VE 9962 | Wymiarowanie przebicia słupów brzegowych w stropie płaskim według CSA A23.3

Opis

Ten przykład analizuje obliczenie przebicia słupa brzegowego zgodnie z CSA A23.3-19 [1]. Geometrię i obciążenie zaczerpnięto z zewnętrznego słupa D2 z przykładu 1 podręcznika „CAC Concrete Design Handbook – 4th Edition”, strona 5-19 [2].

55x

7x

Przykład weryfikacji | Projektowanie przebicia słupa krawędziowego zgodnie z CSA A23.3

Przykład weryfikacyjny 9962 | Wymiary słupa

Rozwiązanie analityczne:

\( \)

1. Wyznaczenie wielkości geometrycznych

\( \) Wymiar krytycznego obwodu kołowego równoległego do mimośrodu: \( \begin{aligned} \mathsf{b_{1}} &= \mathsf{ b + \dfrac{d}{2} + a } \\ &= \mathsf{ 600 + 105 + 100 } \\ &= \mathsf{ 805\,mm } \end{aligned} \)

\( \begin{aligned} \mathsf{b_{2}} &= \mathsf{ h + d } \\ &= \mathsf{ 400 + 210 } \\ &= \mathsf{ 610\,mm } \end{aligned} \) \( \) Długość krytycznego obwodu: \( \begin{aligned} \mathsf{b_{o}} &= \mathsf{ 2 \cdot \left( b + a + \dfrac{d}{2} \right) + h + d } \\ &= \mathsf{ 2 \cdot (600 + 100 + 105) + 400 + 210 } \\ &= \mathsf{ 2220\,mm } \end{aligned} \) \( \) Mimośrody krytycznego przekroju kołowego \( \begin{aligned} \mathsf{e_{1}} &= \mathsf{ \dfrac{ b_{1}^{2} }{ 2\,b_{1} + b_{2} } } \\ &= \mathsf{ \dfrac{ 805^{2} }{ 2 \cdot 805 + 610 } } \\ &= \mathsf{ 292\,mm } \end{aligned} \)

\( \begin{aligned} \mathsf{e_{2}} &= \mathsf{ \dfrac{ b_{2} }{ 2 } } \\ &= \mathsf{ \dfrac{ 610 }{ 2 } } \\ &= \mathsf{ 305\,mm } \end{aligned} \)

2. Obliczenie oddziaływań:

Indeksy „1” i „2” odnoszą się do głównych osi układu.

• Indeks „1” odnosi się do globalnej osi X.

• Indeks „2” odnosi się do globalnej osi Y. Nie jest on dalej rozpatrywany, ponieważ występuje tylko jeden moment względem X.

\( \) Współczynniki redukcyjne oblicza się następująco: \( \begin{aligned} \mathsf{\gamma_{v,1}} &= \mathsf{ 1 - \frac{1}{ 1 + \frac{2}{3} \sqrt{ \frac{ b + \frac{d}{2} + a }{ h + d } } } } \\ &= \mathsf{ 1 - \frac{1}{ 1 + \frac{2}{3} \sqrt{ \frac{ 600 + \frac{210}{2} + 100 }{ 400 + 210 } } } } \\ &= \mathsf{ 0.434 } \end{aligned} \) \( \)

Zatem otrzymuje się następujące „polarne” momenty bezwładności pola:

\( \begin{aligned} \mathsf{J_{1}} &= \mathsf{ 2 \left( \frac{b_{1}^{3} \cdot d}{3} + \frac{d^{3} \cdot b_{1}}{12} \right) - b_{o} d e^{2} } \\ &= \mathsf{ 2 \left( \frac{805^{3} \cdot 210}{3} + \frac{210^{3} \cdot 805}{12} \right) - 2220 \cdot 210 \cdot 292^{2} } \\ &= \mathsf{3.453 \cdot 10^{10}\,\mathrm{mm^{4}}} \end{aligned} \)

Siła tnąca do redukcji wynikająca z redystrybucji obciążenia wewnątrz krytycznego obwodu:

\( \begin{aligned} \mathsf{\Delta V_{f}} &= \mathsf{ p \cdot b_{1} \cdot b_{2} } \\ &= \mathsf{ 11.6\,\mathrm{kN/m^{2}} \cdot 0.805\,\mathrm{m} \cdot 0.610\,\mathrm{m} } \\ &= \mathsf{ 5.70\,\mathrm{kN} } \end{aligned} \) \( \) Zredukowana siła tnąca jest obliczana następująco: \( \begin{aligned} \mathsf{V_{f,\mathrm{res}}} &= \mathsf{ V_f - \Delta V_f } \\ &= \mathsf{ 339.26\,\mathrm{kN} - 5.70\,\mathrm{kN} } \\ &= \mathsf{ 333.56\,\mathrm{kN} } \end{aligned} \) \( \) Udział momentu przenoszonego w pierwszym kierunku głównym:

\( \begin{aligned} \mathsf{M_{f,1,\mathrm{sl}}} &= \mathsf{ M_{f,1} - V_{f,\mathrm{res}} \cdot e_{1,\mathrm{sl}} } \\ &= \mathsf{ 167.62\,\mathrm{kNm} - 333.56\,\mathrm{kN} \cdot 0.1131\,\mathrm{m} } \\ &= \mathsf{ 129.89\,\mathrm{kNm} } \end{aligned} \) \( \)

Naprężenie ścinające od zredukowanej siły tnącej: \( \begin{aligned} \mathsf{\nu_{fv}} &= \mathsf{ \frac{ V_{f,\mathrm{res}} }{ b_{o} \cdot d } } \\ &= \mathsf{ \frac{ 333.56\,\mathrm{kN} }{ 2.220\,\mathrm{m} \cdot 0.210\,\mathrm{m} } } \\ &= \mathsf{ 0.715\,\mathrm{MPa} } \end{aligned} \) \( \)

Maksymalne działające naprężenie ścinające wynosi: \( \begin{aligned} \mathsf{\nu_{f}} &= \mathsf{\nu_{fv} + \frac{\gamma_{v,1} \cdot M_{f,1,sl} \cdot e_{1}}{J_{1}}} \\ &= \mathsf{0.715\,\mathrm{MPa} + \frac{0.434 \cdot 129.89\,\mathrm{kNm} \cdot 292\,\mathrm{mm}}{3.453 \times 10^{10}\,\mathrm{mm^{4}}}} \\ &= \mathsf{0.715 + 0.477} \\ &= \mathsf{1.192\,\mathrm{MPa}} \end{aligned} \) \( \)

3. Obliczenie nośności:

Stosunek dłuższego do krótszego boku słupa:

\( \begin{aligned} \mathsf{\beta_{c}} &= \mathsf{ \dfrac{ \max\!\left( b,\, h \right) }{ \min\!\left( b,\, h \right) } } \\ &= \mathsf{ \dfrac{ \max\!\left( 0.600\,\mathrm{m},\, 0.400\,\mathrm{m} \right) }{ \min\!\left( 0.600\,\mathrm{m},\, 0.400\,\mathrm{m} \right) } } \\ &= \mathsf{ 1.500 } \end{aligned} \)

Nośność na przebicie płyty bez zbrojenia poprzecznego zgodnie z 13.3.4.1 (a):

\( \begin{aligned} \mathsf{\nu_{c(a)}} &= \mathsf{ \left( 1 + \dfrac{2}{\beta_{c}} \right) \cdot 0.19 \cdot \lambda \cdot \Phi_{c} \cdot \min\!\left( \sqrt{f'_{c}},\, f'_{c,\max} \right) } \\ &= \mathsf{ \left( 1 + \dfrac{2}{1.50} \right) \cdot 0.19 \cdot 1.00 \cdot 0.65 \cdot \min\!\left( \sqrt{25.00\,\mathrm{MPa}},\, 8.00\,\mathrm{MPa} \right) } \\ &= \mathsf{ 1.441\,\mathrm{MPa} } \end{aligned} \)

