VE 9962 | Verifica a punzonamento di pilastri di bordo in soletta piana secondo CSA A23.3

Beschizione

Questo esempio esamina la verifica a punzonamento di un pilastro di bordo secondo CSA A23.3-19 [1]. La geometria e il carico sono stati ripresi dal pilastro esterno D2 dell'Esempio 1 del „CAC Concrete Design Handbook – 4th Edition“, pagina 5-19 [2].

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Esempio di verifica | Verifica a taglio di colonna d’angolo conforme a CSA A23.3

Esempio di verifica 9962 | Dimensioni della colonna

Soluzione analitica:

\( \)

1. Determinazione delle dimensioni geometriche

\( \) Dimensione del perimetro critico circolare parallelo all'eccentricità:
\( \begin{aligned}
\mathsf{b_{1}}
&= \mathsf{ b + \dfrac{d}{2} + a } \\
&= \mathsf{ 600 + 105 + 100 } \\
&= \mathsf{ 805\,mm }
\end{aligned}
\)

\( \begin{aligned}
\mathsf{b_{2}}
&= \mathsf{ h + d } \\
&= \mathsf{ 400 + 210 } \\
&= \mathsf{ 610\,mm }
\end{aligned}
\)
\( \)
Lunghezza del perimetro critico:
\( \begin{aligned}
\mathsf{b_{o}}
&= \mathsf{ 2 \cdot \left( b + a + \dfrac{d}{2} \right) + h + d } \\
&= \mathsf{ 2 \cdot (600 + 100 + 105) + 400 + 210 } \\
&= \mathsf{ 2220\,mm }
\end{aligned}
\)
\( \)
Eccentricità del perimetro critico circolare
\begin{aligned}
\mathsf{e_{1}}
&= \mathsf{ \dfrac{ b_{1}^{2} }{ 2\,b_{1} + b_{2} } } \\
&= \mathsf{ \dfrac{ 805^{2} }{ 2 \cdot 805 + 610 } } \\
&= \mathsf{ 292\,mm }
\end{aligned}
\)

\( \begin{aligned}
\mathsf{e_{2}}
&= \mathsf{ \dfrac{ b_{2} }{ 2 } } \\
&= \mathsf{ \dfrac{ 610 }{ 2 } } \\
&= \mathsf{ 305\,mm }
\end{aligned}
\)

2. Calcolo delle azioni:

Gli indici „1“ e „2“ si riferiscono agli assi principali del sistema.

• L'indice „1“ si riferisce all'asse globale X.

• L'indice „2“ si riferisce all'asse globale Y. Nel seguito non viene considerato ulteriormente poiché è presente solo un momento attorno a X.

\( \) I fattori di riduzione si calcolano come segue:
\( \begin{aligned}
\mathsf{\gamma_{v,1}}
&= \mathsf{
1
-
\frac{1}{
1
+
\frac{2}{3}
\sqrt{
\frac{
b + \frac{d}{2} + a
}{
h + d
}
}
}
} \\
&= \mathsf{
1
-
\frac{1}{
1
+
\frac{2}{3}
\sqrt{
\frac{
600 + \frac{210}{2} + 100
}{
400 + 210
}
}
}
} \\
&= \mathsf{ 0.434 }
\end{aligned}
\)
\( \)

Ne risultano quindi i seguenti momenti d'inerzia „polari“:

\( \begin{aligned}
\mathsf{J_{1}}
&= \mathsf{
2 \left(
\frac{b_{1}^{3} \cdot d}{3}
+
\frac{d^{3} \cdot b_{1}}{12}
\right)
-
b_{o} d e^{2}
} \\
&= \mathsf{
2 \left(
\frac{805^{3} \cdot 210}{3}
+
\frac{210^{3} \cdot 805}{12}
\right)
-
2220 \cdot 210 \cdot 292^{2}
} \\
&= \mathsf{3.453 \cdot 10^{10}\,\mathrm{mm^{4}}}
\end{aligned}
\)

