VE 9962 | Posouzení na protlačení krajních sloupů v plochých deskách podle CSA A23.3

Popis

Tento příklad se zabývá posouzením na protlačení krajního sloupu podle normy CSA A23.3-19 [1]. Geometrie a zatížení byly převzaty z vnějšího sloupu D2 z příkladu 1 publikace „CAC Concrete Design Handbook – 4th Edition“, strana 5-19 [2].

55x

7x

Verifikační příklad | Posouzení na protlačení pro krajový sloup podle CSA A23.3

Verifikační příklad 9962 | Rozměry sloupu

Analytické řešení:

\(
\)

1. Určení geometrických rozměrů

\(
\)
Rozměr kontrolovaného obvodu rovnoběžně s excentricitou:
\(
\begin{aligned}
\mathsf{b_{1}}
&= \mathsf{ b + \dfrac{d}{2} + a } \\
&= \mathsf{ 600 + 105 + 100 } \\
&= \mathsf{ 805\,mm }
\end{aligned}
\)

\(
\begin{aligned}
\mathsf{b_{2}}
&= \mathsf{ h + d } \\
&= \mathsf{ 400 + 210 } \\
&= \mathsf{ 610\,mm }
\end{aligned}
\)
\(
\)
Délka kontrolovaného obvodu:
\(
\begin{aligned}
\mathsf{b_{o}}
&= \mathsf{ 2 \cdot \left( b + a + \dfrac{d}{2} \right) + h + d } \\
&= \mathsf{ 2 \cdot (600 + 100 + 105) + 400 + 210 } \\
&= \mathsf{ 2220\,mm }
\end{aligned}
\)
\(
\)
Excentricity kontrolovaného obvodu
\(
\begin{aligned}
\mathsf{e_{1}}
&= \mathsf{ \dfrac{ b_{1}^{2} }{ 2\,b_{1} + b_{2} } } \\
&= \mathsf{ \dfrac{ 805^{2} }{ 2 \cdot 805 + 610 } } \\
&= \mathsf{ 292\,mm }
\end{aligned}
\)

\(
\begin{aligned}
\mathsf{e_{2}}
&= \mathsf{ \dfrac{ b_{2} }{ 2 } } \\
&= \mathsf{ \dfrac{ 610 }{ 2 } } \\
&= \mathsf{ 305\,mm }
\end{aligned}
\)

2. Výpočet účinků:

Indexy „1“ a „2“ se vztahují k hlavním osám souřadnicového systému.

• Index „1“ se vztahuje ke globální ose X.

• Index „2“ se vztahuje ke globální ose Y. V následujícím textu se jím dále nezabýváme, protože působí pouze moment kolem osy X.

\(
\)
Redukční součinitele se spočítají následovně:
\(
\begin{aligned}
\mathsf{\gamma_{v,1}}
&= \mathsf{
1
-
\frac{1}{
1
+
\frac{2}{3}
\sqrt{
\frac{
b + \frac{d}{2} + a
}{
h + d
}
}
}
} \\
&= \mathsf{
1
-
\frac{1}{
1
+
\frac{2}{3}
\sqrt{
\frac{
600 + \frac{210}{2} + 100
}{
400 + 210
}
}
}
} \\
&= \mathsf{ 0.434 }
\end{aligned}
\)
\(
\)

Výsledné „polární“ momenty setrvačnosti:

\(
\begin{aligned}
\mathsf{J_{1}}
&= \mathsf{
2 \left(
\frac{b_{1}^{3} \cdot d}{3}
+
\frac{d^{3} \cdot b_{1}}{12}
\right)
-
b_{o} d e^{2}
} \\
&= \mathsf{
2 \left(
\frac{805^{3} \cdot 210}{3}
+
\frac{210^{3} \cdot 805}{12}
\right)
-
2220 \cdot 210 \cdot 292^{2}
} \\
&= \mathsf{3.453 \cdot 10^{10}\,\mathrm{mm^{4}}}
\end{aligned}
\)

Posouvající síly, které je třeba snížit v důsledku rozložení zatížení v rámci kontrolovaného obvodu:

\(
\begin{aligned}
\mathsf{\Delta V_{f}}
&= \mathsf{ p \cdot b_{1} \cdot b_{2} } \\
&= \mathsf{ 11.6\,\mathrm{kN/m^{2}} \cdot 0.805\,\mathrm{m} \cdot 0.610\,\mathrm{m} } \\
&= \mathsf{ 5.70\,\mathrm{kN} }
\end{aligned}
\)
\(
\)
Snížená posouvající síla se vypočítá takto:
\(
\begin{aligned}
\mathsf{V_{f,\mathrm{res}}}
&= \mathsf{ V_f - \Delta V_f } \\
&= \mathsf{ 339.26\,\mathrm{kN} - 5.70\,\mathrm{kN} } \\
&= \mathsf{ 333.56\,\mathrm{kN} }
\end{aligned}
\)
\(
\)
Podíl momentu přenášeného v první hlavní směru:

\(
\begin{aligned}
\mathsf{M_{f,1,\mathrm{sl}}}
&= \mathsf{ M_{f,1} - V_{f,\mathrm{res}} \cdot e_{1,\mathrm{sl}} } \\
&= \mathsf{ 167.62\,\mathrm{kNm} - 333.56\,\mathrm{kN} \cdot 0.1131\,\mathrm{m} } \\
&= \mathsf{ 129.89\,\mathrm{kNm} }
\end{aligned}
\)
\(
\)

Smykové napětí ze snížené smykové síly:
\(
\begin{aligned}
\mathsf{\nu_{fv}}
&= \mathsf{ \frac{ V_{f,\mathrm{res}} }{ b_{o} \cdot d } } \\
&= \mathsf{ \frac{ 333.56\,\mathrm{kN} }{ 2.220\,\mathrm{m} \cdot 0.210\,\mathrm{m} } } \\
&= \mathsf{ 0.715\,\mathrm{MPa} }
\end{aligned}
\)
\(
\)

Maximální působící smykové napětí je:
\(
\begin{aligned}
\mathsf{\nu_{f}}
&= \mathsf{\nu_{fv} + \frac{\gamma_{v,1} \cdot M_{f,1,sl} \cdot e_{1}}{J_{1}}} \\
&= \mathsf{0.715\,\mathrm{MPa} + \frac{0.434 \cdot 129.89\,\mathrm{kNm} \cdot 292\,\mathrm{mm}}{3.453 \times 10^{10}\,\mathrm{mm^{4}}}} \\
&= \mathsf{0.715 + 0.477} \\
&= \mathsf{1.192\,\mathrm{MPa}}
\end{aligned}
\)
\(
\)

3. Výpočet únosnosti:

Poměr dlouhé a krátké strany sloupu:

\(
\begin{aligned}
\mathsf{\beta_{c}}
&= \mathsf{ \dfrac{ \max\!\left( b,\, h \right) }{ \min\!\left( b,\, h \right) } } \\
&= \mathsf{ \dfrac{ \max\!\left( 0.600\,\mathrm{m},\, 0.400\,\mathrm{m} \right) }{ \min\!\left( 0.600\,\mathrm{m},\, 0.400\,\mathrm{m} \right) } } \\
&= \mathsf{ 1.500 }
\end{aligned}
\)

Únosnost desky ve smyku při protlačení bez smykové výztuže podle 13.3.4.1 (a):

\(
\begin{aligned}
\mathsf{\nu_{c(a)}}
&= \mathsf{
\left( 1 + \dfrac{2}{\beta_{c}} \right)
\cdot 0.19
\cdot \lambda
\cdot \Phi_{c}
\cdot \min\!\left( \sqrt{f'_{c}},\, f'_{c,\max} \right)
} \\
&= \mathsf{
\left( 1 + \dfrac{2}{1.50} \right)
\cdot 0.19
\cdot 1.00
\cdot 0.65
\cdot \min\!\left( \sqrt{25.00\,\mathrm{MPa}},\, 8.00\,\mathrm{MPa} \right)
} \\
&= \mathsf{ 1.441\,\mathrm{MPa} }
\end{aligned}
\)

