Analiza stateczności słupa przy działaniu siły normalnej i zginaniu

  • Baza informacji

Artykuł o tematyce technicznej

Artykuł został przetłumaczony przez Google Translator

Podgląd oryginalnego tekstu

W tym artykule technicznym, za pomocą modułu dodatkowego RF-/STEEL EC3, zostanie zaprojektowana kolumna przegubowa z działającą centralnie siłą osiową i obciążeniem liniowym działającym na silną oś, zgodnie z EN 1993-1-1.

Założenia dotyczące układu, obciążenia, siły wewnętrzne i własności przekroju zostały już wyjaśnione we wcześniejszym artykule i dlatego nie będą ponownie omawiane.

Rysunek 01 - Układ konstrukcyjny

Wymiarowanie na siłę osiową i moment zginający zgodnie z EN 1993-1-1, 6.3.3 [1]

Elementy poddane zginaniu i ściskaniu zwykle muszą spełniać następujące wymagania.

Warunek dla wyboczenia giętnego:
$\frac{{\mathrm N}_{\mathrm{Ed}}}{\displaystyle\frac{{\mathrm\chi}_{\mathrm z}\;\cdot\;{\mathrm N}_{\mathrm{Rk}}}{{\mathrm\gamma}_{\mathrm M1}}}\;+\;{\mathrm k}_{\mathrm{zy}\;}\cdot\frac{{\mathrm M}_{\mathrm y,\mathrm{Ed}}}{{\mathrm\chi}_{\mathrm{LT}}\;\cdot\;{\displaystyle\frac{{\mathrm M}_{\mathrm y,\mathrm{Rk}}}{{\mathrm\gamma}_{\mathrm M1}}}}\;\leq\;1$

Warunek dla wyboczenia giętno-skrętnego:
$\frac{{\mathrm N}_{\mathrm{Ed}}}{\displaystyle\frac{{\mathrm\chi}_{\mathrm y}\;\cdot\;{\mathrm N}_{\mathrm{Rk}}}{{\mathrm\gamma}_{\mathrm M1}}}\;+\;{\mathrm k}_{\mathrm{yy}\;}\cdot\frac{{\mathrm M}_{\mathrm y,\mathrm{Ed}}}{{\mathrm\chi}_{\mathrm{LT}}\;\cdot\;{\displaystyle\frac{{\mathrm M}_{\mathrm y,\mathrm{Rk}}}{{\mathrm\gamma}_{\mathrm M1}}}}\;\leq\;1$

Wyboczenie giętne względem „słabej” osi bezwładności

$\frac{{\mathrm N}_{\mathrm{Ed}}}{\displaystyle\frac{{\mathrm\chi}_{\mathrm z}\;\cdot\;{\mathrm N}_{\mathrm{Rk}}}{{\mathrm\gamma}_{\mathrm M1}}}\;+\;{\mathrm k}_{\mathrm{zy}\;}\cdot\frac{{\mathrm M}_{\mathrm y,\mathrm{Ed}}}{{\mathrm\chi}_{\mathrm{LT}}\;\cdot\;{\displaystyle\frac{{\mathrm M}_{\mathrm y,\mathrm{Rk}}}{{\mathrm\gamma}_{\mathrm M1}}}}\;\leq\;1$

Długość efektywna słupa o podporach przegubowych wynosi Lcr = 6,50 m.