Taglio da ridurre dovuto alla ridistribuzione dei carichi all'interno del perimetro critico:

\( \begin{aligned}
\mathsf{\Delta V_{f}}
&= \mathsf{ p \cdot b_{1} \cdot b_{2} } \\
&= \mathsf{ 11.6\,\mathrm{kN/m^{2}} \cdot 0.805\,\mathrm{m} \cdot 0.610\,\mathrm{m} } \\
&= \mathsf{ 5.70\,\mathrm{kN} }
\end{aligned}
\)
\( \) Il taglio ridotto viene calcolato come segue:
\begin{aligned}
\mathsf{V_{f,\mathrm{res}}}
&= \mathsf{ V_f - \Delta V_f } \\
&= \mathsf{ 339.26\,\mathrm{kN} - 5.70\,\mathrm{kN} } \\
&= \mathsf{ 333.56\,\mathrm{kN} }
\end{aligned}
\)
\( \) La quota del momento trasmesso nella prima direzione principale:

\( \begin{aligned}
\mathsf{M_{f,1,\mathrm{sl}}}
&= \mathsf{ M_{f,1} - V_{f,\mathrm{res}} \cdot e_{1,\mathrm{sl}} } \\
&= \mathsf{ 167.62\,\mathrm{kNm} - 333.56\,\mathrm{kN} \cdot 0.1131\,\mathrm{m} } \\
&= \mathsf{ 129.89\,\mathrm{kNm} }
\end{aligned}
\)
\( \)

Tensione di taglio dovuta al taglio ridotto:
\( \begin{aligned}
\mathsf{\nu_{fv}}
&= \mathsf{ \frac{ V_{f,\mathrm{res}} }{ b_{o} \cdot d } } \\
&= \mathsf{ \frac{ 333.56\,\mathrm{kN} }{ 2.220\,\mathrm{m} \cdot 0.210\,\mathrm{m} } } \\
&= \mathsf{ 0.715\,\mathrm{MPa} }
\end{aligned}
\)
\( \)

La massima tensione di taglio agente risulta pari a:
\( \begin{aligned}
\mathsf{\nu_{f}}
&= \mathsf{\nu_{fv} + \frac{\gamma_{v,1} \cdot M_{f,1,sl} \cdot e_{1}}{J_{1}}} \\
&= \mathsf{0.715\,\mathrm{MPa} + \frac{0.434 \cdot 129.89\,\mathrm{kNm} \cdot 292\,\mathrm{mm}}{3.453 \times 10^{10}\,\mathrm{mm^{4}}}} \\
&= \mathsf{0.715 + 0.477} \\
&= \mathsf{1.192\,\mathrm{MPa}}
\end{aligned}
\)
\( \)

3. Calcolo della resistenza:

Rapporto tra il lato maggiore e il lato minore del pilastro:

\( \begin{aligned}
\mathsf{\beta_{c}}
&= \mathsf{ \dfrac{ \max\!\left( b,\, h \right) }{ \min\!\left( b,\, h \right) } } \\
&= \mathsf{ \dfrac{ \max\!\left( 0.600\,\mathrm{m},\, 0.400\,\mathrm{m} \right) }{ \min\!\left( 0.600\,\mathrm{m},\, 0.400\,\mathrm{m} \right) } } \\
&= \mathsf{ 1.500 }
\end{aligned}
\)

Resistenza a punzonamento della piastra senza armatura a taglio secondo 13.3.4.1 (a):

\( \begin{aligned}
\mathsf{\nu_{c(a)}}
&= \mathsf{
\left( 1 + \dfrac{2}{\beta_{c}} \right)
\cdot 0.19
\cdot \lambda
\cdot \Phi_{c}
\cdot \min\!\left( \sqrt{f'_{c}},\, f'_{c,\max} \right)
} \\
&= \mathsf{
\left( 1 + \dfrac{2}{1.50} \right)
\cdot 0.19
\cdot 1.00
\cdot 0.65
\cdot \min\!\left( \sqrt{25.00\,\mathrm{MPa}},\, 8.00\,\mathrm{MPa} \right)
} \\
&= \mathsf{ 1.441\,\mathrm{MPa} }
\end{aligned}
\)