Únosnost desky ve smyku při protlačení bez smykové výztuže podle 13.3.4.1 (b):
\(
\begin{aligned}
\mathsf{\nu_{c(b)}}
&= \mathsf{
\left(
\dfrac{ \alpha_{s} \cdot d }{ b_{o} }
+ 0.19
\right)
\cdot \lambda
\cdot \Phi_{c}
\cdot \min\!\left( \sqrt{f'_{c}},\, f'_{c,\max} \right)
} \\
&= \mathsf{
\left(
\dfrac{ 3.00 \cdot 0.210\,\mathrm{m} }{ 2.220\,\mathrm{m} }
+ 0.19
\right)
\cdot 1.00
\cdot 0.65
\cdot \min\!\left( \sqrt{25.00\,\mathrm{MPa}},\, 8.00\,\mathrm{MPa} \right)
} \\
&= \mathsf{ 1.540\,\mathrm{MPa} }
\end{aligned}
\)

Únosnost desky ve smyku při protlačení bez smykové výztuže podle 13.3.4.1 (c):
\(
\begin{aligned}
\mathsf{\nu_{c(c)}}
&= \mathsf{
0.38
\cdot \lambda
\cdot \Phi_{c}
\cdot \min\!\left( \sqrt{f'_{c}},\, f'_{c,\max} \right)
} \\
&= \mathsf{
0.38
\cdot 1.00
\cdot 0.65
\cdot \min\!\left( \sqrt{25.00\,\mathrm{MPa}},\, 8.00\,\mathrm{MPa} \right)
} \\
&= \mathsf{ 1.235\,\mathrm{MPa} }
\end{aligned}
\)

Minimální únosnost desky ve smyku při protlačení bez smykové výztuže:
\(
\begin{aligned}
\mathsf{\nu_{c}}
&= \mathsf{ \min\!\left( \nu_{c(a)},\, \nu_{c(b)},\, \nu_{c(c)} \right) } \\
&= \mathsf{ \min\!\left( 1.441\,\mathrm{MPa},\, 1.540\,\mathrm{MPa},\, 1.235\,\mathrm{MPa} \right) } \\
&= \mathsf{ 1.235\,\mathrm{MPa} }
\end{aligned}
\)

4. Porovnání zatížení a únosnosti:

\(
\mathsf{\eta_{13.3.4} = \dfrac{\nu_{f}}{\nu_{r}}}
\)

\(
\mathsf{\eta = \dfrac{1.192\,MPa}{1.235\,MPa}}
\)

\(
\mathsf{\eta \approx 0,97}
\)

\(
\mathsf{\eta = 0,97 \;\leq\; 1 \quad \Rightarrow \quad \text{Posouzení splněno}}
\)

Není nutné použít výztuž proti průrazu.
\(
\)

Výsledky

Výsledky z programu RFEM 6 jsou uvedeny níže.

VE 9962 - Detaily posouzení

Výsledky z programu RFEM 6 jsou dále porovnány s referenčním řešením.

VE 9962 - Využití

Vyhodnocení

Výsledky z programu RFEM 6 se velmi dobře shodují s referenčním řešením.

Program RFEM 6 vypočítává o něco nižší (cca 3,5 %) hodnoty polárního momentu setrvačnosti než ruční výpočet. Program RFEM 6 vypočítává polární moment setrvačnosti podle normy ACI 421.1R.

Přístup v normě ACI 421.1R je použitelný pro všechny geometrie průřezů a velmi dobře se hodí pro softwarové řešení.

Na rozdíl od analytického vzorce, který je použitelný pouze pro obdélníkové průřezy, norma ACI 421.1R zanedbává složku \(\mathsf{\dfrac{b\,d^{3}}{6}}\).

Menší polární moment setrvačnosti podle normy ACI 421.1R vede ke konzervativnímu přístupu při posouzení na protlačení.

55x

7x

Verifikační příklad | Posouzení na protlačení pro krajový sloup podle CSA A23.3