Zgodnie z EN 1993-1-1, 6.3.1.2:
$\mathrm\chi\;=\;\frac1{\mathrm\phi\;+\;\sqrt{\mathrm\phi^{2\;}-\;\overline{\mathrm\lambda}^2}}\;\leq\;1\\\mathrm\phi\;=\;0.5\;\cdot\;\left[1\;+\;\mathrm\alpha\;\cdot\;\left(\overline{\mathrm\lambda}\;-\;0.2\right)\;+\;\overline{\mathrm\lambda}^2\;\right]\\{\overline{\mathrm\lambda}}_{\mathrm z}\;=\;\sqrt{\frac{\mathrm A\;\cdot\;{\mathrm f}_{\mathrm y}}{{\mathrm N}_{\mathrm{cr},\mathrm z}}}\\{\mathrm N}_{\mathrm{cr},\mathrm z}\;=\;\frac{\mathrm\pi^2\;\cdot\;\mathrm E\;\cdot\;{\mathrm I}_{\mathrm z}}{\mathrm l^2}\;=\;\frac{\mathrm\pi^2\;\cdot\;21,000\;\mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2\;\cdot\;10.140\;\mathrm{cm}^4}{\left(650\;\mathrm{cm}\right)^2}\;=\;4,974.28\;\mathrm{kN}\\{\overline{\mathrm\lambda}}_{\mathrm z}\;=\;\sqrt{\frac{180.6\;\mathrm{cm}^2\;\cdot23.5\;\mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2}{4,974.28\;\mathrm{kN}}}\;=\;0.924$

Wybór krzywej wyboczeniowej zgodnie z tabelą 6.2:
$\frac{\mathrm h}{\mathrm b}\;=\;\frac{360\;\mathrm{mm}}{300\;\mathrm{mm}}\;=\;1.2\;\leq\;1.2\\{\mathrm t}_{\mathrm f}\;=\;22.5\;\mathrm{mm}\;\leq\;100\;\mathrm{mm}$

Wychylenie prostopadle do osi Z: Krzywa wyboczeniowa BSCz : C

Tabela 6.1 pokazuje współczynnik imperfekcji α = 0,49.
$\mathrm\phi\;=\;0.5\;\cdot\;\left[1\;+\;0.49\;\cdot\;\left(0.924\;-\;0.2\right)\;+\;0.924^2\right]\;=\;1.104\\{\mathrm\chi}_{\mathrm z}\;=\;\frac1{1.104\;+\;\sqrt{1.104^2\;-\;0.924^2}}\;=\;0.585\;\leq\;1.0$

Dla dwuteowników i prostokątnych przekrojów zamkniętych, które poddawane są jedynie ściskaniu i zginaniu, można przyjąć współczynnik kzy = 0.

W rezultacie formuła przyjmuje postać:
$\frac{{\mathrm N}_{\mathrm{Ed}}}{\displaystyle\frac{{\mathrm\chi}_{\mathrm z}\;\cdot\;{\mathrm N}_{\mathrm{Rk}}}{{\mathrm\gamma}_{\mathrm M1}}}\;\leq\;1\\{\mathrm N}_{\mathrm{Rk}\;}=\;\mathrm A\;\cdot\;{\mathrm f}_{\mathrm y}\;=\;180.60\;\mathrm{cm}^2\;\cdot\;23.5\;\frac{\mathrm{kN}}{\mathrm{cm}^2}\;=\;\;4,244.1\;\mathrm{kN}\\\frac{2,000\;\mathrm{kN}}{\displaystyle\frac{0.585\;\cdot\;4,244.1\;\mathrm{kN}}1}\;=\;0.81\;\leq\;1$

→ Warunek nośności został spełniony.

Obliczenia dla wyboczenia skrętnego

Długość efektywna słupa o podporach przegubowych wynosi Lcr = 6,50 m.

Zgodnie z EN 1993-1-1, 6.3.1.2:
$\mathrm\chi\;=\;\frac1{\mathrm\phi\;+\;\sqrt{\mathrm\phi^{2\;}-\;\overline{\mathrm\lambda}^2}}\;\leq\;1\\\mathrm\phi\;=\;0.5\;\cdot\;\left[1\;+\;\mathrm\alpha\;\cdot\;\left(\overline{\mathrm\lambda}\;-\;0.2\right)\;+\;\overline{\mathrm\lambda}^2\;\right]\\{\overline{\mathrm\lambda}}_{\mathrm z}\;=\;\sqrt{\frac{\mathrm A\;\cdot\;{\mathrm f}_{\mathrm y}}{{\mathrm N}_{\mathrm{cr},\mathrm y}}}\\{\mathrm N}_{\mathrm{cr},\mathrm y}\;=\;\frac{\mathrm\pi^2\;\cdot\;\mathrm E\;\cdot\;{\mathrm I}_{\mathrm y}}{\mathrm l^2}\;=\;\frac{\mathrm\pi^2\;\cdot\;21,000\;\mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2\;\cdot\;43,190\;\mathrm{cm}^4}{\left(650\;\mathrm{cm}\right)^2}\;=\;21,187.3\;\mathrm{kN}\\{\overline{\mathrm\lambda}}_{\mathrm z}\;=\;\sqrt{\frac{180.6\;\mathrm{cm}^2\;\cdot23.5\;\mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2}{21,187.3\;\mathrm{kN}}}\;=\;0.924$

