9004x

Dipl.-Ing. (BA) Sandy Matula

2020-02-26

轴力和弯矩作用下柱子的稳定性分析

在本技术文章中，将根据 EN 1993-1-1 使用附加模块 RF-/STEEL EC3 设计一个承受中心轴力和线荷载的铰接柱。

该体系中的假设，荷载，内力和截面设计已经在较早的文章中进行了介绍，因此不再赘述。

系统

轴力和弯矩下的设计按照规范EN 1993-1-1，6.3.3 [1]

受弯和受压的构件通常必须满足以下要求。

弯曲屈曲设计：

\frac{N_{Ed}}{\frac{χ_{z} \cdot N_{Rk}}{γ_{M 1}}} k_{zy} \cdot \frac{M_{y, Ed}}{χ_{LT} \cdot \frac{M_{y, Rk}}{γ_{M 1}}} \leq 1

公式 1

弯扭屈曲设计：

\frac{N_{Ed}}{\frac{χ_{y} \cdot N_{Rk}}{γ_{M 1}}} k_{yy} \cdot \frac{M_{y, Ed}}{χ_{LT} \cdot \frac{M_{y, Rk}}{γ_{M 1}}} \leq 1

公式 2

绕短轴弯曲屈曲验算

\frac{N_{Ed}}{\frac{χ_{z} \cdot N_{Rk}}{γ_{M 1}}} k_{zy} \cdot \frac{M_{y, Ed}}{χ_{LT} \cdot \frac{M_{y, Rk}}{γ_{M 1}}} \leq 1

公式 1

铰接柱的有效长度L_cr = 6.50 m。

根据EN 1993-1-1，6.3.1.2：

χ = \frac{1}{ϕ \sqrt{ϕ^{2} - {\bar{λ}}^{2}}} \leq 1

ϕ = 0, 5 \cdot [1 α \cdot (\bar{λ} - 0, 2) {\bar{λ}}^{2}]

{\bar{λ}}_{z} = \sqrt{\frac{A \cdot f_{y}}{N_{cr, z}}}

N_{cr, z} = \frac{π^{2} \cdot E \cdot I_{z}}{l^{2}} = \frac{π^{2} \cdot 21.000 kN / {cm}^{2} \cdot 10.140 {cm}^{4}}{{(650 cm)}^{2}} = 4.974, 28 kN

{\bar{λ}}_{z} = \sqrt{\frac{180, 6 {cm}^{2} \cdot 23, 5 kN / {cm}^{2}}{4.974, 28 kN}} = 0, 924

公式 3

按照表6.2选择屈曲曲线：

\frac{h}{b} = \frac{360 mm}{300 mm} = 1, 2 \leq 1, 2

t_{f} = 22, 5 mm \leq 100 mm

公式 4

垂直于z轴的不稳定性：屈曲应力曲线BSC_z ： C

缺陷系数α= 0.49见表6.1。

ϕ = 0, 5 \cdot [1 0, 49 \cdot (0, 924 - 0, 2) 0, 924^{2}] = 1, 104

χ_{z} = \frac{1}{1, 104 \sqrt{1, 104^{2} - 0, 924^{2}}} = 0, 585 \leq 1, 0

公式 5

对于I，H和仅受压缩和弯曲的矩形空心截面，可以假设系数k_zy = 0。

得出的设计结果如下：

\frac{N_{Ed}}{\frac{χ_{z} \cdot N_{Rk}}{γ_{M 1}}} \leq 1

N_{Rk} = A \cdot f_{y} = 180, 60 {cm}^{2} \cdot 23, 5 \frac{kN}{{cm}^{2}} = 4.244, 1 kN

\frac{2.000 kN}{\frac{0, 585 \cdot 4.244, 1 kN}{1}} = 0, 81 \leq 1

公式 6

→设计完成。

弯扭屈曲验算

铰接柱的有效长度L_cr = 6.50 m。

根据EN 1993-1-1，6.3.1.2：

χ = \frac{1}{ϕ \sqrt{ϕ^{2} - {\bar{λ}}^{2}}} \leq 1

ϕ = 0, 5 \cdot [1 α \cdot (\bar{λ} - 0, 2) {\bar{λ}}^{2}]