Nośność na przebicie płyty bez zbrojenia poprzecznego zgodnie z 13.3.4.1 (b): \( \begin{aligned} \mathsf{\nu_{c(b)}} &= \mathsf{ \left( \dfrac{ \alpha_{s} \cdot d }{ b_{o} } + 0.19 \right) \cdot \lambda \cdot \Phi_{c} \cdot \min\!\left( \sqrt{f'_{c}},\, f'_{c,\max} \right) } \\ &= \mathsf{ \left( \dfrac{ 3.00 \cdot 0.210\,\mathrm{m} }{ 2.220\,\mathrm{m} } + 0.19 \right) \cdot 1.00 \cdot 0.65 \cdot \min\!\left( \sqrt{25.00\,\mathrm{MPa}},\, 8.00\,\mathrm{MPa} \right) } \\ &= \mathsf{ 1.540\,\mathrm{MPa} } \end{aligned} \)

Nośność na przebicie płyty bez zbrojenia poprzecznego zgodnie z 13.3.4.1 (c): \( \begin{aligned} \mathsf{\nu_{c(c)}} &= \mathsf{ 0.38 \cdot \lambda \cdot \Phi_{c} \cdot \min\!\left( \sqrt{f'_{c}},\, f'_{c,\max} \right) } \\ &= \mathsf{ 0.38 \cdot 1.00 \cdot 0.65 \cdot \min\!\left( \sqrt{25.00\,\mathrm{MPa}},\, 8.00\,\mathrm{MPa} \right) } \\ &= \mathsf{ 1.235\,\mathrm{MPa} } \end{aligned} \)

Minimalna nośność na przebicie płyty bez zbrojenia poprzecznego: \( \begin{aligned} \mathsf{\nu_{c}} &= \mathsf{ \min\!\left( \nu_{c(a)},\, \nu_{c(b)},\, \nu_{c(c)} \right) } \\ &= \mathsf{ \min\!\left( 1.441\,\mathrm{MPa},\, 1.540\,\mathrm{MPa},\, 1.235\,\mathrm{MPa} \right) } \\ &= \mathsf{ 1.235\,\mathrm{MPa} } \end{aligned} \)

4. Porównanie oddziaływania i nośności:

\( \mathsf{\eta_{13.3.4} = \dfrac{\nu_{f}}{\nu_{r}}} \)

\( \mathsf{\eta = \dfrac{1.192\,MPa}{1.235\,MPa}} \)

\( \mathsf{\eta \approx 0,97} \)

\( \mathsf{\eta = 0,97 \;\leq\; 1 \quad \Rightarrow \quad \text{Warunek spełniony}} \)

Zastosowanie zbrojenia na przebicie nie jest wymagane. \( \)

Wyniki

Poniżej przedstawiono wyniki z RFEM 6.

VE 9962 - Szczegóły kontroli obliczeń

Wyniki z RFEM 6 porównano poniżej z rozwiązaniem referencyjnym.

VE 9962 - Wykorzystanie

Ocena

Wyniki z RFEM 6 bardzo dobrze zgadzają się z rozwiązaniem referencyjnym.

RFEM 6 oblicza nieco niższe (ok. 3,5 %) wartości polarnego momentu bezwładności niż obliczenia ręczne. RFEM 6 oblicza polarny moment bezwładności zgodnie z ACI 421.1R.

Podejście w ACI 421.1R ma zastosowanie do wszystkich geometrii przekroju i bardzo dobrze nadaje się do rozwiązania programowego.

W przeciwieństwie do wzoru analitycznego, który ma zastosowanie tylko do przekrojów prostokątnych, ACI 421.1R pomija składnik \(\mathsf{\dfrac{b\,d^{3}}{6}}\).

Mniejszy polarny moment bezwładności według ACI 421.1R prowadzi do konserwatywnego podejścia do wymiarowania na przebicie.

55x

7x

Przykład weryfikacji | Projektowanie przebicia słupa krawędziowego zgodnie z CSA A23.3