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001935

Ann-Kathrin Dannwerth, B.Sc.

11.02.2025

Calcul de déformation directe d’une poutre en béton armé en tenant compte du fluage et du retrait

Cet article technique traite du calcul direct de la déformation d’une poutre en béton armé en tenant compte des effets à long terme de fluage et de retrait. Le calcul direct est expliqué conformément à l’Eurocode 2 (EN 1992-1-1, 7.4.3) à l’aide d’une poutre à travée simple. Les armatures à la traction, le comportement en état fissuré en utilisant le facteur de distribution (paramètre d’endommagement) ainsi que la prise en compte du comportement au retrait et au fluage font l’objet d’une attention particulière.

Dans cet article technique, le calcul direct de la déformation d’une poutre en béton armé est effectué, en prenant également en compte les effets à long terme de fluage et de retrait. Un exemple montre comment ces effets influencent la déformation d’un élément structurel et sont intégrés dans le calcul. L’article détaille également les entrées requises pour considérer correctement tous les facteurs pertinents dans RFEM 6 et comment le facteur de distribution influence la rigidité de l’élément.

Données d’entrée

La géométrie, les armatures et les charges sont décrites par les paramètres suivants :

Système

Type de poutre : Poutre à travée simple
Portée : l = 4,210 m

Section

Épaisseur de la dalle : h = 20 cm
Largeur de la dalle b = 100 cm
Matériau : béton C20/25 avec E_cm = 30 000 MN/m² et B 500A
Armatures : A_s,-z,(bas) = 4,45 cm² avec 7 ∅ 9 et d₁ = 30 mm
Hauteur utile des armatures inférieures : d_{def,+z (bas)} = 17 cm

Charges permanentes

Poids propre : g_s = 0,20 m ⋅ 1m ⋅ 25 kN/m³ = 5,00 kN/m
Revêtement et enduit : g_bp = 1,50 kN/m
Total : g_k,total = 6,5 kN/m

Charges permanentes

Charges variables

Charge d’exploitation (bureau) : q_b = 2,00 kN/m avec ψ₂ = 0,3
Cloison : q_t = 1,25 kN/m avec ψ₂ = 1,0

Charges variables

Charge quasi-permanente

6,5 kN/m + 0,3 ⋅ 2,00 kN/m + 1,0 ⋅ 1,25 kN/m = 8,35 kN/m

Moment fléchissant de calcul pour le calcul de la flèche

M_y,Ed,def = 8,35 kN/m ⋅ (4,21 m)² / 8 = 18,50 kNm

Valeurs initiales pour le calcul des déformations

Module d’élasticité moyen du béton : E_cm = 30.000 MN/m²

Module d’élasticité

Taux d’armatures longitudinales : ρ = A_s / A_c = 4,45 cm² / ( 20 cm ⋅ 100 cm) = 0,223 %

Vue détaillée de la disposition des armatures avec barres d’armature visibles

Disposition détaillée des armatures

Déformation due au retrait : ε_sh = -0,5 ‰
Coefficient de fluage : φ = 2

L'option « Propriétés dépendantes du temps avancées du béton » doit être activée dans les paramètres de section pour pouvoir définir le coefficient de fluage de manière personnalisée.

Représentation des propriétés matérielles étendues dépendantes du temps décrivant le comportement du béton en fonction du temps.

Propriétés dépendantes du temps avancées du béton

Dans l’onglet désormais disponible, cochez d’abord « Fluage » et « Retrait » pour pouvoir visualiser et modifier les « valeurs fondamentales des propriétés dépendantes du temps ». Le facteur de fluage φ a été ici défini par l’entrée de φ₀, ϵ_cd,0 et ϵ_ca(∞).

Boite de dialogue RFEM | Section en béton armé : fluage et retrait

Fluage

Les effets de fluage sont pris en compte par une réduction du module d’élasticité E_c du béton.

Le module d’élasticité effectif E_c,eff prend en compte les effets à long terme du béton, notamment le fluage. Le fluage décrit la déformation à long terme du béton sous une charge constante. Grâce au facteur de fluage φ, le module d’élasticité E_cm (module d’élasticité moyen du béton) est réduit pour que la rigidité réelle du béton soit représentée sur une longue période. Cette valeur est utilisée dans les calculs tels que le moment d’inertie ou le rapport des rigidités.

E_{c, eff} = \frac{E_{cm}}{1 + φ}

Module d'élasticité efficace selon jusqu'à 7.4.3 (5) Éq. 7,20

E_c,eff = 30.000 MN/m² / ( 1 + 2 ) = 10.001,2 MN/m²

Module de cisaillement effectif du béton G_c,eff
Le module de cisaillement effectif décrit la capacité du béton à résister aux déformations de cisaillement et est déterminé par le rapport de déformation transversale à la déformation longitudinale (le coefficient de Poisson du béton). Cette valeur est particulièrement importante pour les calculs de déformations de section et les vérifications de la résistance au cisaillement.

