VE 9962 | Расчет продавливания краевых колонн в безбалочной плите по CSA A23.3

Описание

В данном примере рассматривается расчет на продавливание краевой колонны по CSA A23.3-19 [1]. Геометрия и нагрузка были взяты из наружной колонны D2 из примера 1 «CAC Concrete Design Handbook – 4th Edition», страница 5-19 [2].

55x

7x

Контрольный пример | Расчет на продавливание крайних колонн по CSA A23.3

Проверочный пример 9962 | Размеры колонн

Аналитическое решение:

\(
\)

1. Определение геометрических параметров

\( \) Размер критического круглого сечения, параллельного эксцентриситету:
\( \begin{aligned}
\mathsf{b_{1}}
&= \mathsf{ b + \dfrac{d}{2} + a } \\
&= \mathsf{ 600 + 105 + 100 } \\
&= \mathsf{ 805\,mm }
\end{aligned}
\)

\( \begin{aligned}
\mathsf{b_{2}}
&= \mathsf{ h + d } \\
&= \mathsf{ 400 + 210 } \\
&= \mathsf{ 610\,mm }
\end{aligned}
\)
\( \) Длина критического периметра:
\( \begin{aligned}
\mathsf{b_{o}}
&= \mathsf{ 2 \cdot \left( b + a + \dfrac{d}{2} \right) + h + d } \\
&= \mathsf{ 2 \cdot (600 + 100 + 105) + 400 + 210 } \\
&= \mathsf{ 2220\,mm }
\end{aligned}
\)
\( \) Эксцентриситеты критического круглого сечения
\begin{aligned}
\mathsf{e_{1}}
&= \mathsf{ \dfrac{ b_{1}^{2} }{ 2\,b_{1} + b_{2} } } \\
&= \mathsf{ \dfrac{ 805^{2} }{ 2 \cdot 805 + 610 } } \\
&= \mathsf{ 292\,mm }
\end{aligned}
\)

\(
\begin{aligned}
\mathsf{e_{2}}
&= \mathsf{ \dfrac{ b_{2} }{ 2 } } \\
&= \mathsf{ \dfrac{ 610 }{ 2 } } \\
&= \mathsf{ 305\,mm }
\end{aligned}
\)

2. Расчет воздействий:

Индексы «1» и «2» относятся к главным осям системы.

• Индекс «1» относится к глобальной оси X.

• Индекс «2» относится к глобальной оси Y. Далее не рассматривается, так как имеется только момент относительно X.

\(
\) Коэффициенты редукции рассчитываются следующим образом:
\( \begin{aligned}
\mathsf{\gamma_{v,1}}
&= \mathsf{
1
-
\frac{1}{
1
+
\frac{2}{3}
\sqrt{
\frac{
b + \frac{d}{2} + a
}{
h + d
}
}
}
} \\
&= \mathsf{
1
-
\frac{1}{
1
+
\frac{2}{3}
\sqrt{
\frac{
600 + \frac{210}{2} + 100
}{
400 + 210
}
}
}
} \\
&= \mathsf{ 0.434 }
\end{aligned}
\)
\( \)

Таким образом, получаются следующие «полярные» моменты инерции площади:

\( \begin{aligned}
\mathsf{J_{1}}
&= \mathsf{
2 \left(
\frac{b_{1}^{3} \cdot d}{3}
+
\frac{d^{3} \cdot b_{1}}{12}
\right)
-
b_{o} d e^{2}
} \\
&= \mathsf{
2 \left(
\frac{805^{3} \cdot 210}{3}
+
\frac{210^{3} \cdot 805}{12}
\right)
-
2220 \cdot 210 \cdot 292^{2}
} \\
&= \mathsf{3.453 \cdot 10^{10}\,\mathrm{mm^{4}}}
\end{aligned}
\)

Снижаемая поперечная сила вследствие перераспределения нагрузки внутри критического периметра:

\( \begin{aligned}
\mathsf{\Delta V_{f}}
&= \mathsf{ p \cdot b_{1} \cdot b_{2} } \\
&= \mathsf{ 11.6\,\mathrm{kN/m^{2}} \cdot 0.805\,\mathrm{m} \cdot 0.610\,\mathrm{m} } \\
&= \mathsf{ 5.70\,\mathrm{kN} }
\end{aligned}
\)
\( \) Сниженную поперечную силу рассчитывают следующим образом:
\begin{aligned}
\mathsf{V_{f,\mathrm{res}}}
&= \mathsf{ V_f - \Delta V_f } \\
&= \mathsf{ 339.26\,\mathrm{kN} - 5.70\,\mathrm{kN} } \\
&= \mathsf{ 333.56\,\mathrm{kN} }
\end{aligned}
\)
\( \) Доля момента, передаваемого в первом главном направлении:

\( \begin{aligned}
\mathsf{M_{f,1,\mathrm{sl}}}
&= \mathsf{ M_{f,1} - V_{f,\mathrm{res}} \cdot e_{1,\mathrm{sl}} } \\
&= \mathsf{ 167.62\,\mathrm{kNm} - 333.56\,\mathrm{kN} \cdot 0.1131\,\mathrm{m} } \\
&= \mathsf{ 129.89\,\mathrm{kNm} }
\end{aligned}
\)
\( \)

Напряжение сдвига от сниженной поперечной силы:
\begin{aligned}
\mathsf{\nu_{fv}}
&= \mathsf{ \frac{ V_{f,\mathrm{res}} }{ b_{o} \cdot d } } \\
&= \mathsf{ \frac{ 333.56\,\mathrm{kN} }{ 2.220\,\mathrm{m} \cdot 0.210\,\mathrm{m} } } \\
&= \mathsf{ 0.715\,\mathrm{MPa} }
\end{aligned}
\)
\( \)

Максимально действующее напряжение сдвига определяется как:
\begin{aligned}
\mathsf{\nu_{f}}
&= \mathsf{\nu_{fv} + \frac{\gamma_{v,1} \cdot M_{f,1,sl} \cdot e_{1}}{J_{1}}} \\
&= \mathsf{0.715\,\mathrm{MPa} + \frac{0.434 \cdot 129.89\,\mathrm{kNm} \cdot 292\,\mathrm{mm}}{3.453 \times 10^{10}\,\mathrm{mm^{4}}}} \\
&= \mathsf{0.715 + 0.477} \\
&= \mathsf{1.192\,\mathrm{MPa}}
\end{aligned}
\)
\( \)

3. Расчет сопротивления:

Отношение длинной стороны колонны к короткой:

\( \begin{aligned}
\mathsf{\beta_{c}}
&= \mathsf{ \dfrac{ \max\!\left( b,\, h \right) }{ \min\!\left( b,\, h \right) } } \\
&= \mathsf{ \dfrac{ \max\!\left( 0.600\,\mathrm{m},\, 0.400\,\mathrm{m} \right) }{ \min\!\left( 0.600\,\mathrm{m},\, 0.400\,\mathrm{m} \right) } } \\
&= \mathsf{ 1.500 }
\end{aligned}
\)

Сопротивление плиты продавливанию без поперечной арматуры по 13.3.4.1 (a):

\(
\begin{aligned}
\mathsf{\nu_{c(a)}}
&= \mathsf{
\left( 1 + \dfrac{2}{\beta_{c}} \right)
\cdot 0.19
\cdot \lambda
\cdot \Phi_{c}
\cdot \min\!\left( \sqrt{f'_{c}},\, f'_{c,\max} \right)
} \\
&= \mathsf{
\left( 1 + \dfrac{2}{1.50} \right)
\cdot 0.19
\cdot 1.00
\cdot 0.65
\cdot \min\!\left( \sqrt{25.00\,\mathrm{MPa}},\, 8.00\,\mathrm{MPa} \right)
} \\
&= \mathsf{ 1.441\,\mathrm{MPa} }
\end{aligned}
\)

