} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot (z_{II} - d_{ef, - z, (oben)})^{2})

Účinný moment setrvačnosti neutrální osy ve stavu s trhlinami

I_{II} = \frac{1000 mm \cdot {(46.8 mm)}^{3}}{12} + 1000 mm \cdot 46.8 mm \cdot {(46.8 mm - \frac{46.8 mm}{2})}^{2} + 20 \cdot 4.45 {cm}^{2} \cdot {(170 mm - 46.8 mm)}^{2} + 0 = 16933.50 {cm}^{4}

Příklad: Vlastní moment setrvačnosti ve stavu bez trhlin

Excentricita ideálního těžiště průřezu v rozlomeném stavu, e_II, popisuje posun těžiště v důsledku vzniku trhliny. Tento posun ovlivňuje vznikající momenty a deformaci průřezu, a proto je důležitým parametrem pro statickou analýzu.

e_{II} = z_{II} - \frac{h}{2}

Excentricita ideálního těžiště průřezu ve stavu s trhlinami

e_II = 46,8 mm - 200 mm / 2 = -53,2 mm

Smršťování

Normálová síla způsobená smršťováním, N_sh, vzniká, protože výztuž nesdílí deformace betonu způsobené smršťováním a následkem toho přenáší síly. Tyto síly vyplývají z interakce mezi tahovou silou betonu a reakcí výztuže. Vypočtená hodnota ukazuje, jak silně je výztuž zatížena smršťováním. Na tomto místě je použito zde nepřímo uživatelsky definované smrštovací prodloužení ε_sh = -0,5 ‰.

N_{sh} = - E_{s} \cdot ε_{sh} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})

Normálová síla od smršťování

N_sh = -2 ⋅ 10⁵ MN/m² ⋅ ( -0,000.5 ) ⋅ ( 4,45 cm² + 0,00 ) = 44,532 kN

Excentricita smrštovací síly k těžišti nerozlomeného ideálního průřezu, e_sh,I, popisuje polohu výsledné smrštovací síly vzhledem k těžišti průřezu. Větší excentricita vede k vyšším momentům a větším deformacím.

e_{sh, I} = \frac{A_{s, def, - z, (unten)} \cdot d_{ef, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot d_{ef, - z, (oben)}}{A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)}} - z_{1}

Excentricita smršťovací síly vůči těžišti ideálního řezu v stavu bez trhlin

e_sh,I = ( 4,45 cm² ⋅ 170 mm + 0 ) / ( 4,45 cm² + 0 ) - 103 mm = 67 mm

Smrštovací moment pro nerozlomený stav, M_sh,I, vyplývá z smrštovací síly N_sh a excentricity e_sh,I. Ukazuje, jak smrštovací síla vytváří při působení na průřez moment. Tento moment zásadně ovlivňuje deformace a napětí v průřezu a musí být při návrhu zohledněn.

M_{sh, I} = N_{sh} \cdot e_{sh, I}

Moment smršťování pro stav bez trhlin

M_sh,I = 44,532 kN ⋅ 67 mm = 2,98 kNm

Diagram znázorňující rozložení osových sil Nsh a momentů Msh na konstrukčním prvku.

Analýza vnitřních sil: N_sh a M_sh

Krúživost pro nerozlomený stav k_sh,I udává, jak smrštovací moment působí v poměru k normálové síle a excentricitě. Ukazuje, jak rozložení smrštovací síly a poloha těžiště ovlivňují deformace konstrukce. Tato hodnota je rozhodující pro kompletní popis deformací průřezu způsobených smršťováním.

k_{sh, I} = \frac{M_{sh, I} + M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot e_{I}}{M_{y, Ed, def} - N_{Ed} - e_{I}}

Součinitel zakřivení pro stav bez trhlin

k_sh,I = ( 2,98 kNm + 18,5 kNm - 0 ) / ( 18,50 kNm – 0 ) = 1,161

Excentricita smrštovací síly k těžišti ideálního průřezu v rozlomeném stavu, e_sh,II, popisuje polohu výsledné smrštovací síly vzhledem k těžišti průřezu v rozlomeném stavu. Přitom jsou zohledněny plochové momenty výztuže, A_{s,def, +z,(dole)} a A_{s,def, -z,(nahoře)}, ve vztahu k jejich poloze, d_{ef, +z,(dole)} a d_{ef, -z,(nahoře)}, a dělí se celkovou plochou výztuže. Od výsledné hodnoty se odečte těžištní vzdálenost rozlomeného průřezu, z_II. Tato excentricita ovlivňuje smrštovací moment, protože větší excentricita vede k většímu momentu.

