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001935

Ann-Kathrin Dannwerth, B.Sc.

2025-02-11

考虑徐变和收缩的钢筋混凝土梁的直接变形计算

该技术文章探讨了在考虑徐变和收缩的长期影响下，对钢筋混凝土梁的直接变形计算。通过一个单跨梁，解释了根据欧洲规范2（EN 1992-1-1，第7.4.3节）的直接计算。特别重点在于拉伸加固，基于分布因子（损伤参数）的开裂状态下的行为，以及收缩和徐变行为的考虑。

在这篇专业文章中，将进行一根钢筋混凝土梁的直接变形计算，同时还考虑了徐变和收缩的长期效应。通过一个示例演示了这些效应如何影响构件的变形并纳入计算中。同时将阐明在RFEM 6中需要输入哪些内容才能正确考虑所有相关因素，以及如何分配系数影响构件的刚度。

输入数据

几何形状、配筋和荷载由以下参数描述：

系统

承重类型：单跨梁
跨度：l = 4,210 m

截面

板厚：h = 20 cm
板宽 b = 100 cm
材料：混凝土 C20/25，E_cm = 30,000 MN/m² 和 B 500A
配筋：A_s,-z,(下) = 4.45 cm² 使用 7 ∅ 9 和 d₁ = 30 mm
下部配筋的有效高度：d_{def,+z (下)} = 17 cm

永久荷载

自重： g_s = 0,20 m ⋅ 1m ⋅ 25 kN/m³ = 5,00 kN/m
铺装和抹灰： g_bp = 1,50 kN/m
总和： g_k,gesamt = 6,5 kN/m

永久荷载

可变荷载

使用荷载（办公室）： q_b = 2,00 kN/m 类似于 ψ₂ = 0,3
隔墙补偿： q_t = 1,25 kN/m 类似于 ψ₂ = 1,0

变量荷载

准永久荷载

6,5 kN/m + 0,3 ⋅ 2,00 kN/m + 1,0 ⋅ 1,25 kN/m = 8,35 kN/m

挠度计算的设计弯矩

M_y,Ed,def = 8,35 kN/m ⋅ (4,21 m)² / 8 = 18,50 kNm

预变形计算值

混凝土的中等E模量: E_cm = 30.000 MN/m²

弹性模量

纵向配筋率: ρ = A_s/A_c = 4,45 cm² / ( 20 cm ⋅ 100 cm) = 0,223 %

钢筋布置细节

收缩应变: ε_sh = -0,5 ‰
徐变系数: φ = 2

截面设置中必须启用“混凝土的扩展时间相关特性”选项，以便能够自定义设定徐变系数。

混凝土的扩展时变参数

在当前可用的选项卡中，首先需要勾选“徐变”和“收缩”复选框，以查看和编辑“时间相关特性参数值”。徐变系数 φ 是通过输入 φ₀、ϵ_cd,0 及 ϵ_ca(∞) 给定的。

RFEM 对话框 | 钢筋混凝土截面：徐变和收缩

徐变

徐变效应通过降低混凝土的弹性模量 E_c 来捕获。

有效弹性模量 E_c,eff 考虑混凝土的长期效应，尤其是徐变。徐变描述了在持续荷载下混凝土的长期变形。通过徐变系数 φ，将混凝土的中等弹性模量 E_cm 减少，从而反映出混凝土的长期实际刚度。这一数值用于进一步计算，如惯性矩或刚度比。

E_{c, eff} = \frac{E_{cm}}{1 + φ}

有效模量按照欧洲规范见 7.4.3 (5) 式7.20

E_c,eff = 30.000 MN/m² / ( 1 + 2 ) = 10.001,2 MN/m²

混凝土的有效剪切模量 G_c,eff 有效剪切模量描述混凝土抵抗剪切变形的能力，它通过横向应变与纵向应变之比（混凝土的横向应变系数 v）来确定，该值在横截面变形计算和剪切验算中特别重要。

