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Ann-Kathrin Dannwerth, B.Sc.

11-02-2025

Cálculo directo de la deformación de una viga de hormigón armado considerando la fluencia y retracción

El artículo técnico trata del cálculo directo de deformación de una viga de hormigón armado considerando las influencias a largo plazo del fluencia y la retracción. Se explica el cálculo directo según Eurocódigo 2 (EN 1992-1-1, sección 7.4.3) utilizando una viga simple. Se hace especial hincapié en el endurecimiento a tracción, el comportamiento en estado fisurado según el factor de distribución (parámetro de daño), así como la consideración del comportamiento de retracción y fluencia.

En este artículo técnico se lleva a cabo el cálculo directo de las deformaciones de una viga de hormigón armado, considerando además los efectos a largo plazo de la fluencia y la retracción. A través de un ejemplo se muestra cómo estos efectos influyen en la deformación de un elemento y se incorporan en el cálculo. Se explica qué entradas en RFEM 6 son necesarias para considerar correctamente todos los factores relevantes y cómo el coeficiente de redistribución afecta la rigidez del elemento.

Datos de entrada

La geometría, el armado y la carga están descritos por los siguientes parámetros:

Sistema

Tipo de viga: Viga simple
Luz: l = 4,210 m

Sección transversal

Espesor de la losa: h = 20 cm
Ancho de la losa b = 100 cm
Material: Hormigón C20/25 con E_cm = 30,000 MN/m² y B 500A
Armado: A_{s,-z,(inferior)} = 4,45 cm² con 7 ∅ 9 y d₁ = 30 mm
Altura útil del armado inferior: d_{def,+z (inferior)} = 17 cm

Cargas permanentes

Peso propio: g_s = 0,20 m ⋅ 1m ⋅ 25 kN/m³ = 5,00 kN/m
Revestimiento y enlucido: g_bp = 1,50 kN/m
Suma: g_k,total = 6,5 kN/m

Cargas permanentes

Cargas variables

Carga de uso (oficina): q_b = 2,00 kN/m con ψ₂ = 0,3
Compensación de tabiques: q_t = 1,25 kN/m con ψ₂ = 1,0

Cargas variables

Carga cuasi-permanente

6,5 kN/m + 0,3 ⋅ 2,00 kN/m + 1,0 ⋅ 1,25 kN/m = 8,35 kN/m

Momento flector de diseño para el cálculo de la flecha

M_y,Ed,def = 8,35 kN/m ⋅ (4,21 m)² / 8 = 18,50 kNm

Prevalores del cálculo de deformaciones

Módulo de elasticidad medio del hormigón: E_cm = 30.000 MN/m²

Módulo de elasticidad

Grado de armado longitudinal: ρ = A_s / A_c = 4,45 cm² / ( 20 cm ⋅ 100 cm) = 0,223 %

Vista detallada de disposición del armadura con barras visibles

Disposición detallada de armadura

Deformación por retracción: ε_sh = -0,5 ‰
Coeficiente de fluencia: φ = 2

La opción "Valores avanzados dependientes del tiempo del hormigón" debe estar activada en la configuración de la sección transversal para poder definir el coeficiente de fluencia de forma personalizada.

Ilustración de propiedades de material dependientes del tiempo avanzadas que muestran el comportamiento del hormigón a lo largo del tiempo

Propiedades dependientes del tiempo del hormigón ampliadas

En la pestaña ahora disponible, primero deben marcarse las casillas de "Fluencia" y "Retracción" para poder ver y editar los "Valores básicos de las características dependientes del tiempo". El coeficiente de fluencia φ se determinó aquí al ingresar φ₀, ϵ_cd,0 y ϵ_ca(∞).

Diálogo de RFEM | Sección de hormigón armado: Fluencia y retracción

Fluencia

Los efectos de la fluencia se capturan mediante una reducción del módulo de elasticidad E_c del hormigón.

El módulo de elasticidad efectivo E_c,eff considera los efectos a largo plazo del hormigón, particularmente la fluencia. La fluencia describe la deformación a largo plazo del hormigón bajo una carga constante. Mediante el coeficiente de fluencia φ, el módulo de elasticidad E_cm (módulo de elasticidad medio del hormigón) se reduce para que se represente la rigidez real del hormigón durante un largo período. Este valor se utiliza en otros cálculos como el momento de inercia o la relación de rigideces.

E_{c, eff} = \frac{E_{cm}}{1 + φ}

Módulo de elasticidad eficaz según a 7.4.3 (5) Ec. 7,20

E_c,eff = 30.000 MN/m² / ( 1 + 2 ) = 10.001,2 MN/m²

Módulo de corte efectivo del hormigón G_c,eff El módulo de corte efectivo describe la resistencia del hormigón a las deformaciones por corte y se determina con la relación entre la deformación transversal y la deformación longitudinal (el coeficiente de Poisson del hormigón). Este valor es especialmente importante en cálculos de deformaciones de secciones transversales y en verificaciones de corte.

