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001622

Dipl.-Ing. (BA) Sandy Matula

2020-02-26

轴力和弯矩作用下柱子的稳定性分析

在本技术文章中，将根据 EN 1993-1-1 使用附加模块 RF-/STEEL EC3 设计一个承受中心轴力和线荷载的铰接柱。

关于结构体系、荷载、内力和截面验算在之前的一篇文章中已经进行了阐述，这里不再重复。

KB | 轴力和弯矩作用柱截面设计

系统

轴力和弯矩作用下的验算按照规范 EN 1993-1-1 中 6.3.3 {%板件#Refer [1]]]

受弯和受压的构件通常必须满足以下要求：

弯曲屈曲验算:

\frac{N_{Ed}}{\frac{χ_{z} \cdot N_{Rk}}{γ_{M 1}}} k_{zy} \cdot \frac{M_{y, Ed}}{χ_{LT} \cdot \frac{M_{y, Rk}}{γ_{M 1}}} \leq 1

弯曲屈曲验算

弯扭屈曲验算：

\frac{N_{Ed}}{\frac{χ_{y} \cdot N_{Rk}}{γ_{M 1}}} k_{yy} \cdot \frac{M_{y, Ed}}{χ_{LT} \cdot \frac{M_{y, Rk}}{γ_{M 1}}} \leq 1

弯扭屈曲验算

绕弱轴弯曲屈曲验算

\frac{N_{Ed}}{\frac{χ_{z} \cdot N_{Rk}}{γ_{M 1}}} k_{zy} \cdot \frac{M_{y, Ed}}{χ_{LT} \cdot \frac{M_{y, Rk}}{γ_{M 1}}} \leq 1

弯曲屈曲验算

铰接柱的有效长度为 L_cr = 6,50 m。

根据 EN 1993-1-1 中 6.3.1.2：

χ = \frac{1}{ϕ \sqrt{ϕ^{2} - {\bar{λ}}^{2}}} \leq 1

ϕ = 0.5 \cdot [1 α \cdot (\bar{λ} - 0.2) {\bar{λ}}^{2}]

{\bar{λ}}_{z} = \sqrt{\frac{A \cdot f_{y}}{N_{cr, z}}}

N_{cr, z} = \frac{π^{2} \cdot E \cdot I_{z}}{l^{2}} = \frac{π^{2} \cdot 21000 kN / {cm}^{2} \cdot 10140 {cm}^{4}}{{(650 cm)}^{2}} = 4974.28 kN

{\bar{λ}}_{z} = \sqrt{\frac{180.6 {cm}^{2} \cdot 23.5 kN / {cm}^{2}}{4974.28 kN}} = 0.924

按照规范 EN 1993-1-1 中 6.3.1.2 计算

按照表 6.2选择屈曲曲线：

\frac{h}{b} = \frac{360 mm}{300 mm} = 1.2 \leq 1.2

t_{f} = 22.5 mm \leq 100 mm

按照表 6.2选择屈曲曲线

垂直于 z 轴的失稳：屈曲应力曲线 BSC_z ： C

如表 6.1 所示，缺陷系数 α = 0.49。

ϕ = 0.5 \cdot [1 0.49 \cdot (0.924 - 0.2) 0 . 924^{2}] = 1.104

χ_{z} = \frac{1}{1.104 \sqrt{1 . 104^{2} - 0 . 924^{2}}} = 0.585 \leq 1.0

设计验算

对于 I 形、H 形和矩形空心截面，系数 k_zy = 0。

从而使荷载组合计算如下：

\frac{N_{Ed}}{\frac{χ_{z} \cdot N_{Rk}}{γ_{M 1}}} \leq 1

N_{Rk} = A \cdot f_{y} = 180.60 {cm}^{2} \cdot 23.5 \frac{kN}{{cm}^{2}} = 4244.1 kN

\frac{2000 kN}{\frac{0.585 \cdot 4244.1 kN}{1}} = 0.81 \leq 1

用结果设计

→ 满足设计要求。

弯扭屈曲验算

铰接柱的有效长度为 L_cr = 6,50 m。

根据 EN 1993-1-1 中 6.3.1.2：

χ = \frac{1}{ϕ \sqrt{ϕ^{2} - {\bar{λ}}^{2}}} \leq 1

ϕ = 0.5 \cdot [1 α \cdot (\bar{λ} - 0.2) {\bar{λ}}^{2}]