G_{c, eff} = \frac{E_{c, eff}}{2 \cdot (1 + ν)}

混凝土有效剪切模量

G_c,eff = 10.001,2 MN/m² / ( 2 ⋅ ( 1 + 0,2 ) ) = 4.167,180 MN/m²

未裂状态的E模量比率（长期荷载） α_e,l 比率 α_e,l 指出钢材在长期荷载下的刚度相对于混凝土是多少。E_s是钢材的弹性模量，E_c,l是未裂状态下混凝土的有效弹性模量（与E_c,eff相同）。由于长期效应如徐变使混凝土的刚度降低，因此在这种状态下α_e,l的值较高。该比率用于计算重心和有效截面值。

α_{e, I} = \frac{E_{s}}{E_{c, I}}

未开裂状态有效弹性模量比(长期荷载)

α_e,l = 2 ⋅ 10⁵ MN/m² / 10.001,2 MN/m² = 20

未裂状态的E模量比率（短期荷载） α_e,I,st 比率 α_e,I,st 描述短期荷载下钢材相对于混凝土的刚度比。与α_e,l不同，短期荷载下使用的是中等弹性模量 E_cm，未考虑徐变效应。这体现了混凝土短期承载时的真实荷载情况。在短期荷载验算中特别重要。

α_{e, I, st} = \frac{E_{s}}{E_{cm}}

未开裂状态有效弹性模量比(短期荷载)

α_e,I,st = 2 ⋅ 10⁵ MN/m² / 30.000 MN/m² = 6,67

裂缝状态的E模量比率 α_e,II 在裂缝状态下，混凝土的受拉区被视为无承载能力。比率α_e,II对此进行了考虑，仅纳入混凝土的有效弹性模量E_c,eff。这表明在裂缝状态下钢材相对于混凝土的刚度更高，强调了在这情况下的配筋的重要性。

α_{e, II} = \frac{E_{s}}{E_{c, eff}}

开裂状态有效弹性模量比

α_e,II = 2 ⋅ 10⁵ MN/m² / 10.001,2 MN/m² = 20,00

几何参数未裂状态

未裂状态的理想截面重心到受拉边的距离 z_I 描述了混凝土面积和配筋影响下的重心位置。使用一个转换因数α_e,l来缩放配筋的作用，该因数表示钢材弹性模量与混凝土有效弹性模量之间的比率。这一点尤为重要，因为诸如徐变之类的长期荷载会削弱混凝土。重心影响截面中的力矩和变形计算，是静态分析的核心参数。

z_{I} = \frac{\frac{b \cdot h^{2}}{2} + α_{e, I} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} \cdot d_{ef, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot d_{ef, - z, (oben)})}{b \cdot h + α_{e, I} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})}

长期荷载作用下未开裂状态的理想截面重心间距

未裂状态下长期荷载的有效截面积 A_I 表示承载的有效面积。除了混凝土面积，还需考虑配筋面积，并用α_e,l因数补充。这使得截面的刚度得以更真实地呈现。该值对于评估承载能力和构件变形计算至关重要。

A_{I} = b \cdot h + α_{e, I} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})

长期荷载作用下未开裂状态的有效截面

A_I = 1,000 mm ⋅ 200 mm + 20 ⋅ ( 4,45 cm² + 0 cm² ) = 2.089,05 cm²

未裂状态下长期荷载下的理想截面重心的有效惯性矩 I_I 描述截面对弯曲的抵抗能力。它同时考虑了混凝土面积和配筋，后者因其相对于重心的位置而产生额外的力矩。该惯性矩是变形计算的核心要素，显示了截面对弯矩的抵抗力。

I_{I} = b \cdot \frac{h^{3}}{12} + b \cdot h \cdot (z_{I} - \frac{h}{2}) ² + α_{e, I} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} \cdot {(d_{ef, - z, (unten)} - z_{I})}^{2} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot {(z_{I} - d_{ef, - z, (oben)})}^{2})

长时间荷载作用下未开裂构件的虚拟重心的有效惯性矩

I_{I} = \frac{1000 mm \cdot {(200 mm)}^{3}}{12} + 1000 mm \cdot 200 mm \cdot {(103 mm - \frac{200 mm}{2})}^{2} + 20 \cdot (4.45 {cm}^{2} \cdot {(170 mm - 103 mm)}^{2} + 0) = 70844.30 {cm}^{4}