G_{c, eff} = \frac{E_{c, eff}}{2 \cdot (1 + ν)}

Módulo de cortante eficaz del hormigón

G_c,eff = 10.001,2 MN/m² / ( 2 ⋅ ( 1 + 0,2 ) ) = 4.167,180 MN/m²

Relación de los módulos E para el estado no fisurado (carga a largo plazo) α_e,l La relación α_e,l indica cuán más rígido es el acero en comparación con el hormigón bajo carga a largo plazo. E_s es el módulo de elasticidad del acero, E_c,l el módulo de elasticidad efectivo del hormigón en el estado no fisurado (idéntico a E_c,eff). Como el hormigón muestra una menor rigidez debido a efectos a largo plazo como la fluencia, el valor de α_e,l en este estado es más alto. Esta relación se usa para el cálculo del centroide y los valores efectivos de la sección transversal.

α_{e, I} = \frac{E_{s}}{E_{c, I}}

Razón de módulos eficaz para el estado no fisurado (carga a largo plazo)

α_e,l = 2 ⋅ 10⁵ MN/m² / 10.001,2 MN/m² = 20

Relación de los módulos E para el estado no fisurado (carga a corto plazo) α_e,I,st La relación α_e,I,st describe la relación de rigidez entre el acero y el hormigón bajo carga a corto plazo. A diferencia de α_e,l, aquí se utiliza el módulo de elasticidad medio E_cm sin considerar efectos de fluencia. Esto refleja la situación real de carga cuando el hormigón se carga solo a corto plazo. Este valor es especialmente relevante para la verificación de cargas a corto plazo.

α_{e, I, st} = \frac{E_{s}}{E_{cm}}

Relación de módulos eficaz para el estado no fisurado (carga a corto plazo)

α_e,I,st = 2 ⋅ 10⁵ MN/m² / 30.000 MN/m² = 6,67

Relación de los módulos E para el estado fisurado α_e,II En el estado fisurado, el hormigón en la zona de tracción se considera no resistente. La relación α_e,II lo tiene en cuenta al incluir solo el módulo de elasticidad efectivo E_c,eff del hormigón. Este valor muestra que la rigidez del acero en comparación con el hormigón en el estado fisurado es mayor, lo que subraya la importancia del armado en tales casos.

α_{e, II} = \frac{E_{s}}{E_{c, eff}}

Razón de módulos eficaz para el estado fisurado

α_e,II = 2 ⋅ 10⁵ MN/m² / 10.001,2 MN/m² = 20,00

Parámetros geométricos no fisurados

La distancia al centroide de la sección ideal en el estado no fisurado bajo carga a largo plazo, z_I, describe la ubicación del centroide considerando el área de concreto y el armado. La acción del armado se escala con un factor de conversión α_e,l, que representa la relación entre el módulo de elasticidad del acero y el módulo de elasticidad efectivo del hormigón. Esto es especialmente importante porque las cargas a largo plazo, como la fluencia, debilitan el hormigón. El centroide influye en el cálculo de momentos y deformaciones en la sección transversal y es, por lo tanto, un parámetro central para el análisis estático.

z_{I} = \frac{\frac{b \cdot h^{2}}{2} + α_{e, I} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} \cdot d_{ef, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot d_{ef, - z, (oben)})}{b \cdot h + α_{e, I} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})}

Distancia del centroide de la sección teórica sin fisurar bajo carga a largo plazo

El área de sección transversal efectiva en el estado no fisurado bajo carga a largo plazo, A_I, representa el área efectiva que soporta cargas. Se considera el área del concreto y también el área del armado, que se complementa con el factor α_e,l. Así, la rigidez de la sección se representa más realísticamente. Este valor es crucial para evaluar la capacidad de carga y el cálculo de la deformación del elemento.

A_{I} = b \cdot h + α_{e, I} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})

Área de sección eficaz en estado fisurado bajo carga a largo plazo

A_I = 1.000 mm ⋅ 200 mm + 20 ⋅ ( 4,45 cm² + 0 cm² ) = 2.089,05 cm²

El momento de inercia efectivo del centroide ideal en el estado no fisurado bajo carga a largo plazo, I_I, describe la resistencia de la sección a la flexión. Considera tanto el área del concreto como el armado, donde este último genera momentos adicionales por su posición relativa al centroide. Este momento de inercia es un factor central para el cálculo de la deformación y muestra cuán resistente es la sección a los momentos de flexión.

