11624x

001622

Dipl.-Ing. (BA) Sandy Matula

2020-02-26

Analiza stateczności słupa przy działaniu siły normalnej i zginaniu

W poniższym artykule przedstawimy wymiarowanie słupa podpartego przegubowo na obydwu końcach zgodnie z EN 1993-1-1. Obciążenie stanowi skupiona siła osiowa oraz obciążenie liniowe działające na kierunku ”mocnej” osi bezwładności. Wykorzystany zostanie do tego moduł dodatkowy RF-/STEEL EC3.

Założenia dotyczące układu, obciążenia, siły wewnętrzne i własności przekroju zostały już wyjaśnione we wcześniejszym artykule i dlatego nie będą ponownie omawiane.

Kb | Wymiarowanie przekroju dla słupa poddanego działaniu siły osiowej i zginania

Układ konstrukcyjny

Wymiarowanie na siłę osiową i moment zginający zgodnie z EN 1993-1-1, 6.3.3 [1]

Elementy poddane zginaniu i ściskaniu zwykle muszą spełniać następujące wymagania.

Warunek dla wyboczenia giętnego:

\frac{N_{Ed}}{\frac{χ_{z} \cdot N_{Rk}}{γ_{M 1}}} k_{zy} \cdot \frac{M_{y, Ed}}{χ_{LT} \cdot \frac{M_{y, Rk}}{γ_{M 1}}} \leq 1

Obliczanie wyboczenia giętnego

Warunek dla wyboczenia giętno-skrętnego:

\frac{N_{Ed}}{\frac{χ_{y} \cdot N_{Rk}}{γ_{M 1}}} k_{yy} \cdot \frac{M_{y, Ed}}{χ_{LT} \cdot \frac{M_{y, Rk}}{γ_{M 1}}} \leq 1

Obliczenia dla wyboczenia skrętnego

Sprawdzenie warunku wyboczenia giętne względem słabej osi bezwładności

\frac{N_{Ed}}{\frac{χ_{z} \cdot N_{Rk}}{γ_{M 1}}} k_{zy} \cdot \frac{M_{y, Ed}}{χ_{LT} \cdot \frac{M_{y, Rk}}{γ_{M 1}}} \leq 1

Obliczanie wyboczenia giętnego

Długość efektywna słupa o podporach przegubowych wynosi L_cr = 6,50 m.

Zgodnie z EN 1993-1-1, 6.3.1.2:

χ = \frac{1}{ϕ \sqrt{ϕ^{2} - {\bar{λ}}^{2}}} \leq 1

ϕ = 0.5 \cdot [1 α \cdot (\bar{λ} - 0.2) {\bar{λ}}^{2}]

{\bar{λ}}_{z} = \sqrt{\frac{A \cdot f_{y}}{N_{cr, z}}}

N_{cr, z} = \frac{π^{2} \cdot E \cdot I_{z}}{l^{2}} = \frac{π^{2} \cdot 21000 kN / {cm}^{2} \cdot 10140 {cm}^{4}}{{(650 cm)}^{2}} = 4974.28 kN

{\bar{λ}}_{z} = \sqrt{\frac{180.6 {cm}^{2} \cdot 23.5 kN / {cm}^{2}}{4974.28 kN}} = 0.924

Obliczenia zgodnie z EN 1993-1-1, 6.3.1.2

Wybór krzywej wyboczeniowej zgodnie z tabelą 6.2:

\frac{h}{b} = \frac{360 mm}{300 mm} = 1.2 \leq 1.2

t_{f} = 22.5 mm \leq 100 mm

Wybór krzywej wyboczenia wg Tabeli 6.2

Niestateczność w kierunku prostopadłym do osi Z: Krzywa wyboczeniowa BSC_z : C

Tabela 6.1 pokazuje współczynnik imperfekcji α = 0,49.

ϕ = 0.5 \cdot [1 0.49 \cdot (0.924 - 0.2) 0 . 924^{2}] = 1.104

χ_{z} = \frac{1}{1.104 \sqrt{1 . 104^{2} - 0 . 924^{2}}} = 0.585 \leq 1.0

Obliczenia dla warunku projektowego

Dla dwuteowników i prostokątnych przekrojów zamkniętych, które poddawane są jedynie ściskaniu i zginaniu, można przyjąć współczynnik k_zy = 0.

Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy:

\frac{N_{Ed}}{\frac{χ_{z} \cdot N_{Rk}}{γ_{M 1}}} \leq 1

N_{Rk} = A \cdot f_{y} = 180.60 {cm}^{2} \cdot 23.5 \frac{kN}{{cm}^{2}} = 4244.1 kN

\frac{2000 kN}{\frac{0.585 \cdot 4244.1 kN}{1}} = 0.81 \leq 1

Obliczenia z wynikiem

→ Warunek nośności został spełniony.

Obliczenia dla wyboczenia skrętnego

Długość efektywna słupa o podporach przegubowych wynosi L_cr = 6,50 m.