G_{c, eff} = \frac{E_{c, eff}}{2 \cdot (1 + ν)}

Module efficace de cisaillement du béton

G_c,eff = 10.001,2 MN/m² / ( 2 ⋅ ( 1 + 0,2 ) ) = 4.167,180 MN/m²

Rapport des modules d’élasticité pour l’état non fissuré (charge à long terme) α_e,l
Le rapport α_e,l indique la rigidité relative de l’acier par rapport au béton sous charge à long terme. E_s est le module d’élasticité de l’acier, E_c,l est le module d’élasticité effectif du béton dans l’état non fissuré (identique à E_c,eff). Étant donné que le béton présente une rigidité réduite due au fluage, la valeur de α_e,l est plus élevée dans cet état. Ce rapport est utilisé pour le calcul du centre de gravité et des valeurs de section effectives.

α_{e, I} = \frac{E_{s}}{E_{c, I}}

Rapport modulaire efficace à l'état non fissuré (chargement à long terme)

α_e,l = 2 ⋅ 10⁵ MN/m² / 10.001,2 MN/m² = 20

Rapport des modules d’élasticité pour l’état non fissuré (charge à court terme) α_e,I,st
Le rapport α_e,I,st décrit le rapport de rigidité de l’acier au béton sous charge à court terme. Contrairement à α_e,l, le module d’élasticité moyen E_cm est utilisé sans prendre en compte les effets de fluage. Cela reflète la situation de charge réelle lorsque le béton est soumis à une charge à court terme. Cette valeur est particulièrement pertinente pour la vérification des charges à court terme.

α_{e, I, st} = \frac{E_{s}}{E_{cm}}

Rapport modulaire efficace à l'état non fissuré (chargement à court terme)

α_e,I,st = 2 ⋅ 10⁵ MN/m² / 30.000 MN/m² = 6,67

Rapport des modules d’élasticité pour l'état fissuré α_e,II
Dans l’état fissuré, le béton dans la zone tendue est considéré comme non porteur. Le rapport α_e,II prend cela en compte en incluant seulement le module d’élasticité effectif E_c,eff du béton. Cette valeur montre que la rigidité de l’acier est plus élevée par rapport au béton dans l’état fissuré, ce qui souligne l’importance des armatures dans de tels cas.

α_{e, II} = \frac{E_{s}}{E_{c, eff}}

Rapport modulaire efficace à l'état fissuré

α_e,II = 2 ⋅ 10⁵ MN/m² / 10.001,2 MN/m² = 20,00

Paramètres géométriques non fissurés

Ladistance du centre de gravité de la section effective dans l’état non fissuré sous charge à long terme, z_I, décrit la position du centre de gravité en tenant compte de la surface du béton et des armatures. L’influence des armatures est mise à l’échelle avec un facteur de conversion α_e,l, qui représente le rapport entre le module d’élasticité de l’acier et le module d’élasticité effectif du béton. Ceci est particulièrement important car les charges à long terme, telles que le fluage, affaiblissent le béton. Le centre de gravité influence le calcul des moments et des déformations de la section et est donc un paramètre central pour l’analyse statique.

z_{I} = \frac{\frac{b \cdot h^{2}}{2} + α_{e, I} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} \cdot d_{ef, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot d_{ef, - z, (oben)})}{b \cdot h + α_{e, I} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})}

Distance du centre de gravité de la section idéale à l’état non fissuré sous chargement à long terme

L’aire effective de la section dans l’état non fissuré sous charge à long terme, A_I représente l’aire effective qui supporte les charges. Outre la surface du béton, l’aire d’armatures est également prise en compte, complétée par le facteur α_e,l. Cela représente plus précisément la rigidité de la section. Cette valeur est cruciale pour évaluer la capacité portante et pour le calcul de la déformation de l’élément.

A_{I} = b \cdot h + α_{e, I} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})

Aire de section efficace dans l’état non fissuré sous charge de longue durée

A_I = 1.000 mm ⋅ 200 mm + 20 ⋅ ( 4,45 cm² + 0 cm² ) = 2.089,05 cm²

Le moment d’inertie effectif du centre de gravité idéal dans l’état non fissuré sous charge à long terme, I_I décrit la résistance de la section en flexion. Il prend en compte à la fois la surface du béton et les armatures, cette dernière générant des moments supplémentaires par rapport à sa position relative au centre de gravité. Ce moment d’inertie est un facteur central pour le calcul des déformations et montre dans quelle mesure la section peut résister aux moments fléchissants.