I_{I} = b \cdot \frac{h^{3}}{12} + b \cdot h \cdot (z_{I} - \frac{h}{2}) ² + α_{e, I} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} \cdot {(d_{ef, - z, (unten)} - z_{I})}^{2} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot {(z_{I} - d_{ef, - z, (oben)})}^{2})

Momento de inercia eficaz del centroide ideal en estado no fisurado bajo carga a largo plazo

I_{I} = \frac{1000 mm \cdot {(200 mm)}^{3}}{12} + 1000 mm \cdot 200 mm \cdot {(103 mm - \frac{200 mm}{2})}^{2} + 20 \cdot (4.45 {cm}^{2} \cdot {(170 mm - 103 mm)}^{2} + 0) = 70844.30 {cm}^{4}

Ejemplo: Momento de inercia eficaz del centro ideal en estado no fisurado bajo carga a largo plazo

La excentricidad del centroide de la sección ideal en el estado no fisurado, e_I, indica el desvío del centroide desde el centro geométrico de la sección. Esta excentricidad es importante ya que influye en los momentos que surgen en la sección y afecta directamente las deformaciones.

e = z_{I} - \frac{h}{2}

Excentricidad del centro de gravedad ideal de la sección en estado no fisurado

e_I = 103 mm - 200 mm / 2 = 3 mm

La distancia al centroide de la sección ideal en el estado no fisurado bajo carga a corto plazo, z_I,st, describe la ubicación del centroide bajo cargas que no consideran efectos de fluencia o retracción. El factor de conversión α_e,I,st, utilizado en el cálculo a corto plazo, es por lo tanto menor que en cargas a largo plazo. Esta distancia al centroide es crucial para la distribución de las cargas y la determinación de los momentos en cargas a corto plazo.

z_{I, st} = \frac{b \cdot \frac{h}{2} + α_{e, I, st} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} \cdot d_{ef, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot d_{ef, - z, (oben)})}{b \cdot h + α_{e, I, st} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})}

Distancia del centroide de la sección en estado no fisurado bajo carga de corta duración

z_{I, st} = \frac{1000 mm \cdot \frac{200 mm}{2} + 6.67 \cdot (4.45 {cm}^{2} \cdot 170 mm + 0)}{1000 mm \cdot 200 mm + 6.67 \cdot (4.45 {cm}^{2} + 0)} = 101 mm

Ejemplo: Distancia del centro de gravedad de la sección ideal en estado no fisurado bajo carga a corto plazo

El área de sección transversal efectiva en el estado no fisurado bajo carga a corto plazo, A_I,st, es similar al área A_I, pero se ajusta con el factor de conversión α_e,I,st, que no considera efectos a largo plazo. Esto conduce a un área menor y tiene un impacto en el cálculo de la capacidad de carga bajo cargas temporales.

A_{I, st} = b \cdot h + α_{e, I, st} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})

Área de sección eficaz en estado no fisurado bajo carga de corta duración

A_I,st = 1000 mm ⋅ 200 mm + 6,67 ⋅ ( 4,45 cm² + 0 cm² ) = 2.029,69 cm²

El momento de inercia efectivo del centroide ideal en el estado no fisurado bajo carga a corto plazo, I_I,st, representa la resistencia de la sección a la flexión sin el impacto de efectos a largo plazo. Considera tanto el área de concreto como la de armado y sus distancias desde el centroide, crucial para el cálculo de la deformación bajo cargas temporales.

I_{I, st} = \frac{b \cdot h^{3}}{12} + b \cdot h \cdot {(z_{I, st} - \frac{h}{2})}^{2} + α_{e, I, st} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} \cdot {(d_{ef, - z, (unten)} - z_{1, st})}^{2} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot {(z_{1, st} - d_{ef, - z, (oben)})}^{2})

Momento de inercia efectivo del centroide ideal en estado agrietado bajo carga de corta duración

I_{I, st} = \frac{1000 mm \cdot {(200 mm)}^{3}}{12} + 1000 mm \cdot 200 mm \cdot {(101 mm - \frac{200 mm}{2})}^{2} + 6.67 \cdot (4.45 {cm}^{2} \cdot {(170 mm - 101 mm)}^{2} + 0) = 68100.10 {cm}^{4}

Ejemplo: Momento de inercia efectiva del centroide idealizado en estado no fisurado bajo carga de corta duración

Parámetros geométricos fisurados

La distancia al centroide de la sección ideal en el estado fisurado, z_II, considera la capacidad de carga alterada de la sección ya que la zona de tracción del hormigón no soporta cargas tras la formación de fisuras. La ubicación del centroide se recalcula, considerando solo la zona de compresión del hormigón y el armado. Este parámetro es central para el análisis de la sección tras la fisura y afecta la capacidad de carga y deformación.

z_{II} = \frac{\frac{b \cdot {x_{II}}^{2}}{2} + α_{e, II} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} \cdot d_{ef, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot d_{ef, - z, (oben)})}{b \cdot x_{II} + α_{e, II} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})}

Distancia del centro de gravedad de la sección ideal en estado fisurado

z_{II} = \frac{\frac{1000 mm \cdot {(46.8 mm)}^{2}}{2} + 20 \cdot (4.45 {cm}^{2} \cdot 170 mm + 0)}{1000 mm \cdot 46.8 mm + 20 \cdot (4.45 {cm}^{2} + 0)} = 46.8 mm

Ejemplo: distancia del centro de gravedad de la sección ideal en estado fisurado

El área de sección transversal efectiva en el estado fisurado, A_II, representa el área restante tras la formación de fisuras. Aquí solo se considera la zona de compresión del hormigón y el área de armado, lo que reduce fuertemente la rigidez de la sección. Este valor es crucial para el análisis de capacidad de carga en secciones fisuradas.