示例：长时荷载下未开裂状态的假想重心有效惯性矩

未裂状态下的理想截面重心的偏心 e_I 描述了重心与截面几何中心的偏离。这一偏心特别重要，因为它影响截面中产生的力矩，从而直接影响变形。

e = z_{I} - \frac{h}{2}

未开裂状态下截面理想重心偏心距

e_I = 103 mm - 200 mm / 2 = 3 mm

未裂状态下短期荷载的理想截面重心到受拉边的距离 z_I,st 描述了不考虑徐变或收缩效应的荷载条件下的重心位置。在短期计算中使用的转换因数α_e,I,st 因此比长期荷载时更小。这个重心位置对于短期荷载下的力分布和力矩计算至关重要。

z_{I, st} = \frac{b \cdot \frac{h}{2} + α_{e, I, st} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} \cdot d_{ef, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot d_{ef, - z, (oben)})}{b \cdot h + α_{e, I, st} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})}

短期荷载作用下非开裂状态的虚拟截面的重心距离

z_{I, st} = \frac{1000 mm \cdot \frac{200 mm}{2} + 6.67 \cdot (4.45 {cm}^{2} \cdot 170 mm + 0)}{1000 mm \cdot 200 mm + 6.67 \cdot (4.45 {cm}^{2} + 0)} = 101 mm

示例: 短期荷载作用下未开裂状态截面理想重心间距

短期荷载下未裂状态的有效截面积 A_I,st 类似于面积 A_I，但经过转换因数α_e,I,st调整，该因数不考虑长期效应。这导致较小的有效面积，对短期荷载下的承载力计算产生影响。

A_{I, st} = b \cdot h + α_{e, I, st} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})

短期荷载作用下的非裂损有效截面

A_I,st = 1000 mm ⋅ 200 mm + 6,67 ⋅ ( 4,45 cm² + 0 cm² ) = 2.029,69 cm²

短期荷载下未裂状态的理想截面重心的有效惯性矩 I_I,st 表示不受长期效应影响的截面对弯曲的抵抗能力。考虑了混凝土和配筋面积及其距重心的距离，对于计算短期荷载下的变形至关重要。

I_{I, st} = \frac{b \cdot h^{3}}{12} + b \cdot h \cdot {(z_{I, st} - \frac{h}{2})}^{2} + α_{e, I, st} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} \cdot {(d_{ef, - z, (unten)} - z_{1, st})}^{2} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot {(z_{1, st} - d_{ef, - z, (oben)})}^{2})

短期荷载未开裂状态下虚拟重心的有效惯性矩

I_{I, st} = \frac{1000 mm \cdot {(200 mm)}^{3}}{12} + 1000 mm \cdot 200 mm \cdot {(101 mm - \frac{200 mm}{2})}^{2} + 6.67 \cdot (4.45 {cm}^{2} \cdot {(170 mm - 101 mm)}^{2} + 0) = 68100.10 {cm}^{4}

示例：未裂状态下短期荷载作用下假想重心的有效惯性矩

几何参数裂缝状态

在裂缝状态下的理想截面重心到受拉边的距离 z_II，考虑了截面在裂缝后承载能力的改变，因为混凝土受拉区在裂缝生成后不再承载荷载。重心位置重新计算，只考虑混凝土的压缩区和配筋。这一参数是分析截面裂缝后特性的重要参数，影响承载能力和变形。

z_{II} = \frac{\frac{b \cdot {x_{II}}^{2}}{2} + α_{e, II} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} \cdot d_{ef, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot d_{ef, - z, (oben)})}{b \cdot x_{II} + α_{e, II} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})}

开裂截面的理论截面重心偏移

z_{II} = \frac{\frac{1000 mm \cdot {(46.8 mm)}^{2}}{2} + 20 \cdot (4.45 {cm}^{2} \cdot 170 mm + 0)}{1000 mm \cdot 46.8 mm + 20 \cdot (4.45 {cm}^{2} + 0)} = 46.8 mm

示例: 开裂状态下理想截面的重心间距

裂缝状态下的有效截面积 A_II 表示裂缝后剩余的面积。此时只考虑混凝土的压缩区和配筋面积，这显著降低了截面的刚度。这个数值对于裂缝截面的承载能力分析至关重要。

A_{II} = b \cdot x_{II} + α_{e, II} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})