Сопротивление плиты продавливанию без поперечной арматуры по 13.3.4.1 (b):
\( \begin{aligned}
\mathsf{\nu_{c(b)}}
&= \mathsf{
\left(
\dfrac{ \alpha_{s} \cdot d }{ b_{o} }
+ 0.19
\right)
\cdot \lambda
\cdot \Phi_{c}
\cdot \min\!\left( \sqrt{f'_{c}},\, f'_{c,\max} \right)
} \\
&= \mathsf{
\left(
\dfrac{ 3.00 \cdot 0.210\,\mathrm{m} }{ 2.220\,\mathrm{m} }
+ 0.19
\right)
\cdot 1.00
\cdot 0.65
\cdot \min\!\left( \sqrt{25.00\,\mathrm{MPa}},\, 8.00\,\mathrm{MPa} \right)
} \\
&= \mathsf{ 1.540\,\mathrm{MPa} }
\end{aligned}
\)

Сопротивление плиты продавливанию без поперечной арматуры по 13.3.4.1 (c):
\( \begin{aligned}
\mathsf{\nu_{c(c)}}
&= \mathsf{
0.38
\cdot \lambda
\cdot \Phi_{c}
\cdot \min\!\left( \sqrt{f'_{c}},\, f'_{c,\max} \right)
} \\
&= \mathsf{
0.38
\cdot 1.00
\cdot 0.65
\cdot \min\!\left( \sqrt{25.00\,\mathrm{MPa}},\, 8.00\,\mathrm{MPa} \right)
} \\
&= \mathsf{ 1.235\,\mathrm{MPa} }
\end{aligned}
\)

Минимальное сопротивление плиты продавливанию без поперечной арматуры:
\begin{aligned}
\mathsf{\nu_{c}}
&= \mathsf{ \min\!\left( \nu_{c(a)},\, \nu_{c(b)},\, \nu_{c(c)} \right) } \\
&= \mathsf{ \min\!\left( 1.441\,\mathrm{MPa},\, 1.540\,\mathrm{MPa},\, 1.235\,\mathrm{MPa} \right) } \\
&= \mathsf{ 1.235\,\mathrm{MPa} }
\end{aligned}
\)

4. Сравнение воздействия и сопротивления:

\( \mathsf{\eta_{13.3.4} = \dfrac{\nu_{f}}{\nu_{r}}}
\)

\( \mathsf{\eta = \dfrac{1.192\,MPa}{1.235\,MPa}}
\)

\( \mathsf{\eta \approx 0,97}
\)

\( \mathsf{\eta = 0,97 \;\leq\; 1 \quad \Rightarrow \quad \text{Расчет выполнен}}
\)

Устройство арматуры на продавливание не требуется.
\( \)

Результаты

Результаты из RFEM 6 приведены ниже.

VE 9962 - Подробности расчётной проверки

Результаты из RFEM 6 ниже сравниваются с эталонным решением.

VE 9962 - Расчётная соотношение

Оценка

Результаты RFEM 6 очень хорошо совпадают с эталонным решением.

RFEM 6 вычисляет несколько меньшие значения полярного момента инерции (примерно на 3,5 %), чем ручной расчет. RFEM 6 вычисляет полярный момент инерции согласно ACI 421.1R.

Подход ACI 421.1R применим для всех геометрий сечений и очень хорошо подходит для программного решения.

В отличие от аналитической формулы, которая применима только к прямоугольным сечениям, ACI 421.1R не учитывает компонент \(\mathsf{\dfrac{b\,d^{3}}{6}}\).

Меньший полярный момент инерции по ACI 421.1R приводит к консервативному подходу к расчету на продавливание.

55x

7x

Контрольный пример | Расчет на продавливание крайних колонн по CSA A23.3