Análise de deformações direta de uma viga de betão armado considerando fluência e retração

Neste artigo técnico, é realizada a análise direta da deformação de uma viga de betão armado, considerando adicionalmente os efeitos a longo prazo da fluência e retração. Com base num exemplo, mostra-se como esses efeitos influenciam a deformação de um componente e são incorporados no cálculo. É explicado quais as entradas que são necessárias no RFEM 6 para considerar corretamente todos os fatores relevantes e como o fator de distribuição afeta a rigidez do componente.

Dados de entrada

Geometria, armadura e carregamento são descritos pelos seguintes parâmetros:

Sistema estrutural

• Tipo de viga: Viga simplesmente apoiada
• Vão: l = 4,210 m

Seção transversal

• Espessura da placa: h = 20 cm
• Largura da placa b = 100 cm
• Material: Betão C20/25 com E_cm = 30.000 MN/m² e B 500A
• Armadura: A_{s,-z,(inferior)} = 4,45 cm² com 7 ∅ 9 e d₁ = 30 mm
• Altura útil da armadura inferior: d_{def,+z (inferior)} = 17 cm

Cargas permanentes

• Peso próprio: g_s = 0,20 m ⋅ 1m ⋅ 25 kN/m³ = 5,00 kN/m
• Revestimento e acabamento: g_bp = 1,50 kN/m
• Total: g_k,total = 6,5 kN/m

Cargas variáveis

• Carga útil (escritório): q_b = 2,00 kN/m com ψ₂ = 0,3
• Compensação de parede divisória: q_t = 1,25 kN/m com ψ₂ = 1,0

Carga quase-permanente

• 6,5 kN/m + 0,3 ⋅ 2,00 kN/m + 1,0 ⋅ 1,25 kN/m = 8,35 kN/m

Momento fletor de cálculo para cálculo de deformação

• M_y,Ed,def = 8,35 kN/m ⋅ (4,21 m)² / 8 = 18,50 kNm

Valores iniciais para a análise de deformação

• Módulo de elasticidade médio do betão: E_cm = 30.000 MN/m²

• Relação da armadura longitudinal: ρ = A_s / A_c = 4,45 cm² / ( 20 cm ⋅ 100 cm) = 0,223 %

• Deformação por retração: ε_sh = -0,5 ‰
• Coeficiente de fluência: φ = 2

A opção "Propriedades avançadas dependentes do tempo do betão" deve ser ativada nas configurações da seção transversal para permitir a definição personalizada do coeficiente de fluência.

No separador agora disponível, as caixas para "Fluência" e "Retração" devem ser selecionadas para visualizar e editar os "Valores básicos das propriedades dependentes do tempo". O coeficiente de fluência φ foi aqui definido pela entrada de φ₀, ϵ_cd,0 e ϵ_ca(∞).

Fluência

Os efeitos da fluência são determinados por uma redução do módulo de elasticidade E_c do betão.

O módulo de elasticidade efetivo E_c,eff considera os efeitos a longo prazo do betão, especialmente a fluência. A fluência descreve a deformação de longo prazo do betão sujeito a uma carga constante. O coeficiente de fluência φ, é utilizado para reduzir o módulo de elasticidade E_cm (módulo de elasticidade médio do betão), de modo que a rigidez real do betão ao longo de um longo período é representada. Este valor é usado em cálculos adicionais, como no momento de inércia ou na relação das rigidezes.

E_c,eff = 30.000 MN/m² / ( 1 + 2 ) = 10.001,2 MN/m²

Módulo de corte efetivo do betão G_c,eff
O módulo de corte efetivo descreve a resistência do betão às deformações de corte e é determinado pela relação da deformação transversal à longitudinal (o coeficiente de Poisson do betão). Este valor é especialmente importante em cálculos de deformações da seção transversal e em verificações do dimensionamento de corte.

G_c,eff = 10.001,2 MN/m² / ( 2 ⋅ ( 1 + 0,2 ) ) = 4.167,180 MN/m²

Relação dos módulos efetiva para o estado não fissurado (carga de longo prazo) α_e,l
A relação α_e,l indica quanto mais rígido é o aço em comparação com o betão sob carga de longo prazo. E_s é o módulo de elasticidade do aço, E_c,l o módulo de elasticidade efetivo do betão no estado não fissurado (idêntico a E_c,eff). Como o betão apresenta menor rigidez devido aos efeitos a longo prazo, como a fluência, o valor de α_e,l é maior nesta condição. Esta relação é utilizada no cálculo do centro de gravidade e das propriedades da seção efetiva.