Resistenza a punzonamento della piastra senza armatura a taglio secondo 13.3.4.1 (b):
\( \begin{aligned}
\mathsf{\nu_{c(b)}}
&= \mathsf{
\left(
\dfrac{ \alpha_{s} \cdot d }{ b_{o} }
+ 0.19
\right)
\cdot \lambda
\cdot \Phi_{c}
\cdot \min\!\left( \sqrt{f'_{c}},\, f'_{c,\max} \right)
} \\
&= \mathsf{
\left(
\dfrac{ 3.00 \cdot 0.210\,\mathrm{m} }{ 2.220\,\mathrm{m} }
+ 0.19
\right)
\cdot 1.00
\cdot 0.65
\cdot \min\!\left( \sqrt{25.00\,\mathrm{MPa}},\, 8.00\,\mathrm{MPa} \right)
} \\
&= \mathsf{ 1.540\,\mathrm{MPa} }
\end{aligned}
\)

Resistenza a punzonamento della piastra senza armatura a taglio secondo 13.3.4.1 (c):
\( \begin{aligned}
\mathsf{\nu_{c(c)}}
&= \mathsf{
0.38
\cdot \lambda
\cdot \Phi_{c}
\cdot \min\!\left( \sqrt{f'_{c}},\, f'_{c,\max} \right)
} \\
&= \mathsf{
0.38
\cdot 1.00
\cdot 0.65
\cdot \min\!\left( \sqrt{25.00\,\mathrm{MPa}},\, 8.00\,\mathrm{MPa} \right)
} \\
&= \mathsf{ 1.235\,\mathrm{MPa} }
\end{aligned}
\)

Resistenza minima a punzonamento della piastra senza armatura a taglio:
\( \begin{aligned}
\mathsf{\nu_{c}}
&= \mathsf{ \min\!\left( \nu_{c(a)},\, \nu_{c(b)},\, \nu_{c(c)} \right) } \\
&= \mathsf{ \min\!\left( 1.441\,\mathrm{MPa},\, 1.540\,\mathrm{MPa},\, 1.235\,\mathrm{MPa} \right) } \\
&= \mathsf{ 1.235\,\mathrm{MPa} }
\end{aligned}
\)

4. Confronto tra azione e resistenza:

\(
\mathsf{\eta_{13.3.4} = \dfrac{\nu_{f}}{\nu_{r}}}
\)

\(
\mathsf{\eta = \dfrac{1.192\,MPa}{1.235\,MPa}}
\)

\(
\mathsf{\eta \approx 0,97}
\)

\(
\mathsf{\eta = 0,97 \;\leq\; 1 \quad \Rightarrow \quad \text{Verifica soddisfatta}}
\)

La disposizione di un'armatura a punzonamento non è necessaria.
\( \)

Risultati

I risultati di RFEM 6 sono riportati di seguito.

VE 9962 - Dettagli di verifica

I risultati di RFEM 6 vengono confrontati di seguito con la soluzione di riferimento.

VE 9962 - Tasso di lavoro

Valutazione

I risultati di RFEM 6 concordano molto bene con la soluzione di riferimento.

RFEM 6 calcola valori leggermente inferiori (circa 3,5 %) per il momento d'inerzia polare rispetto al calcolo manuale. RFEM 6 calcola il momento d'inerzia polare secondo ACI 421.1R.

L'approccio in ACI 421.1R è applicabile a tutte le geometrie di sezione ed è molto adatto per una soluzione software.

A differenza della formula analitica, che è applicabile solo alle sezioni rettangolari, ACI 421.1R trascura la componente \(\mathsf{\dfrac{b\,d^{3}}{6}}\).

Il momento d'inerzia polare minore secondo ACI 421.1R conduce a un approccio conservativo per il dimensionamento a punzonamento.

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