开裂状态下的有效截面

A_II = 1.000 mm ⋅ 46,8 mm + 20 ⋅ ( 4,45 cm² + 0 ) = 557,41 cm²

裂缝状态下的理想截面重心的有效惯性矩 I_II 描述裂缝生成后的抗弯能力。由于受拉区不再具有承载力，惯性矩显著减少。该值是计算变形和评估裂缝截面承载能力的关键因素。

I_{II} = \frac{b \cdot {x_{II}}^{3}}{12} + b \cdot x_{II} \cdot (z_{II} - \frac{x_{II}}{2})^{2} + α_{e, II} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} \cdot ((d_{ef, - z, (unten)} - z_{II})^{2} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot (z_{II} - d_{ef, - z, (oben)})^{2})

开裂状态下虚拟重心的有效惯性矩

I_{II} = \frac{1000 mm \cdot {(46.8 mm)}^{3}}{12} + 1000 mm \cdot 46.8 mm \cdot {(46.8 mm - \frac{46.8 mm}{2})}^{2} + 20 \cdot 4.45 {cm}^{2} \cdot {(170 mm - 46.8 mm)}^{2} + 0 = 16933.50 {cm}^{4}

示例：理想截面的有效惯性矩在开裂状态下

裂缝状态下的理想截面重心的偏心 e_II 描述了由于裂缝生成而导致的重心位置移动。此偏心影响力矩及截面变形，因此是静态分析的重要参数。

e_{II} = z_{II} - \frac{h}{2}

开裂状态下截面理想重心偏心距

e_II = 46,8 mm - 200 mm / 2 = -53,2 mm

收缩

因收缩引起的法向力 N_sh 是由于配筋未随着混凝土的收缩变形而变，而产生的力。这些力来源于混凝土的拉力与配筋的反作用力的互动。通过计算表明配筋因收缩而承受的负荷。在此处使用间接指定的收缩应变 ε_sh = -0,5 ‰。

N_{sh} = - E_{s} \cdot ε_{sh} \cdot (A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)})

收缩引起的轴向力

N_sh = -2 ⋅ 10⁵ MN/m² ⋅ ( -0,000.5 ) ⋅ ( 4,45 cm² + 0,00 ) = 44,532 kN

未裂状态下收缩力相对于截面重心的偏心 e_sh,I 描述了由于收缩而产生的合力相对于截面重心的位置。较大的偏心导致更高的力矩和更大的变形。

e_{sh, I} = \frac{A_{s, def, - z, (unten)} \cdot d_{ef, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot d_{ef, - z, (oben)}}{A_{s, def, - z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)}} - z_{1}

收缩力相对于未裂拉状态下理想截面的形心的偏心

e_sh,I = ( 4,45 cm² ⋅ 170 mm + 0 ) / ( 4,45 cm² + 0 ) - 103 mm = 67 mm

缺gebra@下）的收缩力矩 M_sh,I 是由收缩力 N_sh 和偏心 e_sh,I 的乘积。它显示收缩力对截面造成的附加力矩。这种力矩显著影响截面中的变形和应力，必须在设计时考虑。

M_{sh, I} = N_{sh} \cdot e_{sh, I}

未开裂状态收缩弯矩

M_sh,I = 44,532 kN ⋅ 67 mm = 2,98 kNm

内力分析：N_sh 和 M_sh

未裂状态下收缩曲度系数 k_sh,I 指示收缩力矩如何与法向力与偏心作用。这表明收缩力分布与重心位置对构件变形的影响。此值对于完整描述因收缩引起的截面变形至关重要。

k_{sh, I} = \frac{M_{sh, I} + M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot e_{I}}{M_{y, Ed, def} - N_{Ed} - e_{I}}

未开裂状态下曲率系数

k_sh,I = ( 2,98 kNm + 18,5 kNm - 0 ) / ( 18,50 kNm – 0 ) = 1,161

裂缝状态下收缩力相对于截面重心的偏心 e_sh,II 描述了裂缝状态下的收缩力相对于截面重心的位置。在计算中考虑了与配筋面积 A_{s,def, +z,(下)} 和 A_{s,def, -z,(上)} 相关的配筋位置 d_{ef, +z,(下)} 和 d_{ef, -z,(上)} 并且用配筋总面积进行除法。结果减去裂缝截面重心距 z_II。这一偏心影响收缩力矩，因为更大的偏心导致更大的力矩。

e_{sh, II} = \frac{A_{s, def, + z, (unten)} \cdot d_{ef, + z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)} \cdot d_{ef, - z, (oben)}}{A_{s, def, + z, (unten)} + A_{s, def, - z, (oben)}} - z_{II}