α_e,l = 2 ⋅ 10⁵ MN/m² / 10.001,2 MN/m² = 20

Relação entre os módulos de elasticidade para o estado não fissurado (carga de curto prazo) α_e,I,st
A relação α_e,I,st descreve a relação de rigidez do aço em relação ao betão sob carga de curto prazo. Ao contrário de α_e,l, aqui é usado o módulo de elasticidade médio E_cm, sem considerar efeitos de fluência. Isso reflete a situação de carga real quando o betão é carregado apenas a curto prazo. Este valor é particularmente relevante para o dimensionamento das cargas de curto prazo.

α_e,I,st = 2 ⋅ 10⁵ MN/m² / 30.000 MN/m² = 6,67

Relação dos módulos efetivos para o estado fissurado α_e,II
No estado fissurada, o betão na zona de tração é considerado não resistente. A relação α_e,II considera isso ao incluir apenas o módulo de elasticidade efetivo E_c,eff do betão. Este valor apresenta que a rigidez do aço é maior em comparação com o concreto no estado fissurado, destacando a importância da armadura nesses casos.

α_e,II = 2 ⋅ 10⁵ MN/m² / 10.001,2 MN/m² = 20,00

Parâmetros geométricos para o estado não fissurado

A distância do centro de gravidade da seção transversal ideal no estado não fissurado sob carga de longo prazo, z_I, descreve a localização do centro de gravidade considerando a área do betão e da armadura. O efeito da armadura é escalado por um fator de conversão α_e,l, que representa a relação entre o módulo de elasticidade do aço e o módulo de elasticidade efetivo do betão. Isso é particularmente importante, uma vez que as cargas de longo prazo, como a fluência, enfraquecem o betão. O centro de gravidade influencia o cálculo de momentos e deformações na seção transversal e, portanto, é um parâmetro central para a análise estrutural.

A área efetiva da seção transversal no estado não fissurado sob carga de longo prazo, A_I, representa a área efetiva que suporta cargas. Além da área do betão, também é considerada a área da armadura, complementada pelo fator α_e,l. Providenciando uma representação mais realística da rigidez da seção transversal. Este valor é crucial para a avaliação da capacidade de carga resistente e o cálculo da deformação do componente estrutural.

A_I = 1.000 mm ⋅ 200 mm + 20 ⋅ ( 4,45 cm² + 0 cm² ) = 2.089,05 cm²

O momento de inércia efetivo do centro de gravidade ideal no estado não fissurado sob carga de longo prazo, I_I, descreve a resistência da seção transversal à flexão. Considera tanto a área de betão quanto a armadura, sendo que esta última gera momentos adicionais devido à sua posição em relação ao centro de gravidade. Este momento de inércia é um fator central para a análise de deformações e mostra quão resistente a seção transversal é aos momentos fletores.

A excentricidade do centro de gravidade ideal no estado não fissurado, e_I, indica o desvio do centro de gravidade em relação ao centro geométrico da seção transversal. Esta excentricidade é importante, pois influencia os momentos que surgem na seção transversal, afetando diretamente as deformações.

e_I = 103 mm - 200 mm / 2 = 3 mm

A distância do centro de gravidade da seção transversal ideal no estado não fissurado sob carga de curto prazo, z_I,st, descreve a posição do centro de gravidade sob cargas que não consideram efeitos de fluência ou retração. O fator de conversão α_e,I,st, usado no cálculo de curto prazo, é, portanto, menor do que para cargas de longo prazo. Esta distância do centro de gravidade é crucial para a distribuição das cargas e a determinação de momentos em cargas de curto prazo.

A área efetiva da seção transversal no estado não fissurado sob carga de curto prazo, A_I,st, é semelhante à área A_I, mas é ajustada pelo fator de conversão α_e,I,st, que não considera efeitos de longo prazo. Isso resulta numa área menor e tem impacto no cálculo da resistência de carga curta duração.