I_{I} = b \cdot \frac{h^{3}}{12} + b \cdot h \cdot (z_{I} - \frac{h}{2}) ² + α_{e, I} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} \cdot {(d_{ef, - z, (unten)} - z_{I})}^{2} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot {(z_{I} - d_{ef, - z, (oben)})}^{2})

Moment d’inertie effectif du centre de gravité fictif à l’état non fissuré sous des charges de longue durée

I_{I} = \frac{1000 mm \cdot {(200 mm)}^{3}}{12} + 1000 mm \cdot 200 mm \cdot {(103 mm - \frac{200 mm}{2})}^{2} + 20 \cdot (4.45 {cm}^{2} \cdot {(170 mm - 103 mm)}^{2} + 0) = 70844.30 {cm}^{4}

Exemple : moment d’inertie effectif du centre de gravité idéal à l’état non fissuré sous charge de longue durée

L’excentrement du centre de gravité idéal dans l’état non fissuré, e_I indique l’écart du centre de gravité par rapport au centre géométrique de la section. Cet excentrement est important car il influence les moments qui se développent dans la section, ce qui affecte directement les déformations.

e = z_{I} - \frac{h}{2}

Excentrement du centre de gravité idéal de la section à l'état non fissuré

e_I = 103 mm - 200 mm / 2 = 3 mm

La distance du centre de gravité de la section idéale dans l’état non fissuré sous charge à court terme, z_I,st décrit la position du centre de gravité sous des charges qui ne tiennent pas compte des effets de fluage ou de retrait. Le facteur de conversion α_e,I,st, utilisé dans le calcul à court terme, est donc inférieur à celui des charges à long terme. Cette distance du centre de gravité est cruciale pour la distribution des charges et la détermination des moments sous charges à court terme.

z_{I, st} = \frac{b \cdot \frac{h}{2} + α_{e, I, st} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} \cdot d_{ef, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot d_{ef, - z, (oben)})}{b \cdot h + α_{e, I, st} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})}

Distance du Centre de Gravité de la section idéale non fissurée sous charges à court terme

z_{I, st} = \frac{1000 mm \cdot \frac{200 mm}{2} + 6.67 \cdot (4.45 {cm}^{2} \cdot 170 mm + 0)}{1000 mm \cdot 200 mm + 6.67 \cdot (4.45 {cm}^{2} + 0)} = 101 mm

Exemple : Distance du centre de gravité de la section idéale à l'état non fissuré sous chargement à court terme

L’aire effective de la section dans l’état non fissuré sous charge à court terme, A_I,st est similaire à l’aire A_I, mais ajustée par le facteur de conversion α_e,I,st, qui ne tient pas compte des effets à long terme. Cela conduit à une surface réduite et a un impact sur le calcul de la capacité portante sous charges à court terme.

A_{I, st} = b \cdot h + α_{e, I, st} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})

Aire de section efficace à l’état non fissuré sous chargement de courte durée

A_I,st = 1000 mm ⋅ 200 mm + 6,67 ⋅ ( 4,45 cm² + 0 cm² ) = 2.029,69 cm²

Le moment d’inertie effectif du centre de gravité idéal dans l’état non fissuré sous charge à court terme, I_I,st représente la résistance de la section en flexion sans influence des effets à long terme. Les aires d’armatures et les surfaces en béton ainsi que leurs distances par rapport au centre de gravité sont prises en compte, ce qui est essentiel pour le calcul des déformations sous charges à court terme.

I_{I, st} = \frac{b \cdot h^{3}}{12} + b \cdot h \cdot {(z_{I, st} - \frac{h}{2})}^{2} + α_{e, I, st} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} \cdot {(d_{ef, - z, (unten)} - z_{1, st})}^{2} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot {(z_{1, st} - d_{ef, - z, (oben)})}^{2})

Moment d’inertie efficace du centre de gravité théorique dans un état non fissuré pour une charge à court terme

I_{I, st} = \frac{1000 mm \cdot {(200 mm)}^{3}}{12} + 1000 mm \cdot 200 mm \cdot {(101 mm - \frac{200 mm}{2})}^{2} + 6.67 \cdot (4.45 {cm}^{2} \cdot {(170 mm - 101 mm)}^{2} + 0) = 68100.10 {cm}^{4}

Exemple : moment d’inertie efficace du centre géométrique dans un état non-fissuré sous charge à court terme

Paramètres géométriques fissurés

La distance du centre de gravité de la section idéale dans l’état fissuré, z_II prend en compte la capacité portante modifiée de la section, car la zone tendue du béton ne supporte plus de charge après fissuration. La position du centre de gravité est recalculée en considérant uniquement la zone comprimée du béton et les armatures. Ce paramètre est crucial pour l’analyse de la section après fissuration et influence la capacité portante et la déformation.

z_{II} = \frac{\frac{b \cdot {x_{II}}^{2}}{2} + α_{e, II} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} \cdot d_{ef, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot d_{ef, - z, (oben)})}{b \cdot x_{II} + α_{e, II} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})}

Écart entre le centre de gravité de la section fictive en état fissuré

z_{II} = \frac{\frac{1000 mm \cdot {(46.8 mm)}^{2}}{2} + 20 \cdot (4.45 {cm}^{2} \cdot 170 mm + 0)}{1000 mm \cdot 46.8 mm + 20 \cdot (4.45 {cm}^{2} + 0)} = 46.8 mm

Exemple : Distance du centre de gravité de la section idéale à l'état fissuré

L’aire effective de la section dans l’état fissuré, A_II représente la surface restante après fissuration. Seule la zone de compression du béton et l’aire des armature sont prises en compte, ce qui réduit considérablement la rigidité de la section. Cette valeur est cruciale pour l’analyse de la capacité portante des sections fissurées.

