Plastické posouzení průřezu metodou dílčích vnitřních sil

V ocelových konstrukcích lze průřezy, které splňují určitá kritéria (v EC 3 jsou tyto požadavky spojeny například s třídou průřezu 1 a 2), posoudit plasticky. To znamená, že napětí vlivem „tečení“ základního materiálu lze redistribuovat. Zatímco vzorce pro výpočet plastických mezních vnitřních sil platí v běžných stavebních normách, pokud vůbec, jen pro vybrané typy průřezů a kombinace vnitřních sil, je metoda dílčích vnitřních sil (MDVS) téměř univerzálně použitelná. Hospodárně navrhnout tak lze například také konstrukční prvky, na které působí normálová síla, ohyb a smíšené kroucení (včetně vázaného kroucení). Metodu dílčích vnitřních sil mají uživatelé nyní k dispozici také v programech RFEM 6 a RSTAB 9 pod „pokročilým plastickým posouzením“ (viz nastavení pro mezní stav únosnosti v addonu „Posouzení ocelových konstrukcí“).

Rozšířené plastické posouzení v nastavení mezního stavu únosnosti

Metodu dílčích vnitřních sil (MDVS) vypracovali Kindmann a Frickel na Ruhrské univerzitě v Bochumi (Německo) a je podrobně popsána v [1]. Do programu byly implementovány dvě různé varianty:

1. Metoda dílčích vnitřních sil s redistribucí

Metoda s redistribucí je vhodná pro průřezy se 2 a 3 plechy s pravoúhlým uspořádáním částí průřezů, a pokrývá tak nejdůležitější otevřené tvary průřezů v ocelových stavbách. Přídavná řešení byla zavedena pro obdélníkové a kruhové duté profily, a touto metodou tak lze posuzovat následující typy průřezů:

• dvouose symetrické/jednoose symetrické/nesymetrické I-profily
• U-/T-/Z-/L-profily
• PI-profily (typ A)
• dvouose symetrické obdélníkové (RHS)/čtvercové (SHS) duté a komorové profily (uzavřené)
• kruhové duté profily (CHS)

Postup při plastickém posouzení metodou dílčích vnitřních sil s redistribucí je následující:

1. Transformace vnitřních sil z výpočtu konstrukce do speciálního (ȳ-z̄) vztažného systému (počátek pro I-profily se stanoví například uprostřed stojiny)
2. Rozdělení a posouzení vnitřních sil, které vyvolávají smyková napětí (posouvající síly a torzní momenty) na rovině části průřezu
3. Rozdělení a posouzení vnitřních sil, které vyvolávají lokální ohyb v částech průřezu kolmo na vztažnou část průřezu (například stojinu u I-profilů). Mez plasticity se přitom redukuje v důsledku působících smykových napětí z bodu 2.
4. Posouzení zbytkové únosnosti průřezu pro vnitřní síly, které vyvolávají ohyb v částech průřezu rovnoběžně se vztažnou částí průřezu (například stojinou u I-profilů) s redukovanou mezí plasticity vlivem smyku plus normálová síla.

Je třeba poznamenat, že posouzení únosnosti průřezu se neprovádí v plně plastickém stavu průřezu. Místo toho se v kroku 4 na základě případového rozlišení ověří, jestli působící vnitřní síly leží v určitém rozmezí hodnot a průřez je může přenášet. Výsledné využití stanovené při posouzení průřezu tak zpravidla není úměrné k zatížení a pouze nás informuje o úspěšném (využití menší nebo rovno jedna 1) nebo neúspěšném (využití větší 1) posouzení průřezu.

2. Metoda dílčích vnitřních sil bez redistribuce

Metoda dílčích vnitřních sil bez redistribuce [1] je v zásadě vhodná pro všechny typy tenkostěnných průřezů. Posouzení při této variantě probíhá následovně:

1. Rozdělení průřezu na jeho prvky. Lze zadat mezní hodnoty pro poměr délky ku šířce, od něhož se má prvek zohlednit při posouzení.
2. Stanovení vnitřních sil v každé části průřezu na základě elastickžch napětí na koncích částí průřezu
3. Posouzení stanovených vnitřních sil oproti plastickým mezním vnitřním silám části průřezu

Dílčí vnitřní síly se tedy spočítají v závislosti na rozdělení elastických napětí v každé části průřezu. Plastická redistribuce namáhání se uvažuje pouze v částech průřezu a nikoli mezi nimi. Nicméně oproti čistě elastickému posouzení lze často dosáhnout výrazně hospodárnějších výsledků.