A_I,st = 1000 mm ⋅ 200 mm + 6,67 ⋅ ( 4,45 cm² + 0 cm² ) = 2.029,69 cm²

O momento de inércia efetivo do centro de gravidade ideal no estado não fissurado sob carga de curto prazo, I_I,st, representa a resistência da seção transversal à flexão sem a influência de efeitos de longo prazo. Considera tanto a área do betão quanto a da armadura e suas distâncias em relação ao centro de gravidade, o que é crucial para o cálculo de deformações sob cargas de curto prazo.

Parâmetros geométricos para o estado fissurado

A distância do centro de gravidade da seção transversal ideal na condição fissurada, z_II, considera a capacidade de carga alterada da seção, já que a zona de tração do betão não suporta mais cargas após formação de fissuras. A posição do centro de gravidade é recalculada, considerando apenas a zona de compressão do betão e da armadura. Este parâmetro é central para a análise da seção após a fissura e afeta a capacidade de carga resistente e a deformação.

A área efetiva da seção transversal no estado fissurado, A_II, representa a área restante após a formação de fissuras. Aqui, considera-se apenas a zona de compressão do betão e a área da armadura, o que reduz consideravelmente a rigidez da seção. Este valor é crucial para a análise da capacidade de carga resistente em seções fissuradas.

A_II = 1.000 mm ⋅ 46,8 mm + 20 ⋅ ( 4,45 cm² + 0 ) = 557,41 cm²

O momento de inércia efetivo do centro de gravidade ideal no estado fissurado, I_II, descreve a resistência à flexão após a formação de fissuras. Como a zona de tração não é mais resistente, o momento de inércia reduz-se consideravelmente. Este valor é um fator determinante para o cálculo de deformações e a avaliação da capacidade de carga resistente das seções fissuradas.

A excentricidade do centro de gravidade ideal no estado fissurado, e_II, descreve o deslocamento do centro de gravidade devido à formação de fissuras. Este deslocamento influencia os momentos gerados e a deformação da seção transversal, sendo um parâmetro importante para a análise estrutural.

e_II = 46,8 mm - 200 mm / 2 = -53,2 mm

Retração

A força normal devido à retração, N_sh, surge porque a armadura não contribui para a deformação do betão causada pela retração, e assim absorve as forças. Essas forças resultam da interação entre a força de tração do betão e a reação da armadura. O valor calculado mostra o quanto a armadura é tensionada devido à retração. Nesta etapa, utiliza-se a deformação por retração ε_sh = -0,5 ‰ definida indiretamente pelo utilizador.

N_sh = -2 ⋅ 10⁵ MN/m² ⋅ ( -0,000.5 ) ⋅ ( 4,45 cm² + 0,00 ) = 44,532 kN

A excentricidade da força de retração para o centro de gravidade da seção transversal ideal no estado não fissurado, e_sh,I, descreve a posição da força resultante de retração em relação ao centro de gravidade da seção. Uma excentricidade maior resulta em maiores momentos e maiores deformações.

e_sh,I = ( 4,45 cm² ⋅ 170 mm + 0 ) / ( 4,45 cm² + 0 ) - 103 mm = 67 mm

O momento da retração para o estado não fissurado, M_sh,I, resulta da força de retração N_sh e da excentricidade e_sh,I. Representa como a força de retração, ao atuar sobre a seção, gera um momento. Este momento influencia significativamente as deformações e tensões na seção e deve ser considerado no dimensionamento.

M_sh,I = 44,532 kN ⋅ 67 mm = 2,98 kNm

O coeficiente de curvatura para o estado não fissurado k_sh,I indica como o momento de retração atua em relação à força normal e à excentricidade. Mostra como a distribuição da força de retração e o centro de gravidade influenciam as deformações do componente estrutural. Este valor é essencial para descrever completamente as deformações da seção devido à retração.

k_sh,I = ( 2,98 kNm + 18,5 kNm - 0 ) / ( 18,50 kNm – 0 ) = 1,161

A excentricidade da força de retração para o centro de gravidade da seção transversal ideal no estado fissurado, e_sh,II, descreve a posição da força de retração resultante em relação ao centro de gravidade da seção no estado fissurado. Os momentos de área da armadura, A_{s,def, +z,(inferior)} e A_{s,def, -z,(superior)}, são determinados em relação às suas posições, d_{ef, +z,(inferior)} e d_{ef, -z,(superior)}, e divididas pela área total de armadura. A distância do centro de gravidade da seção fissurada, z_II é subtraída do resultado. Essa excentricidade influencia o momento de retração, uma vez que uma maior excentricidade resulta num momento maior.