e_{sh, II} = \frac{A_{s, def, + z, (unten)} \cdot d_{ef, + z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot d_{ef, - z, (oben)}}{A_{s, def, + z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)}} - z_{II}

Excentricita síly smršťování vůči těžišti ideálního průřezu ve stavu s trhlinami

e_sh,II = ( 4,45 cm² ⋅ 170 mm + 0 ) / ( 4,45 cm² + 0 ) – 46,8 mm = 123,2 mm

Ohybový moment způsobený normálovou silou N_sh pro rozlomený stav, M_sh,II, vyplývá z násobení smrštovací síly N_sh s dříve vypočítanou excentricitou e_sh,II. Tento moment popisuje další namáhání průřezu ohybem způsobené smrštovací silou. Zvláště v rozlomeném stavu, kde již tahová zóna betonu nenese zatížení, je tato hodnota relevantní.

M_{sh, II} = N_{sh} \cdot e_{sh, II}

Ohybový moment od normálové síly N_sh pro stav s trhlinami

M_sh,II = 44,532 kN ⋅ 123,2 mm = 5,48 kNm

Krúživost pro rozlomený stav, k_sh,II, udává, jak silně je deformace průřezu ovlivněna smrštovacím momentem a ostatními působícími silami. Tím se zohledňují smrštovací moment M_sh,II, stávající ohybový moment M_y,Ed,def a normálová síla N_Ed včetně její excentricity e_II. Výpočet dává výsledek, který udává vliv smrštovací síly vzhledem k momentu bez smršťování a je měřítkem vlivu smršťovací síly.

k_{sh, II} = \frac{M_{sh, II} + M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot e_{II}}{M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot e_{II}}

Součinitel zakřivení pro stav s trhlinami

k_sh,II = ( 5,48 kNm + 18,50 kNm - 0 ) / ( 18,50 kNm - 0 ) = 1,296

Deformace průřezu

Deformace průřezu popisuje křivost konstrukce způsobenou vnějšími vlivy při zohlednění jejích materiálových a stavových parametrů.

Výpočet deformace průřezu v nerozlomeném stavu, κ_I, popisuje křivost průřezu způsobenou smrštovacím momentem a elastickými vlastnostmi materiálu. Bere se v úvahu smrštovací moment M_y,Ed,def, podobně jako normálová síla N_Ed a její excentricita e_I. Tyto veličiny jsou násobeny faktorem k_sh,I, který popisuje vliv smrštovacího momentu v nerozlomeném stavu. V jmenovateli stojí efektivní modul pružnosti betonu, E_c,eff, a moment setrvačnosti nerozlomeného průřezu, I_I, které určují tuhost průřezu.

κ_{I} = \frac{k_{sh, I} \cdot (M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot e_{I})}{E_{c, eff} \cdot I_{I}}

Výpočet deformace průřezu ve stavu bez trhlin

κ_I = ( 1,161 ⋅ ( 18,50 kNm - 0) ) / ( 10.001,2 MN/m² ⋅ 70.844,30 cm⁴ )
= 3 mrad/m

Výpočet deformace průřezu v rozlomeném stavu, κ_II, ukazuje křivost průřezu po vzniku trhlin, s přihlédnutím ke smrštovacímu momentu a snížené nosnosti rozlomeného průřezu. Zde se bere v úvahu smrštovací moment M_y,Ed,def, normálová síla N_Ed a její excentricita e_II s faktorem k_sh,II, který popisuje vliv smrštovacího momentu v rozlomeném stavu. V jmenovateli stojí efektivní modul pružnosti betonu, E_c,eff, a snížený moment setrvačnosti rozlomeného průřezu, I_II, které odrážejí nižší tuhost průřezu. Deformace průřezu v rozlomeném stavu je výrazně větší než v nerozlomeném stavu, protože tuhost rozlomeného průřezu je snížena.

