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26. Februar 2020

Stabilitätsnachweis einer Stütze unter Normalkraft und Biegung

In diesem Fachbeitrag soll eine Pendelstütze mit einer mittig angreifenden Normalkraft und einer auf die starke Achse wirkenden Linienlast mit Hilfe des Zusatzmoduls RF-/STAHL EC3 nach EN 1993-1-1 nachgewiesen werden.

Die Systemannahmen, Belastungen, Schnittgrößen und der Querschnittsnachweis wurden bereits in einem früheren Beitrag erläutert und werden daher nicht erneut angesprochen.

System

Nachweis unter Normalkraft und Biegemoment nach EN 1993-1-1, 6.3.3 [1]

Bauteile welche durch Biegung und Druck beansprucht werden, müssen in der Regel folgende Anforderungen erfüllen.

Nachweis gegen Biegeknicken:

\frac{N_{Ed}}{\frac{χ_{z} \cdot N_{Rk}}{γ_{M 1}}} k_{zy} \cdot \frac{M_{y, Ed}}{χ_{LT} \cdot \frac{M_{y, Rk}}{γ_{M 1}}} \leq 1

Formel 1

Nachweis gegen Biegedrillknicken:

\frac{N_{Ed}}{\frac{χ_{y} \cdot N_{Rk}}{γ_{M 1}}} k_{yy} \cdot \frac{M_{y, Ed}}{χ_{LT} \cdot \frac{M_{y, Rk}}{γ_{M 1}}} \leq 1

Formel 2

Nachweis gegen Biegeknicken um die schwache Achse

\frac{N_{Ed}}{\frac{χ_{z} \cdot N_{Rk}}{γ_{M 1}}} k_{zy} \cdot \frac{M_{y, Ed}}{χ_{LT} \cdot \frac{M_{y, Rk}}{γ_{M 1}}} \leq 1

Formel 1

Die Knicklänge der Pendelstütze beträgt L_cr = 6,50 m.

Nach EN 1993-1-1, 6.3.1.2:

χ = \frac{1}{ϕ \sqrt{ϕ^{2} - {\bar{λ}}^{2}}} \leq 1

ϕ = 0, 5 \cdot [1 α \cdot (\bar{λ} - 0, 2) {\bar{λ}}^{2}]

{\bar{λ}}_{z} = \sqrt{\frac{A \cdot f_{y}}{N_{cr, z}}}

N_{cr, z} = \frac{π^{2} \cdot E \cdot I_{z}}{l^{2}} = \frac{π^{2} \cdot 21.000 kN / {cm}^{2} \cdot 10.140 {cm}^{4}}{{(650 cm)}^{2}} = 4.974, 28 kN

{\bar{λ}}_{z} = \sqrt{\frac{180, 6 {cm}^{2} \cdot 23, 5 kN / {cm}^{2}}{4.974, 28 kN}} = 0, 924

Formel 3

Auswahl der Knicklinie nach Tabelle 6.2:

\frac{h}{b} = \frac{360 mm}{300 mm} = 1, 2 \leq 1, 2

t_{f} = 22, 5 mm \leq 100 mm

Formel 4

Ausweichen rechtwinklig zur z-Achse: Knickspannungslinie KSL_z: c

Aus Tabelle 6.1 ergibt sich der Imperfektionsbeiwert α = 0,49.

ϕ = 0, 5 \cdot [1 0, 49 \cdot (0, 924 - 0, 2) 0, 924^{2}] = 1, 104

χ_{z} = \frac{1}{1, 104 \sqrt{1, 104^{2} - 0, 924^{2}}} = 0, 585 \leq 1, 0

Formel 5

Für I-, H- und rechteckige Hohlquerschnitte, welche nur auf Druck und Biegung belastet werden, darf der Beiwert k_zy = 0 angenommen werden.

Dadurch ergibt sich der Nachweis wie folgt:

\frac{N_{Ed}}{\frac{χ_{z} \cdot N_{Rk}}{γ_{M 1}}} \leq 1

N_{Rk} = A \cdot f_{y} = 180, 60 {cm}^{2} \cdot 23, 5 \frac{kN}{{cm}^{2}} = 4.244, 1 kN

\frac{2.000 kN}{\frac{0, 585 \cdot 4.244, 1 kN}{1}} = 0, 81 \leq 1

Formel 6

→ Nachweis ist erfüllt.

Nachweis gegen Biegedrillknicken

Die Knicklänge der Pendelstütze beträgt auch hier L_cr = 6,50 m.

