在 RFEM 6 中计算楼板内力的用户自定义积分方法

非线性材料板上的内力是在板的厚度 d 上对应力进行数值积分的结果，如公式 1 所示。

请注意，数值积分是指对于厚度上的 n 个点，通过加权有限和 (公式 2) 逼近上述积分 -d/2 ≤ z₁ < ... < z_n ≤ d/2，以及所谓的权重 w_i ，它特定于给定的正交和数目 n。

RFEM 版本 6.02.0049 之前的数值积分是使用 9 点 Gauss-Lobatto 正交规则进行的，该规则包含区间的端点，即厚度的顶部和底部。 无论材料模型或用户定义的图表如何，这对于最高为 15 (2*9-3) 的多项式都是准确的。 图 1 显示了二维有限元中每个平面积分点处沿厚度方向的 9 个节点。

Gauss-Lobatto 正交： 9 个节点，通过板的厚度

因此，对于应力-应变曲线“较差”的材料，严重开裂的板坯中的内力可以用标准积分格式近似，数值误差大于 10%。 其中一种材料是纤维混凝土及其受拉性能。 图 2 显示了纤维混凝土的典型应力-应变图（左侧为受拉，右侧为受压）。

纤维混凝土的典型应力-应变图

为了解决这个问题，在 RFEM 6.02.0049 中引入了一个自定义选项，用于指定在板厚度上进行数值积分的细节（图 3）。 该选项允许您作为用户更改积分点的数量（3到99之间）和正交规则本身。 现在，除了 Gauss-Lobatto 平方之外，您还可以选择梯形或 Simpson' 规则。 但是请注意，这可能只会在某些非常特殊的情况下改善集成。

同样重要的是要知道，Gauss-Lobatto 和 Simpson 规则明确需要奇数个积分点。 因此，如果用户定义的数字是偶数，则考虑下一个最大的奇数进行计算。 换句话说，例如，如果用户输入为 4，则计算过程中使用 5 个沿厚度方向的积分点。

指定积分详细信息

这个新选项的一个优点是，您可以通过减少具有非线性材料的二维结构单元中的积分点数来提高计算性能。 例如，您可以减少不重要的区域（例如弹性范围内的区域）中的积分点的数量。

出现的紧迫问题是积分点的“正确”数量。 尽管如此，这是一个没有正确答案的问题。 这取决于材料的应力-应变图和给定荷载作用下有限元的实际应力状态；因此，在任何情况下都需要工程师的洞察力。