κ_{II} = \frac{k_{sh, II} \cdot (M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot e_{II})}{E_{c, eff} \cdot I_{II}}

Výpočet deformace průřezu ve stavu s trhlinami

κ_II = ( 1,296 ⋅ ( 18,50 kNm - 0 ) ) / ( 10.001,2 MN/m² ⋅ 16.933,50 cm⁴ ) = 14,2 mrad/m

Konečný stav

Konečný stav popisuje maximální napětí, které může vzniknout v nerozlomeném průřezu jak při dlouhodobém, tak krátkodobém zatížení, aby byla zajištěna únosnost a použitelnost konstrukce.

Maximální napětí v nerozlomeném stavu při dlouhodobém zatížení, σ_max,It, popisuje největší napětí, které může vzniknout v nerozlomeném průřezu v důsledku dlouhodobých zatížení. Skládá se ze dvou složek:

podílu normálových sil N_Ed a N_sh
podílu momentů M_y,Ed,def, M_sh,I a momentů vzniklých excentricitou (z_I - h/2) normálové síly N_Ed.

Druhá složka se zesiluje momentem setrvačnosti I_I a vzdáleností (h - z_I).

σ_{\max, It} = \frac{N_{Ed} + N_{sh}}{A_{I}} + \frac{M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot (z_{I} - h / 2) + M_{sh, I}}{I_{I}} \cdot (h - z_{I})

Maximální napětí ve stavu bez trhlin při dlouhodobém zatěžování

σ_{\max, lt} = \frac{0 + 44.532 kN}{2, 089.05 {cm}^{2}} + \frac{18.50 kNm - 0 + 2.98 kNm}{70, 844.30 {cm}^{4}} \cdot (200 mm - 103 mm) = 3.155 MN / m^{2}

Příklad: Maximální napětí ve stavu bez trhlin při dlouhodobém zatěžování

Maximální napětí v nerozlomeném stavu při krátkodobém zatížení, σ_max,st, udává největší napětí v průřezu při krátkodobých zatíženích. Na rozdíl od dlouhodobého zatížení se zde bere v úvahu pouze normálová síla N_Ed a M_y,Ed,def, protože není přítomna žádná vnitřní síla způsobená smršťováním.

σ_{\max, st} = \frac{N_{Ed}}{A_{I, st}} + \frac{M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot (z_{I, st} - h / 2)}{I_{I, st}} \cdot (h - z_{I, st})

Maximální napětí ve stavu bez trhlin při krátkodobém zatížení

σ_{\max, st} = \frac{0}{2029.69 {cm}^{2}} + \frac{18.50 kNm - 0}{68, 100.10 {cm}^{4}} \cdot (200 mm - 101 mm) = 2.689 MN / m^{2}

Příklad: Maximální napětí ve stavu bez trhlin při krátkodobém zatížení

Maximální napětí v nerozlomeném stavu, σ_max, je větší z obou hodnot napětí při dlouhodobém a krátkodobém zatížení. Zajišťuje, že je zohledněno nejvyšší možné zatížení průřezu.

σ_{\max} = \max (σ_{\max, I}; σ_{\max, st})

Maximální napětí ve stavu bez trhlin

σ_max = max( 3,155 MN/m²; 2,689 MN/m² )
= 3,155 MN/m²

Rozdělovací koeficient (poškozovací parametr), ζ_d, popisuje přechod mezi chováním průřezu v nerozlomeném a rozlomeném stavu. Vypočítá se jako poměr charakteristické pevnosti v tahu betonu, f_ctm k maximálnímu napětí, σ_max, a nelinearita se zohledňuje exponenciálním vztahem.

ζ_{d} = 1 - β \cdot (f_{ctm} / σ_{\max}) ²

β	Doba trvání zatížení nebo součinitel opakování

parametr poškození podle 7.4.3 (3) rov. 7.19

ζ_d = 1 – 0,5 ⋅ (2,200 MN/m² / 3,155 MN/m²)²
= 0,757 ≤ 1
s:
β = 1,0 (krátkodobé zatížení)
β = 0,5 (dlouhodobé zatížení nebo mnoho cyklů opakujících se zatížení)
Je-li rozdělovací koeficient ζ_d = 1, nachází se konstrukce zcela v rozlomeném stavu. Pokud je však ζ_d rovno 0, je beton zcela nerozlomený.