{\bar{λ}}_{z} = \sqrt{\frac{A \cdot f_{y}}{N_{cr, y}}}

N_{cr, y} = \frac{π^{2} \cdot E \cdot I_{y}}{l^{2}} = \frac{π^{2} \cdot 21000 kN / {cm}^{2} \cdot 43190 {cm}^{4}}{{(650 cm)}^{2}} = 21187.3 kN

{\bar{λ}}_{z} = \sqrt{\frac{180.6 {cm}^{2} \cdot 23.5 kN / {cm}^{2}}{21187.3 kN}} = 0.924

弯扭屈曲验算按照 1973 年根据 EN 1993-1-1, 6.3.1.2

按照表 6.2 的有效长度：

\frac{h}{b} = \frac{360 mm}{300 mm} = 1.2 \leq 1.2

t_{f} = 22.5 mm \leq 100 mm

按照表 6.2选择屈曲曲线

垂直于 y 轴的失稳：屈曲应力曲线 BSC_z ： B
如表 6.1 所示，缺陷系数 α = 0.34。

ϕ = 0.5 \cdot [1 0.34 \cdot (0.448 - 0.2) 0 . 448^{2}] = 0.642

χ_{y} = \frac{1}{0.642 \sqrt{0 . 642^{2} - 0 . 448^{2}}} = 0.907 \leq 1.0

弯扭屈曲分析计算

附录B表B1中的相关性系数：

k_{yy} = C_{my} \cdot (1 ({\bar{λ}}_{y} - 0.2) \cdot \frac{N_{Ed}}{χ_{y} \cdot \frac{N_{Rk}}{γ_{M 1}}}) \leq C_{my} \cdot (1 0.8 \cdot \frac{N_{Ed}}{χ_{y} \cdot \frac{N_{Rk}}{γ_{M 1}}})

附录B表B1中规定的相关性系数

等效弯矩系数 C_my按照表 B.3：

α_{h} = \frac{M_{h}}{M_{s}} = \frac{0.00 kNm}{79.22 kNm} = 0

C_{my} = 0.95 + 0.05 \cdot α_{h} = 0.95

{\bar{λ}}_{y} = 0.448

N_{Rk} = A \cdot f_{y} = 180.60 {cm}^{2} \cdot 23.5 \frac{kN}{{cm}^{2}} = 4244.1 kN

k_{yy} = 0.95 \cdot (1 (0.448 - 0.2) \cdot \frac{2000 kN}{0.907 \cdot \frac{4244.10 kN}{1.0}}) = 1.07

k_{yy, \max} = 0.95 \cdot (1 0.8 \cdot \frac{2000 kN}{0.907 \cdot \frac{4244.10 kN}{1.0}}) = 1.34

1.07 < 1.34

等效弯矩系数

根据规范 EN 1993-1-1 中 6.3.2.3：

χ_{LT} = \frac{1}{ϕ_{LT} \sqrt{ϕ_{LT}^{2} - β \cdot {\bar{λ}}_{LT}^{2}}}

ϕ_{LT} = 0.5 \cdot [1 α_{LT} \cdot ({\bar{λ}}_{LT} - {\bar{λ}}_{LT 0}) β \cdot {\bar{λ}}_{LT}^{2}]

按照 EN 1993-1-1 中 6.3.2.3 计算

根据 EN 1993-1-1 6.5：

\frac{h}{b} = \frac{360 mm}{300 mm} = 1.20 < 2

按照欧洲规范 EN 1993-1-1 中表格 6.5 计算

→ 弯扭屈曲曲线 BC_LT ： B

根据 EN 1993-1-1 6.3：

α_{LT} = 0.34

β = 0.75

λ_{LT 0} = 0.40

M_{cr} = C_{1} \cdot \frac{π^{2} \cdot E \cdot I_{z}}{{(k \cdot L)}^{2}} \cdot (\sqrt{{(\frac{k}{k_{W}})}^{2} \cdot \frac{I_{W}}{I_{z}} + \frac{{(k \cdot L)}^{2} \cdot G \cdot I_{t}}{π^{2} \cdot E \cdot I_{z}} + {(C_{2} \cdot z_{g})}^{2}} - C_{2} \cdot z_{g})