Nach EN 1993-1-1, 6.3.1.2:

χ = \frac{1}{ϕ \sqrt{ϕ^{2} - {\bar{λ}}^{2}}} \leq 1

ϕ = 0, 5 \cdot [1 α \cdot (\bar{λ} - 0, 2) {\bar{λ}}^{2}]

{\bar{λ}}_{z} = \sqrt{\frac{A \cdot f_{y}}{N_{cr, y}}}

N_{cr, y} = \frac{π^{2} \cdot E \cdot I_{y}}{l^{2}} = \frac{π^{2} \cdot 21.000 kN / {cm}^{2} \cdot 43.190 {cm}^{4}}{{(650 cm)}^{2}} = 21.187, 3 kN

{\bar{λ}}_{z} = \sqrt{\frac{180, 6 {cm}^{2} \cdot 23, 5 kN / {cm}^{2}}{21.187, 3 kN}} = 0, 924

Formel 7

Knicklänge nach Tabelle 6.2:

\frac{h}{b} = \frac{360 mm}{300 mm} = 1, 2 \leq 1, 2

t_{f} = 22, 5 mm \leq 100 mm

Formel 4

Ausweichen rechtwinklig zur y-Achse: Knickspannungslinie KSL_z: b
Aus Tabelle 6.1 ergibt sich der Imperfektionsbeiwert α = 0,34.

ϕ = 0, 5 \cdot [1 0, 34 \cdot (0, 448 - 0, 2) 0, 448^{2}] = 0, 642

χ_{y} = \frac{1}{0, 642 \sqrt{0, 642^{2} - 0, 448^{2}}} = 0, 907 \leq 1, 0

Formel 8

Interaktionsfaktor nach Anhang B, Tab. B1:

k_{yy} = C_{my} \cdot (1 ({\bar{λ}}_{y} - 0, 2) \cdot \frac{N_{Ed}}{χ_{y} \cdot \frac{N_{Rk}}{γ_{M 1}}}) \leq C_{my} \cdot (1 0, 8 \cdot \frac{N_{Ed}}{χ_{y} \cdot \frac{N_{Rk}}{γ_{M 1}}})

Formel 9

Äquivalenter Momentenbeiwert C_my nach Tabelle B.3:

α_{h} = \frac{M_{h}}{M_{s}} = \frac{0, 00 kNm}{79, 22 kNm} = 0

C_{my} = 0, 95 + 0, 05 \cdot α_{h} = 0, 95

{\bar{λ}}_{y} = 0, 448

N_{Rk} = A \cdot f_{y} = 180, 60 {cm}^{2} \cdot 23, 5 \frac{kN}{{cm}^{2}} = 4.244, 1 kN

k_{yy} = 0, 95 \cdot (1 (0, 448 - 0, 2) \cdot \frac{2.000 kN}{0, 907 \cdot \frac{4.244, 10 kN}{1, 0}}) = 1, 07

k_{yy, \max} = 0, 95 \cdot (1 0, 8 \cdot \frac{2.000 kN}{0, 907 \cdot \frac{4.244, 10 kN}{1, 0}}) = 1, 34

1, 07 < 1, 34

Formel 10

Nach EN 1993-1-1, 6.3.2.3:

χ_{LT} = \frac{1}{ϕ_{LT} \sqrt{ϕ_{LT}^{2} - β \cdot {\bar{λ}}_{LT}^{2}}}

ϕ_{LT} = 0, 5 \cdot [1 α_{LT} \cdot ({\bar{λ}}_{LT} - {\bar{λ}}_{LT 0}) β \cdot {\bar{λ}}_{LT}^{2}]

Formel 11

Nach EN 1993-1-1, Tab. 6.5:

\frac{h}{b} = \frac{360 mm}{300 mm} = 1, 20 < 2

Formel 12

→ Biegedrillknicklinie KL_LT: b

Nach EN 1993-1-1, Tab. 6.3:

α_{LT} = 0, 34

β = 0, 75

λ_{LT 0} = 0, 40

M_{cr} = C_{1} \cdot \frac{π^{2} \cdot E \cdot I_{z}}{{(k \cdot L)}^{2}} \cdot (\sqrt{(\frac{k}{k_{W}}) \cdot \frac{I_{W}}{I_{z}} \frac{{(k \cdot L)}^{2} \cdot G \cdot I_{t}}{π^{2} \cdot E \cdot I_{z}} {(C_{2} \cdot z_{g})}^{2}} - C_{2} \cdot z_{g})

k = 1, 0

k_{w} = 1, 0

Formel 13

C₁ und C₂ aus Tabelle 3.2 NCCI: Elastisches kritisches Biegedrillknickmoment [5] (kompatible Ergänzungsdokumente zu Eurocode 3):
C₁ = 1,127
C₂ = 0,454

Abstand des Lastangriffspunktes zum Schubmittelpunkt z_g = 18 cm.

M_{cr} = 1, 127 \cdot \frac{π^{2} \cdot 21.000 \frac{kN}{{cm}^{2}} \cdot 10.140 {cm}^{4}}{{(1 \cdot 650 cm)}^{2}} \cdot (\sqrt{(\frac{1}{1}) \cdot \frac{2.883.000 {cm}^{6}}{10.140 {cm}^{4}} \frac{{(1, 0 \cdot 650 cm)}^{2} \cdot 8.076, 92 \frac{kN}{{cm}^{2}} \cdot 292, 5 {cm}^{4}}{π^{2} \cdot 21.000 \frac{kN}{{cm}^{2}} \cdot 10.140 {cm}^{4}} {(0, 454 \cdot 18 cm)}^{2}} - 0, 454 \cdot 18 cm)