Informace

Přímý výpočet deformace je silně závislý na rozdělovacím koeficientu. Další poznámky naleznete v odborném článku Rozdělovací koeficient ζ při výpočtu deformace železobetonových konstrukcí.

Schématické znázornění součinitele rozdělení v diagramu rozdělení zatížení

Koeficient rozložení - výpočet a vizualizace

Pro výpočet rozdělovacího koeficientu ζ_d je důležité, která možnost byla vybrána pro rozpoznání stavu rozlomení. Možnost „Stav rozlomení spočítaný z přidruženého zatížení“ způsobí, že stav rozlomení (rozdělovací koeficient ζ_d) se počítá výhradně z aktuálního zatížení (kombinace zatížení) – jako v tomto příkladu. Další možnosti jsou podrobněji popsány v manuálu.

Detekce trhlin v konstrukčních prvcích | Monitorování stavu trhlin

Analýza trhlin

Krúživost průřezu, κ_f, je počítána interpolací mezi rozlomeným (κ_II) a nerozlomeným (κ_I) stavem, vážená rozdělovacím koeficientem, ζ_d. To umožňuje realistické popisování chování krúživosti ve fázi přechodu.

κ_{f} = ζ_{d} \cdot κ_{II} + (1 - ζ_{d}) \cdot κ_{I}

Zakřivení průřezu podle 7.4.3 (3), rovnice 7.18

κ_f = 0,757 ⋅ 14,2 mrad/m + (1 – 0,757) ⋅ 3 mrad/m
= 11,5 mrad/m

Ideální průřezová plocha, A_f, popisuje přechod mezi nerozlomenou průřezovou plochou, A_I, a rozlomenou průřezovou plochou, A_II. I zde probíhá vážení pomocí rozdělovacího koeficientu, ζ_d.

A_{f} = \frac{A_{I} \cdot A_{II}}{ζ_{d} \cdot A_{I} + (1 - ζ_{d}) \cdot A_{II}}

Ideální plocha průřezu

A_{f} = \frac{2, 089.05 {cm}^{2} \cdot 557.41 {cm}^{2}}{0.757 \cdot 2089.05 {cm}^{2} + (1 - 0.757) \cdot 557.41 {cm}^{2}} = 678.30 {cm}^{2}

Příklad: Ideální plocha průřezu

Ideální moment setrvačnosti, I_y,f, popisuje moment průřezu při zohlednění rozdělovacího koeficientu, ζ_d, a momentů setrvačnosti v nerozlomeném stavu, I_I a rozlomeném stavu, I_II. Dodatečné faktory jako k_sh,II a k_sh,I zohledňují vlivy smršťování v příslušném stavu.

I_{y, f} = \frac{I_{I} \cdot I_{II}}{ζ_{d} \cdot I_{I} \cdot k_{sh, II} + (1 - ζ_{d}) \cdot I_{II} \cdot k_{sh, I}}

Ideální moment setrvačnosti

I_{y, f} = \frac{70.844, 3 {cm}^{4} \cdot 16.933, 5 {cm}^{4}}{(0, 757 \cdot 70.844, 30 {cm}^{4} \cdot 1, 296 + (1 - 0, 757) \cdot 16.933, 50 {cm}^{4} \cdot 1, 161)} = 16.145, 50 {cm}^{4}

Příklad: Ideální moment setrvačnosti

Excentricita těžiště, e_f, popisuje umístění výsledného těžiště průřezu založeného na přechodu mezi nerozlomeným a rozlomeným stavem. Zahrnuje jak rozdělovací koeficient, ζ_d, tak i příslušné moduly pružnosti, E_c,eff a momenty setrvačnosti, I_I a I_II.

e_{f} = \frac{ζ_{d} \cdot E_{c, eff} \cdot I_{I} \cdot e_{I} + (1 - ζ_{d}) \cdot E_{c, eff} \cdot I_{II} \cdot e_{II}}{ζ_{d} \cdot E_{c, eff} \cdot I_{I} + (1 - ζ_{d}) \cdot E_{c, eff} \cdot I_{II}}