e_sh,II = ( 4,45 cm² ⋅ 170 mm + 0 ) / ( 4,45 cm² + 0 ) – 46,8 mm = 123,2 mm

O momento fletor devido à força normal N_sh para o estado fissurado, M_sh,II, é obtido multiplicando a força de retração N_sh pela excentricidade calculada previamente e_sh,II. Este momento descreve a tensão de flexão adicional que tua na secção devido à forla de retração. Este valor é especialemnte importante no estado fissurado, em que a zona de tração do betão não suporta mais cargas.

M_sh,II = 44,532 kN ⋅ 123,2 mm = 5,48 kNm

O coeficiente de curvatura para o estado fissurado, k_sh,II, indica quão fortemente a deformação da seção é influenciada pelo momento de retração e pelas demais forças atuantes. Consideram-se o momento de retração M_sh,II, o momento fletor M_y,Ed,def existente, bem como a força normal N_Ed e sua excentricidade e_II. O cálculo define o momento resultante em relação ao momento sem retração, fornecendo uma medida para o impacto da força de retração.

k_sh,II = ( 5,48 kNm + 18,50 kNm - 0 ) / ( 18,50 kNm - 0 ) = 1,296

Deformação da seção transversal

A deformação da seção transversal descreve a curvatura de um componente estrutural causada por ações externas, considerando seus materiais e parâmetros.

O cálculo da deformação da seção transversal no estado não fissurado, κ_I, descreve a curvatura da seção causada pelo momento de retração e pelas propriedades elásticas do material. Considera-se o momento de retração M_y,Ed,def, bem como a força normal N_Ed e sua excentricidade e_I. Essas grandezas são multiplicadas pelo fator k_sh,I, que descreve a influência do momento de retração no estado não fissurado. No denominador estão o módulo de elasticidade efetivo, E_c,eff, e o momento de inércia da seção não fissurada, I_I, que determinam a rigidez da seção.

κ_I = ( 1,161 ⋅ ( 18,50 kNm - 0) ) / ( 10.001,2 MN/m² ⋅ 70.844,30 cm⁴ )
= 3 mrad/m

O cálculo da deformação da seção transversal no estado fissurado, κ_II, apresenta a curvatura da seção após a formação de fissuras, considerando o momento de retração e a capacidade de carga reduzida da seção fissurada. Aqui, consideram-se o momento de retração M_y,Ed,def, a força normal N_Ed e a sua excentricidade e_II multiplicadas pelo fator k_sh,II, que descreve a influência do momento de retração no estado fissurado. No denominador estão o módulo de elasticidade efetivo do betão, E_c,eff, e o momento de inércia reduzido da seção fissurada, I_II, que refletem a rigidez reduzida da seção. A deformação da seção no estado fissurado é significativamente maior do que no estado não fissurado, pois a rigidez da seção fissurada é reduzida.

κ_II = ( 1,296 ⋅ ( 18,50 kNm - 0 ) ) / ( 10.001,2 MN/m² ⋅ 16.933,50 cm⁴ ) = 14,2 mrad/m

Estado final

O estado final descreve as tensões máximas que podem ocorrer na seção não fissurada tanto em condições de carga de longo prazo quanto de curto prazo de forma a garantir a capacidade de carga e a funcionalidade do componente estrutural.

A tensão máxima no estado não fissurado sujeito a carga de longo prazo, σ_max,It, descreve a tensão máxima que pode ocorrer na seção não fissurada devido a cargas de longo prazo. Consiste em dois componentes:

• a contribuição das forças normais N_Ed e N_sh
• a contribuição dos momentos fletores M_y,Ed,def, M_sh,I e do momento gerado pela excentricidade (z_I - h/2) da força normal N_Ed.

O segundo componente é amplificado pelo momento de inércia I_I e pela distância (h - z_I).

