Введение
В вычислительном моделировании и симуляции, особенно в области динамики жидкостей и анализа ветровых нагрузок, крайне важно количественно оценивать точность численных результатов относительно эталонных данных. Хотя методы оценки на основе уровня точности предоставляют бинарную оценку на основе заранее заданных порогов допустимых отклонений, они могут не учитывать общую распределённость и величину отклонений. Для решения этой проблемы нормализованная среднеквадратичная ошибка e2 предлагает дополнительный подход, предоставляя непрерывную, не зависящую от масштаба меру эффективности модели, как упомянуто в Разделе 5.3.2 WTG-Памятки M3. В этой статье рассматриваются определение, преимущества и ограничения использования e2 в качестве критерия валидации.
Определение нормализованной среднеквадратичной ошибки
В контексте валидации данных симуляции относительно эталонных измерений одной альтернативой методу оценки по уровню точности является расчёт нормализованной среднеквадратичной ошибки, обозначаемой как e2. Этот подход предлагает более непрерывную и количественную меру отклонения между предсказанными значениями Pi и наблюдаемыми значениями Oi. Формула определяется как:
Это выражение на основе отношения оценивает квадратичные отклонения, нормализованные по величине наблюдаемых значений. Оно предоставляет размерностную метрику ошибки, которая позволяет лучше сравнивать наборы данных с разными масштабами.
Преимущества e2 в оценке моделей
- Калибровка модели: Нормализованная среднеквадратичная ошибка может быть напрямую связана с фактором модели, что делает её полезной для задач калибровки.
- Применимость к малым наборам данных: В отличие от методов оценки по уровню точности, которые требуют статистически больших наборов данных, e2 может быть значимо применена даже к более малым выборкам.
- Количественная точность: Значение e2≤0.01 считается хорошим эталоном точности симуляции, указывая, что только 1% от общей энергии в наблюдаемом сигнале не охвачено моделью.
Ограничения
Одним из недостатков метода e2 является его чувствительность к выбросам. Значительные индивидуальные отклонения могут непропорционально увеличить ошибку, даже если большинство значений предсказаны хорошо. Поэтому, в критических приложениях рекомендуется дополнить эту метрику критерием оценки на основе порога допустимых отклонений для обеспечения более надёжной валидации.
Пример: оценка нормализованной среднеквадратичной ошибки (e2) для 12 измерительных точек на поверхности
Рассмотрим 12 измеренных точек с эталонными значениями Oi и соответствующими значениями симуляции Pi:
Таблица 1: информация о 12 измерительных точках
| Точка (i) | Эталонное значение (Oi) | Симулированное значение (Pi) |
|---|---|---|
| 1 | 0.72 | 0.75 |
| 2 | 0.68 | 0.70 |
| 3 | 0.81 | 0.85 |
| 4 | 0.77 | 0.73 |
| 5 | 0.66 | 0.69 |
| 6 | 0.74 | 0.71 |
| 7 | 0.85 | 0.80 |
| 8 | 0.70 | 0.66 |
| 9 | 0.81 | 0.88 |
| 10 | 0.76 | 0.69 |
| 11 | 0.82 | 0.75 |
| 12 | 0.69 | 0.80 |
Таким образом, мы можем рассчитать e2 по следующей формуле:
Нормализованная среднеквадратичная ошибка: e2=0.0055
Она удовлетворяет минимальному требованию (e2≤0.01) для проверки средних значений.
Заключение
Метрика e2 является мощным инструментом для оценки общей точности моделей симуляций, особенно в оценках коэффициентов давления или силы в исследованиях валидации CFD. При правильном использовании она обеспечивает надёжную количественную основу для проверки эффективности модели и может дополнять категорийные критерии, такие как оценка по уровню точности, для более всесторонней оценки качества.