Excentricita těžiště

e_{f} = \frac{0.757 \cdot 10, 001.2 MN / m^{2} \cdot 70, 844.30 {cm}^{4} \cdot (- 53.2 mm) + (1 - 0.757) \cdot 10, 001.2 MN / m^{2} \cdot 16, 933.50 {cm}^{4} \cdot 3 mm}{0.757 \cdot 10, 001.2 MN / m^{2} \cdot 70, 844.30 {cm}^{4} + (1 - 0.757) \cdot 10, 001.2 MN / m^{2} \cdot 16, 933.50 {cm}^{4}} = - 49.2 mm

příklad: Excentricita těžiště

Ideální moment setrvačnosti k geometrickému středu průřezu, I_y,0,f, zahrnuje navíc k ideálnímu momentu setrvačnosti, I_y,f a k ideální průřezové ploše, A_f také posun těžiště prostřednictvím excentricity, e_f. Tento posun je zahrnut prostřednictvím Steinerova podílu A_f.

I_{y, 0, f} = I_{y, f} + A_{f} \cdot {e_{f}}^{2}

Ideální moment setrvačnosti ke geometrickému středu průřezu

I_y,0,f = 16.145,50 cm⁴ + 678,30 cm² ⋅ ( -49,2 mm )²
= 32.538,80 cm⁴

Konečné tuhosti

Konečné tuhosti konstrukce popisují její odpor vůči deformacím a rotacím při různých druzích zatížení. Jsou zde zahrnuty osové tuhosti a ohybové tuhosti, stejně jako torzní a smykové tuhosti. Tyto hodnoty slouží jako základ pro analýzu nosnosti a použitelnosti konstrukce.

Tangenciální membránová tuhost, EA_f, popisuje osovou tuhost průřezu při zohlednění efektivního modulu pružnosti betonu, E_c,eff a ideální průřezové plochy, A_f.

{EA}_{f} = E_{c, eff} \cdot A_{f}

Tangenciální membránová tuhost

EA_f = 10.001,2 MN/m² ⋅ 678,30 cm²
= 678.387 kN

Tangenciální ohybová tuhost, EI_y,0,f, popisuje odolnost průřezu proti ohybu kolem ideálního těžiště. Je určena efektivním modulem pružnosti betonu, E_c,eff a ideálním momentem setrvačnosti, I_y,0,f.

{EI}_{y, 0, f} = E_{c, eff} \cdot I_{y, 0, f}

Tangenciální ohybová tuhost

EI_y,0,f = 10.001,2 MN/m² ⋅ 32.538,80 cm⁴
= 3.254,28 kNm²

Tangenciální ohybová tuhost, EI_z,0,f, popisuje odolnost průřezu proti ohybu kolem místní osy z. Je určena efektivním modulem pružnosti betonu, E_c,eff a momentem setrvačnosti kolem osy z, I_z.

{EI}_{z, 0, f} = E_{c, eff} \cdot I_{z}

Tangenciální ohybová tuhost

EI_z,0,f = 10.001,2 MN/m² ⋅ 1.666.670 cm⁴
= 166.687 kNm²

Dialog RFEM | Vizualizace výsledků a průběhů tuhosti pro technické vyhodnocení

Dialogové okno programu RFEM Diagram tuhosti

Faktor r popisuje redukci smykové tuhosti na základě poměru ideálních momentů setrvačnosti I_f a I_I.

r = \frac{I_{f}}{I_{I}}

Součinitel r

r = 16.145,50 cm⁴/70.844,30 cm⁴
= 0,228

Smyková tuhost kolem osy y, GA_y,f, zahrnuje efektivní smykový modul betonu, G_c,eff, průřezovou plochu A_c,y a redukční faktor r.

{GA}_{y, f} = G_{c, eff} \cdot A_{c, y} \cdot r

Smyková tuhost vzhledem k ose y

GA_y,f = 4.167,18 MN/m² ⋅ 1.666,67 cm² ⋅ 0,228
= 158284 kN

Smyková tuhost kolem osy z, GA_z,f, je počítána analogicky k ose y.

