VE 9962 | Dimensionamento de punção de apoios de borda em laje plana segundo CSA A23.3

Beschreibung

Dieses Beispiel untersucht den Durchstanznachweis einer Randstütze nach CSA A23.3-19 [1]. Die Geometrie und die Belastung wurden der Außenstütze D2 aus Beispiel 1 des „CAC Concrete Design Handbook – 4th Edition“, Seite 5-19, entnommen [2].

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Exemplo de verificação | Verificação ao punçoamento de um pilar de borda segundo a CSA A23.3

Exemplo de verificação 9962 | Dimensões de poste

Solução analítica:

\( \)

1. Determinação das dimensões geométricas

\( \) Dimensão da secção circular crítica paralela à excentricidade: \( \begin{aligned} \mathsf{b_{1}} &= \mathsf{ b + \dfrac{d}{2} + a } \\ &= \mathsf{ 600 + 105 + 100 } \\ &= \mathsf{ 805\,mm } \end{aligned} \)

\( \begin{aligned} \mathsf{b_{2}} &= \mathsf{ h + d } \\ &= \mathsf{ 400 + 210 } \\ &= \mathsf{ 610\,mm } \end{aligned} \) \( \) Comprimento do perímetro crítico: \( \begin{aligned} \mathsf{b_{o}} &= \mathsf{ 2 \cdot \left( b + a + \dfrac{d}{2} \right) + h + d } \\ &= \mathsf{ 2 \cdot (600 + 100 + 105) + 400 + 210 } \\ &= \mathsf{ 2220\,mm } \end{aligned} \) \( \) Excentricidades da secção circular crítica \( \begin{aligned} \mathsf{e_{1}} &= \mathsf{ \dfrac{ b_{1}^{2} }{ 2\,b_{1} + b_{2} } } \\ &= \mathsf{ \dfrac{ 805^{2} }{ 2 \cdot 805 + 610 } } \\ &= \mathsf{ 292\,mm } \end{aligned} \)

\( \begin{aligned} \mathsf{e_{2}} &= \mathsf{ \dfrac{ b_{2} }{ 2 } } \\ &= \mathsf{ \dfrac{ 610 }{ 2 } } \\ &= \mathsf{ 305\,mm } \end{aligned} \)

2. Cálculo das ações:

Os índices „1“ e „2“ referem-se aos eixos principais do sistema.

• O índice „1“ refere-se ao eixo global X.

• O índice „2“ refere-se ao eixo global Y. No que se segue, não é mais considerado, uma vez que existe apenas um momento em torno de X.

\( \) Os fatores de redução calculam-se como segue: \( \begin{aligned} \mathsf{\gamma_{v,1}} &= \mathsf{ 1 - \frac{1}{ 1 + \frac{2}{3} \sqrt{ \frac{ b + \frac{d}{2} + a }{ h + d } } } } \\ &= \mathsf{ 1 - \frac{1}{ 1 + \frac{2}{3} \sqrt{ \frac{ 600 + \frac{210}{2} + 100 }{ 400 + 210 } } } } \\ &= \mathsf{ 0.434 } \end{aligned} \) \( \)

Assim, obtêm-se os seguintes momentos de inércia de área „polares“:

\( \begin{aligned} \mathsf{J_{1}} &= \mathsf{ 2 \left( \frac{b_{1}^{3} \cdot d}{3} + \frac{d^{3} \cdot b_{1}}{12} \right) - b_{o} d e^{2} } \\ &= \mathsf{ 2 \left( \frac{805^{3} \cdot 210}{3} + \frac{210^{3} \cdot 805}{12} \right) - 2220 \cdot 210 \cdot 292^{2} } \\ &= \mathsf{3.453 \cdot 10^{10}\,\mathrm{mm^{4}}} \end{aligned} \)

Cortante a reduzir em resultado da redistribuição das cargas dentro do perímetro crítico:

\( \begin{aligned} \mathsf{\Delta V_{f}} &= \mathsf{ p \cdot b_{1} \cdot b_{2} } \\ &= \mathsf{ 11.6\,\mathrm{kN/m^{2}} \cdot 0.805\,\mathrm{m} \cdot 0.610\,\mathrm{m} } \\ &= \mathsf{ 5.70\,\mathrm{kN} } \end{aligned} \) \( \) O cortante reduzido calcula-se como segue: \( \begin{aligned} \mathsf{V_{f,\mathrm{res}}} &= \mathsf{ V_f - \Delta V_f } \\ &= \mathsf{ 339.26\,\mathrm{kN} - 5.70\,\mathrm{kN} } \\ &= \mathsf{ 333.56\,\mathrm{kN} } \end{aligned} \) \( \) A parcela do momento transmitido na primeira direção principal:

\( \begin{aligned} \mathsf{M_{f,1,\mathrm{sl}}} &= \mathsf{ M_{f,1} - V_{f,\mathrm{res}} \cdot e_{1,\mathrm{sl}} } \\ &= \mathsf{ 167.62\,\mathrm{kNm} - 333.56\,\mathrm{kN} \cdot 0.1131\,\mathrm{m} } \\ &= \mathsf{ 129.89\,\mathrm{kNm} } \end{aligned} \) \( \)

Tensão de corte resultante do cortante reduzido: \( \begin{aligned} \mathsf{\nu_{fv}} &= \mathsf{ \frac{ V_{f,\mathrm{res}} }{ b_{o} \cdot d } } \\ &= \mathsf{ \frac{ 333.56\,\mathrm{kN} }{ 2.220\,\mathrm{m} \cdot 0.210\,\mathrm{m} } } \\ &= \mathsf{ 0.715\,\mathrm{MPa} } \end{aligned} \) \( \)