{\bar{λ}}_{z} = \sqrt{\frac{A \cdot f_{y}}{N_{cr, y}}}

N_{cr, y} = \frac{π^{2} \cdot E \cdot I_{y}}{l^{2}} = \frac{π^{2} \cdot 21.000 kN / {cm}^{2} \cdot 43.190 {cm}^{4}}{{(650 cm)}^{2}} = 21.187, 3 kN

{\bar{λ}}_{z} = \sqrt{\frac{180, 6 {cm}^{2} \cdot 23, 5 kN / {cm}^{2}}{21.187, 3 kN}} = 0, 924

公式 7

有效长度按照表6.2：

\frac{h}{b} = \frac{360 mm}{300 mm} = 1, 2 \leq 1, 2

t_{f} = 22, 5 mm \leq 100 mm

公式 4

垂直于y轴的不稳定性：屈曲应力曲线BSC_z ： B
缺陷系数α= 0.34见表6.1。

ϕ = 0, 5 \cdot [1 0, 34 \cdot (0, 448 - 0, 2) 0, 448^{2}] = 0, 642

χ_{y} = \frac{1}{0, 642 \sqrt{0, 642^{2} - 0, 448^{2}}} = 0, 907 \leq 1, 0

公式 8

相互作用系数按照附录B表B1：

k_{yy} = C_{my} \cdot (1 ({\bar{λ}}_{y} - 0, 2) \cdot \frac{N_{Ed}}{χ_{y} \cdot \frac{N_{Rk}}{γ_{M 1}}}) \leq C_{my} \cdot (1 0, 8 \cdot \frac{N_{Ed}}{χ_{y} \cdot \frac{N_{Rk}}{γ_{M 1}}})

公式 9

等效弯矩系数C_my根据表B.3：

α_{h} = \frac{M_{h}}{M_{s}} = \frac{0, 00 kNm}{79, 22 kNm} = 0

C_{my} = 0, 95 + 0, 05 \cdot α_{h} = 0, 95

{\bar{λ}}_{y} = 0, 448

N_{Rk} = A \cdot f_{y} = 180, 60 {cm}^{2} \cdot 23, 5 \frac{kN}{{cm}^{2}} = 4.244, 1 kN

k_{yy} = 0, 95 \cdot (1 (0, 448 - 0, 2) \cdot \frac{2.000 kN}{0, 907 \cdot \frac{4.244, 10 kN}{1, 0}}) = 1, 07

k_{yy, \max} = 0, 95 \cdot (1 0, 8 \cdot \frac{2.000 kN}{0, 907 \cdot \frac{4.244, 10 kN}{1, 0}}) = 1, 34

1, 07 < 1, 34

公式 10

根据EN 1993-1-1，6.3.2.3：

χ_{LT} = \frac{1}{ϕ_{LT} \sqrt{ϕ_{LT}^{2} - β \cdot {\bar{λ}}_{LT}^{2}}}

ϕ_{LT} = 0, 5 \cdot [1 α_{LT} \cdot ({\bar{λ}}_{LT} - {\bar{λ}}_{LT 0}) β \cdot {\bar{λ}}_{LT}^{2}]

公式 11

根据EN 1993-1-1，Tab。 6.5：

f r a c m a t h r m h m a t h r m b = f r a c 360 m a t h r m m m 300 m a t h r m m m = 1.20 <; 2

公式 12

→ 弯扭屈曲线 KL_LT : B

根据EN 1993-1-1，Tab。 6.3：

α_{LT} = 0, 34

β = 0, 75

λ_{LT 0} = 0, 40

M_{cr} = C_{1} \cdot \frac{π^{2} \cdot E \cdot I_{z}}{{(k \cdot L)}^{2}} \cdot (\sqrt{(\frac{k}{k_{W}}) \cdot \frac{I_{W}}{I_{z}} \frac{{(k \cdot L)}^{2} \cdot G \cdot I_{t}}{π^{2} \cdot E \cdot I_{z}} {(C_{2} \cdot z_{g})}^{2}} - C_{2} \cdot z_{g})

