Расчет колонны на устойчивость под действием нормальной силы и изгиба

  • База знаний

Техническая статья

Эта статья была переведена Google Translator

Посмотреть исходный текст

В данной технической статье будет с помощью дополнительного модуля RF-/STEEL EC3 согласно норме EN 1993-1-1 рассчитываться шарнирная колонна с центральной силой и линейной нагрузкой, действующей на сильной оси.

Предпосылки для расчета, нагрузки, внутренние силы и расчет сечений были описаны в одной из предыдущих статей и поэтому не будут обсуждаться повторно.

Pисунок 01 - Конструктивная система

Расчет при осевой силе и изгибающем моменте по EN 1993-1-1, 6.3.3 [1]

Элементы, подвергаемые изгибу и сжатию, как правило, должны соответствовать следующим требованиям.

Расчет на потерю устойчивости при изгибе:
$\frac{{\mathrm N}_{\mathrm{Ed}}}{\displaystyle\frac{{\mathrm\chi}_{\mathrm z}\;\cdot\;{\mathrm N}_{\mathrm{Rk}}}{{\mathrm\gamma}_{\mathrm M1}}}\;+\;{\mathrm k}_{\mathrm{zy}\;}\cdot\frac{{\mathrm M}_{\mathrm y,\mathrm{Ed}}}{{\mathrm\chi}_{\mathrm{LT}}\;\cdot\;{\displaystyle\frac{{\mathrm M}_{\mathrm y,\mathrm{Rk}}}{{\mathrm\gamma}_{\mathrm M1}}}}\;\leq\;1$

Расчет на продольный изгиб с кручением:
$\frac{{\mathrm N}_{\mathrm{Ed}}}{\displaystyle\frac{{\mathrm\chi}_{\mathrm y}\;\cdot\;{\mathrm N}_{\mathrm{Rk}}}{{\mathrm\gamma}_{\mathrm M1}}}\;+\;{\mathrm k}_{\mathrm{yy}\;}\cdot\frac{{\mathrm M}_{\mathrm y,\mathrm{Ed}}}{{\mathrm\chi}_{\mathrm{LT}}\;\cdot\;{\displaystyle\frac{{\mathrm M}_{\mathrm y,\mathrm{Rk}}}{{\mathrm\gamma}_{\mathrm M1}}}}\;\leq\;1$

Расчет на потерю устойчивости при изгибе вокруг оси минимальных моментов

$\frac{{\mathrm N}_{\mathrm{Ed}}}{\displaystyle\frac{{\mathrm\chi}_{\mathrm z}\;\cdot\;{\mathrm N}_{\mathrm{Rk}}}{{\mathrm\gamma}_{\mathrm M1}}}\;+\;{\mathrm k}_{\mathrm{zy}\;}\cdot\frac{{\mathrm M}_{\mathrm y,\mathrm{Ed}}}{{\mathrm\chi}_{\mathrm{LT}}\;\cdot\;{\displaystyle\frac{{\mathrm M}_{\mathrm y,\mathrm{Rk}}}{{\mathrm\gamma}_{\mathrm M1}}}}\;\leq\;1$

Полезная длина качающейся опоры Lcr = 6,50 м.