A_{II} = b \cdot x_{II} + α_{e, II} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})

Aire de section efficace en état fissuré

A_II = 1.000 mm ⋅ 46,8 mm + 20 ⋅ ( 4,45 cm² + 0 ) = 557,41 cm²

Le moment d’inertie effectif du centre de gravité idéal dans l’état fissuré, I_II décrit la résistance en flexion après fissuration. Comme la zone tendue n’est plus porteuse, le moment d’inertie est considérablement réduit. Cette valeur est un facteur essentiel pour le calcul des déformations et l’évaluation de la capacité portante des sections fissurées.

I_{II} = \frac{b \cdot {x_{II}}^{3}}{12} + b \cdot x_{II} \cdot (z_{II} - \frac{x_{II}}{2})^{2} + α_{e, II} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} \cdot ((d_{ef, - z, (unten)} - z_{II})^{2} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot (z_{II} - d_{ef, - z, (oben)})^{2})

Le moment d’inertie effectif du centre de gravité idéal à l’état fissuré

I_{II} = \frac{1000 mm \cdot {(46.8 mm)}^{3}}{12} + 1000 mm \cdot 46.8 mm \cdot {(46.8 mm - \frac{46.8 mm}{2})}^{2} + 20 \cdot 4.45 {cm}^{2} \cdot {(170 mm - 46.8 mm)}^{2} + 0 = 16933.50 {cm}^{4}

Exemple : inertie effective du centre de gravité idéal à l’état fissuré

L’excentrement du centre de gravité idéal dans l’état fissuré, e_II décrit le déplacement du centre de gravité dû à la fissuration. Ce déplacement influence les moments et les déformations de la section et est donc un paramètre important pour l’analyse statique.

e_{II} = z_{II} - \frac{h}{2}

Excentrement du centre de gravité idéal de la section à l'état fissuré

e_II = 46,8 mm - 200 mm / 2 = -53,2 mm

Retrait

L’effort normal dû au retrait, N_sh se développe parce que les armatures ne participent pas à la déformation due au retrait du béton et donc absorbe des forces. Ces forces résultent de l’interaction entre l’effort de traction du béton et la réaction des armatures. La valeur calculée montre à quel point les armature sont sollicitées par le retrait. À ce stade, la déformation due au retrait définie indirectement par l’utilisateur ε_sh = -0,5 ‰ est utilisée.

N_{sh} = - E_{s} \cdot ε_{sh} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})

Effort normal dû au retrait

N_sh = -2 ⋅ 10⁵ MN/m² ⋅ ( -0,000,5 ) ⋅ ( 4,45 cm² + 0,00 ) = 44,532 kN

L’excentrement de la force due au retrait par rapport au centre de la section idéale à l'état non fissuré, e_sh,I décrit la position de la force résultante de retrait par rapport au centre de la section. Une plus grande excentricité mène à des moments plus élevés et à de plus grandes déformations.

e_{sh, I} = \frac{A_{s, def, - z, (unten)} \cdot d_{ef, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot d_{ef, - z, (oben)}}{A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)}} - z_{1}

Excentrement de la force de retrait vers le centre de gravité de la section idéale à l’état non fissuré

e_sh,I = ( 4,45 cm² ⋅ 170 mm + 0 ) / ( 4,45 cm² + 0 ) - 103 mm = 67 mm

Le moment de retrait pour l’état non fissuré, M_sh,I résulte de la force due au retrait N_sh et de l’excentrement e_sh,I. Il décrit comment la force de retrait génère un moment sur la section. Ce moment influence considérablement les déformations et les tensions dans la section et doit être pris en compte dans la conception.

M_{sh, I} = N_{sh} \cdot e_{sh, I}

Moment de retrait à l'état non fissuré

M_sh,I = 44,532 kN ⋅ 67 mm = 2,98 kNm

Diagramme montrant la distribution des efforts internes Nsh et Msh sur un élément structural.

Analyse des efforts internes : N_sh et M_sh

La courbure pour l’état non fissuré k_sh,I indique comment le moment de retrait agit par rapport à l’effort normal et à l’excentrement. Elle montre comment la distribution de la force due au retrait et la position du centre de gravité influencent les déformations de l’élément. Cette valeur est essentielle pour décrire complètement les déformations de la section dues au retrait.

k_{sh, I} = \frac{M_{sh, I} + M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot e_{I}}{M_{y, Ed, def} - N_{Ed} - e_{I}}

Coefficient de la courbure pour l'état non fissuré

k_sh,I = ( 2,98 kNm + 18,5 kNm - 0 ) / ( 18,50 kNm - 0 ) = 1,161

L’excentrement de la force due au retrait par rapport au centre de la section idéale dans l’état fissuré, e_sh,II décrit la position de la force résultante de retrait par rapport au centre de la section dans l’état fissuré. Les moments de l’aire des armatures, A_{s,def, +z,(bas)} et A_{s,def, -z,(haut)}, sont considérés en fonction de leur position, d_{ef, +z,(bas)} et d_{ef, -z,(haut)}, et divisés par l’aire totale des armatures. Le résultat est soustrait de la distance au centre de la section fissurée, z_II. Cet excentrement influence le moment de retrait, car une excentricité plus grande génère un moment plus important.