Zgodnie z EN 1993-1-1, 6.3.1.2:

χ = \frac{1}{ϕ \sqrt{ϕ^{2} - {\bar{λ}}^{2}}} \leq 1

ϕ = 0.5 \cdot [1 α \cdot (\bar{λ} - 0.2) {\bar{λ}}^{2}]

{\bar{λ}}_{z} = \sqrt{\frac{A \cdot f_{y}}{N_{cr, y}}}

N_{cr, y} = \frac{π^{2} \cdot E \cdot I_{y}}{l^{2}} = \frac{π^{2} \cdot 21000 kN / {cm}^{2} \cdot 43190 {cm}^{4}}{{(650 cm)}^{2}} = 21187.3 kN

{\bar{λ}}_{z} = \sqrt{\frac{180.6 {cm}^{2} \cdot 23.5 kN / {cm}^{2}}{21187.3 kN}} = 0.924

Obliczanie zwichrzenia wg EN 1993-1-1, 6.3.1.2

Krzywa wyboczeniowa zgodnie z tabelą 6.2:

\frac{h}{b} = \frac{360 mm}{300 mm} = 1.2 \leq 1.2

t_{f} = 22.5 mm \leq 100 mm

Wybór krzywej wyboczenia wg Tabeli 6.2

Wychylenie prostopadłe do osi y: Krzywa wyboczeniowa BSC_z : b
Tabela 6.1 przedstawia współczynnik imperfekcji α = 0,34.

ϕ = 0.5 \cdot [1 0.34 \cdot (0.448 - 0.2) 0 . 448^{2}] = 0.642

χ_{y} = \frac{1}{0.642 \sqrt{0 . 642^{2} - 0 . 448^{2}}} = 0.907 \leq 1.0

Obliczenia dla analizy zwichrzenia

Współczynnik interakcji zgodnie z tabelą B1 załącznika B:

k_{yy} = C_{my} \cdot (1 ({\bar{λ}}_{y} - 0.2) \cdot \frac{N_{Ed}}{χ_{y} \cdot \frac{N_{Rk}}{γ_{M 1}}}) \leq C_{my} \cdot (1 0.8 \cdot \frac{N_{Ed}}{χ_{y} \cdot \frac{N_{Rk}}{γ_{M 1}}})

Współczynnik interakcji zgodnie z załącznikiem B, tabela B1

Współczynnik momentu równoważnego C_my zgodnie z tabelą B.3:

α_{h} = \frac{M_{h}}{M_{s}} = \frac{0.00 kNm}{79.22 kNm} = 0

C_{my} = 0.95 + 0.05 \cdot α_{h} = 0.95

{\bar{λ}}_{y} = 0.448

N_{Rk} = A \cdot f_{y} = 180.60 {cm}^{2} \cdot 23.5 \frac{kN}{{cm}^{2}} = 4244.1 kN

k_{yy} = 0.95 \cdot (1 (0.448 - 0.2) \cdot \frac{2000 kN}{0.907 \cdot \frac{4244.10 kN}{1.0}}) = 1.07

k_{yy, \max} = 0.95 \cdot (1 0.8 \cdot \frac{2000 kN}{0.907 \cdot \frac{4244.10 kN}{1.0}}) = 1.34

1.07 < 1.34

Współczynnik momentu zastępczego

Zgodnie z EN 1993-1-1, 6.3.2.3:

χ_{LT} = \frac{1}{ϕ_{LT} \sqrt{ϕ_{LT}^{2} - β \cdot {\bar{λ}}_{LT}^{2}}}

ϕ_{LT} = 0.5 \cdot [1 α_{LT} \cdot ({\bar{λ}}_{LT} - {\bar{λ}}_{LT 0}) β \cdot {\bar{λ}}_{LT}^{2}]

Obliczenia zgodnie z EN 1993-1-1, 6.3.2.3

Zgodnie z EN 1993-1-1, Tab. 6.5:

\frac{h}{b} = \frac{360 mm}{300 mm} = 1.20 < 2

Obliczenia zgodnie z EN 1993-1-1, Tabela 6.5

→ Krzywa zwichrzenia BC_LT : b

Zgodnie z EN 1993-1-1, Tab. 6.3:

α_{LT} = 0.34

β = 0.75

λ_{LT 0} = 0.40

M_{cr} = C_{1} \cdot \frac{π^{2} \cdot E \cdot I_{z}}{{(k \cdot L)}^{2}} \cdot (\sqrt{{(\frac{k}{k_{W}})}^{2} \cdot \frac{I_{W}}{I_{z}} + \frac{{(k \cdot L)}^{2} \cdot G \cdot I_{t}}{π^{2} \cdot E \cdot I_{z}} + {(C_{2} \cdot z_{g})}^{2}} - C_{2} \cdot z_{g})

k = 1.0

k_{w} = 1.0

Wymiarowanie zgodnie z EN 1993-1-1, Tablica 6.3

C₁ i C₂ z tabeli 3.2 NCCI: Sprężysty moment krytyczny zwichrzenia [5] (kompatybilne dokumenty dodatkowe do Eurokodu 3):
C₁ = 1,127
C₂ = 0,454

Odległość od punktu przyłożenia obciążenia do środka ścinania z_g= 18 cm.

