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001622

2020-02-26

Verificação de estabilidade de um pilar sujeito a esforço axial e flexão

Neste artigo, um pilar articulado com uma força axial atuante no centro e uma carga de linha atuando no eixo principal serão dimensionados através do módulo adicional RF-/STEEL EC3 de acordo com a norma EN 1993-1-1.

As suposições do sistema, as cargas, as forças internas e o dimensionamento da secção já foram explicados num artigo anterior e, por isso, não serão discutidos novamente.

Sistema

Dimensionamento com força axial e momento de flexão de acordo com a norma EN 1993-1-1, 6.3.3 [1]

Os componentes sujeitos a flexão e compressão geralmente têm de cumprir os seguintes requisitos.

Verificação da encurvadura por flexão:

\frac{N_{Ed}}{\frac{χ_{z} \cdot N_{Rk}}{γ_{M 1}}} k_{zy} \cdot \frac{M_{y, Ed}}{χ_{LT} \cdot \frac{M_{y, Rk}}{γ_{M 1}}} \leq 1

Fórmula 1

Verificação da encurvadura por flexão-torção:

\frac{N_{Ed}}{\frac{χ_{y} \cdot N_{Rk}}{γ_{M 1}}} k_{yy} \cdot \frac{M_{y, Ed}}{χ_{LT} \cdot \frac{M_{y, Rk}}{γ_{M 1}}} \leq 1

Fórmula 2

Verificação à encurvadura por flexão sobre o eixo menor

\frac{N_{Ed}}{\frac{χ_{z} \cdot N_{Rk}}{γ_{M 1}}} k_{zy} \cdot \frac{M_{y, Ed}}{χ_{LT} \cdot \frac{M_{y, Rk}}{γ_{M 1}}} \leq 1

Fórmula 1

O comprimento efetivo do pilar articulado é L_cr = 6,50 m.

De acordo com EN 1993-1-1, 6.3.1.2:

χ = \frac{1}{ϕ \sqrt{ϕ^{2} - {\bar{λ}}^{2}}} \leq 1

ϕ = 0, 5 \cdot [1 α \cdot (\bar{λ} - 0, 2) {\bar{λ}}^{2}]

{\bar{λ}}_{z} = \sqrt{\frac{A \cdot f_{y}}{N_{cr, z}}}

N_{cr, z} = \frac{π^{2} \cdot E \cdot I_{z}}{l^{2}} = \frac{π^{2} \cdot 21.000 kN / {cm}^{2} \cdot 10.140 {cm}^{4}}{{(650 cm)}^{2}} = 4.974, 28 kN

{\bar{λ}}_{z} = \sqrt{\frac{180, 6 {cm}^{2} \cdot 23, 5 kN / {cm}^{2}}{4.974, 28 kN}} = 0, 924

Fórmula 3

Seleção do modo de encurvadura de acordo com a Tabela 6.2:

\frac{h}{b} = \frac{360 mm}{300 mm} = 1, 2 \leq 1, 2

t_{f} = 22, 5 mm \leq 100 mm

Fórmula 4

Instabilidade perpendicular ao eixo z: Curva de tensão de encurvadura CTE_z: c

A tabela 6.1 apresenta o fator de imperfeição α = 0,49.

ϕ = 0, 5 \cdot [1 0, 49 \cdot (0, 924 - 0, 2) 0, 924^{2}] = 1, 104

χ_{z} = \frac{1}{1, 104 \sqrt{1, 104^{2} - 0, 924^{2}}} = 0, 585 \leq 1, 0

Fórmula 5

Para I, H e secções tubulares retangulares que apenas são sujeitas a compressão e flexão, pode ser assumido o coeficiente k_zy = 0.

Isso resulta na verificação da seguinte maneira:

\frac{N_{Ed}}{\frac{χ_{z} \cdot N_{Rk}}{γ_{M 1}}} \leq 1

N_{Rk} = A \cdot f_{y} = 180, 60 {cm}^{2} \cdot 23, 5 \frac{kN}{{cm}^{2}} = 4.244, 1 kN

\frac{2.000 kN}{\frac{0, 585 \cdot 4.244, 1 kN}{1}} = 0, 81 \leq 1

Fórmula 6

→ A verificação é cumprida.