По норме EN 1993-1-1, 6.3.1.2:
$\mathrm\chi\;=\;\frac1{\mathrm\phi\;+\;\sqrt{\mathrm\phi^{2\;}-\;\overline{\mathrm\lambda}^2}}\;\leq\;1\\\mathrm\phi\;=\;0,5\;\cdot\;\left[1\;+\;\mathrm\alpha\;\cdot\;\left(\overline{\mathrm\lambda}\;-\;0,2\right)\;+\;\overline{\mathrm\lambda}^2\;\right]\\{\overline{\mathrm\lambda}}_{\mathrm z}\;=\;\sqrt{\frac{\mathrm A\;\cdot\;{\mathrm f}_{\mathrm y}}{{\mathrm N}_{\mathrm{cr},\mathrm z}}}\\{\mathrm N}_{\mathrm{cr},\mathrm z}\;=\;\frac{\mathrm\pi^2\;\cdot\;\mathrm E\;\cdot\;{\mathrm I}_{\mathrm z}}{\mathrm l^2}\;=\;\frac{\mathrm\pi^2\;\cdot\;21 000\;\mathrm{кН}/\mathrm{см}^2\;\cdot\;10,140\;\mathrm{см}^4}{\left(650\;\mathrm{см}\right)^2}\;=\;4974,28\;\mathrm{кН}\\{\overline{\mathrm\lambda}}_{\mathrm z}\;=\;\sqrt{\frac{180,6\;\mathrm{см}^2\;\cdot23,5\;\mathrm{кН}/\mathrm{см}^2}{4974,28\;\mathrm{кН}}}\;=\;0,924$

Выбор кривой потери устойчивости при изгибе по таблице 6.2:
$\frac{\mathrm h}{\mathrm b}\;=\;\frac{360\;\mathrm{мм}}{300\;\mathrm{мм}}\;=\;1,2\;\leq\;1,2\\{\mathrm t}_{\mathrm f}\;=\;22,5\;\mathrm{мм}\;\leq\;100\;\mathrm{мм}$

Смещение перпендикулярно оси z: Кривая напряжения при продольном изгибе BSCz: C

В таблице 6.1 найдем значение коэффициента несовершенства α = 0,49.
$\mathrm\phi\;=\;0,5\;\cdot\;\left[1\;+\;0,49\;\cdot\;\left(0,924\;-\;0,2\right)\;+\;0,924^2\right]\;=\;1,104\\{\mathrm\chi}_{\mathrm z}\;=\;\frac1{1,104\;+\;\sqrt{1,104^2\;-\;0,924^2}}\;=\;0,585\;\leq\;1,0$

У I-образных, H-образных и прямоугольных полых профилей, которые нагружены только сжатием и изгибом, можно принять коэффициент kzy = 0.

В результате расчет выглядит следующим образом:
$\frac{{\mathrm N}_{\mathrm{Ed}}}{\displaystyle\frac{{\mathrm\chi}_{\mathrm z}\;\cdot\;{\mathrm N}_{\mathrm{Rk}}}{{\mathrm\gamma}_{\mathrm M1}}}\;\leq\;1\\{\mathrm N}_{\mathrm{Rk}\;}=\;\mathrm A\;\cdot\;{\mathrm f}_{\mathrm y}\;=\;180,60\;\mathrm{см}^2\;\cdot\;23,5\;\frac{\mathrm{кН}}{\mathrm{см}^2}\;=\;\;4244,1\;\mathrm{кН}\\\frac{2 000\;\mathrm{кН}}{\displaystyle\frac{0,585\;\cdot\;4244,1\;\mathrm{кН}}1}\;=\;0,81\;\leq\;1$

→ Расчет выполнен.

Расчет на продольный изгиб с кручением

Полезная длина качающейся опоры Lcr = 6,50 м.

По норме EN 1993-1-1, 6.3.1.2:
$\mathrm\chi\;=\;\frac1{\mathrm\phi\;+\;\sqrt{\mathrm\phi^{2\;}-\;\overline{\mathrm\lambda}^2}}\;\leq\;1\\\mathrm\phi\;=\;0.5\;\cdot\;\left[1\;+\;\mathrm\alpha\;\cdot\;\left(\overline{\mathrm\lambda}\;-\;0.2\right)\;+\;\overline{\mathrm\lambda}^2\;\right]\\{\overline{\mathrm\lambda}}_{\mathrm z}\;=\;\sqrt{\frac{\mathrm A\;\cdot\;{\mathrm f}_{\mathrm y}}{{\mathrm N}_{\mathrm{cr},\mathrm y}}}\\{\mathrm N}_{\mathrm{cr},\mathrm y}\;=\;\frac{\mathrm\pi^2\;\cdot\;\mathrm E\;\cdot\;{\mathrm I}_{\mathrm y}}{\mathrm l^2}\;=\;\frac{\mathrm\pi^2\;\cdot\;21 000\;\mathrm{кН}/\mathrm{см}^2\;\cdot\;43 190\;\mathrm{см}^4}{\left(650\;\mathrm{см}\right)^2}\;=\;21187,3\;\mathrm{кН}\\{\overline{\mathrm\lambda}}_{\mathrm z}\;=\;\sqrt{\frac{180,6\;\mathrm{см}^2\;\cdot23,5\;\mathrm{кН}/\mathrm{см}^2}{21 187,3\;\mathrm{кН}}}\;=\;0,924$