A_{II} = b \cdot x_{II} + α_{e, II} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})

Área de sección efectiva en estado fisurado

A_II = 1.000 mm ⋅ 46,8 mm + 20 ⋅ ( 4,45 cm² + 0 ) = 557,41 cm²

El momento de inercia efectivo del centroide ideal en el estado fisurado, I_II, describe la resistencia a la flexión tras la formación de fisuras. Ya que la zona de tracción no es resistente, el momento de inercia se reduce considerablemente. Este valor es un factor esencial para el cálculo de la deformación y la evaluación de la capacidad de carga de secciones fisuradas.

I_{II} = \frac{b \cdot {x_{II}}^{3}}{12} + b \cdot x_{II} \cdot (z_{II} - \frac{x_{II}}{2})^{2} + α_{e, II} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} \cdot ((d_{ef, - z, (unten)} - z_{II})^{2} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot (z_{II} - d_{ef, - z, (oben)})^{2})

Momento de inercia eficaz del eje neutro en estado fisurado

I_{II} = \frac{1000 mm \cdot {(46.8 mm)}^{3}}{12} + 1000 mm \cdot 46.8 mm \cdot {(46.8 mm - \frac{46.8 mm}{2})}^{2} + 20 \cdot 4.45 {cm}^{2} \cdot {(170 mm - 46.8 mm)}^{2} + 0 = 16933.50 {cm}^{4}

Ejemplo: Momento de inercia eficaz del centroide en estado fisurado

La excentricidad del centroide de la sección ideal en el estado fisurado, e_II, indica la desviación del centroide debido a la formación de fisuras. Esta desviación influye en los momentos y deformaciones de la sección y es, por tanto, un parámetro importante para el análisis estático.

e_{II} = z_{II} - \frac{h}{2}

Excentricidad del centro ideal de gravedad de la sección en estado fisurado

e_II = 46,8 mm - 200 mm / 2 = -53,2 mm

Retracción

La fuerza normal por retracción, N_sh, surge porque el armado no acompaña la deformación del hormigón causada por la retracción y así toma fuerzas. Estas fuerzas resultan de la interacción entre la fuerza de tracción del hormigón y la reacción del armado. El valor calculado muestra cuán cargado está el armado por la retracción. En este punto se utiliza la deformación por retracción ε_sh = -0,5 ‰ definida indirectamente de forma personalizada.

N_{sh} = - E_{s} \cdot ε_{sh} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})

Fuerza axial por retracción

N_sh = -2 ⋅ 10⁵ MN/m² ⋅ ( -0,000.5 ) ⋅ ( 4,45 cm² + 0,00 ) = 44,532 kN

La excentricidad de la fuerza de retracción al centroide de la sección ideal en el estado no fisurado, e_sh,I, describe la ubicación de la fuerza resultante de retracción respecto al centroide de la sección. Una mayor excentricidad conduce a momentos y deformaciones mayores.

e_{sh, I} = \frac{A_{s, def, - z, (unten)} \cdot d_{ef, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot d_{ef, - z, (oben)}}{A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)}} - z_{1}

Excentricidad de la fuerza de retracción en relación con el centro de gravedad de la sección transversal ideal considerando el estado no fisurado

e_sh,I = ( 4,45 cm² ⋅ 170 mm + 0 ) / ( 4,45 cm² + 0 ) - 103 mm = 67 mm

El momento por retracción para el estado no fisurado, M_sh,I, resulta de la fuerza de retracción N_sh y la excentricidad e_sh,I. Representa cómo la fuerza de retracción genera un momento sobre la sección. Este momento influye en las deformaciones y tensiones de la sección y debe considerarse en el diseño.

M_{sh, I} = N_{sh} \cdot e_{sh, I}

Momento de retracción para el estado no fisurado

M_sh,I = 44,532 kN ⋅ 67 mm = 2,98 kNm

Diagrama que muestra la distribución de los esfuerzos internos Nsh y Msh en un elemento estructural.

Análisis de esfuerzos internos: N_sh y M_sh

El número de curvatura para el estado no fisurado k_sh,I indica cómo el momento por retracción actúa en relación a la fuerza normal y la excentricidad. Muestra cómo la distribución de la fuerza de retracción y la posición del centroide afectan las deformaciones del elemento. Este valor es crucial para describir completamente las deformaciones de la sección por retracción.

k_{sh, I} = \frac{M_{sh, I} + M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot e_{I}}{M_{y, Ed, def} - N_{Ed} - e_{I}}

Coeficiente de curvatura para el estado no fisurado

k_sh,I = ( 2,98 kNm + 18,5 kNm - 0 ) / ( 18,50 kNm – 0 ) = 1,161

La excentricidad de la fuerza de retracción al centroide de la sección ideal en el estado fisurado, e_sh,II, comprende la ubicación de la fuerza resultante de retracción respecto al centroide de la sección en estado fisurado. Se consideran los momentos de las áreas de armado, A_{s,def, +z,(inferior)} y A_{s,def, -z,(superior)}, en relación con sus posiciones, d_{ef, +z,(inferior)} y d_{ef, -z,(superior)}, y se divide por el área total de armado. Del resultado se resta la distancia al centroide de la sección fisurada, z_II. Esta excentricidad influye en el momento por retracción, ya que una mayor excentricidad lleva a un momento mayor.