k = 1.0

k_{w} = 1.0

设计按照 EN 1993-1-1 中表格 6.3

表 3.2 NCCI 中的 C₁和 C₂ ：弹性临界弯扭屈曲弯矩 ]（欧洲规范 3 兼容的附加文件）：
C₁ = 1.127
C₂ = 0.454

荷载作用点到剪切中心的距离 z_g = 18 cm。

M_{cr} = 1.127 \cdot \frac{π^{2} \cdot 21000 \frac{kN}{{cm}^{2}} \cdot 10140 {cm}^{4}}{{(1 \cdot 650 cm)}^{2}} \cdot (\sqrt{{(\frac{1}{1})}^{2} \cdot \frac{2883000 {cm}^{6}}{10140 {cm}^{4}} + \frac{{(1.0 \cdot 650 cm)}^{2} \cdot 8076.92 \frac{kN}{{cm}^{2}} \cdot 292.5 {cm}^{4}}{π^{2} \cdot 21000 \frac{kN}{{cm}^{2}} \cdot 10140 {cm}^{4}} + {(0.454 \cdot 18 cm)}^{2}} - 0.454 \cdot 18 cm)

M_{cr} = 115310 kNcm = 1153.10 kNm

{\bar{λ}}_{LT} = \sqrt{\frac{W_{pl, y} \cdot f_{y}}{M_{cr}}} = \sqrt{\frac{2683 {cm}^{3} \cdot 23.5 \frac{kN}{{cm}^{2}}}{115310 kNcm}} = 0.739

ϕ_{LT} = 0.5 \cdot [1 0.34 \cdot (0.739 - 0.4) 0.75 \cdot 0 . 739^{2}] = 0.762

χ_{LT} = \frac{1}{0.762 \sqrt{0 . 762^{2} - 0.75 \cdot 0 . 739^{2}}} = 0.85 < 1

计算设计验算

根据 EN 1993-1-1 6.7：

M_{y, Rk} = f_{y} \cdot W_{pl, y} = 23.5 \frac{kN}{{cm}^{2}} \cdot 2683 {cm}^{3} = 63050.5 kNcm = 630.51 kNm

计算 My,Rk

绕强轴屈曲验算：

\frac{N_{Ed}}{\frac{χ_{y} \cdot N_{Rk}}{γ_{M 1}}} k_{yy} \cdot \frac{M_{y, Ed}}{χ_{LT} \cdot \frac{M_{y, Rk}}{γ_{M 1}}} \leq 1

\frac{2000 kN}{\frac{0.907 \cdot 4244.10 kN}{1.0}} 1.072 \cdot \frac{79.22 kNm}{0.85 \cdot \frac{630.51 kNm}{1.0}} = 0.67 \leq 1

绕强轴屈曲验算

绕弱轴的屈曲验算：

\frac{N_{Ed}}{\frac{χ_{z} \cdot N_{Rk}}{γ_{M 1}}} k_{zy} \cdot \frac{M_{y, Ed}}{χ_{LT} \cdot \frac{M_{y, Rk}}{γ_{M 1}}} \leq 1

\frac{2000 kN}{\frac{0.585 \cdot 4244.10 kN}{1.0}} 0.894 \cdot \frac{79.22 kNm}{0.85 \cdot \frac{630.51 kNm}{1.0}} = 0.93 \leq 1

绕弱轴屈曲验算

→ 已完成检查。

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知识库 001622 | 法向力和弯曲作用下柱子的稳定性分析

作者

Matula 为我们的客户提供技术支持。

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参考

德国规范(1993)。欧洲规范 3： Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten − Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau. Beuth Verlag GmbH, Berlin, 2010
Dlubal 软件。 (2020)。手册 RF-/STEEL EC3。 Tiefenbach: Dlubal Software, Juni 2020.
A.阿尔伯特 Schneider - Bautabellen für Ingenieure mit Berechnungshinweisen und Beispielen, 23. Auflage. 科隆： Bundesanzeiger, 2018
Kuhlmann, U.; Feldmann, M.; Lindner, J.; Müller, C.; Stroetmann, R.: Eurocode 3 钢结构设计 - 卷 1: 一般规则和建筑 - DIN EN 1993-1-1 与国家附录、注释和示例。柏林: Beuth, 2014
Bureau，A. NCCI: Elastisches kritisches Biegedrillknickmoment. Aachen: RWTH, 2010

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技术文章的模型| RSTAB-8 文件

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