Пластические расчеты сечений с использованием метода частичных внутренних сил

В стальном строительстве поперечные сечения, удовлетворяющие определённым критериям (в EC3 эти требования, например, связаны с классами поперечного сечения 1 и 2), могут рассчитываться в пластическом режиме. Это означает, что напряжения в поперечном сечении могут перераспределяться за счёт "течения" основного материала. В то время как формулы для расчёта пластических предельных внутренних усилий в общепринятых стандартах стального строительства, даже если они существуют, применимы только к выбранным типам сечений и комбинациям внутренних усилий, метод подсечений (TSV) почти универсален. Например, это позволяет экономически рассчитывать элементы, испытывающие нормальную силу, изгиб и смешанную кручение (включая кручение с деформацией). Метод подсечений теперь доступен пользователю в RFEM 6 и RSTAB 9 в "расширенных правилах пластического расчёта" (см. параметры несущей способности в дополнении "Стальной расчёт").

Расширенная пластическая расчёт в настройках расчёта по предельному состоянию

Метод подсечений (TSV) был разработан Киндманном и Фриккелем в Рурском университете Бохума (Германия) и подробно описан в [1]. В программе реализованы две различные варианта этого метода:

1. Метод подсечений с перераспределением

Метод с перераспределением подходит для 2- и 3-пластинных сечений с ортогонально ориентированными частями сечения, что охватывает основные открытые формы профилей в стальном строительстве. Дополнительные решения реализованы для прямоугольных и круглых полых сечений, так что с помощью этого метода можно рассчитывать следующие типы сечений:

• двусторонне-/односторонне-/несимметричные I-профили
• U-/T-/Z-/L-профили
• PI-профили (тип A)
• двусторонне симметричные прямоугольные (RHS)/квадратные (SHS) полые и коробчатые профили
• круглые полые профили (CHS)

Процедура пластического расчёта с использованием метода подсечений с перераспределением выглядит следующим образом:

1. Трансформация внутренних сил из расчёта конструкции в специальную (ȳ-z̄) систему отсчёта (начало для I-профилей, например, находится в середине ребра жесткости)
2. Разделение и расчёт внутренних сил, вызывающих сдвиговые напряжения (поперечные силы и крутящие моменты) на уровне части сечения
3. Разделение и расчёт внутренних сил, вызывающих местный изгиб в частях сечения ортогонально к базовому элементу сечения (например, ребро для I-профилей). Предел текучести при этом снижается за счёт действующих сдвиговых напряжений из пункта 2.
4. Расчёт остальной несущей способности сечения для внутренних сил, вызывающих изгиб в частях сечения параллельно базовому элементу сечения (например, ребро для I-профилей) и нормальной силы.

Следует отметить, что расчёт несущей способности сечения не проводится с полностью пластическим состоянием сечения. Вместо этого на шаге 4 осуществляется проверка с использованием разветвления случаев, находятся ли действующие внутренние силы в определённом диапазоне значений и могут ли быть поглощены сечением. Следовательно, результирующая степень использования расчёта сечения обычно непропорциональна воздействию и предоставляет лишь информацию о успешности (степень использования меньше или равна 1) или неудаче (степень использования больше 1) расчётов сечения.

2. Метод подсечений без перераспределения

Метод подсечений без перераспределения [1] в принципе подходит для всех тонкостенных типов сечений. Процедура для этой вариации расчёта выглядит следующим образом:

1. Деление сечения на его элементы. Можно ввести предельные значения для отношения длины к ширине, из-за которых элемент должен учитываться при расчёте.
2. Определение внутренних сил в каждой части сечения на основе упругих напряжений на концах частей сечения.
3. Расчёт определённых внутренних сил по пластическим предельным внутренним силам части сечения.

Подсечные величины в этой вариации рассчитываются в зависимости от упругого распределения напряжений в каждой части сечения. Пластическое перераспределение нагрузки учитывается только внутри, а не между частями сечения. Тем не менее, по сравнению с чисто упругим расчётом, часто можно достичь значительно более экономичных результатов.

Чтобы избежать перегрузки вывода, в стальном расчёте в каждой точке расчёта отображается только результат расчёта для части сечения с наибольшей степенью использования.

Пример расчёта сечения по методу TSV

Пример расчёта: Несимметричное двутавровое сечение

Выбранный пример также рассматривается в [1] под разделом 10.7.6 и наглядно демонстрирует эффективность метода подсечений. Даже для несимметричных поперечных сечений (здесь IU 322/0/208/234/74/12/25/19/0/0/0/0, f_y = 240 Н/мм²) с общей нагрузкой (нормальная сила + двойной изгиб + смешанное кручение) может быть произведён пластический расчёт сечения:

1. TSV с перераспределением

Из-за небольших отклонений в нагрузке и геометрии сечения, изгибной расчёт нижнего фланца в стальном расчёте незначительно превышен, в то время как в [1] степень использования составляет 100%. Чтобы все-таки полностью объяснить концепцию расчёта на этом этапе, внутренние силы из таблицы 1 уменьшаются на 2,5% и рассчитываются с коэффициентом нагрузки 97,5%.