Verificação da encurvadura por flexão-torção

O comprimento efetivo do pilar articulado é L_cr = 6,50 m.

De acordo com EN 1993-1-1, 6.3.1.2:

χ = \frac{1}{ϕ \sqrt{ϕ^{2} - {\bar{λ}}^{2}}} \leq 1

ϕ = 0, 5 \cdot [1 α \cdot (\bar{λ} - 0, 2) {\bar{λ}}^{2}]

{\bar{λ}}_{z} = \sqrt{\frac{A \cdot f_{y}}{N_{cr, y}}}

N_{cr, y} = \frac{π^{2} \cdot E \cdot I_{y}}{l^{2}} = \frac{π^{2} \cdot 21.000 kN / {cm}^{2} \cdot 43.190 {cm}^{4}}{{(650 cm)}^{2}} = 21.187, 3 kN

{\bar{λ}}_{z} = \sqrt{\frac{180, 6 {cm}^{2} \cdot 23, 5 kN / {cm}^{2}}{21.187, 3 kN}} = 0, 924

Fórmula 7

Comprimento efetivo de acordo com a Tabela 6.2:

\frac{h}{b} = \frac{360 mm}{300 mm} = 1, 2 \leq 1, 2

t_{f} = 22, 5 mm \leq 100 mm

Fórmula 4

Instabilidade perpendicular ao eixo y: Curva de tensão de encurvadura CTE_z: b
A Tabela 6.1 apresenta o fator de imperfeição α = 0,34.

ϕ = 0, 5 \cdot [1 0, 34 \cdot (0, 448 - 0, 2) 0, 448^{2}] = 0, 642

χ_{y} = \frac{1}{0, 642 \sqrt{0, 642^{2} - 0, 448^{2}}} = 0, 907 \leq 1, 0

Fórmula 8

Fator de interação de acordo com o anexo B, tabela B1:

k_{yy} = C_{my} \cdot (1 ({\bar{λ}}_{y} - 0, 2) \cdot \frac{N_{Ed}}{χ_{y} \cdot \frac{N_{Rk}}{γ_{M 1}}}) \leq C_{my} \cdot (1 0, 8 \cdot \frac{N_{Ed}}{χ_{y} \cdot \frac{N_{Rk}}{γ_{M 1}}})

Fórmula 9

Fator de momento equivalente C_my de acordo com a Tabela B.3:

α_{h} = \frac{M_{h}}{M_{s}} = \frac{0, 00 kNm}{79, 22 kNm} = 0

C_{my} = 0, 95 + 0, 05 \cdot α_{h} = 0, 95

{\bar{λ}}_{y} = 0, 448

N_{Rk} = A \cdot f_{y} = 180, 60 {cm}^{2} \cdot 23, 5 \frac{kN}{{cm}^{2}} = 4.244, 1 kN

k_{yy} = 0, 95 \cdot (1 (0, 448 - 0, 2) \cdot \frac{2.000 kN}{0, 907 \cdot \frac{4.244, 10 kN}{1, 0}}) = 1, 07

k_{yy, \max} = 0, 95 \cdot (1 0, 8 \cdot \frac{2.000 kN}{0, 907 \cdot \frac{4.244, 10 kN}{1, 0}}) = 1, 34

1, 07 < 1, 34

Fórmula 10

De acordo com EN 1993-1-1, 6.3.2.3:

χ_{LT} = \frac{1}{ϕ_{LT} \sqrt{ϕ_{LT}^{2} - β \cdot {\bar{λ}}_{LT}^{2}}}

ϕ_{LT} = 0, 5 \cdot [1 α_{LT} \cdot ({\bar{λ}}_{LT} - {\bar{λ}}_{LT 0}) β \cdot {\bar{λ}}_{LT}^{2}]