Krzywa wyboczeniowa zgodnie z tabelą 6.2:
$\frac{\mathrm h}{\mathrm b}\;=\;\frac{360\;\mathrm{mm}}{300\;\mathrm{mm}}\;=\;1.2\;\leq\;1.2\\{\mathrm t}_{\mathrm f}\;=\;22.5\;\mathrm{mm}\;\leq\;100\;\mathrm{mm}$

Wychylenie prostopadłe do osi y: Krzywa wyboczeniowa BSCz : b
Tabela 6.1 przedstawia współczynnik imperfekcji α = 0,34.
$\mathrm\phi\;=\;0.5\;\cdot\;\left[1\;+\;0.34\;\cdot\;\left(0.448\;-\;0.2\right)\;+\;0.448^2\right]\;=\;0.642\\{\mathrm\chi}_{\mathrm y}\;=\;\frac1{0.642\;+\;\sqrt{0.642^2\;-\;0.448^2}}\;=\;0.907\;\leq\;1.0$

Współczynnik interakcji zgodnie z tabelą B1 załącznika B:
${\mathrm k}_{\mathrm{yy}}\;=\;{\mathrm C}_{\mathrm{my}}\;\cdot\;\left(1\;+\;\left({\overline{\mathrm\lambda}}_{\mathrm y}\;-\;0.2\right)\;\cdot\;\frac{{\mathrm N}_{\mathrm{Ed}}}{{\mathrm\chi}_{\mathrm y}\;\cdot\;{\displaystyle\frac{{\mathrm N}_{\mathrm{Rk}}}{{\mathrm\gamma}_{\mathrm M1}}}}\right)\;\leq\;{\mathrm C}_{\mathrm{my}}\;\cdot\;\left(1\;+\;0.8\;\cdot\;\frac{{\mathrm N}_{\mathrm{Ed}}}{{\mathrm\chi}_{\mathrm y}\;\cdot\;{\displaystyle\frac{{\mathrm N}_{\mathrm{Rk}}}{{\mathrm\gamma}_{\mathrm M1}}}}\right)$

Współczynnik momentu równoważnego Cmy zgodnie z tabelą B.3:
${\mathrm\alpha}_{\mathrm h}\;=\;\frac{{\mathrm M}_{\mathrm h}}{{\mathrm M}_{\mathrm s}}\;=\;\frac{0.00\;\mathrm{kNm}}{79.22\;\mathrm{kNm}}\;=\;0\\{\mathrm C}_{\mathrm{my}}\;=\;0.95\;+\;0.05\;\cdot\;{\mathrm\alpha}_{\mathrm h}\;=\;0.95\\{\overline{\mathrm\lambda}}_{\mathrm y}\;=\;0.448\\{\mathrm N}_{\mathrm{Rk}}\;=\;\mathrm A\;\cdot\;{\mathrm f}_{\mathrm y}\;=\;180.60\;\mathrm{cm}^2\;\cdot\;23.5\;\frac{\mathrm{kN}}{\mathrm{cm}^2\;\;}\;=\;4,244.1\;\mathrm{kN}\\{\mathrm k}_{\mathrm{yy}}\;=\;0.95\;\cdot\;\left(1\;+\;\left(0.448\;-\;0.2\right)\;\cdot\;\frac{2,000\;\mathrm{kN}}{0.907\;\cdot\;{\displaystyle\frac{4,244.10\;\mathrm{kN}}{1.0}}}\right)\;=\;1.07\\{\mathrm k}_{\mathrm{yy},\max}\;=\;0.95\;\cdot\;\left(1\;+\;0.8\;\cdot\;\frac{2,000\;\mathrm{kN}}{0.907\;\cdot\;{\displaystyle\frac{4,244.10\;\mathrm{kN}}{1.0}}}\right)\;=\;1.34\\1.07\;<\;1.34$