e_{sh, II} = \frac{A_{s, def, + z, (unten)} \cdot d_{ef, + z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot d_{ef, - z, (oben)}}{A_{s, def, + z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)}} - z_{II}

Excentrement de l’effort de retrait vers le centre de gravité de la section idéale en état fissuré

e_sh,II = ( 4,45 cm² ⋅ 170 mm + 0 ) / ( 4,45 cm² + 0 ) – 46,8 mm = 123,2 mm

Le moment fléchissant dû à l’effort normal N_sh pour l’état fissuré, M_sh,II est obtenu en multipliant la force de retrait N_sh par l’excentrement précédemment calculé e_sh,II. Ce moment décrit la sollicitation supplémentaire en flexion que la force de retrait induit sur la section. Surtout dans l’état fissuré, où la zone tendue du béton ne supporte plus de charges, cette valeur est pertinente.

M_{sh, II} = N_{sh} \cdot e_{sh, II}

Moment fléchissant dû à l'effort normal N_sh pour l'état fissuré

M_sh,II = 44,532 kN ⋅ 123,2 mm = 5,48 kNm

La courbure pour l’état fissuré, k_sh,II indique dans quelle mesure la déformation de la section est influencée par le moment de retrait et les autres forces agissantes. Le moment de retrait M_sh,II, le moment fléchissant existant M_y,Ed,def, ainsi que l’effort normal N_Ed et son excentrement e_II sont pris en compte. Le calcul met en relation le moment résultant avec le moment sans retrait, fournissant ainsi une mesure de l’influence de la force de retrait.

k_{sh, II} = \frac{M_{sh, II} + M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot e_{II}}{M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot e_{II}}

Coefficient de la courbure pour l'état fissuré

k_sh,II = ( 5,48 kNm + 18,50 kNm - 0 ) / ( 18,50 kNm - 0 ) = 1,296

Déformation de la section

La déformation de la section décrit la courbure d’un élément causée par des influences externes en tenant compte de ses paramètres de matériau et d’état.

Le calcul de la déformation de la section dans l’état non fissuré, κ_I décrit la courbure de la section causée par le moment de retrait et les propriétés élastiques du matériau. Le moment de retrait M_y,Ed,def est pris en compte, ainsi que l’effort normal N_Ed et son excentrement e_I. Ces quantités sont multipliées par le facteur k_sh,I, qui décrit l’influence du moment de retrait dans l’état non fissuré. Au dénominateur figurent le module d’élasticité effectif du béton, E_c,eff, et le moment d’inertie de la section non fissurée, I_I, qui déterminent la rigidité de la section.

κ_{I} = \frac{k_{sh, I} \cdot (M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot e_{I})}{E_{c, eff} \cdot I_{I}}

Calcul de la déformation de la section à l'état non fissuré

κ_I = ( 1,161 ⋅ ( 18,50 kNm - 0) ) / ( 10.001,2 MN/m² ⋅ 70.844,30 cm⁴ )
= 3 mrad/m

Le calcul de la déformation de la section dans l’état fissuré, κ_II montre la courbure de la section après fissuration, en tenant compte du moment de retrait et de la capacité portante réduite de la section fissurée. Le moment de retrait M_y,Ed,def, l’effort normal N_Ed et son excentrement e_II sont multipliés par le facteur k_sh,II, qui décrit l’influence du moment de retrait dans l’état fissuré. Au dénominateur figurent le module d’élasticité effectif du béton, E_c,eff, et le moment d’inertie réduit de la section fissurée, I_II, qui reflètent la moindre rigidité de la section. La déformation de la section dans l’état fissuré est nettement plus grande que dans l’état non fissuré, car la rigidité de la section fissurée est réduite.

κ_{II} = \frac{k_{sh, II} \cdot (M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot e_{II})}{E_{c, eff} \cdot I_{II}}

Calcul de la déformation de la section à l'état fissuré

κ_II = ( 1,296 ⋅ ( 18,50 kNm - 0 ) ) / ( 10.001,2 MN/m² ⋅ 16.933,50 cm⁴ ) = 14,2 mrad/m

État final

L’état final décrit les contraintes maximales qui peuvent se produire dans la section non fissurée tant sous charges à long terme que sous charges à court terme, pour garantir la capacité portante et la fonctionnalité de l’élément.

La contrainte maximale dans l’état non fissuré sous charge à long terme, σ_max,It décrit la contrainte la plus élevée qui peut se produire dans la section non fissurée en raison des charges à long terme. Elle se compose de deux contributions :

la contribution des efforts normaux N_Ed et N_sh
la contribution des moments fléchissant M_y,Ed,def, M_sh,I et celui résultant de l’excentrement (z_I - h/2) de la force normale N_Ed.

