Siły wewnętrzne w płytach z materiałem nieliniowym wynikają z liczbowego całkowania naprężeń na grubości d płyty, jak pokazano na rysunku 1.
Należy pamiętać, że kwadratura numeryczna oznacza przybliżenie powyższej całki ważoną sumą skończoną (Wzór 2) dla n punktów na grubości -d/2 ≤ z1 < ... < zn ≤ d/2 oraz tak zwane wagi wi, które są specyficzne dla danej kwadratury i liczby n.
Do wersji 6.02.0049 programu RFEM to całkowanie jest przeprowadzane za pomocą 9-punktowej reguły kwadratury Gaussa-Lobatto, zawierającej punkty końcowe przedziału, tj. górną i dolną część grubości. Jest to dokładne dla wielomianów do rzędu 15 (2*9-3), niezależnie od modelu materiałowego lub wykresu zdefiniowanego przez użytkownika. Rysunek 1 przedstawia 9 węzłów w przekroju wzdłuż grubości dla kwadratury Gaussa-Lobatto w każdym płaskim punkcie całkowania w elemencie skończonym 2D.
Dlatego w przypadku materiałów o „gorszej” krzywej naprężenie-odkształcenie siły wewnętrzne w płycie o dużym stopniu zarysowania mogą być aproksymowane za pomocą standardowego schematu całkowania z błędem liczbowym większym niż 10%. Jednym z takich materiałów jest beton zbrojony włóknami i jego zachowanie przy rozciąganiu. Rysunek 2 przedstawia typowy wykres naprężenie-odkształcenie dla betonu zbrojonego włóknami (po lewej stronie rozciąganie, po prawej ściskanie).
Aby rozwiązać ten problem, w programie RFEM 6.02.0049 wprowadzono niestandardową opcję określania szczegółów całkowania numerycznego na grubości płyty (rys. 3). Ta opcja umożliwia użytkownikowi zmianę zarówno liczby punktów całkowania (od 3 do 99), jak i samej reguły kwadratury. Teraz oprócz kwadratury Gaussa-Lobatto można wybrać regułę trapezową lub regułę Simpsonas. Należy jednak pamiętać, że prawdopodobnie poprawi to integrację tylko w niektórych bardzo specyficznych przypadkach.
Należy również wiedzieć, że reguły Gaussa-Lobatto i Simpsona wyraźnie wymagają nieparzystej liczby punktów całkowania. Tak więc, jeśli liczba zdefiniowana przez użytkownika jest liczbą parzystą, do obliczeń brana jest następna co do wielkości liczba nieparzysta. Innymi słowy, jeśli użytkownik wprowadzi na przykład 4, obliczenie wykorzystuje 5 punktów całkowania na grubości.
Zaletą tej nowej opcji jest możliwość zwiększenia wydajności obliczeń poprzez zmniejszenie liczby punktów integracji w elementach konstrukcyjnych 2D z materiałami nieliniowymi. Można na przykład zredukować liczbę punktów całkowania w regionach, które nie są uważane za szczególnie interesujące (takich jak regiony w zakresie sprężystości).
Palącym pytaniem, jakie się nasuwa, jest "właściwa" liczba punktów całkowania. Jest to jednak pytanie, na które nie ma prawidłowej odpowiedzi. Zależy to od wykresu naprężenie-odkształcenie materiału i rzeczywistego stanu naprężenia elementów skończonych pod danym obciążeniem; dlatego w każdym przypadku wymagana jest wiedza inżyniera.