截面收缩中心相对于受裂位置形重心的偏心

e_sh,II = ( 4,45 cm² ⋅ 170 mm + 0 ) / ( 4,45 cm² + 0 ) – 46,8 mm = 123,2 mm

因收缩力 N_sh 在裂缝状态下引起的弯矩 M_sh,II 是通过先前计算的偏心 e_sh,II 乘以收缩力 N_sh 得出的。这个弯矩描述了由收缩力对截面施加的额外弯曲，这在裂缝状态中尤其重要，因为混凝土受拉区无法承载荷载。

M_{sh, II} = N_{sh} \cdot e_{sh, II}

开裂状态下轴力 N_sh产生的弯矩

M_sh,II = 44,532 kN ⋅ 123,2 mm = 5,48 kNm

裂缝状态下收缩曲度系数 k_sh,II 指示收缩力矩和其他作用力对截面变形的影响。在计算时考虑了收缩力矩 M_sh,II、现有弯矩 M_y,Ed,def 以及法向力 N_Ed 和其偏心 e_II。通过将结果力矩与不收缩时的力矩进行对比，提供了一种衡量收缩力影响的标准。

k_{sh, II} = \frac{M_{sh, II} + M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot e_{II}}{M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot e_{II}}

开裂状态下曲率系数

k_sh,II = ( 5,48 kNm + 18,50 kNm - 0 ) / ( 18,50 kNm - 0 ) = 1,296

截面变形

截面变形描述了在外力作用下构件的曲率，考虑了其材料和状态参数。

未裂状态下截面的变形计算 κ_I 描述了由于收缩力矩和材料弹性性质引起的截面曲率。在此过程中考虑了收缩力矩 M_y,Ed,def，法向力 N_Ed 及其偏心 e_I。这些变量与描述未裂状态下收缩力矩影响的系数 k_sh,I 相乘。分母中包含混凝土的有效弹性模量 E_c,eff 和未裂状态下的惯性矩 I_I，它们共同决定截面的刚度。

κ_{I} = \frac{k_{sh, I} \cdot (M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot e_{I})}{E_{c, eff} \cdot I_{I}}

计算截面未开裂状态下的变形

κ_I = ( 1,161 ⋅ (18,50 kNm - 0) ) / (10.001,2 MN/m² ⋅ 70.844,30 cm⁴) = 3 mrad/m

裂缝状态下截面的变形计算 κ_II 显示裂缝生成后截面的曲率，考虑了收缩力矩和裂缝截面减少的承载能力。这时考虑了收缩力矩 M_y,Ed,def、法向力 N_Ed 和其偏心 e_II 与描述裂缝状态下收缩力矩影响的系数 k_sh,II 共同作用。分母包含混凝土的有效弹性模量 E_c,eff 和减少的裂缝截面惯性矩 I_II，它们反映了截面刚度的降低。在裂缝状态下截面变形较未裂状态大得多，因为裂缝截面的刚度降低。

κ_{II} = \frac{k_{sh, II} \cdot (M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot e_{II})}{E_{c, eff} \cdot I_{II}}

开裂状态下截面变形计算

κ_II = (1,296 ⋅ (18,50 kNm - 0)) / (10.001,2 MN/m² ⋅ 16.933,50 cm⁴) = 14,2 mrad/m

最终状态

最终状态描述了在未裂截面中可能在长时间和短时间荷载下出现的最大应力，以确保构件的承载能力和使用适用性。

长期荷载下未裂状态的最大应力 σ_max,It 描述未裂截面中由于长期荷载产生的最大应力。它由两个部分组成：

法向力 N_Ed 和 N_sh 的贡献
弯矩 M_y,Ed,def、M_sh,I 和由法向力 N_Ed 的偏心 (z_I - h/2) 产生的力矩的贡献。

第二部分通过惯性矩 I_I 和距离 (h - z_I) 进行增强。

σ_{\max, It} = \frac{N_{Ed} + N_{sh}}{A_{I}} + \frac{M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot (z_{I} - h / 2) + M_{sh, I}}{I_{I}} \cdot (h - z_{I})