Полезная длина по таблице 6.2:
$\frac{\mathrm h}{\mathrm b}\;=\;\frac{360\;\mathrm{мм}}{300\;\mathrm{мм}}\;=\;1,2\;\leq\;1,2\\{\mathrm t}_{\mathrm f}\;=\;22,5\;\mathrm{мм}\;\leq\;100\;\mathrm{мм}$

Смещение перпендикулярно оси y: Кривая напряжения при продольном изгибе BSCz: B
В таблице 6.1 найдем значение коэффициента несовершенства α = 0,34.
$\mathrm\phi\;=\;0,5\;\cdot\;\left[1\;+\;0,34\;\cdot\;\left(0,448\;-\;0,2\right)\;+\;0,448^2\right]\;=\;0,642\\{\mathrm\chi}_{\mathrm y}\;=\;\frac1{0,642\;+\;\sqrt{0,642^2\;-\;0,448^2}}\;=\;0,907\;\leq\;1,0$

Коэффициент взаимодействия по Приложению B, таблица B1:
${\mathrm k}_{\mathrm{yy}}\;=\;{\mathrm C}_{\mathrm{my}}\;\cdot\;\left(1\;+\;\left({\overline{\mathrm\lambda}}_{\mathrm y}\;-\;0,2\right)\;\cdot\;\frac{{\mathrm N}_{\mathrm{Ed}}}{{\mathrm\chi}_{\mathrm y}\;\cdot\;{\displaystyle\frac{{\mathrm N}_{\mathrm{Rk}}}{{\mathrm\gamma}_{\mathrm M1}}}}\right)\;\leq\;{\mathrm C}_{\mathrm{my}}\;\cdot\;\left(1\;+\;0,8\;\cdot\;\frac{{\mathrm N}_{\mathrm{Ed}}}{{\mathrm\chi}_{\mathrm y}\;\cdot\;{\displaystyle\frac{{\mathrm N}_{\mathrm{Rk}}}{{\mathrm\gamma}_{\mathrm M1}}}}\right)$

Коэффициент эквивалентного момента Cmy по таблице B.3:
${\mathrm\alpha}_{\mathrm h}\;=\;\frac{{\mathrm M}_{\mathrm h}}{{\mathrm M}_{\mathrm s}}\;=\;\frac{0,00\;\mathrm{кНм}}{79,22\;\mathrm{кНм}}\;=\;0\\{\mathrm C}_{\mathrm{my}}\;=\;0,95\;+\;0,05\;\cdot\;{\mathrm\alpha}_{\mathrm h}\;=\;0,95\\{\overline{\mathrm\lambda}}_{\mathrm y}\;=\;0,448\\{\mathrm N}_{\mathrm{Rk}}\;=\;\mathrm A\;\cdot\;{\mathrm f}_{\mathrm y}\;=\;180,60\;\mathrm{см}^2\;\cdot\;23,5\;\frac{\mathrm{кН}}{\mathrm{см}^2\;\;}\;=\;4244,1\;\mathrm{кН}\\{\mathrm k}_{\mathrm{yy}}\;=\;0,95\;\cdot\;\left(1\;+\;\left(0,448\;-\;0,2\right)\;\cdot\;\frac{2 000\;\mathrm{кН}}{0,907\;\cdot\;{\displaystyle\frac{4244,10\;\mathrm{кН}}{1,0}}}\right)\;=\;1,07\\{\mathrm k}_{\mathrm{yy},\max}\;=\;0,95\;\cdot\;\left(1\;+\;0,8\;\cdot\;\frac{2000\;\mathrm{кН}}{0,907\;\cdot\;{\displaystyle\frac{4244,10\;\mathrm{кН}}{1,0}}}\right)\;=\;1,34\\1,07\;<\;1,34$