k = 1, 0

k_{w} = 1, 0

公式 13

表3.2 NCCI中的C₁和C₂ ：弹性临界扭转屈曲弯矩[5] （与欧洲规范3兼容）
C₁ = 1.127
C₂ = 0.454

荷载作用点到剪力中心的距离z_g = 18 cm。

M_{cr} = 1, 127 \cdot \frac{π^{2} \cdot 21.000 \frac{kN}{{cm}^{2}} \cdot 10.140 {cm}^{4}}{{(1 \cdot 650 cm)}^{2}} \cdot (\sqrt{(\frac{1}{1}) \cdot \frac{2.883.000 {cm}^{6}}{10.140 {cm}^{4}} \frac{{(1, 0 \cdot 650 cm)}^{2} \cdot 8.076, 92 \frac{kN}{{cm}^{2}} \cdot 292, 5 {cm}^{4}}{π^{2} \cdot 21.000 \frac{kN}{{cm}^{2}} \cdot 10.140 {cm}^{4}} {(0, 454 \cdot 18 cm)}^{2}} - 0, 454 \cdot 18 cm)

M_{cr} = 115.310 kNcm = 1.153, 10 kNm

{\bar{λ}}_{LT} = \sqrt{\frac{W_{pl, y} \cdot f_{y}}{M_{cr}}} = \sqrt{\frac{2.683 {cm}^{3} \cdot 23, 5 \frac{kN}{{cm}^{2}}}{115.310 kNcm}} = 0, 739

ϕ_{LT} = 0, 5 \cdot [1 0, 34 \cdot (0, 739 - 0, 4) 0, 75 \cdot 0, 739^{2}] = 0, 762

χ_{LT} = \frac{1}{0, 762 \sqrt{0, 762^{2} - 0, 75 \cdot 0, 739^{2}}} = 0, 85 < 1

公式 14

根据EN 1993-1-1，Tab。 6.7：

M_{y, Rk} = f_{y} \cdot W_{pl, y} = 23, 5 \frac{kN}{{cm}^{2}} \cdot 2.683 {cm}^{3} = 63.050, 5 kNcm = 630, 51 kNm

公式 15

绕长轴屈曲的验算：

\frac{N_{Ed}}{\frac{χ_{y} \cdot N_{Rk}}{γ_{M 1}}} k_{yy} \cdot \frac{M_{y, Ed}}{χ_{LT} \cdot \frac{M_{y, Rk}}{γ_{M 1}}} \leq 1

\frac{2.000 kN}{\frac{0, 907 \cdot 4.244.10 kN}{1, 0}} 1, 072 \cdot \frac{79, 22 kNm}{0, 85 \cdot \frac{630, 51 kNm}{1, 0}} = 0, 67 \leq 1

公式 16

绕短轴屈曲的设计：

\frac{N_{Ed}}{\frac{χ_{z} \cdot N_{Rk}}{γ_{M 1}}} k_{zy} \cdot \frac{M_{y, Ed}}{χ_{LT} \cdot \frac{M_{y, Rk}}{γ_{M 1}}} \leq 1

\frac{2.000 kN}{\frac{0, 585 \cdot 4.244.10 kN}{1, 0}} 0, 894 \cdot \frac{79, 22 kNm}{0, 85 \cdot \frac{630, 51 kNm}{1, 0}} = 0, 93 \leq 1

公式 17

→检查完成。

作者

Matula 为我们的客户提供技术支持。

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参考

EC 3.(2009)。欧洲规范 3： Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten − Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau. Beuth Verlag GmbH, Berlin, 2010
Handbuch RF-/STAHL EC3. Tiefenbach: Dlubal Software, Juni 2020.
Albert, A.: Schneider - Bautabellen für Ingenieure mit Berechnungshinweisen und Beispielen, 23. Auflage. Köln: Bundesanzeiger, 2018
Kuhlmann, U.; Feldmann, M.; Lindner, J.; Müller, C.; Stroetmann, R.: Eurocode 3 Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten - Band 1: Allgemeine Regeln und Hochbau - DIN EN 1993-1-1 mit Nationalem Anhang, Kommentar und Beispiele. Berlin: Beuth, 2014
Bureau, A.: NCCI: Elastisches kritisches Biegedrillknickmoment. Aachen: RWTH, 2010

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