M_{cr} = 115.310 kNcm = 1.153, 10 kNm

{\bar{λ}}_{LT} = \sqrt{\frac{W_{pl, y} \cdot f_{y}}{M_{cr}}} = \sqrt{\frac{2.683 {cm}^{3} \cdot 23, 5 \frac{kN}{{cm}^{2}}}{115.310 kNcm}} = 0, 739

ϕ_{LT} = 0, 5 \cdot [1 0, 34 \cdot (0, 739 - 0, 4) 0, 75 \cdot 0, 739^{2}] = 0, 762

χ_{LT} = \frac{1}{0, 762 \sqrt{0, 762^{2} - 0, 75 \cdot 0, 739^{2}}} = 0, 85 < 1

Formel 14

Nach EN 1993-1-1, Tab. 6.7:

M_{y, Rk} = f_{y} \cdot W_{pl, y} = 23, 5 \frac{kN}{{cm}^{2}} \cdot 2.683 {cm}^{3} = 63.050, 5 kNcm = 630, 51 kNm

Formel 15

Nachweis Knicken um die starke Achse:

\frac{N_{Ed}}{\frac{χ_{y} \cdot N_{Rk}}{γ_{M 1}}} k_{yy} \cdot \frac{M_{y, Ed}}{χ_{LT} \cdot \frac{M_{y, Rk}}{γ_{M 1}}} \leq 1

\frac{2.000 kN}{\frac{0, 907 \cdot 4.244.10 kN}{1, 0}} 1, 072 \cdot \frac{79, 22 kNm}{0, 85 \cdot \frac{630, 51 kNm}{1, 0}} = 0, 67 \leq 1

Formel 16

Nachweis Knicken um die schwache Achse:

\frac{N_{Ed}}{\frac{χ_{z} \cdot N_{Rk}}{γ_{M 1}}} k_{zy} \cdot \frac{M_{y, Ed}}{χ_{LT} \cdot \frac{M_{y, Rk}}{γ_{M 1}}} \leq 1

\frac{2.000 kN}{\frac{0, 585 \cdot 4.244.10 kN}{1, 0}} 0, 894 \cdot \frac{79, 22 kNm}{0, 85 \cdot \frac{630, 51 kNm}{1, 0}} = 0, 93 \leq 1

Formel 17

→ Nachweise erfüllt.

Autor

Frau Matula kümmert sich im Kundensupport um die Anliegen unserer Anwender.

Links

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Referenzen

Eurocode 3: Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten − Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau. Beuth Verlag GmbH, Berlin, 2010
Handbuch RF-/STAHL EC3. Tiefenbach: Dlubal Software, Juni 2020.
Albert, A.: Schneider - Bautabellen für Ingenieure mit Berechnungshinweisen und Beispielen, 23. Auflage. Köln: Bundesanzeiger, 2018
Kuhlmann, U.; Feldmann, M.; Lindner, J.; Müller, C.; Stroetmann, R.: Eurocode 3 Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten - Band 1: Allgemeine Regeln und Hochbau - DIN EN 1993-1-1 mit Nationalem Anhang, Kommentar und Beispiele. Berlin: Beuth, 2014
Bureau, A.: NCCI: Elastisches kritisches Biegedrillknickmoment. Aachen: RWTH, 2010

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Preis der Erstlizenz 1.930,00 USD

RFEM 6 | Bemessung

Mauerwerksbemessung für RFEM 6

Add-On

Das RFEM-Add-On Mauerwerksbemessung ermöglicht Ihnen die Bemessung von Mauerwerk mittels Finite-Elemente-Methode. Es wurde im Rahmen des Forschungsprojektes DDMaS (Digitizing the design of masonry structures) entwickelt. Das Materialmodell bildet hierbei das nichtlineare Verhalten der Ziegel-Mörtelkombination in Form einer Makromodellierung ab.

Preis der Erstlizenz 1.660,00 USD

RFEM 6 | Bemessung

Aluminiumbemessung für RFEM 6

Add-On

Das Add-On Aluminiumbemessung führt die Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit und Gebrauchstauglichkeit von Stäben aus Aluminium nach verschiedenen Normen.

Preis der Erstlizenz 1.750,00 USD

RSTAB 9 | Bemessung

Betonbemessung für RSTAB 9

Add-On

Das Add-On Betonbemessung ermöglicht die Bemessung von Stäben und Stützen nach internationalen Normen.

Preis der Erstlizenz 2.550,00 USD

RSTAB 9 | Bemessung

Holzbemessung für RSTAB 9

Add-On

Das Add-On Holzbemessung führt Tragfähigkeits-, Gebrauchstauglichkeits- und Brandschutznachweise für Holzstäbe nach unterschiedlichen Normen.

Preis der Erstlizenz 1.930,00 USD

RSTAB 9 | Bemessung

Aluminiumbemessung für RSTAB 9

Add-On

Das Add-On Aluminiumbemessung führt die Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit und Gebrauchstauglichkeit von Stäben aus Aluminium nach verschiedenen Normen.

Preis der Erstlizenz 1.750,00 USD

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