По норме EN 1993-1-1, 6.3.2.3:
${\mathrm\chi}_{\mathrm{LT}}\;=\;\frac1{{\mathrm\phi}_{\mathrm{LT}}\;+\;\sqrt{{\mathrm\phi}_{\mathrm{LT}}^2\;-\;\mathrm\beta\;\cdot\;{\overline{\mathrm\lambda}}_{\mathrm{LT}}^2}}\\{\mathrm\phi}_{\mathrm{LT}}\;=\;0,5\;\cdot\;\left[1\;+\;{\mathrm\alpha}_{\mathrm{LT}}\;\cdot\;\left({\overline{\mathrm\lambda}}_{\mathrm{LT}}\;-\;{\overline{\mathrm\lambda}}_{\mathrm{LT}0}\right)\;+\;\mathrm\beta\;\cdot\;{\overline{\mathrm\lambda}}_{\mathrm{LT}}^2\right]$

По норме EN 1993-1-1, таблица 6.5:
$\frac{\mathrm h}{\mathrm b}\;=\;\frac{360\;\mathrm{мм}}{300\;\mathrm{мм}}\;=\;1,20\;<\;2$ → Кривая напряжения при продольном изгибе BSCLT: B

По норме EN 1993-1-1, таблица 6.3:
${\mathrm\alpha}_{\mathrm{LT}}\;=\;0,34\\\mathrm\beta\;=\;0,75\\{\mathrm\lambda}_{\mathrm{LT}0}\;=\;0,40\\{\mathrm M}_{\mathrm{cr}}\;=\;{\mathrm C}_1\;\cdot\;\frac{\mathrm\pi^2\;\cdot\;\mathrm E\;\cdot\;{\mathrm I}_{\mathrm z}}{\left(\mathrm k\;\cdot\;\mathrm L\right)^2}\;\cdot\;\left(\sqrt{\left(\frac{\mathrm k}{{\mathrm k}_{\mathrm W}}\right)\;\cdot\;\frac{{\mathrm I}_{\mathrm W}}{{\mathrm I}_{\mathrm z}}\;+\;\frac{\left(\mathrm k\;\cdot\;\mathrm L\right)^2\;\cdot\;\mathrm G\;\cdot\;{\mathrm I}_{\mathrm t}}{\mathrm\pi^2\;\cdot\;\mathrm E\;\cdot\;{\mathrm I}_{\mathrm z}}\;+\left({\mathrm C}_2\;\cdot\;{\mathrm z}_{\mathrm g}\right)^2\;}\;-\;{\mathrm C}_2\;\cdot\;{\mathrm z}_{\mathrm g}\;\right)\\\mathrm k\;=\;1,0\\{\mathrm k}_{\mathrm w}\;=\;1,0$

C1 и C2 по таблице 3.2 NCCI: Упругий критический момент потери устойчивости при изгибе и кручении [5] (совместимые дополнительные документы к Еврокоду 3):
C1 = 1,127
C2 = 0,454

Расстояние от точки приложения нагрузки до центра сдвига zg = 18 см.