Fórmula 11

De acordo com a EN 1993-1-1, tabela 6.5:

f r a c m a t h r m h m a t h r m b = f r a c 360 m a t h r m m m 300 m a t h r m m m = 1, 20 <; 2

Fórmula 12

→ Curva de encurvadura por flexão-torção KL_LT : b

De acordo com a EN 1993-1-1, tabela. 6.3:

α_{LT} = 0, 34

β = 0, 75

λ_{LT 0} = 0, 40

M_{cr} = C_{1} \cdot \frac{π^{2} \cdot E \cdot I_{z}}{{(k \cdot L)}^{2}} \cdot (\sqrt{(\frac{k}{k_{W}}) \cdot \frac{I_{W}}{I_{z}} \frac{{(k \cdot L)}^{2} \cdot G \cdot I_{t}}{π^{2} \cdot E \cdot I_{z}} {(C_{2} \cdot z_{g})}^{2}} - C_{2} \cdot z_{g})

k = 1, 0

k_{w} = 1, 0

Fórmula 13

C₁ e C₂ da tabela 3.2 NCCI: Momento de encurvadura elástico crítico por torção [5] (documentos adicionais compatíveis com o Eurocódigo 3):
C₁ = 1,127
C₂ = 0,454

Distância do ponto de aplicação da carga ao centro de corte z_g = 18 cm.

M_{cr} = 1, 127 \cdot \frac{π^{2} \cdot 21.000 \frac{kN}{{cm}^{2}} \cdot 10.140 {cm}^{4}}{{(1 \cdot 650 cm)}^{2}} \cdot (\sqrt{(\frac{1}{1}) \cdot \frac{2.883.000 {cm}^{6}}{10.140 {cm}^{4}} \frac{{(1, 0 \cdot 650 cm)}^{2} \cdot 8.076, 92 \frac{kN}{{cm}^{2}} \cdot 292, 5 {cm}^{4}}{π^{2} \cdot 21.000 \frac{kN}{{cm}^{2}} \cdot 10.140 {cm}^{4}} {(0, 454 \cdot 18 cm)}^{2}} - 0, 454 \cdot 18 cm)

M_{cr} = 115.310 kNcm = 1.153, 10 kNm

{\bar{λ}}_{LT} = \sqrt{\frac{W_{pl, y} \cdot f_{y}}{M_{cr}}} = \sqrt{\frac{2.683 {cm}^{3} \cdot 23, 5 \frac{kN}{{cm}^{2}}}{115.310 kNcm}} = 0, 739

ϕ_{LT} = 0, 5 \cdot [1 0, 34 \cdot (0, 739 - 0, 4) 0, 75 \cdot 0, 739^{2}] = 0, 762

χ_{LT} = \frac{1}{0, 762 \sqrt{0, 762^{2} - 0, 75 \cdot 0, 739^{2}}} = 0, 85 < 1

Fórmula 14

De acordo com a norma EN 1993-1-1, separador. 6,7:

M_{y, Rk} = f_{y} \cdot W_{pl, y} = 23, 5 \frac{kN}{{cm}^{2}} \cdot 2.683 {cm}^{3} = 63.050, 5 kNcm = 630, 51 kNm

Fórmula 15

Dimensionamento da encurvadura sobre o eixo principal:

\frac{N_{Ed}}{\frac{χ_{y} \cdot N_{Rk}}{γ_{M 1}}} k_{yy} \cdot \frac{M_{y, Ed}}{χ_{LT} \cdot \frac{M_{y, Rk}}{γ_{M 1}}} \leq 1

\frac{2.000 kN}{\frac{0, 907 \cdot 4.244.10 kN}{1, 0}} 1, 072 \cdot \frac{79, 22 kNm}{0, 85 \cdot \frac{630, 51 kNm}{1, 0}} = 0, 67 \leq 1

Fórmula 16

Dimensionamento da encurvadura sobre o eixo menor:

\frac{N_{Ed}}{\frac{χ_{z} \cdot N_{Rk}}{γ_{M 1}}} k_{zy} \cdot \frac{M_{y, Ed}}{χ_{LT} \cdot \frac{M_{y, Rk}}{γ_{M 1}}} \leq 1

\frac{2.000 kN}{\frac{0, 585 \cdot 4.244.10 kN}{1, 0}} 0, 894 \cdot \frac{79, 22 kNm}{0, 85 \cdot \frac{630, 51 kNm}{1, 0}} = 0, 93 \leq 1

Fórmula 17

→ Verificações cumpridas.