长期荷载作用下未开裂状态的最大应力

σ_{\max, lt} = \frac{0 + 44.532 kN}{2, 089.05 {cm}^{2}} + \frac{18.50 kNm - 0 + 2.98 kNm}{70, 844.30 {cm}^{4}} \cdot (200 mm - 103 mm) = 3.155 MN / m^{2}

示例: 长期荷载作用下未开裂状态下的最大应力

短期荷载下未裂状态的最大应力 σ_max,st 显示了短期荷载条件下截面的最大应力，与长期荷载不同，仅考虑法向力 N_Ed 和 M_y,Ed,def，因无收缩引起的截面力。

σ_{\max, st} = \frac{N_{Ed}}{A_{I, st}} + \frac{M_{y, Ed, def} - N_{Ed} \cdot (z_{I, st} - h / 2)}{I_{I, st}} \cdot (h - z_{I, st})

短期荷载作用下未开裂状态最大应力

σ_{\max, st} = \frac{0}{2029.69 {cm}^{2}} + \frac{18.50 kNm - 0}{68, 100.10 {cm}^{4}} \cdot (200 mm - 101 mm) = 2.689 MN / m^{2}

示例: 短期荷载作用下未开裂状态的最大应力

未裂状态下的最大应力 σ_max 是长时间和短时间荷载下应力值中较大的那一个。它保证了考虑截面可能承受的最大应力。

σ_{\max} = \max (σ_{\max, I}; σ_{\max, st})

未开裂状态最大应力

σ_max = max(3,155 MN/m²; 2,689 MN/m²) = 3,155 MN/m²

分配系数（损伤参数）ζ_d 描述了截面在未裂和裂缝状态间行为的过渡。通过将混凝土的特征抗拉强度 f_ctm 与最大应力 σ_max 的比率进行计算。此关系通过指数关系来考虑非线性。

ζ_{d} = 1 - β \cdot (f_{ctm} / σ_{\max}) ²

β	荷载作用持续时间或反复系数

损伤参数按照 7.4.3(3) 7.19

ζ_d = 1 – 0,5 ⋅ (2,200 MN/m² / 3,155 MN/m²)² = 0,757 ≤ 1 其中: β = 1,0（短时间荷载） β = 0,5（长期荷载或多次重复荷载）当分配系数 ζ_d = 1 时，构件完全处于裂缝状态。但如果 ζ_d 等于 0，则混凝土完全未裂。

信息

直接变形计算很大程度上依赖于分配系数。更多信息可以在专业文章 Verteilungsbeiwert ζ in der Verformungsberechnung von Stahlbetonbauteilen 中找到。

分布系数计算与表示

在计算分配系数 ζ_d 时非常关键的是选择了哪种裂缝状态识别选项。选择“从相关荷载中计算裂缝状态”选项时，裂缝状态（分配系数 ζ_d）仅从当前荷载（荷载组合）计算——正如在此示例中。其他选项在手册中有详细描述。

裂缝分析

截面的曲率 κ_f 通过在裂缝（κ_II）和未裂状态（κ_Id 进行计算。这使得过渡状态下的曲率行为描述更为现实。

κ_{f} = ζ_{d} \cdot κ_{II} + (1 - ζ_{d}) \cdot κ_{I}

截面的曲率按照 7.4.3 (3)，Eq. 7.18

κ_f = 0,757 ⋅ 14,2 mrad/m + (1 – 0,757) ⋅ 3 mrad/m = 11,5 mrad/m '''理想截面积 A_f''' 描述了未裂截面积 A_I 和裂缝截面积 A_II 之间的过渡。这里的加权也通过分配系数 ζ_d 进行。

A_{f} = \frac{A_{I} \cdot A_{II}}{ζ_{d} \cdot A_{I} + (1 - ζ_{d}) \cdot A_{II}}

理想截面面积

A_{f} = \frac{2, 089.05 {cm}^{2} \cdot 557.41 {cm}^{2}}{0.757 \cdot 2089.05 {cm}^{2} + (1 - 0.757) \cdot 557.41 {cm}^{2}} = 678.30 {cm}^{2}