e_{sh, II} = \frac{A_{s, def, + z, (unten)} \cdot d_{ef, + z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot d_{ef, - z, (oben)}}{A_{s, def, + z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)}} - z_{II}

Excentricidad de la fuerza de retracción respecto al centro de gravedad de la sección en estado fisurado

e_sh,II = ( 4,45 cm² ⋅ 170 mm + 0 ) / ( 4,45 cm² + 0 ) – 46,8 mm = 123,2 mm

El momento flector por la fuerza normal N_sh para el estado fisurado, M_sh,II, se obtiene multiplicando la fuerza de retracción N_sh con la excentricidad previamente calculada e_sh,II. Este momento describe el esfuerzo de flexión adicional que la fuerza de retracción ejerce sobre la sección. Especialmente en el estado fisurado, en el que la zona de tracción del hormigón no soporta cargas, este valor es relevante.

M_{sh, II} = N_{sh} \cdot e_{sh, II}

Momento flector debido al esfuerzo axil_Nsh para el estado fisurado

M_sh,II = 44,532 kN ⋅ 123,2 mm = 5,48 kNm

El número de curvatura para el estado fisurado, k_sh,II, indica cómo la deformación de la sección se ve influenciada por el momento por retracción y las demás fuerzas actuantes. Se consideran el momento por retracción M_sh,II, el momento flector presente M_y,Ed,def y la fuerza normal N_Ed y su excentricidad e_II. El cálculo pone el momento resultante en relación con el momento sin retracción y así proporciona una medida del impacto de la fuerza de retracción.

k_{sh, II} = \frac{M_{sh, II} + M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot e_{II}}{M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot e_{II}}

Coeficiente de curvatura para el estado fisurado

k_sh,II = ( 5,48 kNm + 18,50 kNm - 0 ) / ( 18,50 kNm - 0 ) = 1,296

Deformación de la sección

La deformación de la sección describe la curvatura de un elemento causada por acciones externas teniendo en cuenta sus parámetros de material y estado.

El cálculo de la deformación de la sección en el estado no fisurado, κ_I, describe la curvatura de la sección que es causada por el momento por retracción y las propiedades elásticas del material. Aquí se considera el momento por retracción M_y,Ed,def, así como la fuerza normal N_Ed y su excentricidad e_I. Estas cantidades se multiplican por el factor k_sh,I, que describe la influencia del momento por retracción en el estado no fisurado. En el denominador se encuentra el módulo de elasticidad efectivo del hormigón, E_c,eff, y el momento de inercia de la sección no fisurada, I_I, que determinan la rigidez de la sección.

κ_{I} = \frac{k_{sh, I} \cdot (M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot e_{I})}{E_{c, eff} \cdot I_{I}}

Cálculo de la deformación de la sección en el estado no fisurado

κ_I = ( 1,161 ⋅ ( 18,50 kNm - 0) ) / ( 10.001,2 MN/m² ⋅ 70.844,30 cm⁴ ) = 3 mrad/m

El cálculo de la deformación de la sección en el estado fisurado, κ_II, muestra la curvatura de la sección tras la formación de fisuras, considerando el momento por retracción y la capacidad de carga reducida de la sección fisurada. Aquí se multiplica el momento por retracción M_y,Ed,def, la fuerza normal N_Ed y su excentricidad e_II por el factor k_sh,II, que describe la influencia del momento por retracción en el estado fisurado. En el denominador se encuentran el módulo de elasticidad efectivo del hormigón, E_c,eff, y el momento de inercia reducido de la sección fisurada, I_II, que reflejan la menor rigidez de la sección. La deformación de la sección en el estado fisurado es notablemente mayor que en el estado no fisurado porque la rigidez de la sección fisurada está reducida.

κ_{II} = \frac{k_{sh, II} \cdot (M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot e_{II})}{E_{c, eff} \cdot I_{II}}

Cálculo de la deformación de la sección en estado fisurado

κ_II = ( 1,296 ⋅ ( 18,50 kNm - 0 ) ) / ( 10.001,2 MN/m² ⋅ 16.933,50 cm⁴ ) = 14,2 mrad/m

Estado final

El estado final describe las tensiones máximas que pueden ocurrir en la sección no fisurada bajo cargas tanto a largo como a corto plazo para garantizar la capacidad de carga y la idoneidad de uso del elemento.

La tensión máxima en el estado no fisurado bajo carga a largo plazo, σ_max,It, representa la mayor tensión que puede ocurrir en la sección no fisurada debido a cargas a largo plazo. Se compone de dos partes:

la contribución de las fuerzas normales N_Ed y N_sh
la contribución de los momentos flectores M_y,Ed,def, M_sh,I y el momento generado por la excentricidad (z_I - h/2) de la fuerza normal N_Ed.