A tensão máxima no estado não fissurado sujeito a carga de curto prazo, σ_max,st, indica a tensão máxima na seção sob condições de carga de curto prazo. Ao contrário das cargas de longo prazo, aqui são consideradas apenas a força normal N_Ed e M_y,Ed,def, uma vez que não estão presentes forças internas resultantes da retração.

A tensão máxima no estado não fissurado, σ_max, é o maior dos dois valores de tensão das cargas de longo prazo e curto prazo. Garante-se que a carga máxima possível na seção seja considerada.

σ_max = max( 3,155 MN/m²; 2,689 MN/m² )
= 3,155 MN/m²

O coeficiente de distribuição (parâmetro de dano), ζ_d, descreve a transição entre o comportamento da seção no estado não fissurado e fissurado. É calculado pela relação entre a resistência à tração característica do betão, f_ctm, e a tensão máxima, σ_max. Neste caso, a não linearidade é considerada pela relação exponencial.

ζ_d = 1 – 0,5 ⋅ (2,200 MN/m² / 3,155 MN/m²)²
= 0,757 ≤ 1
com:
β = 1,0 (carga de curto prazo)
β = 0,5 (carga de longo prazo ou muitos ciclos de solicitações repetidas)
Se o coeficiente de distribuição ζ_d = 1, o componente estrutural encontra-se totalmente no estado fissurado. Se ζ_d é igual a 0, o betão está completamente não fissurado.

A opção selecionada para o reconhecimento do estado de fendilhação é importante para o cálculo do coeficiente de distribuição ζ_d. Se seleciona a opção "Estado de fissuração calculado a partir da carga correspondente" faz com que o estado de fissuração (coeficiente de distribuição ζ_d) seja calculado exclusivamente a partir da carga atual (combinação de carga) - como neste exemplo. As outras opções são descritas mais detalhadamente no manual.

A curvatura da seção, κ_f, é calculada por interpolação entre o estado fissurado (κ_II) e o não fissurado (κ_I), ponderada pelo coeficiente de distribuição, ζ_d. Isso permite uma descrição realista do comportamento de curvatura no estado de transição.

κ_f = 0,757 ⋅ 14,2 mrad/m + (1 – 0,757) ⋅ 3 mrad/m
= 11,5 mrad/m

A área ideal da seção transversal, A_f, descreve a transição entre a área não fissurada, A_I, e a área fissurada, A_II. A ponderação também é feita pelo coeficiente de distribuição, ζ_d.

O momento de inércia ideal, I_y,f, descreve o momento da seção considerando o coeficiente de distribuição, ζ_d, bem como os momentos de inércia no estado não fissurado, I_I, e no estado fissurado, I_II. Fatores adicionais como k_sh,II e k_sh,I consideram os efeitos de retração na condição respectiva.

A excentricidade do centro de gravidade, e_f, descreve a posição do centro de gravidade resultante da seção, com base na transição entre o estado não fissurado e fissurado. Considera o coeficiente de distribuição, ζ_d, bem como os módulos de elasticidade respectivos, E_c,eff, e momentos de inércia, I_I e I_II.

O momento de inércia ideal em relação ao centro de gravidade geométrico da seção , I_y,0,f, tem em consideração não apenas o momento de inércia ideal, I_y,f, e a área ideal da seção, A_f, mas também o deslocamento do centro de gravidade devido à excentricidade, e_f. Este deslocamento é considerado pelo componente de Steiner de A_f.

I_y,0,f = 16.145,50 cm⁴ + 678,30 cm² ⋅ ( -49,2 mm )²
= 32.538,80 cm⁴

Rigidezes finais

As rigidezes finais de um componente estrutural descrevem a sua resistência a deformações e rotações quando sujeitos a diferentes tipos de carregamento. Neste contexto, são consideradas quer as rigidezes axiais e fletores quanto rigidezes de torção e corte. Esses valores servem como base para a análise do comportamento estrutural e verificação do estado limite de utilização de um componente estrutural.

A rigidez da membrana tangente, EA_f, descreve a rigidez axial da seção considerando o módulo de elasticidade efetivo do betão, E_c,eff, e a área ideal da seção, A_f.