La deuxième contribution est amplifiée par le moment d’inertie I_I et la distance (h - z_I).

σ_{\max, It} = \frac{N_{Ed} + N_{sh}}{A_{I}} + \frac{M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot (z_{I} - h / 2) + M_{sh, I}}{I_{I}} \cdot (h - z_{I})

Contrainte maximale dans l'état non fissuré durant le chargement à long terme

σ_{\max, lt} = \frac{0 + 44.532 kN}{2, 089.05 {cm}^{2}} + \frac{18.50 kNm - 0 + 2.98 kNm}{70, 844.30 {cm}^{4}} \cdot (200 mm - 103 mm) = 3.155 MN / m^{2}

Exemple : Contrainte maximale dans l'état non fissuré durant le chargement à long terme

La contrainte maximale dans l’état non fissuré sous charge à court terme, σ_max,st donne la plus grande contrainte dans la section sous charges à court terme. Contrairement aux charges à long terme, seuls les effort normaux N_Ed et M_y,Ed,def sont pris en compte ici, car il n'y a pas de charges dues au retrait.

σ_{\max, st} = \frac{N_{Ed}}{A_{I, st}} + \frac{M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot (z_{I, st} - h / 2)}{I_{I, st}} \cdot (h - z_{I, st})

Contrainte maximale dans l'état non fissuré sous chargement à court terme

σ_{\max, st} = \frac{0}{2029.69 {cm}^{2}} + \frac{18.50 kNm - 0}{68, 100.10 {cm}^{4}} \cdot (200 mm - 101 mm) = 2.689 MN / m^{2}

Exemple : Contrainte maximale à l'état non fissuré sous chargement à court terme

La contrainte maximale à l'état non fissuré, σ_max est la plus grande des deux valeurs de contrainte sous charges à long terme et charges à court terme. Elle garantit que la sollicitation maximale possible de la section est prise en compte.

σ_{\max} = \max (σ_{\max, I}; σ_{\max, st})

Contrainte maximale à l'état non fissuré

σ_max = max( 3,155 MN/m²; 2,689 MN/m² )
= 3,155 MN/m²

Le coefficient de distribution (paramètre d’endommagement), ζ_d décrit la transition entre le comportement de la section dans l’état non fissuré et dans l’état fissuré. Il est calculé par le rapport de la résistance à la traction caractéristique du béton, f_ctm, à la contrainte maximale, σ_max. La non-linéarité est prise en compte par la relation exponentielle.

ζ_{d} = 1 - β \cdot (f_{ctm} / σ_{\max}) ²

β	Durée de la charge ou coefficient de répétition

Paramètre de l'endommagement selon 7.4.3 (3) Éq. 7,19

ζ_d = 1 – 0,5 ⋅ (2,200 MN/m² / 3,155 MN/m²)²
= 0,757 ≤ 1
avec :
β = 1,0 (charge à court terme)
β = 0,5 (charge à long terme ou plusieurs cycles de sollicitations répétées)
Si le coefficient de distribution ζ_d = 1, l'élément est complètement à l'état fissuré. Si ζ_d est égal à 0, le béton est entièrement non fissuré.

Informations

Le calcul direct de la déformation est fortement dépendant du coefficient de distribution. Pour en savoir plus, consultez cet article technique.

Représentation schématique du facteur de distribution dans un diagramme de distribution des charges

Coefficient de distribution – Calcul et représentation

Pour le calcul du coefficient de distribution ζ_d, il est important de savoir quelle option a été choisie pour la détection de l’état fissuré. L'option « État fissuré calculé à partir de la charge associée » signifie que l’état fissuré (coefficient de distribution ζ_d) est calculé uniquement à partir de la charge actuelle (combinaison de charges) — comme dans cet exemple. Les autres options sont détaillées dans le manuel.

Détection des fissures dans les éléments structurels | Surveillance des fissures

Analyse de l’état de fissuration

La courbure de la section, κ_f est calculée par interpolation entre l’état fissuré (κ_II) et l'état non fissuré (κ_I), pondérée par le coefficient de distribution, ζ_d. Cela permet une description réaliste du comportement de courbure dans l’état de transition.

κ_{f} = ζ_{d} \cdot κ_{II} + (1 - ζ_{d}) \cdot κ_{I}

Krümmung des Querschnitts gemäß 7.4.3 (3) Gl. 7.18

κ_f = 0,757 ⋅ 14,2 mrad/m + (1 – 0,757) ⋅ 3 mrad/m
= 11,5 mrad/m

L’aire de section idéale, A_f décrit la transition entre l’aire de la section non fissurée, A_I, et l’aire de la section fissurée, A_II. La pondération est également faite par le coefficient de distribution, ζ_d.