A tensão de corte máxima resulta em: \( \begin{aligned} \mathsf{\nu_{f}} &= \mathsf{\nu_{fv} + \frac{\gamma_{v,1} \cdot M_{f,1,sl} \cdot e_{1}}{J_{1}}} \\ &= \mathsf{0.715\,\mathrm{MPa} + \frac{0.434 \cdot 129.89\,\mathrm{kNm} \cdot 292\,\mathrm{mm}}{3.453 \times 10^{10}\,\mathrm{mm^{4}}}} \\ &= \mathsf{0.715 + 0.477} \\ &= \mathsf{1.192\,\mathrm{MPa}} \end{aligned} \) \( \)

3. Cálculo da resistência:

Relação entre o lado maior e o lado menor da secção da coluna:

\( \begin{aligned} \mathsf{\beta_{c}} &= \mathsf{ \dfrac{ \max\!\left( b,\, h \right) }{ \min\!\left( b,\, h \right) } } \\ &= \mathsf{ \dfrac{ \max\!\left( 0.600\,\mathrm{m},\, 0.400\,\mathrm{m} \right) }{ \min\!\left( 0.600\,\mathrm{m},\, 0.400\,\mathrm{m} \right) } } \\ &= \mathsf{ 1.500 } \end{aligned} \)

Resistência à punçoamento da laje sem armadura de corte de acordo com 13.3.4.1 (a):

\( \begin{aligned} \mathsf{\nu_{c(a)}} &= \mathsf{ \left( 1 + \dfrac{2}{\beta_{c}} \right) \cdot 0.19 \cdot \lambda \cdot \Phi_{c} \cdot \min\!\left( \sqrt{f'_{c}},\, f'_{c,\max} \right) } \\ &= \mathsf{ \left( 1 + \dfrac{2}{1.50} \right) \cdot 0.19 \cdot 1.00 \cdot 0.65 \cdot \min\!\left( \sqrt{25.00\,\mathrm{MPa}},\, 8.00\,\mathrm{MPa} \right) } \\ &= \mathsf{ 1.441\,\mathrm{MPa} } \end{aligned} \)

Resistência à punçoamento da laje sem armadura de corte de acordo com 13.3.4.1 (b): \( \begin{aligned} \mathsf{\nu_{c(b)}} &= \mathsf{ \left( \dfrac{ \alpha_{s} \cdot d }{ b_{o} } + 0.19 \right) \cdot \lambda \cdot \Phi_{c} \cdot \min\!\left( \sqrt{f'_{c}},\, f'_{c,\max} \right) } \\ &= \mathsf{ \left( \dfrac{ 3.00 \cdot 0.210\,\mathrm{m} }{ 2.220\,\mathrm{m} } + 0.19 \right) \cdot 1.00 \cdot 0.65 \cdot \min\!\left( \sqrt{25.00\,\mathrm{MPa}},\, 8.00\,\mathrm{MPa} \right) } \\ &= \mathsf{ 1.540\,\mathrm{MPa} } \end{aligned} \)

Resistência à punçoamento da laje sem armadura de corte de acordo com 13.3.4.1 (c): \( \begin{aligned} \mathsf{\nu_{c(c)}} &= \mathsf{ 0.38 \cdot \lambda \cdot \Phi_{c} \cdot \min\!\left( \sqrt{f'_{c}},\, f'_{c,\max} \right) } \\ &= \mathsf{ 0.38 \cdot 1.00 \cdot 0.65 \cdot \min\!\left( \sqrt{25.00\,\mathrm{MPa}},\, 8.00\,\mathrm{MPa} \right) } \\ &= \mathsf{ 1.235\,\mathrm{MPa} } \end{aligned} \)

Resistência mínima à punçoamento da laje sem armadura de corte: \( \begin{aligned} \mathsf{\nu_{c}} &= \mathsf{ \min\!\left( \nu_{c(a)},\, \nu_{c(b)},\, \nu_{c(c)} \right) } \\ &= \mathsf{ \min\!\left( 1.441\,\mathrm{MPa},\, 1.540\,\mathrm{MPa},\, 1.235\,\mathrm{MPa} \right) } \\ &= \mathsf{ 1.235\,\mathrm{MPa} } \end{aligned} \)

4. Comparação entre ação e resistência:

\( \mathsf{\eta_{13.3.4} = \dfrac{\nu_{f}}{\nu_{r}}} \)

\( \mathsf{\eta = \dfrac{1.192\,MPa}{1.235\,MPa}} \)

\( \mathsf{\eta \approx 0,97} \)

\( \mathsf{\eta = 0,97 \;\leq\; 1 \quad \Rightarrow \quad \text{Verificação satisfeita}} \)

Não é necessária a disposição de armadura de punçoamento. \( \)

Resultados

Os resultados do RFEM 6 são apresentados em seguida.

VE 9962 – Detalhe de verificação de cálculo

Os resultados do RFEM 6 são comparados em seguida com a solução de referência.

VE 9962 – Relação de cálculo

Avaliação

Os resultados do RFEM 6 concordam muito bem com a solução de referência.

O RFEM 6 calcula valores ligeiramente inferiores (cerca de 3,5 %) para o momento de inércia polar do que o cálculo manual. O RFEM 6 calcula o momento de inércia polar de acordo com a ACI 421.1R.

A abordagem na ACI 421.1R é aplicável a todas as geometrias de secção e é muito adequada para uma solução de software.

Ao contrário da fórmula analítica, que é aplicável apenas a secções retangulares, a ACI 421.1R desconsidera a componente \(\mathsf{\dfrac{b\,d^{3}}{6}}\).

O menor momento de inércia polar segundo a ACI 421.1R conduz a uma abordagem conservadora para o dimensionamento à punçoamento.

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Exemplo de verificação | Verificação ao punçoamento de um pilar de borda segundo a CSA A23.3