Autor

A Eng.ª Matula trabalha na área do apoio cliente.

Ligações

Software para o dimensionamento de estruturas de aço

Referências

EC 3. (2009). Eurocódigo 3: Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten − Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau. Beuth Verlag GmbH, Berlin, 2010
Handbuch RF-/STAHL EC3. Tiefenbach: Dlubal Software, Juni 2020.
Albert, A.: Schneider - Bautabellen für Ingenieure mit Berechnungshinweisen und Beispielen, 23. Auflage. Köln: Bundesanzeiger, 2018
Kuhlmann, U.; Feldmann, M.; Lindner, J.; Müller, C.; Stroetmann, R.: Eurocode 3 Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten - Band 1: Allgemeine Regeln und Hochbau - DIN EN 1993-1-1 mit Nationalem Anhang, Kommentar und Beispiele. Berlin: Beuth, 2014
Bureau, A.: NCCI: Elastisches kritisches Biegedrillknickmoment. Aachen: RWTH, 2010

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Módulo

Com a ajuda do módulo Análise pushover, pode analisar os efeitos de um sismo no seu edifício específico e, assim, avaliar se o edifício consegue suportar um sismo.

Preço da primeira licença 1.300,00 USD

RFEM 6 | Dimensionamento

Dimensionamento de betão para o RFEM 6

Módulo

O módulo Dimensionamento de betão permite realizar várias verificações de acordo com as normas internacionais. Permite dimensionar barras, superfícies e pilares, bem como realizar verificações ao punçoamento e de deformação.

Preço da primeira licença 2.550,00 USD

RFEM 6 | Dimensionamento

Dimensionamento de madeira para o RFEM 6

Módulo

O módulo Dimensionamento de madeira realiza verificações dos estados limite último e de utilização, bem como de resistência ao fogo, de barras de madeira de acordo com várias normas.

Preço da primeira licença 1.930,00 USD

RFEM 6 | Dimensionamento

Dimensionamento de alvenaria para o RFEM 6

Módulo

O módulo Dimensionamento de alvenaria para o RFEM 6 permite o dimensionamento de alvenaria utilizando o método de elementos finitos. Foi desenvolvido no âmbito do projeto de investigação DDMaS – Digitizing the design of masonry structures (Digitalização do dimensionamento de estruturas de alvenaria). O modelo de material representa o comportamento não linear da combinação de tijolo e argamassa sob a forma de uma macromodelação.

Preço da primeira licença 1.660,00 USD

RFEM 6 | Dimensionamento

Dimensionamento de alumínio para o RFEM 6

Módulo

O módulo Dimensionamento de alumínio realiza os dimensionamentos de barras de alumínio para os estados limite último e de utilização de acordo com várias normas.

Preço da primeira licença 1.750,00 USD

RSTAB 9 | Dimensionamento

Dimensionamento de betão para o RSTAB 9

Módulo

O módulo Dimensionamento de betão permite realizar várias verificações para barras e pilares de acordo com as normas internacionais.

Preço da primeira licença 2.550,00 USD

RSTAB 9 | Dimensionamento

Dimensionamento de madeira para o RSTAB 9

Módulo

O módulo Dimensionamento de madeira realiza verificações dos estados limite último e de utilização, bem como de resistência ao fogo, de barras de madeira de acordo com várias normas.

Preço da primeira licença 1.930,00 USD

RSTAB 9 | Dimensionamento

Dimensionamento de alumínio para o RSTAB 9

Módulo

O módulo Dimensionamento de alumínio realiza dimensionamentos de barras de alumínio para os estados limite último e de utilização de acordo com várias normas.

Preço da primeira licença 1.750,00 USD

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