示例理想截面面积

'''理想惯性矩 I_y,f''' 描述截面的力矩并考虑了分配系数 ζ_d 以及未裂状态的惯性矩 I_I 和裂缝状态的惯性矩 I_II。因子的 k_sh,II 和 k_sh,I 还考虑了各自状态下的收缩影响。

I_{y, f} = \frac{I_{I} \cdot I_{II}}{ζ_{d} \cdot I_{I} \cdot k_{sh, II} + (1 - ζ_{d}) \cdot I_{II} \cdot k_{sh, I}}

理想惯性矩

I_{y, f} = \frac{70.844, 3 {cm}^{4} \cdot 16.933, 5 {cm}^{4}}{(0, 757 \cdot 70.844, 30 {cm}^{4} \cdot 1, 296 + (1 - 0, 757) \cdot 16.933, 50 {cm}^{4} \cdot 1, 161)} = 16.145, 50 {cm}^{4}

示例：名义惯性矩

'''重心的偏心 e_f''' 描述了基于未裂和裂缝状态过渡的截面的重心位置。考虑了分配系数 ζ_d 以及各AFT功能计算模块 Ef 和不同状态下的惯性矩 I_I 和 I_II。

e_{f} = \frac{ζ_{d} \cdot E_{c, eff} \cdot I_{I} \cdot e_{I} + (1 - ζ_{d}) \cdot E_{c, eff} \cdot I_{II} \cdot e_{II}}{ζ_{d} \cdot E_{c, eff} \cdot I_{I} + (1 - ζ_{d}) \cdot E_{c, eff} \cdot I_{II}}

偏心距

e_{f} = \frac{0.757 \cdot 10, 001.2 MN / m^{2} \cdot 70, 844.30 {cm}^{4} \cdot (- 53.2 mm) + (1 - 0.757) \cdot 10, 001.2 MN / m^{2} \cdot 16, 933.50 {cm}^{4} \cdot 3 mm}{0.757 \cdot 10, 001.2 MN / m^{2} \cdot 70, 844.30 {cm}^{4} + (1 - 0.757) \cdot 10, 001.2 MN / m^{2} \cdot 16, 933.50 {cm}^{4}} = - 49.2 mm

示例偏心距

'''相对于几何截面中心的理想惯性矩 I_y,0,f''' 除了考虑理想惯性矩 I_y,f和理想截面积 A_f 之外，还考虑了通过偏心 e_f 导致的重心偏移。该偏移通过 A_f 的 Steiner 部分得以考虑。

I_{y, 0, f} = I_{y, f} + A_{f} \cdot {e_{f}}^{2}

截面几何中心惯性矩

I_y,0,f = 16.145,50 cm⁴ + 678,30 cm² ⋅ ( -49,2 mm )² = 32.538,80 cm⁴ === 最终刚度 === 构件的最终刚度描述了其在不同荷载类型下的抗变形和抗旋转能力。这里同时考虑了轴向刚度和弯曲刚度以及扭转和剪切刚度。这些值用作分析构件承载性能和适用性判断的基础。 '''切线膜刚度 EA_f''' 描述了考虑混凝土有效弹性模量 E_c,eff 与理想截面积 A_f 的截面轴向刚度。

{EA}_{f} = E_{c, eff} \cdot A_{f}

切向薄膜刚度

EA_f = 10.001,2 MN/m² ⋅ 678,30 cm² = 678,387 kN '''切线弯曲刚度 EI_y,0,f''' 描述了截面对理想重心轴弯曲的抵抗力。通过混凝土有效弹性模量 E_c,eff 与理想截面惯性矩 I_y,0,f 来进行定义。

{EI}_{y, 0, f} = E_{c, eff} \cdot I_{y, 0, f}

切向抗弯刚度

EI_y,0,f = 10.001,2 MN/m² ⋅ 32.538,80 cm⁴ = 3.254,28 kNm² '''切线弯曲刚度 EI_z,0,f''' 描述了截面对局部z轴弯曲的抵抗力。通过混凝土有效弹性模量 E_c,eff 与相对于z轴的惯性矩 I_z 来定义。