На первом шаге внутренние силы из (u-v) системы главных осей трансформируются в (ȳ-z̄) систему отсчёта. Система отсчёта начинается в центре тяжести ребра жесткости и ориентирована аналогично глобальной (Y-Z) системе координат на рисунке 2. Угол наклона главной оси α составляет 35,5°:

V_ȳ = V_u * cos(α) - V_v * sin(α) = -430,8 кН

V_z̄ = V_v * cos(α) + V_u * sin(α) = -67,6 кН

M_x̄s = M_xs - V_u * v_M-D + V_v * u_M-D = 70,4 кНм

M_ȳ = M_u * cos(α) - M_v * sin(α) + N * z̄_S-D = 217,4 кНм

M_z̄ = M_v * cos(α) + M_u * sin(α) - N * ȳ_S-D = 199,3 кНм

M_ω̄ = - M_ω + M_u * u_M-D + M_v * v_M-D + N * ω̄ _k = 3,15 кНм²

На втором шаге проверяются сдвиговые напряжения в отдельных частях сечения. Для этого первичные и вторичные крутящие моменты сначала распределяются на фланцевые и ребростные пластины (здесь упрощённый пример для нижнего фланца):

V_y,u = - (V_ȳ * z̄_o + M_x̄s) / (z̄_u - z̄_o) = -452,3 кН

M_xp,u = M_xp * I_T,u / I_T = 1,46 кНм

где I_T,u / I_T описывает долю крутящей жёсткости нижнего фланца к жёсткости всего сечения (здесь 37,6%). Далее определяются соответствующие пластические предельные способности (V_pl,y,u и M_pl,xp,u) части сечения и их использование:

η_τ,u = |M_xp,u| / (2 * M_pl,xp,u) + √((M_xp,u / (2 * M_pl,xp,u))² + (V_y,u / V_y,u)²) = 0,64

На третьем шаге проверяются локальные изгибные моменты фланцев. Нагрузка здесь состоит из изгибного момента M_z̄ и паразитного момента M_ω̄ . Здесь также для примера рассматривается только нижний фланец:

M_Sa,z,u = (- M_z̄ * z̄_o + M_ω̄ ) / (z̄_u - z̄_o) = 111,2 кНм

Проверка проводится с учётом снижения предела текучести из-за сдвига (см. выше) и с учётом параметра эксцентриситета δ:

M_pl,z,u,τ = M_pl,z,u * f_y,d,u * √(1 - (τ_u / τ_u,Rd)²) = 89,8 кНм

η_Mz̄ = (|M_Sa,z,u| / M_pl,z,u,τ) / (1 + δ_u²) = 0,99

Наконец, проверяется, можно ли поглотить действующую нормальную силу N и изгибной момент M_ȳ с "оставшимся" сечением. Для этого последнего шага не существует закрытого аналитического решения. Вместо этого определяется 2-мерное пространство решений и проверяется, находится ли действующая N-M_ȳ-комбинация внутри или вне границ этого пространства решений. Граничная кривая описывается для положительной и отрицательной областей момента с помощью 2 линейных и одной параболической уравнений. С помощью разветвления случаев определяется, какой участок граничной кривой является релевантным для данной нормальной силы. Точные шаги расчёта доступны в [1] или в подробностях результатов стального расчёта. В результате для примера граничная кривая с различными участками показана на рисунке:

Граничная кривая для расчёта взаимодействия продольной силы и изгиба

На рисунке 3 также представлен пример действующей N-M_ȳ комбинации (красный ромб). Сразу видно, что приложенная нагрузка находится в пределах пространства решений граничной кривой, что означает, что расчёт сечения выполнен. Однако неясно, какая оставшаяся "истинная" способность сечения, то есть на сколько можно увеличить комбинацию нагрузок до достижения предельной несущей способности. Пропорциональность между нагрузкой और использованием нарушается нелинейными условиями взаимодействия (уже на втором шаге). Таким образом, "истинное" использование может быть определено только итеративно (то есть в нескольких расчётных шагах с вариацией нагрузки).

2. TSV без перераспределения

Для сравнения, сечение также рассчитывается по TSV без перераспределения. Здесь сначала в каждой части сечения (каждый тонкостенный элемент рассматривается как отдельная часть сечения) определяются упругие нормальные и сдвиговые напряжения на начальных, средних и конечных узлах. Здесь расчёт (как в стальном расчёте) представлен только для основной части сечения (элемент 5 на рисунке 2):

На основании напряжений с учётом размеров рассчитываются пластические подсечные величины частей сечения (здесь часть сечения i = 5):

N₅ = t * l * (σ_x,A + σ_x,E) / 2 = 800,0 кН

M₅ = t * l² * (σ_x,A - σ_x,E) / 12 = 19,0 кНм

V₅ = t * l * (τ_A + 4 * τ_M + τ_E) / 6 = 402,4 кН

M_xp,5 = M_xp * I_T,5 / I_T = 1,1 кНм

Затем проводится проверка сдвиговой несущей способности части сечения:

η_τ,5 = |M_xp,5| / (2 * M_pl,xp,5) + √((M_xp,5 / (2 * M_pl,xp,5))² + (V₅ / V_pl,5)²) = 0,74

Наконец, проверяется взаимодействие нормальной силы с моментом. Резистентность рассчитывается, как и в TSV с перераспределением, с пониженным пределом текучести:

f_y,5,red = f_y,5 * √(1 - (τ₅ / τ_Rd,5)²) = 161,4 Н/мм²

η_N+M,5 = (N₅ / N_pl,τ,5)² + |M₅| / M_pl,τ,5 = 1,611

При исходной нагрузке, представленной в таблице 1, расчёт сечения не выполняется. Итерационный расчёт показывает, что расчёт может быть выполнен при уменьшении нагрузки до 86%.

3. Упругий расчёт сечения

Упругий расчёт сечения с максимальной степенью использования 129% в элементе 5 также значительно превышен. В этом случае максимальный коэффициент нагрузки можно непосредственно определить как обратное значение максимальной степени использования — 77,5%.

Заключение

Пластическая оценка с использованием метода подсечений, если это допустимо, позволяет достичь значительно более экономичного расчёта по сравнению с упругим расчетом сечения. В примере можно добиться увеличения нагрузки на 11% (TSV без перераспределения) или 25,8% (TSV с перераспределением).