A_{f} = \frac{A_{I} \cdot A_{II}}{ζ_{d} \cdot A_{I} + (1 - ζ_{d}) \cdot A_{II}}

Aire de la section idéale

A_{f} = \frac{2, 089.05 {cm}^{2} \cdot 557.41 {cm}^{2}}{0.757 \cdot 2089.05 {cm}^{2} + (1 - 0.757) \cdot 557.41 {cm}^{2}} = 678.30 {cm}^{2}

Exemple : Aire de la section idéale

Le moment d’inertie idéal, I_y,f décrit le moment de la section en tenant compte du coefficient de distribution, ζ_d, ainsi que des moments d'inertie dans l’état non fissuré, I_I, et à l'état fissuré, I_II. Des facteurs supplémentaires comme k_sh,II et k_sh,I prennent en compte les effets du retrait dans chaque état.

I_{y, f} = \frac{I_{I} \cdot I_{II}}{ζ_{d} \cdot I_{I} \cdot k_{sh, II} + (1 - ζ_{d}) \cdot I_{II} \cdot k_{sh, I}}

Moment idéal d'inertie

I_{y, f} = \frac{70.844, 3 {cm}^{4} \cdot 16.933, 5 {cm}^{4}}{(0, 757 \cdot 70.844, 30 {cm}^{4} \cdot 1, 296 + (1 - 0, 757) \cdot 16.933, 50 {cm}^{4} \cdot 1, 161)} = 16.145, 50 {cm}^{4}

Exemple : Moments d’inertie idéaux

L'excentrement du centre de gravité, e_f décrit la position du centre de gravité résultant de la section, basée sur la transition entre l'état non fissuré et l'état fissuré. Elle prend en compte le coefficient de distribution, ζ_d, ainsi que les modules d'élasticité, E_c,eff, et les moments d'inertie, I_I et I_II.

e_{f} = \frac{ζ_{d} \cdot E_{c, eff} \cdot I_{I} \cdot e_{I} + (1 - ζ_{d}) \cdot E_{c, eff} \cdot I_{II} \cdot e_{II}}{ζ_{d} \cdot E_{c, eff} \cdot I_{I} + (1 - ζ_{d}) \cdot E_{c, eff} \cdot I_{II}}

Excentrement du centre de gravité

e_{f} = \frac{0.757 \cdot 10, 001.2 MN / m^{2} \cdot 70, 844.30 {cm}^{4} \cdot (- 53.2 mm) + (1 - 0.757) \cdot 10, 001.2 MN / m^{2} \cdot 16, 933.50 {cm}^{4} \cdot 3 mm}{0.757 \cdot 10, 001.2 MN / m^{2} \cdot 70, 844.30 {cm}^{4} + (1 - 0.757) \cdot 10, 001.2 MN / m^{2} \cdot 16, 933.50 {cm}^{4}} = - 49.2 mm

Exemple : Excentrement du centre de gravité

Le moment d'inertie idéal par rapport au centre géométrique de la section, I_y,0,f prend en compte, en plus du moment d’inertie idéal, I_y,f, et de l’aire de section idéale, A_f, le déplacement du centre de gravité causé par l’excentrement, e_f. Ce déplacement est pris en compte via la contribution de Steiner de A_f.

I_{y, 0, f} = I_{y, f} + A_{f} \cdot {e_{f}}^{2}

Moment d'inertie idéal au centre géométrique de la section

I_y,0,f = 16.145,50 cm⁴ + 678,30 cm² ⋅ ( -49,2 mm )²
= 32.538,80 cm⁴

Rigidités finales

Les rigidités finales d’un élément décrivent sa résistance aux déformations et aux rotations sous différentes types de charges. Elles comprennent à la fois les rigidités axiales, les rigidités en flexion, ainsi que les rigidités en torsions et les rigidités en cisaillement. Ces valeurs servent de base pour l’analyse du comportement porteur et de la fonctionnalité d’un élément.

La rigidité tangentielle de membrane, EA_f décrit la rigidité axiale de la section en prenant en compte le module d’élasticité effectif du béton, E_c,eff, et l’aire de section efficace, A_f.

{EA}_{f} = E_{c, eff} \cdot A_{f}

Rigidité de membrane tangente

EA_f = 10.001,2 MN/m² ⋅ 678,30 cm²
= 678.387 kN

La rigidité tangentielle en flexion, EI_y,0,f décrit la résistance de la section en flexion autour du centre de gravité idéal. Elle est déterminée par le module d’élasticité effectif du béton, E_c,eff, et le moment d’inertie idéal, I_y,0,f.

{EI}_{y, 0, f} = E_{c, eff} \cdot I_{y, 0, f}

Rigidité en flexion tangente

EI_y,0,f = 10.001,2 MN/m² ⋅ 32.538,80 cm⁴
= 3.254,28 kNm²

La rigidité tangentielle en flexion, EI_z,0,f décrit la résistance de la section en flexion autour de l’axe local z. Elle est définie par le module d’élasticité effectif du béton, E_c,eff, et le moment d’inertie autour de l’axe z, I_z.