${\mathrm M}_{\mathrm{cr}}\;=\;1,127\;\cdot\;\frac{\mathrm\pi^2\;\cdot\;21 000\;{\displaystyle\frac{\mathrm{кН}}{\mathrm{см}^2}}\;\cdot\;10 140\;\mathrm{см}^4}{\left(1\;\cdot\;650\;\mathrm{см}\right)^2}\;\cdot\;\left(\sqrt{\left(\frac11\right)\;\cdot\;\frac{2 883 000\;\mathrm{см}^6}{10140\;\mathrm{см}^4}\;+\;\frac{\left(1,0\;\cdot\;650\;\mathrm{см}\right)^2\;\cdot\;8076,92\;{\displaystyle\frac{\mathrm{кН}}{\mathrm{см}^2}}\;\cdot\;292,5\;\mathrm{см}^4}{\mathrm\pi^2\;\cdot\;21 000\;{\displaystyle\frac{\mathrm{кН}}{\mathrm{см}^2}}\;\cdot\;10 140\;\mathrm{см}^4}\;+\;\left(0,454\;\cdot\;18\;\mathrm{см}\right)^2\;}\;-\;0,454\;\cdot\;18\;\mathrm{см}\;\right)\\{\mathrm M}_{\mathrm{cr}}\;=\;115 310\;\mathrm{кНсм}\;=\;1153,10\;\mathrm{кНм}\\{\overline{\mathrm\lambda}}_{\mathrm{LT}}\;=\;\sqrt{\frac{{\mathrm W}_{\mathrm{pl},\mathrm y}\;\cdot\;{\mathrm f}_{\mathrm y}}{{\mathrm M}_{\mathrm{cr}}}}\;=\;\sqrt{\frac{2 683\;\mathrm{см}^3\;\cdot\;23,5\;{\displaystyle\frac{\mathrm{кН}}{\mathrm{см}^2}}}{115 310\;\mathrm{кНсм}}}\;=\;0,739\\{\mathrm\phi}_{\mathrm{LT}}\;=\;0,5\;\cdot\;\left[1\;+\;0,34\;\cdot\;\left(0,739\;-\;0,4\right)\;+\;0,75\;\cdot\;0,739^2\right]\;=\;0,762\\{\mathrm\chi}_{\mathrm{LT}}\;=\;\frac1{0,762\;+\;\sqrt{0,762^2\;-\;0,75\;\cdot\;0,739^2}}\;=\;0,85\;<\;1$

По норме EN 1993-1-1, таблица 6.7:
${\mathrm M}_{\mathrm y,\mathrm{Rk}}\;=\;{\mathrm f}_{\mathrm y}\;\cdot\;{\mathrm W}_{\mathrm{pl},\mathrm y}\;=\;23,5\;\frac{\mathrm{кН}}{\mathrm{см}^{2\;}}\;\cdot\;2 683\;\mathrm{см}^3\;=\;63050,5\;\mathrm{кНсм}\;=\;630,51\;\mathrm{кНм}$

Расчет на потерю устойчивости вокруг оси максимальных моментов:
$\frac{{\mathrm N}_{\mathrm{Ed}}}{\displaystyle\frac{{\mathrm\chi}_{\mathrm y}\;\cdot\;{\mathrm N}_{\mathrm{Rk}}}{{\mathrm\gamma}_{\mathrm M1}}}\;+\;{\mathrm k}_{\mathrm{yy}\;}\cdot\;\frac{{\mathrm M}_{\mathrm y,\mathrm{Ed}}}{{\mathrm\chi}_{\mathrm{LT}}\;\cdot\;{\displaystyle\frac{{\mathrm M}_{\mathrm y,\mathrm{Rk}}}{{\mathrm\gamma}_{\mathrm M1}}}}\;\leq\;1\\\frac{2 000\;\mathrm{кН}}{\displaystyle\frac{0,907\;\cdot\;4 244,10\;\mathrm{кН}}{1,0}}\;+\;1,072\;\cdot\;\frac{79,22\;\mathrm{кНм}}{0,85\;\cdot\;{\displaystyle\frac{630,51\;\mathrm{кНм}}{1.0}}}\;=\;0,67\;\leq\;1$