La segunda parte se ve amplificada por el momento de inercia I_I y la distancia (h - z_I).

σ_{\max, It} = \frac{N_{Ed} + N_{sh}}{A_{I}} + \frac{M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot (z_{I} - h / 2) + M_{sh, I}}{I_{I}} \cdot (h - z_{I})

Tensión máxima en estado no fisurado durante una carga a largo plazo

σ_{\max, lt} = \frac{0 + 44.532 kN}{2, 089.05 {cm}^{2}} + \frac{18.50 kNm - 0 + 2.98 kNm}{70, 844.30 {cm}^{4}} \cdot (200 mm - 103 mm) = 3.155 MN / m^{2}

Ejemplo: Tensión máxima en estado no fisurado durante una carga a largo plazo

La tensión máxima en el estado no fisurado bajo carga a corto plazo, σ_max,st, indica la mayor tensión en la sección bajo cargas temporales. A diferencia de la carga a largo plazo, solo se consideran aquí la fuerza normal N_Ed y M_y,Ed,def, ya que no hay esfuerzos por retracción presentes.

σ_{\max, st} = \frac{N_{Ed}}{A_{I, st}} + \frac{M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot (z_{I, st} - h / 2)}{I_{I, st}} \cdot (h - z_{I, st})

Tensión máxima en estado no fisurado sometido a una carga de corta duración

σ_{\max, st} = \frac{0}{2029.69 {cm}^{2}} + \frac{18.50 kNm - 0}{68, 100.10 {cm}^{4}} \cdot (200 mm - 101 mm) = 2.689 MN / m^{2}

Ejemplo: Tensión máxima en estado no fisurado bajo carga a corto plazo

La tensión máxima en el estado no fisurado, σ_max, es el mayor de los dos valores de tensión de cargas a largo y corto plazo. Asegura que se considere la máxima posible carga en la sección.

σ_{\max} = \max (σ_{\max, I}; σ_{\max, st})

Tensión máxima en estado no fisurado

σ_max = max( 3,155 MN/m²; 2,689 MN/m² ) = 3,155 MN/m²

El coeficiente de redistribución (parámetro de daño), ζ_d, describe la transición entre el comportamiento de la sección en el estado no fisurado y el estado fisurado. Se calcula por la relación de la resistencia característica a la tracción del hormigón, f_ctm, con la tensión máxima, σ_max. La no linealidad se considera mediante la relación exponencial.

ζ_{d} = 1 - β \cdot (f_{ctm} / σ_{\max}) ²

β	Coeficiente para la repetición o duración de la carga

parámetro de daño según 7.4.3 (3) Eq. 7,19

ζ_d = 1 – 0,5 ⋅ (2,200 MN/m² / 3,155 MN/m²)² = 0,757 ≤ 1 con: β = 1,0 (carga a corto plazo) β = 0,5 (carga a largo plazo o muchas repeticiones de ciclos de carga) Si el coeficiente de redistribución ζ_d = 1, el elemento está completamente en estado fisurado. Si ζ_d es igual a 0, el hormigón está completamente no fisurado.

Información

El cálculo directo de deformaciones está fuertemente influenciado por el coeficiente de redistribución. Se pueden encontrar más detalles en el artículo técnico [[#/es/soporte-y-capacitacion/soporte/base-de-conocimientos/001553 Coeficiente de redistribución ζ en el cálculo de deformaciones de elementos de hormigón armado].

Representación esquemática del coeficiente de distribución en un diagrama de distribución de carga

Coeficiente de distribución: cálculo y representación

Para el cálculo del coeficiente de redistribución ζ_d, es importante qué opción se seleccionó para la determinación del estado fisurado. La opción “Estado fisurado calculado a partir de la carga relacionada” provoca que el estado fisurado (coeficiente de redistribución ζ_d) se calcule exclusivamente a partir de la carga actual (combinación de carga) – como en este ejemplo. Las demás opciones se describen en el manual.

Detección de fisuras en componentes estructurales | Supervisión del estado de fisuración

Análisis de estado fisurado

La curvatura de la sección, κ_f, se calcula interpolando entre el estado fisurado (κ_II) y el estado no fisurado (κ_I), ponderado por el coeficiente de redistribución, ζ_d. Esto permite una descripción realista del comportamiento de la curvatura en el estado de transición.

κ_{f} = ζ_{d} \cdot κ_{II} + (1 - ζ_{d}) \cdot κ_{I}

Curvatura de la sección según 7.4.3 (3), ec. 7,18

κ_f = 0,757 ⋅ 14,2 mrad/m + (1 – 0,757) ⋅ 3 mrad/m = 11,5 mrad/m

El área de sección transversal ideal, A_f, describe la transición entre el área de la sección no fisurada, A_I, y el área de la sección fisurada, A_II. Aquí también se realiza la ponderación mediante el coeficiente de redistribución, ζ_d.