Zgodnie z EN 1993-1-1, 6.3.2.3:
${\mathrm\chi}_{\mathrm{LT}}\;=\;\frac1{{\mathrm\phi}_{\mathrm{LT}}\;+\;\sqrt{{\mathrm\phi}_{\mathrm{LT}}^2\;-\;\mathrm\beta\;\cdot\;{\overline{\mathrm\lambda}}_{\mathrm{LT}}^2}}\\{\mathrm\phi}_{\mathrm{LT}}\;=\;0.5\;\cdot\;\left[1\;+\;{\mathrm\alpha}_{\mathrm{LT}}\;\cdot\;\left({\overline{\mathrm\lambda}}_{\mathrm{LT}}\;-\;{\overline{\mathrm\lambda}}_{\mathrm{LT}0}\right)\;+\;\mathrm\beta\;\cdot\;{\overline{\mathrm\lambda}}_{\mathrm{LT}}^2\right]$

Zgodnie z EN 1993-1-1, Tab. 6.5:
$\frac{\mathrm h}{\mathrm b}\;=\;\frac{360\;\mathrm{mm}}{300\;\mathrm{mm}}\;=\;1.20\;<\;2$ → Krzywa wyboczeniowa BSCLT: b

Zgodnie z EN 1993-1-1, Tab. 6.3:
${\mathrm\alpha}_{\mathrm{LT}}\;=\;0.34\\\mathrm\beta\;=\;0.75\\{\mathrm\lambda}_{\mathrm{LT}0}\;=\;0.40\\{\mathrm M}_{\mathrm{cr}}\;=\;{\mathrm C}_1\;\cdot\;\frac{\mathrm\pi^2\;\cdot\;\mathrm E\;\cdot\;{\mathrm I}_{\mathrm z}}{\left(\mathrm k\;\cdot\;\mathrm L\right)^2}\;\cdot\;\left(\sqrt{\left(\frac{\mathrm k}{{\mathrm k}_{\mathrm W}}\right)\;\cdot\;\frac{{\mathrm I}_{\mathrm W}}{{\mathrm I}_{\mathrm z}}\;+\;\frac{\left(\mathrm k\;\cdot\;\mathrm L\right)^2\;\cdot\;\mathrm G\;\cdot\;{\mathrm I}_{\mathrm t}}{\mathrm\pi^2\;\cdot\;\mathrm E\;\cdot\;{\mathrm I}_{\mathrm z}}\;+\left({\mathrm C}_2\;\cdot\;{\mathrm z}_{\mathrm g}\right)^2\;}\;-\;{\mathrm C}_2\;\cdot\;{\mathrm z}_{\mathrm g}\;\right)\\\mathrm k\;=\;1.0\\{\mathrm k}_{\mathrm w}\;=\;1.0$

C1 i C2 z tabeli 3.2 NCCI: Sprężysty moment krytyczny przy zwichrzeniu [5] (kompatybilne dokumenty dodatkowe do Eurokodu 3):
C1 = 1,127
C2 = 0,454

Odległość od punktu przyłożenia obciążenia do środka ścinania zg = 18 cm.

