133x

001974

mgr inż.

2025-08-01

Ocena dokładności wyników przy zastosowaniu znormalizowanego średniego błędu kwadratowego zdefiniowanego w WTG-Merkblatt M3

Ten artykuł wprowadza znormalizowany średni błąd kwadratowy (𝑒²) jako ilościowe kryterium walidacji do porównania danych symulowanych i obserwowanych. Podkreśla mocne strony tej miary w kalibracji modeli oraz jej zastosowanie do małych zestawów danych. Ograniczenia związane z wrażliwością na wartości odstające są również krótko omówione.

Wprowadzenie

W modelowaniu obliczeniowym i symulacji, szczególnie w dziedzinie dynamiki płynów i analizy obciążenia wiatrem, istotne jest ilościowe ocenianie dokładności wyników numerycznych w porównaniu z danymi referencyjnymi. Podczas gdy metody oceny trafności oferują binarną ocenę opartą na zdefiniowanych progach tolerancji, mogą one pomijać ogólny rozkład i wielkość odchyleń. Aby temu zaradzić, znormalizowany średni błąd kwadratowy e² zapewnia uzupełniające podejście dostarczając ciągłej, niezależnej od skali miary wydajności modelu, jak wspomniano w Sekcji 5.3.2 WTG-Merkblatt M3. Ten artykuł analizuje definicję, zalety i ograniczenia używania e² jako kryterium walidacji.

Definicja Znormalizowanego Średniego Błędu Kwadratowego

W kontekście walidacji danych symulowanych względem pomiarów referencyjnych, jedną z alternatyw dla analizy trafności jest obliczenie znormalizowanego średniego błędu kwadratowego, oznaczanego jako e². To podejście oferuje bardziej ciągłą i ilościową miarę odchylenia między przewidywanymi wartościami P_i a obserwowanymi wartościami O_i. Wzór jest zdefiniowany jako:

e^{2} = \frac{\sum_{i = 1}^{N} {(P_{i} - O_{i})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{N} O_{i}^{2}}

Postać odchylenia średniego błędu

To wyrażenie oparte na stosunku ocenia odchylenia kwadratowe znormalizowane przez wielkość obserwowanych wartości. Dostarcza bezwymiarowej miary błędu, która umożliwia lepszą porównywalność między zbiorami danych o różnych skalach.

Zalety e² w Oceny Modelu

Kalibracja Modelu: Znormalizowany średni błąd kwadratowy może być bezpośrednio powiązany z współczynnikiem modelu, co czyni go użytecznym w zadaniach kalibracyjnych.
Stosowalność do Małych Zbiorów Danych: W przeciwieństwie do metod trafności, które wymagają statystycznie dużych zbiorów danych, e² może być znacząco stosowany nawet przy mniejszych próbkach.
Precyzja Ilościowa: Wartość e²≤0.01 jest uważana za dobrą miarę dokładności symulacji, wskazując, że tylko 1% całkowitej energii w sygnale obserwowanym nie jest uchwycony przez model.

Ograniczenia

Jedną z wad metody e² jest jej wrażliwość na odstające wartości. Zasadnicze indywidualne odchylenia mogą nieproporcjonalnie zwiększać błąd, nawet jeśli większość wartości jest dobrze przewidziana. Dlatego w krytycznych zastosowaniach zaleca się uzupełnienie tej miary kryteriami trafności opartymi na progach, aby zapewnić bardziej odporną walidację.

Przykład: Ocena Znormalizowanego Średniego Błędu Kwadratowego (𝑒²) dla 12 Punktów Pomiarowych na Powierzchni

Rozważmy 12 punktów pomiarowych z wartościami referencyjnymi O_i oraz odpowiadającymi im wartościami symulacyjnymi P_i:

1 12 punktów pomiarowych

Tabela 1: Informacje o 12 Punktach Pomiarowych

Punkt (i)	Wartość Referencyjna (O_i)	Wartość Symulacyjna (P_i)
1	0.72	0.75
2	0.68	0.70
3	0.81	0.85
4	0.77	0.73
5	0.66	0.69
6	0.74	0.71
7	0.85	0.80
8	0.70	0.66
9	0.81	0.88
10	0.76	0.69
11	0.82	0.75
12	0.69	0.80

Możemy więc obliczyć e² za pomocą następującego wzoru:

e^{2} = \frac{\sum_{i = 1}^{N} {(P_{i} - O_{i})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{N} O_{i}^{2}} = 0.0055

Kształt odchyłki średniego błędu dla 12 punktów

Znormalizowany Średni Błąd Kwadratowy: 𝑒²=0.0055

Spełnia minimalne wymagania (e²≤0.01) dla walidacji wartości średnich.

Wniosek

Miara 𝑒² jest potężnym narzędziem do oceny ogólnej dokładności modeli symulacyjnych, szczególnie w ocenie współczynników ciśnienia lub siły w badaniach walidacyjnych CFD. Przy odpowiednim użyciu, dostarcza niezawodnej podstawy ilościowej dla weryfikacji wydajności modelu i może uzupełniać kryteria kategoryczne takie jak analiza trafności dla bardziej kompleksowej oceny jakości.

Autor

Pan Kazemian jest odpowiedzialny za rozwój i marketing produktu Dlubal Software, w szczególności programu RWIND 2.

;