A_{f} = \frac{A_{I} \cdot A_{II}}{ζ_{d} \cdot A_{I} + (1 - ζ_{d}) \cdot A_{II}}

Área de la sección ideal

A_{f} = \frac{2, 089.05 {cm}^{2} \cdot 557.41 {cm}^{2}}{0.757 \cdot 2089.05 {cm}^{2} + (1 - 0.757) \cdot 557.41 {cm}^{2}} = 678.30 {cm}^{2}

Ejemplo: Área de la sección ideal

El momento de inercia ideal, I_y,f, describe el momento de la sección teniendo en cuenta el coeficiente de redistribución, ζ_d, y los momentos de inercia en el estado no fisurado, I_I, y en el estado fisurado, I_II. Factores adicionales como k_sh,II y k_sh,I tienen en cuenta los efectos de la retracción en el estado respectivo.

I_{y, f} = \frac{I_{I} \cdot I_{II}}{ζ_{d} \cdot I_{I} \cdot k_{sh, II} + (1 - ζ_{d}) \cdot I_{II} \cdot k_{sh, I}}

Momento ideal de inercia

I_{y, f} = \frac{70.844, 3 {cm}^{4} \cdot 16.933, 5 {cm}^{4}}{(0, 757 \cdot 70.844, 30 {cm}^{4} \cdot 1, 296 + (1 - 0, 757) \cdot 16.933, 50 {cm}^{4} \cdot 1, 161)} = 16.145, 50 {cm}^{4}

Ejemplo: Momento de inercia ideal

La excentricidad del centroide, e_f, describe la ubicación del centroide resultante de la sección, basado en la transición entre el estado no fisurado y el estado fisurado. Se considera el coeficiente de redistribución, ζ_d, así como los módulos de elasticidad, E_c,eff, y los momentos de inercia, I_I e I_II.

e_{f} = \frac{ζ_{d} \cdot E_{c, eff} \cdot I_{I} \cdot e_{I} + (1 - ζ_{d}) \cdot E_{c, eff} \cdot I_{II} \cdot e_{II}}{ζ_{d} \cdot E_{c, eff} \cdot I_{I} + (1 - ζ_{d}) \cdot E_{c, eff} \cdot I_{II}}

Excentricidad del centro de gravedad

e_{f} = \frac{0.757 \cdot 10, 001.2 MN / m^{2} \cdot 70, 844.30 {cm}^{4} \cdot (- 53.2 mm) + (1 - 0.757) \cdot 10, 001.2 MN / m^{2} \cdot 16, 933.50 {cm}^{4} \cdot 3 mm}{0.757 \cdot 10, 001.2 MN / m^{2} \cdot 70, 844.30 {cm}^{4} + (1 - 0.757) \cdot 10, 001.2 MN / m^{2} \cdot 16, 933.50 {cm}^{4}} = - 49.2 mm

Ejemplo: Excentricidad del centro de gravedad

El momento de inercia ideal al centro geométrico de la sección transversal, I_y,0,f, tiene en cuenta, además del momento de inercia ideal, I_y,f, y el área de la sección ideal, A_f, el desplazamiento del centroide por la excentricidad, e_f. Este desplazamiento se considera mediante la parte de Steiner de A_f.

I_{y, 0, f} = I_{y, f} + A_{f} \cdot {e_{f}}^{2}

Momento de inercia ideal respecto al centro geométrico de la sección

I_y,0,f = 16.145,50 cm⁴ + 678,30 cm² ⋅ ( -49,2 mm )² = 32.538,80 cm⁴

Rigideces finales

Las rigideces finales de un elemento describen su resistencia a las deformaciones y rotaciones bajo diferentes tipos de carga. Se consideran tanto rigideces axiales y flexionales como torsionales y al corte. Estos valores sirven como base para el análisis del comportamiento de carga y la idoneidad de uso de un elemento.

La rigidez tangencial de membrana, EA_f, describe la rigidez axial de la sección, teniendo en cuenta el módulo de elasticidad efectivo del hormigón, E_c,eff, y el área de la sección ideal, A_f.

{EA}_{f} = E_{c, eff} \cdot A_{f}

Rigidez tangente debida al efecto membrana

EA_f = 10.001,2 MN/m² ⋅ 678,30 cm² = 678.387 kN

La rigidez tangencial a la flexión, EI_y,0,f, describe la resistencia de la sección a la flexión alrededor del centroide ideal. Está determinada por el módulo de elasticidad efectivo del hormigón, E_c,eff, y el momento de inercia ideal, I_y,0,f.

{EI}_{y, 0, f} = E_{c, eff} \cdot I_{y, 0, f}

Rigidez tangente debida a la flexión

EI_y,0,f = 10.001,2 MN/m² ⋅ 32.538,80 cm⁴ = 3.254,28 kNm²

La rigidez tangencial a la flexión, EI_z,0,f, describe la resistencia de la sección a la flexión alrededor del eje z local. Está definida por el módulo de elasticidad efectivo del hormigón, E_c,eff, y el momento de inercia respecto al eje z, I_z.