EA_f = 10.001,2 MN/m² ⋅ 678,30 cm²
= 678.387 kN

A rigidez à flexão tangente, EI_y,0,f, descreve a resistência da seção à flexão em relação ao centro de gravidade ideal. É determinada pelo módulo de elasticidade efetivo do betão, E_c,eff, e pelo momento de inércia ideal, I_y,0,f.

EI_y,0,f = 10.001,2 MN/m² ⋅ 32.538,80 cm⁴
= 3.254,28 kNm²

A rigidez à flexão tangente, EI_z,0,f, descreve a resistência da seção à flexão em torno do eixo local z. É determinada pelo módulo de elasticidade efetivo do betão, E_c,eff, e pelo momento de inércia em relação ao eixo z, I_z.

EI_z,0,f = 10.001,2 MN/m² ⋅ 1.666.670 cm⁴
= 166.687 kNm²

O fator r descreve a redução da rigidez ao corte com base na relação dos momentos de inércia ideais I_f e I_I.

r = 16.145,50 cm⁴/70.844,30 cm⁴
= 0,228

A rigidez ao corte em relação ao eixo y, GA_y,f, considera o módulo de corte efetivo do betão, G_c,eff, a área de seção transversal A_c,y e o fator de redução r.

GA_y,f = 4.167,18 MN/m² ⋅ 1.666,67 cm² ⋅ 0,228
= 158.284 kN

A rigidez ao corte em relação ao eixo z, GA_z,f, é calculada de forma análoga ao eixo y.

GA_z,f = 4.167,18 MN/m² ⋅ 1.666,67 cm² ⋅ 0,228
= 158.284 kN

A rigidez à torção, GI_T,f, corresponde à rigidez à torção no estado não fissurado, GI_T,I, no caso considerado.

GI_T,f = 7.770 kNm²

O elemento de rigidez excêntrico, ES_y, descreve a carga adicional na seção causada pela excentricidade e_f. É calculado pela rigidez axial EA_f e a excentricidade e_f.

ES_y = 678.387 kN ⋅ ( -49,2 mm )
= -33.350,20 kNm

Deformação

Para garantir a funcionalidade, a deformação real é comparada com os valores limite admissíveis. A deformação total é corrigida pela contra clecha e verificada em relação aos valores limite predefinidos.

No cálculo da deformação, é considerada a combinação de carga principal sem efeitos dependentes do tempo, como a fluência e a retração (curto prazo), enquanto as combinações de carga associadas são sempre calculadas com propriedades dependentes do tempo (longo prazo). Se houver mais de uma carga associada, é utilizada a deformação da carga com o maior valor.

A deformação limite na direção z, u_z,lim, é calculada com o comprimento de referência na direção z, L_z,ref, e o critério da deformação limite, L_z,ref/u_z,lim.

u_z,lim = 4,210 m / 250 = 16,8 mm

A deformação na direção z, u_z, resulta da diferença entre a deformação total, u_z,ges, e a contra flecha no ponto x, u_z,c.

u_z = 19,4 mm - 0 = 19,4 mm

Verificação

η = max( 19,4 mm / 16,8 mm; 0,0 mm / 16,8 mm ) = 1,155 Como η = 1,155 > 1, a deformação admissível foi excedida!

Conclusão

O cálculo de deformação segundo os métodos de aproximação definidos nas normas, como o cálculo de deformação de acordo com a seção 7.4.3 da EN 1992-1-1, é realizado usando rigidezes efetivas, que são calculadas nos elementos finitos conforme o estado limite (fissurado ou não fissurado). Essas rigidezes efetivas formam a base para o cálculo subsequente da deformação do componente estrutural através de uma análise FEM adicional.

Para a determinação das rigidezes efetivas, considera-se a seção de betão armado, enquanto que a seção de betão armado é classificada como "fissurada" ou "não fissurada" com base nas forças internas determinadas para o estado limite de utilização. A contribuição do betão entre as fissuras é considerada por um coeficiente de distribuição, por exemplo, de acordo com a equação 7.19 (EN 1992-1-1). O comportamento do material do betão é considerado linear-elástico até a resistência à tração do betão, o que é suficientemente preciso para a para o estado limite de utilização.

A consideração dos efeitos a longo prazo da fluência e retração é feita na determinação das rigidezes efetivas ao nível da seção do componente estrutural para garantir a representação realista das deformações sob carregamentos de longo prazo.