{EI}_{z, 0, f} = E_{c, eff} \cdot I_{z}

切向抗弯刚度

EI_z,0,f = 10.001,2 MN/m² ⋅ 1.666.670 cm⁴ = 166.687 kNm²

刚度曲线对话框

'''因子 r''' 表示基于理想惯性矩 I_f与 I_I的比例的剪切刚度减少。

r = \frac{I_{f}}{I_{I}}

系数 r

r = 16.145,50 cm⁴/70.844,30 cm⁴ = 0,228 '''y轴的剪切刚度 GA_y,f''' 考虑了混凝土的有效剪切模量 G_c,eff，截面面积 A_c,y 以及减少系数 r。

{GA}_{y, f} = G_{c, eff} \cdot A_{c, y} \cdot r

沿 y 轴的抗剪刚度

GA_y,f = 4.167,18 MN/m² ⋅ 1.666,67 cm² ⋅ 0,228 = 158284 kN '''z轴的剪切刚度 GA_z,f''' 计算方法与y轴类似。

{GA}_{z, f} = G_{c, eff} \cdot A_{c, z} \cdot r

沿 z 轴的抗剪刚度

GA_z,f = 4.167,18 MN/m² ⋅ 1,666,67 cm² ⋅ 0,228 = 158,284 kN '''扭转刚度 GI_T,f''' 在此情况下与未裂状态下的扭转刚度 GI_T,I 相等。

{GI}_{T, f} = {GI}_{T, I}

抗扭刚度

GI_T,f = 7.770 kNm² '''偏心刚度元素 ES_y''' 描述了因偏心 e_f 导致的截面额外负荷，通过轴向刚度 EA_f 和偏心 e_f 计算。

{ES}_{y, f} = {EA}_{f} \cdot e_{f}

偏心刚度元素

ES_y = 678,387 kN ⋅ ( -49,2 mm ) = -33,350,20 kNm === 挠度 === 为确保适用性，将实际变形与允许极限值进行比较。总挠度通过提前曲率校正并检查与给定极限值的合规性。在挠度计算中，主要荷载组合考虑不包括时间效应（如徐变和收缩）的情况（短期），而相关的荷载组合则考虑时间相关特性（长期）。如果有超过一个相关荷载，基础上考虑挠度是最大者。 '''z方向上的极限挠度 u_z,lim''' 通过z方向参考长度 L_z,ref 与极限挠度标准 L_z,ref/u_z,lim 来计算。

u_{z, \lim} = \frac{L_{z, ref}}{L_{z, ref} / u_{z, \lim}}

z 方向挠度容许值

u_z,lim = 4,210 m / 250 = 16,8 mm '''z方向上的挠度 u_z''' 是总挠度 u_z,ges 与位于位置x的提前曲率 u_z,c 之差。

u_{z} = u_{z, ges} - u_{z, c}

在 z 方向的挠度

u_z = 19,4 mm - 0 = 19,4 mm

结果曲线：挠度和极限挠度

=== 验证 ===

η = \max (u_{z} / u_{z, \lim}; u_{y} / u_{y, \lim})

钢筋混凝土构件变形极限设计

η = max(19,4 mm / 16,8 mm; 0,0 mm / 16,8 mm) = 1,155 因为 η = 1,155 > 1，允许的挠度值被超过！

正常使用极限状态、变形曲线和利用率

=== 结论 === 根据标准中规定的近似方法（如根据EN 1992-1-1第7.4.3节进行的变形计算进行变形计算），使用视实际情况而定的有限元计算出的有效刚度。这些有效刚度是后续使用FEM分析计算构件变形的基础。确定有效刚度时，考察了增强的混凝土截面。在界限状态下根据相对极限状态计算（是否未裂或裂缝），钢筋混凝土截面根据确定的切应力进行分级。通过分配系数考虑裂缝之间混凝土的共同作用，例如根据方程7.19（EN 1992-1-1）。混凝土的材料行为假定为线性弹性，直到达到混凝土的抗拉强度，这对使用适用性来说已经足够精确。在构件截面的有效刚度确定中，考虑徐变和收缩的长期效应，以确保构件在长期荷载下变形的现实呈现。

作者

Dannwerth女士负责客户支持中的用户，并从事岩土工程领域的开发。

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