Расчет на потерю устойчивости вокруг оси минимальных моментов:
$\frac{{\mathrm N}_{\mathrm{Ed}}}{\displaystyle\frac{{\mathrm\chi}_{\mathrm z}\;\cdot\;{\mathrm N}_{\mathrm{Rk}}}{{\mathrm\gamma}_{\mathrm M1}}}\;+\;{\mathrm k}_{\mathrm{zy}\;}\cdot\;\frac{{\mathrm M}_{\mathrm y,\mathrm{Ed}}}{{\mathrm\chi}_{\mathrm{LT}}\;\cdot\;{\displaystyle\frac{{\mathrm M}_{\mathrm y,\mathrm{Rk}}}{{\mathrm\gamma}_{\mathrm M1}}}}\;\leq\;1\\\frac{2 000\;\mathrm{кН}}{\displaystyle\frac{0,585\;\cdot\;4 244,10\;\mathrm{кН}}{1,0}}\;+\;0,894\;\cdot\;\frac{79,22\;\mathrm{кНм}}{0,85\;\cdot\;{\displaystyle\frac{630,51\;\mathrm{кНм}}{1,0}}}\;=\;0,93\;\leq\;1$

→ Расчеты выполнены.

Автор

Dipl.-Ing. (BA) Sandy Matula

Dipl.-Ing. (BA) Sandy Matula

Поддержка заказчиков

Г-жа Матула оказывает техническую поддержку всем нашим пользователям.

Ключевые слова

Расчет Устойчивость Расчет колонны на устойчивость Качающаяся опора Нормальная сила Изгиб Потеря устойчивости при изгибе

Литература

[1]   Eurocode 3: Design of steel structures - Part 1‑1: General rules and rules for buildings; EN 1993‑1‑1:2010‑12
[2]   Manual RF-/STEEL EC3. (2020). Tiefenbach: Dlubal Software.
[3]   Albert, A. (2018). Schneider - Bautabellen für Ingenieure mit Berechnungshinweisen und Beispielen (23rd ed.). Cologne: Bundesanzeiger.
[4]   Kuhlmann, U.; Feldmann, M.; Lindner, J.; Müller, C.; Stroetmann, R.: Eurocode 3 Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten - Band 1: Allgemeine Regeln und Hochbau - DIN EN 1993-1-1 mit Nationalem Anhang, Kommentar und Beispiele. Berlin: Beuth, 2014
[5]   Bureau, A.: NCCI: Elastisches kritisches Biegedrillknickmoment. Aachen: RWTH, 2010

Загрузки

Ссылки

Добавить комментарий...

Добавить комментарий...

  • Просмотры 1080x
  • Обновления 26. октября 2020

Контакты

У вас есть какие-либо вопросы по нашим программам или вам просто нужен совет?
Тогда свяжитесь с нами через бесплатную поддержку по электронной почте, в чате или на форуме или ознакомьтесь с различными решениями и полезными предложениями на страницах часто задаваемых вопросов.

+49 9673 9203 0

info@dlubal.com

RFEM Основная программа
RFEM 5.xx

Основная программа

Программное обеспечение для расчета конструкций методом конечных элементов (МКЭ) плоских и пространственных конструктивных систем, состоящих из плит, стен, оболочек, стержней (балок), тел и контактных элементов

Цена первой лицензии
3 540,00 USD
RFEM Металлоконструкции
RF-STEEL EC3 5.xx

Дополнительный модуль

Расчет стальных стержней по норме Eврокод 3

Цена первой лицензии
1 480,00 USD
RSTAB Основная программа
RSTAB 8.xx

Основная программа

Программное обеспечение для расчета конструкций рам, балок и ферм, выполняющее линейные и неьинейные расчеты внутренних сил, деформаций и опорных реакций

Цена первой лицензии
2 550,00 USD
RSTAB Металлоконструкции
STEEL EC3 8.xx

Дополнительный модуль

Расчет стальных стержней по норме Eврокод 3

Цена первой лицензии
1 480,00 USD