${\mathrm M}_{\mathrm{cr}}\;=\;1.127\;\cdot\;\frac{\mathrm\pi^2\;\cdot\;21,000\;{\displaystyle\frac{\mathrm{kN}}{\mathrm{cm}^2}}\;\cdot\;10,140\;\mathrm{cm}^4}{\left(1\;\cdot\;650\;\mathrm{cm}\right)^2}\;\cdot\;\left(\sqrt{\left(\frac11\right)\;\cdot\;\frac{2,883,000\;\mathrm{cm}^6}{10,140\;\mathrm{cm}^4}\;+\;\frac{\left(1.0\;\cdot\;650\;\mathrm{cm}\right)^2\;\cdot\;8,076.92\;{\displaystyle\frac{\mathrm{kN}}{\mathrm{cm}^2}}\;\cdot\;292.5\;\mathrm{cm}^4}{\mathrm\pi^2\;\cdot\;21,000\;{\displaystyle\frac{\mathrm{kN}}{\mathrm{cm}^2}}\;\cdot\;10,140\;\mathrm{cm}^4}\;+\;\left(0.454\;\cdot\;18\;\mathrm{cm}\right)^2\;}\;-\;0.454\;\cdot\;18\;\mathrm{cm}\;\right)\\{\mathrm M}_{\mathrm{cr}}\;=\;115,310\;\mathrm{kNcm}\;=\;1,153.10\;\mathrm{kNm}\\{\overline{\mathrm\lambda}}_{\mathrm{LT}}\;=\;\sqrt{\frac{{\mathrm W}_{\mathrm{pl},\mathrm y}\;\cdot\;{\mathrm f}_{\mathrm y}}{{\mathrm M}_{\mathrm{cr}}}}\;=\;\sqrt{\frac{2,683\;\mathrm{cm}^3\;\cdot\;23.5\;{\displaystyle\frac{\mathrm{kN}}{\mathrm{cm}^2}}}{115,310\;\mathrm{kNcm}}}\;=\;0.739\\{\mathrm\phi}_{\mathrm{LT}}\;=\;0.5\;\cdot\;\left[1\;+\;0.34\;\cdot\;\left(0.739\;-\;0.4\right)\;+\;0.75\;\cdot\;0.739^2\right]\;=\;0.762\\{\mathrm\chi}_{\mathrm{LT}}\;=\;\frac1{0.762\;+\;\sqrt{0.762^2\;-\;0.75\;\cdot\;0.739^2}}\;=\;0.85\;<\;1$

Zgodnie z EN 1993-1-1, Tab. 6,7:
${\mathrm M}_{\mathrm y,\mathrm{Rk}}\;=\;{\mathrm f}_{\mathrm y}\;\cdot\;{\mathrm W}_{\mathrm{pl},\mathrm y}\;=\;23.5\;\frac{\mathrm{kN}}{\mathrm{cm}^{2\;}}\;\cdot\;2,683\;\mathrm{cm}^3\;=\;63,050.5\;\mathrm{kNcm}\;=\;630.51\;\mathrm{kNm}$

Warunek nośności dla wyboczenia wokół głównej osi bezwładności:
$\frac{{\mathrm N}_{\mathrm{Ed}}}{\displaystyle\frac{{\mathrm\chi}_{\mathrm y}\;\cdot\;{\mathrm N}_{\mathrm{Rk}}}{{\mathrm\gamma}_{\mathrm M1}}}\;+\;{\mathrm k}_{\mathrm{yy}\;}\cdot\;\frac{{\mathrm M}_{\mathrm y,\mathrm{Ed}}}{{\mathrm\chi}_{\mathrm{LT}}\;\cdot\;{\displaystyle\frac{{\mathrm M}_{\mathrm y,\mathrm{Rk}}}{{\mathrm\gamma}_{\mathrm M1}}}}\;\leq\;1\\\frac{2,000\;\mathrm{kN}}{\displaystyle\frac{0.907\;\cdot\;4,244,10\;\mathrm{kN}}{1.0}}\;+\;1.072\;\cdot\;\frac{79.22\;\mathrm{kNm}}{0.85\;\cdot\;{\displaystyle\frac{630.51\;\mathrm{kNm}}{1.0}}}\;=\;0.67\;\leq\;1$