{GA}_{z, f} = G_{c, eff} \cdot A_{c, z} \cdot r

Smyková tuhost k ose z

GA_z,f = 4.167,18 MN/m² ⋅ 1.666,67 cm² ⋅ 0,228
= 158.284 kN

Torzní tuhost, GI_T,f, odpovídá v daném případě torzní tuhosti v nerozlomeném stavu, GI_T,I.

{GI}_{T, f} = {GI}_{T, I}

rotační tuhost

GI_T,f = 7.770 kNm²

Excentrický prvek tuhosti, ES_y, popisuje dodatečné zatížení průřezu způsobené excentricitou e_f. Je vypočítán jako násobek osové tuhosti EA_f a excentricity e_f.

{ES}_{y, f} = {EA}_{f} \cdot e_{f}

excentrický prvek tuhosti

ES_y = 678.387 kN ⋅ ( -49,2 mm )
= -33.350,20 kNm

Průhyb

Pro zajištění použitelnosti se skutečná deformace porovnává s přípustnými mezními hodnotami. Při tom se celkový průhyb upraví o předběžnou křivost a ověřuje na stanovené mezní hodnoty průhybu.

Při výpočtu průhybu se hlavní kombinace zatížení počítá bez časově závislých efektů jako dotvarování a smršťování (krátkodobě), zatímco příslušné kombinace zatížení jsou vždy počítány s časově závislými vlastnostmi (dlouhodobě). Pokud existuje více než jedno zatížení, je průhyb určen zatížením s nejvyšší hodnotou.

Maximální průhyb ve směru z, u_z,lim, se vypočítá na základě referenční délky ve směru z, L_z,ref, a mezního kritéria průhybu, L_z,ref/u_z,lim.

u_{z, \lim} = \frac{L_{z, ref}}{L_{z, ref} / u_{z, \lim}}

Mezní průhyb ve směru z

u_z,lim = 4,210 m / 250 = 16,8 mm

Průhyb ve směru z, u_z, plyne z rozdílu celkového průhybu, u_z,ges, a předběžné křivosti v místě x, u_z,c.

u_{z} = u_{z, ges} - u_{z, c}

Průhyb ve směru z

u_z = 19,4 mm - 0 = 19,4 mm

Výsledkový diagram průhybu rozhodujícího a mezního průhybu

Výsledkový diagram: Průhyb a mezní průhyb

Posouzení

η = \max (u_{z} / u_{z, \lim}; u_{y} / u_{y, \lim})

Posouzení omezení deformací pro železobetonové prvky

η = max( 19,4 mm / 16,8 mm; 0,0 mm / 16,8 mm ) = 1,155 Protože η = 1,155 > 1, je přípustný průhyb překročen!

Grafické zobrazení použitelnosti, průběhu deformací a využití v konstrukčních komponentách

Použitelnost, deformační diagram a využití

Závěr

Výpočet deformace podle přibližných postupů stanovených v normách, jako je výpočet deformace podle oddílu 7.4.3 z EN 1992-1-1, probíhá s použitím efektivních tuhostí, které se pro každý mezní stav (rozlomený nebo nerozlomený) uvažují v prvních prvcích. Tyto efektivní tuhosti tvoří základ pro následný výpočet deformace konstrukce s použitím další FEM analýzy.

Pro stanovení efektivních tuhostí je vzata v úvahu vyztužená betonová průřezná plocha, přičemž železobetonový průřez je pro mezní stav použitelnosti klasifikován podle zjištěných vnitřních sil jako „rozlomený“ nebo „nerozlomený“. Účinek betonu mezi trhlinami je zohledněn rozdělovacím koeficientem, například podle rovnice 7.19 (EN 1992-1-1). Chování betonu se až do mezní pevnosti v tahu předpokládá jako lineárně-elastické, což je pro použití stanovené normy dostatečně přesné.

Zohlednění časově závislých efektů dotvarování a smršťování probíhá při určení efektivních tuhostí v průřezu konstrukce, aby byla zajištěna realistická představitelnost deformací pod dlouhodobými zatíženími.

Autor

Paní Dannwerthová se stará o uživatele v zákaznické podpoře a zabývá se vývojem v oblasti geotechniky.

;