M_{cr} = 1.127 \cdot \frac{π^{2} \cdot 21000 \frac{kN}{{cm}^{2}} \cdot 10140 {cm}^{4}}{{(1 \cdot 650 cm)}^{2}} \cdot (\sqrt{{(\frac{1}{1})}^{2} \cdot \frac{2883000 {cm}^{6}}{10140 {cm}^{4}} + \frac{{(1.0 \cdot 650 cm)}^{2} \cdot 8076.92 \frac{kN}{{cm}^{2}} \cdot 292.5 {cm}^{4}}{π^{2} \cdot 21000 \frac{kN}{{cm}^{2}} \cdot 10140 {cm}^{4}} + {(0.454 \cdot 18 cm)}^{2}} - 0.454 \cdot 18 cm)

M_{cr} = 115310 kNcm = 1153.10 kNm

{\bar{λ}}_{LT} = \sqrt{\frac{W_{pl, y} \cdot f_{y}}{M_{cr}}} = \sqrt{\frac{2683 {cm}^{3} \cdot 23.5 \frac{kN}{{cm}^{2}}}{115310 kNcm}} = 0.739

ϕ_{LT} = 0.5 \cdot [1 0.34 \cdot (0.739 - 0.4) 0.75 \cdot 0 . 739^{2}] = 0.762

χ_{LT} = \frac{1}{0.762 \sqrt{0 . 762^{2} - 0.75 \cdot 0 . 739^{2}}} = 0.85 < 1

Oblicz warunek projektowy

Zgodnie z EN 1993-1-1, Tab. 6,7:

M_{y, Rk} = f_{y} \cdot W_{pl, y} = 23.5 \frac{kN}{{cm}^{2}} \cdot 2683 {cm}^{3} = 63050.5 kNcm = 630.51 kNm

Obliczanie My,Rk

Warunek nośności dla wyboczenia wokół głównej osi bezwładności:

\frac{N_{Ed}}{\frac{χ_{y} \cdot N_{Rk}}{γ_{M 1}}} k_{yy} \cdot \frac{M_{y, Ed}}{χ_{LT} \cdot \frac{M_{y, Rk}}{γ_{M 1}}} \leq 1

\frac{2000 kN}{\frac{0.907 \cdot 4244.10 kN}{1.0}} 1.072 \cdot \frac{79.22 kNm}{0.85 \cdot \frac{630.51 kNm}{1.0}} = 0.67 \leq 1

Obliczenia wyboczenia wokół osi mocnej

Warunek nośności dla wyboczenia wokół „słabej” osi bezwładności:

\frac{N_{Ed}}{\frac{χ_{z} \cdot N_{Rk}}{γ_{M 1}}} k_{zy} \cdot \frac{M_{y, Ed}}{χ_{LT} \cdot \frac{M_{y, Rk}}{γ_{M 1}}} \leq 1

\frac{2000 kN}{\frac{0.585 \cdot 4244.10 kN}{1.0}} 0.894 \cdot \frac{79.22 kNm}{0.85 \cdot \frac{630.51 kNm}{1.0}} = 0.93 \leq 1

Obliczenia wyboczenia wokół słabej osi

→ Warunki nośności zostały spełnione.

Baza informacji

KB 001622 | Analiza stateczności słupa przy działaniu siły normalnej i zginaniu

Autor

Pani Matula zapewnia wsparcie techniczne dla naszych klientów.

Odnośniki

Oprogramowanie do analizy statyczno -wytrzymałościowej konstrukcji stalowych

Odniesienia

Eurokod 3: Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych - Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków. (2010). Berlin: Beuth Verlag GmbH
Oprogramowanie firmy Dlubal. (2020). Instrukcja obsługi RF-/STEEL EC3. Tiefenbach: Dlubal Software, Juni 2020.
Albert, A. (2018). Schneider – Bautabellen für Ingenieure mit Berechnungshinweisen und Beispielen (23. red.). Kolonia: Dziennik Federalny
Kuhlmann, U.; Feldmann, M.; Lindner, J.; C. Müllera; i R. Stroetmann (2014). Eurocode 3 Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten - Band 1: Reguły ogólne a projektowanie - DIN EN 1993-1-1 z załącznikiem krajowym, komentarzem i przykładami. Berlin: Beuth.
Biuro, A. NCCI: Elastisches kritisches Biegedrillknickmoment. Aachen: RWTH, 2010

Pobrane

Model do artykułu technicznego | Plik RSTAB 8

352 KB

;