Warunek nośności dla wyboczenia wokół „słabej” osi bezwładności:
$\frac{{\mathrm N}_{\mathrm{Ed}}}{\displaystyle\frac{{\mathrm\chi}_{\mathrm z}\;\cdot\;{\mathrm N}_{\mathrm{Rk}}}{{\mathrm\gamma}_{\mathrm M1}}}\;+\;{\mathrm k}_{\mathrm{zy}\;}\cdot\;\frac{{\mathrm M}_{\mathrm y,\mathrm{Ed}}}{{\mathrm\chi}_{\mathrm{LT}}\;\cdot\;{\displaystyle\frac{{\mathrm M}_{\mathrm y,\mathrm{Rk}}}{{\mathrm\gamma}_{\mathrm M1}}}}\;\leq\;1\\\frac{2,000\;\mathrm{kN}}{\displaystyle\frac{0.585\;\cdot\;4,244,10\;\mathrm{kN}}{1.0}}\;+\;0.894\;\cdot\;\frac{79.22\;\mathrm{kNm}}{0.85\;\cdot\;{\displaystyle\frac{630.51\;\mathrm{kNm}}{1.0}}}\;=\;0.93\;\leq\;1$

→ Warunki nośności zostały spełnione.

Autor

Dipl.-Ing. (BA) Sandy Matula

Dipl.-Ing. (BA) Sandy Matula

Customer Support

Pani Matula zapewnia wsparcie techniczne dla naszych klientów.

Słowa kluczowe

obliczenia Stateczność Analiza stateczności słupa Słup przegubowy Siła osiowa Zginanie Wyboczenie giętne

Literatura

[1]   Eurocode 3: Design of steel structures - Part 1‑1: General rules and rules for buildings; EN 1993‑1‑1:2010‑12
[2]   Manual RF-/STEEL EC3. (2020). Tiefenbach: Dlubal Software.
[3]   Albert, A. (2018). Schneider - Bautabellen für Ingenieure mit Berechnungshinweisen und Beispielen (23rd ed.). Cologne: Bundesanzeiger.
[4]   Kuhlmann, U.; Feldmann, M.; Lindner, J.; Müller, C.; Stroetmann, R.: Eurocode 3 Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten - Band 1: Allgemeine Regeln und Hochbau - DIN EN 1993-1-1 mit Nationalem Anhang, Kommentar und Beispiele. Berlin: Beuth, 2014
[5]   Bureau, A.: NCCI: Elastisches kritisches Biegedrillknickmoment. Aachen: RWTH, 2010

Do pobrania

Linki

Skomentuj...

Skomentuj...

  • Odwiedziny 987x
  • Zaktualizowane 26. października 2020

Kontakt

Mają Państwo pytania lub potrzebują porady?
Zapraszamy do bezpłatnego kontaktu z nami drogą mailową, poprzez czat lub forum lub odwiedzenia naszej strony z FAQ z użytecznymi wskazówkami i rozwiązaniami.

+48 (32) 782 46 26

+48 730 358 225

info@dlubal.pl

RFEM Program główny
RFEM 5.xx

Program główny

Oprogramowanie do obliczeń płaskich i przestrzennych układów konstrukcyjnych, obejmujących płyty, ściany, powłoki, pręty (belki), bryły i elementy kontaktowe, z wykorzystaniem Metody Elementów Skończonych (MES)

Cena pierwszej licencji
3 540,00 USD
RFEM Konstrukcje stalowe i aluminiowe
RF-STEEL EC3 5.xx

Moduł dodatkowy

Wymiarowanie prętów stalowych wg EC 3

Cena pierwszej licencji
1 480,00 USD
RSTAB Program główny
RSTAB 8.xx

Program główny

Oprogramowanie do obliczania konstrukcji ramowych, belkowych i szkieletowych, wykonujące obliczenia liniowe i nieliniowe sił wewnętrznych, odkształceń i reakcji podporowych

Cena pierwszej licencji
2 550,00 USD
RSTAB Konstrukcje stalowe i aluminiowe
STEEL EC3 8.xx

Moduł dodatkowy

Wymiarowanie prętów stalowych wg EC 3

Cena pierwszej licencji
1 480,00 USD