{EI}_{z, 0, f} = E_{c, eff} \cdot I_{z}

Rigidité en flexion tangente

EI_z,0,f = 10.001,2 MN/m² ⋅ 1.666.670 cm⁴
= 166.687 kNm²

Boîte de dialogue RFEM | Visualisation des résultats et de la rigidité pour évaluation technique

Boite de dialogue RFEM Diagrammes de rigidité

Le facteur r décrit la réduction de la rigidité en cisaillement basée sur le rapport des moments d’inertie idéaux I_f et I_I.

r = \frac{I_{f}}{I_{I}}

Facteur r

r = 16.145,50 cm⁴/70.844,30 cm⁴
= 0,228

La rigidité en cisaillement par rapport à l’axe y, GA_y,f prend en compte le module de cisaillement effectif du béton, G_c,eff, l’aire de la section, A_c,y, ainsi que le facteur de réduction r.

{GA}_{y, f} = G_{c, eff} \cdot A_{c, y} \cdot r

Rigidité de cisaillement à l'axe y

GA_y,f = 4.167,18 MN/m² ⋅ 1.666,67 cm² ⋅ 0,228
= 158284 kN

La rigidité en cisaillement par rapport à l’axe z, GA_z,f est calculée de manière analogue par rapport à l’axe y.

{GA}_{z, f} = G_{c, eff} \cdot A_{c, z} \cdot r

Rigidité de cisaillement à l'axe z

GA_z,f = 4.167,18 MN/m² ⋅ 1.666,67 cm² ⋅ 0,228
= 158.284 kN

La rigidité en torsion, GI_T,f correspond dans le cas considéré à la rigidité en torsion dans l’état non fissuré, GI_T,I.

{GI}_{T, f} = {GI}_{T, I}

Rigidité en rotation

GI_T,f = 7.770 kNm²

L’élément de rigidité excentré, ES_y décrit la sollicitation supplémentaire de la section causée par l’excentrement e_f. Il est calculé par la rigidité axiale EA_f et l’excentrement e_f.

{ES}_{y, f} = {EA}_{f} \cdot e_{f}

élément de rigidité excentré

ES_y = 678.387 kN ⋅ ( -49,2 mm )
= -33.350,20 kNm

Flèche

Pour garantir la fonctionnalité, la déformation réelle est comparée aux limites admissibles. La flèche totale est corrigée par la contre-flèche et contrôlée par rapport aux limites données.

Dans le calcul de la flèche, la combinaison de charges principale, sans effets dépendants du temps tels que le fluage et le retrait (court terme), est prise en compte, tandis que les combinaisons de charges associées sont toujours calculées avec les propriétés dépendantes du temps (long terme). S’il y a plus d’une charge associée, la flèche de la charge ayant la plus grande valeur est prise en compte.

La flèche limite en direction z, u_z,lim est calculée avec la longueur de référence en direction z, L_z,ref, et le critère de flèche limite, L_z,ref/u_z,lim.

u_{z, \lim} = \frac{L_{z, ref}}{L_{z, ref} / u_{z, \lim}}

Flèche limite dans la direction z

u_z,lim = 4,210 m / 250 = 16,8 mm

La flèche en direction z, u_z est le résultat de la différence entre la flèche totale, u_z,ges, et le contre flèche à la position x, u_z,c.

u_{z} = u_{z, ges} - u_{z, c}

Flèche en direction de l'axe z

u_z = 19,4 mm - 0 = 19,4 mm

Diagramme de résultats de flèche déterminante et flèche limite

Distribution des résultats : Flèche et flèche limite

Vérification

η = \max (u_{z} / u_{z, \lim}; u_{y} / u_{y, \lim})

Vérification des limites de déformation pour les composants en béton armé

η = max( 19,4 mm / 16,8 mm; 0,0 mm / 16,8 mm ) = 1,155 Puisque η = 1,155 > 1, la flèche admissible est dépassée !

Représentation graphique de l’état limite de service, de la courbe de déformation et de l’utilisation dans un système de composants

Etat limite de service, courbe de déformation et utilisation

Conclusion

Le calcul de déformation selon les méthodes d’approximations spécifiées dans les normes, tel que lealcul de déformation conformément à l’EN 1992-1-1, 7.4.3, est réalisé à l’aide des rigidités effectives qui sont calculées dans les éléments finis en fonction de l’état limite (fissuré ou non fissuré). Ces rigidités effectives servent de base pour le calcul ultérieur de la déformation de l’élément par une autre analyse aux éléments finis.

Pour la détermination des rigidités effectives, la section de béton armé est considérée, le section de béton armé étant classé comme « fissuré » ou « non fissuré » en fonction des efforts internes déterminés pour l’état limite de service. La participation du béton entre les fissures est prise en compte par un coefficient de distribution, par exemple selon l’équation 7.19 (EN 1992-1-1). Le comportement de matériau du béton est considéré comme linéaire-élastique jusqu'à la résistance en traction du béton, ce qui suffit pour l’ELS.

La prise en compte des effets à long terme de fluage et de retrait est effectuée lors de la détermination des rigidités effectives au niveau de la section de l’élément, afin de garantir une représentation réaliste des déformations sous charges à long terme.

Auteur

Madame Dannwerth assiste les utilisateurs dans le support client et se consacre au développement dans le domaine de la géotechnique.

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