{EI}_{z, 0, f} = E_{c, eff} \cdot I_{z}

Rigidez tangente debida a la flexión

EI_z,0,f = 10.001,2 MN/m² ⋅ 1.666.670 cm⁴ = 166.687 kNm²

Diálogo de RFEM | Visualización de resultados y curvas de rigidez para evaluación técnica

Diálogo de rigidez de RFEM

El factor r describe la reducción de la rigidez al corte basada en la relación de los momentos de inercia ideales I_f e I_I.

r = \frac{I_{f}}{I_{I}}

Coeficiente r

r = 16.145,50 cm⁴/70.844,30 cm⁴ = 0,228

La rigidez al corte respecto al eje y, GA_y,f, considera el módulo de elasticidad efectivo al corte del hormigón, G_c,eff, el área de sección A_c,y y el factor de reducción r.

{GA}_{y, f} = G_{c, eff} \cdot A_{c, y} \cdot r

Rigidez a cortante respecto al eje y

GA_y,f = 4.167,18 MN/m² ⋅ 1.666,67 cm² ⋅ 0,228 = 158284 kN

La rigidez al corte respecto al eje z, GA_z,f, se calcula de manera análoga al eje y.

{GA}_{z, f} = G_{c, eff} \cdot A_{c, z} \cdot r

Rigidez a cortante respecto al eje z

GA_z,f = 4.167,18 MN/m² ⋅ 1.666,67 cm² ⋅ 0,228 = 158.284 kN

La rigidez a la torsión, GI_T,f, corresponde en el caso considerado a la rigidez a la torsión en el estado no fisurado, GI_T,I.

{GI}_{T, f} = {GI}_{T, I}

rigidez elástica al giro

GI_T,f = 7.770 kNm²

El elemento de rigidez excéntrica, ES_y, describe el esfuerzo adicional sobre la sección causado por la excentricidad e_f. Se calcula multiplicando la rigidez axial EA_f por la excentricidad e_f.

{ES}_{y, f} = {EA}_{f} \cdot e_{f}

elemento de rigidez excéntrica

ES_y = 678.387 kN ⋅ ( -49,2 mm ) = -33.350,20 kNm

Flecha

Para asegurar la idoneidad de uso, la deformación real se compara con los límites permisibles. La desviación total se corrige por la curvatura inicial y se verifica con los criterios de límite preestablecidos.

Al calcular la desviación, se considera la combinación principal de cargas sin efectos dependientes del tiempo como la fluencia y la retracción (a corto plazo), mientras que las combinaciones de cargas relacionadas se calculan siempre con propiedades dependientes del tiempo (a largo plazo). Si hay más de una carga relacionada, se utiliza la desviación de la carga con el valor más alto.

La desviación límite en la dirección z, u_z,lim, se calcula con la longitud de referencia en la dirección z, L_z,ref, y el criterio de desviación límite, L_z,ref/u_z,lim.

u_{z, \lim} = \frac{L_{z, ref}}{L_{z, ref} / u_{z, \lim}}

Flecha límite en dirección z

u_z,lim = 4,210 m / 250 = 16,8 mm

La desviación en la dirección z, u_z, resulta de la diferencia entre la desviación total, u_z,ges, y la curvatura inicial en el punto x, u_z,c.

u_{z} = u_{z, ges} - u_{z, c}

Flexión en dirección z

u_z = 19,4 mm - 0 = 19,4 mm

Diagrama de resultados de flecha determinante y límite de flecha

Diagrama de resultados: Flecha y flecha límite

Verificación

η = \max (u_{z} / u_{z, \lim}; u_{y} / u_{y, \lim})

Cálculo de limitaciones de deformación para componentes de hormigón armado

η = max( 19,4 mm / 16,8 mm; 0,0 mm / 16,8 mm ) = 1,155 ¡Como η = 1,155 > 1, la desviación permitida se ha excedido!

Representación gráfica de uso, deformación y aprovechamiento en un sistema de componentes

Estructura de uso, deformación y aprovechamiento

Conclusión

El cálculo de deformaciones según los métodos aproximados establecidos en las normas, como el cálculo de deformaciones según la sección 7.4.3 del EN 1992-1-1, se realiza mediante el uso de rigideces efectivas que se calculan en los elementos finitos según el estado límite (fisurado o no fisurado). Estas rigideces efectivas forman la base para el cálculo posterior de la deformación del elemento mediante otro análisis de elementos finitos.

Para determinar las rigideces efectivas, se considera la sección transversal de hormigón armado, clasificando la sección de hormigón armado según los esfuerzos calculados para el estado límite de servicio como "fisurado" o "no fisurado". La contribución del hormigón entre las fisuras se considera mediante un coeficiente de redistribución, por ejemplo, según la ecuación 7.19 (EN 1992-1-1). El comportamiento del material del hormigón se asume como lineal-elástico hasta la resistencia del hormigón a la tracción, lo cual es lo suficientemente preciso para la idoneidad de uso.

La consideración de los efectos a largo plazo de la fluencia y la retracción se realiza al determinar las rigideces efectivas a nivel de sección transversal del elemento, para garantizar una representación realista de las deformaciones bajo cargas a largo plazo.

Autor

La señora Dannwerth atiende a los usuarios en el soporte al cliente y se ocupa del desarrollo en el área de geotecnia.

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