Aby nebyl nadměrně přetížen výstup, zobrazí se při posouzení ocelové konstrukce v každém místě posouzení vždy jen výsledek pro danou část průřezu s největším využitím.

Příklad posouzení průřezu metodou MDVS

Příklad posouzení: Nesymetrický I-profil

Vybraný příklad se uvádí také v [1] v článku 10.7.6 a velmi jasně ukazuje účinnost metody dílčích vnitřních sil. Také v případě asymetrických průřezů (zde IU 322/0/208/234/74/12/25/19/0/0/0/0, f_y = 240 N/mm²) s obecným namáháním (normálová síla + dvouosý ohyb + smíšené kroucení) lze provést plastické posouzení průřezu:

1. MDVS s redistribucí

Vzhledem k mírným odchylkám v zatížení a geometrii průřezu je posouzení dolní pásnice v ohybu při posouzení ocelové konstrukce mírně překročeno, zatímco v [1] využití vychází 100 %. Nicméně aby bylo možné na tomto místě vysvětlit koncepci posouzení, redukují se vnitřní síly z tabulky 1 o 2, 5 % a počítá se se součinitelem zatížení 97,5 %.

V prvním kroku se vnitřní síly ze systému hlavních os (u-v) transformují do vztažného systému (ȳ-z̄). Vztažný systém má počátek v těžišti plechu stojiny a orientací také odpovídá globálnímu souřadného systému (Y-Z) na obrázku 2. Sklon hlavních os α zde činí 35,5°:

V_ȳ = V_u * cos(α) - V_v * sin(α) = -430,8 kN

V_z̄ = V_v * cos(α) + V_u * sin(α) = -67,6 kN

M_x̄s = M_xs - V_u * v_M-D + V_v * u_M-D = 70,4 kNm

M_ȳ = M_u * cos(α) - M_v * sin(α) + N * z̄_S-D = 217,4 kNm

M_z̄ = M_v * cos(α) + M_u * sin(α) - N * ȳ_S-D = 199,3 kNm

M_ω̄ = - M_ω + M_u * u_M-D + M_v * v_M-D + N * ω̄ _k = 3,15 kNm²

Ve druhém kroku se posoudí smyková napětí v samostatných částech průřezu. Za tímto účelem se příslušné vnitřní síly (posouvající síly a také primární a sekundární torzní momenty) nejdříve rozdělí na desky pásnic a stojiny (zde pro příklad zkráceně pro dolní pásnici):

V_y,u = - (V_ȳ * z̄_o + M_x̄s) / (z̄_u - z̄_o) = -452,3 kN

M_xp,u = M_xp * I_T,u / I_T = 1,46 kNm

přičemž I_T,u / I_T udává podíl torzní tuhosti dolní pásnice na torzní tuhosti celého průřezu (zde 37,6 %). Následně se určí příslušné plastické únosnosti (V_pl,y,u a M_pl,xp,u) části průřezu a využití:

η_τ,u = |M_xp,u| / (2 * M_pl,xp,u) + √((M_xp,u / (2 * M_pl,xp,u))² + (V_y,u / V_y,u)²) = 0,64

Ve třetím kroku se ověří lokální ohybové momenty pásnic. Dílčí namáhání se zde skládá z ohybového momentu M_z̄ a deplanačního bimomentu M_ω̄ . I zde pro příklad budeme řešit pouze dolní pásnici:

M_Sa,z,u = (- M_z̄ * z̄_o + M_ω̄ ) / (z̄_u - z̄_o) = 111,2 kNm

Při posouzení se vychází z redukované meze kluzu v důsledku smykového namáhání (viz výše) a při zohlednění parametru excentricity δ:

M_pl,z,u,τ = M_pl,z,u * f_y,d,u * √(1 - (τ_u / τ_u,Rd)²) = 89,8 kNm

η_Mz̄ = (|M_Sa,z,u| / M_pl,z,u,τ) / (1 + δ_u²) =0,99

Nakonec se ověří, jestli působící normálovou sílu N a ohybový moment M_ȳ může přenášet „zbývající“ průřez. Pro tento poslední krok neexistuje žádné ucelené analytické řešení. Místo toho se určí pro řešení dvourozměrný prostor a ověří se, jestli působící kombinace N-M_ȳ leží uvnitř nebo vně hranic (= interakční křivky) tohoto prostoru. Mezní křivka se popisuje pro kladnou a zápornou oblast momentů dvěma lineárními a jednou parabolickou rovnicí. Případovým rozlišením se ověří, které úseky mezní křivky jsou pro danou normálovou sílu důležité pro posouzení. Pro přesný popis výpočetních kroků, resp. detaily výsledků posouzení ocelové konstrukce odkazujeme na [1]. Výsledná mezní křivka s různými úseky je znázorněna pro tento příklad na následujícím obrázku:

Mezní křivka pro posouzení interakce normálové síly a ohybu

Na obrázku 3 je pro tento příklad vedle mezní křivky znázorněna také působící kombinace N-M_ȳ (červený diamant). Je okamžitě zřejmé, že příslušné namáhání leží v prostoru mezní křivky, a posouzení průřezu je tedy splněno. Není ovšem jasné, jak velká je zbývající "skutečná" kapacita průřezu, tzn. jak je možné zvýšit kombinaci vnitřních sil až do dosažení mezní únosnosti. Úměrnost mezi namáháním a využitím je narušena nelineárními interakčními podmínkami (již ve 2. kroku). "Skutečné" využití tak lze stanovit pouze iteračně (tedy ve více výpočetních krocích při změnách namáhání).

2. MDVS bez redistribuce

Pro porovnání se průřez posoudí také MDVS bez redistribuce. Zde se nejdříve stanoví v každé části průřezu (každý tenkostěnný prvek se přitom považuje za samostatnou část průřezu) elastická normálová a smyková napětí na počátečních, prostředních a koncových uzlech. Zde předvedeme výpočet (jako při posouzení ocelové konstrukce) pouze pro rozhodující část průřezu (prvek 5 na obrázku 2):

Z těchto napětí se pak při zohlednění rozměrů vypočítají plastické dílčí vnitřní síly částí průřezu (zde část průřezu i = 5):

N₅ = t * l * (σ_x,A + σ_x,E) / 2 = 800,0 kN

M₅ = t * l² * (σ_x,A - σ_x,E) / 12 = 19,0 kNm

V₅ = t * l * (τ_A + 4 * τ_M + τ_E) / 6 = 402,4 kN

M_xp,5 = M_xp * I_T,5 / I_T = 1,1 kNm

Následně se posoudí smyková únosnost části průřezu:

η_τ,5 = |M_xp,5| / (2 * M_pl,xp,5) + √((M_xp,5 / (2 * M_pl,xp,5))² + (V₅ / V_pl,5)²) = 0,74

Nakonec se ověří interakce normálové síly a momentů. Hodnoty odolnosti se stanoví s redukovanou mezí kluzu stejně jako v případě MDVS s redistribucí:

f_y,5,red = f_y,5 * √(1 - (τ₅ / τ_Rd,5)²) = 161,4 N/mm²

η_N+M,5 = (N₅ / N_pl,τ,5)² + |M₅| / M_pl,τ,5 = 1,611

S namáháním uvedeným v tabulce 1 tak posouzení průřezu není splněno. Iteračním výpočtem se ukazuje, že posouzení je ještě splněno při snížení namáhání na 86 %.

3. Pružné posouzení průřezu

Pružné posouzení průřezu je při maximálním využití 129 % v prvku 5 také výrazně překročeno. V tomto případě se může maximální součinitel zatížení stanovit přímo z převrácené hodnoty maximálního využití, tedy 77,5 %.

Shrnutí

Plastické posouzení s uplatněním metody dílčích součinitelů spolehlivosti umožňuje, pokud je to přípustné, ve srovnání s pružným posouzením průřezu podstatně hospodárnější návrh. V našem příkladu lze dosáhnout zvýšení zatížení o 11 % (MDVS bez redistribuce), resp. 25,8 % (MDVS s redistribucí).