Plastyczne projektowanie przekroju z wykorzystaniem metody częściowych sił wewnętrznych

W budownictwie stalowym przekroje, które spełniają określone kryteria (w EC3 są to na przykład przekroje klasy 1 i 2), mogą być projektowane w sposób plastyczny. Oznacza to, że naprężenia mogą się przekładać przez uplastycznienie materiału bazowego w przekroju. Podczas gdy wzory do obliczeń plastycznych granicznych wartości przekroju w standardowych normach dotyczących konstrukcji stalowych, jeśli w ogóle, odnoszą się jedynie do wybranych typów przekrojów i kombinacji sił, metoda częściowych sił wewnętrznych (TSV) jest stosowana prawie uniwersalnie. Na przykład elementy narażone na siłę normalną, zginanie i mieszane skręcanie (w tym skręcanie skrępowane) mogą być projektowane ekonomicznie. Metoda częściowych sił wewnętrznych jest teraz dostępna dla użytkowników w RFEM 6 i RSTAB 9 w ramach "rozszerzonych zasad projektowania plastycznego" (patrz ustawienia nośności rozszerzenia "Projektowanie konstrukcji stalowych").

Rozszerzona analiza plastyczna w ustawieniach stanu granicznego nośności

Metoda częściowych sił wewnętrznych (TSV) została opracowana przez Kindmanna i Frickela na Uniwersytecie w Bochum (Niemcy) i jest szczegółowo opisana w [1]. W programie zaimplementowane są dwie różne wersje:

1. Metoda częściowych sił wewnętrznych z redystrybucją

Metoda z redystrybucją jest odpowiednia dla przekrojów 2- i 3-blachowych z ortogonalnie ustawionymi częściami przekrojów, uwzględniając tym samym najważniejsze formy otwartych profili w konstrukcjach stalowych. Dodatkowe rozwiązania są zaimplementowane dla przekrojów prostokątnych i okrągłych, co pozwala na projektowanie następujących typów przekrojów:

• podwójnie/jedno-/niesymetryczne profile typu I
• profile typu U/T/Z/L
• profile typu PI (typ A)
• podwójnie symetryczne prostokątne (RHS)/kwadratowe (SHS) profile skrzynkowe
• okrągłe profile rurowe (CHS)

Przebieg projektowania plastycznego z metodą częściowych sił wewnętrznych z redystrybucją jest następujący:

1. Transformacja sił z obliczeń konstrukcji do specjalnego układu odniesienia (ȳ-z̄) (np. początek przekroju typu I jest ustawiony w środku środnika)
2. Rozkład i obliczanie sił wewnętrznych powodujących naprężenia ścinające (siły tnące i momenty skręcające) na poziomie części przekroju
3. Rozkład i obliczanie sił wewnętrznych powodujących lokalne zginanie w częściach przekroju ortogonalnych do części odniesienia przekroju (np. środnik dla profili I). Granica uplastycznienia zostaje tutaj zmniejszona w wyniku działających naprężeń ścinających z pkt 2.
4. Obliczenia resztkowej nośności przekroju dla sił powodujących zginanie w częściach przekroju równoległych do części odniesienia przekroju (np. środnik dla profili I) (z pomniejszoną granicą uplastycznienia z powodu ścinania) plus siła normalna.

Należy zauważyć, że projektowanie nośności przekroju nie jest prowadzone na podstawie stanu pełnoplastycznego przekroju. Zamiast tego w kroku 4. za pomocą analizy przypadków sprawdza się, czy oddziałujące siły mieszczą się w określonym zakresie wartości i mogą być przejęte przez przekrój. W rezultacie stopień wykorzystania projektowania przekroju nie jest na ogół proporcjonalny do oddziaływania i informuje jedynie o powodzeniu (wykorzystanie mniejsze lub równe 1) lub niepowodzeniu (wykorzystanie większe niż 1) obliczeń przekroju.

2. Metoda częściowych sił wewnętrznych bez redystrybucji

Metoda częściowych sił wewnętrznych bez redystrybucji [1] jest teoretycznie odpowiednia dla wszystkich typów przekrojów cienkościennych. Procedura w tym wariancie obliczeń jest następująca:

1. Podział przekroju na elementy. Można wprowadzić wartości graniczne dla stosunku długości do szerokości, powyżej których element zostanie uwzględniony w obliczeniach.
2. Określenie sił w każdym elemencie przekroju na podstawie naprężeń elastycznych na końcach elementów przekroju.
3. Weryfikacja określonych sił z plastycznymi granicznymi siłami wewnętrznymi elementu przekroju.

Częściowe siły są tutaj zatem obliczane w zależności od rozkładu naprężeń elastycznych w każdym elemencie przekroju. Plastyczna redystrybucja obciążenia występuje jedynie wewnątrz pojedynczego elementu, a nie między wszystkimi elementami przekroju. Niemniej jednak, w porównaniu do wyłącznie elastycznego projektowania, można osiągnąć znacznie bardziej ekonomiczne wyniki.

Aby zachować przejrzystość wyników, w projekcie stali na każdej pozycji projektowej wyświetlane są tylko wyniki dla elementu przekroju z największym stopniem wykorzystania.

Przykład obliczenia przekroju z TSV

Przykład obliczeń: przekrój dwuteowy niesymetryczny

Wybrany przykład jest również omawiany w [1] w rozdziale 10.7.6 i pokazuje bardzo wyraźnie wydajność metody częściowych sił wewnętrznych. Nawet dla niesymetrycznych przekrojów (tutaj IU 322/0/208/234/74/12/25/19/0/0/0/0, f_y = 240 N/mm²) z ogólnym obciążeniem (siła normalna + podwójne zginanie + mieszane skręcanie) można przeprowadzić plastyczne obliczenia przekroju:

1. TSV z redystrybucją

Ze względu na niewielkie odchylenia w obciążeniu i geometrii przekroju, obliczenia zginania dolnego pasa w Projektowaniu konstrukcji stalowych są nieznacznie przekroczone, podczas gdy w [1] daje stopień wykorzystania na poziomie 100%. Aby wyjaśnić koncepcję projektowania w tym miejscu, wartości z tabeli 1 są zredukowane o 2.5% i obliczane z użyciem współczynnika obciążenia 97.5%.

W pierwszym kroku siły z układu osi głównych (u-v) są przekształcane do układu odniesienia (ȳ-z̄). Układ odniesienia ma swój początek w centrum ciężkości środnika i odpowiada także orientacji globalnego układu współrzędnych (Y-Z) na Rys. 2. Kąt nachylenia głównych osi α wynosi tutaj 35.5°:

V_ȳ = V_u * cos(α) - V_v * sin(α) = -430.8 kN

V_z̄ = V_v * cos(α) + V_u * sin(α) = -67.6 kN

M_x̄s = M_xs - V_u * v_M-D + V_v * u_M-D = 70.4 kNm

M_ȳ = M_u * cos(α) - M_v * sin(α) + N * z̄_S-D = 217.4 kNm

M_z̄ = M_v * cos(α) + M_u * sin(α) - N * ȳ_S-D = 199.3 kNm

M_ω̄ = - M_ω + M_u * u_M-D + M_v * v_M-D + N * ω̄ _k = 3.15 kNm²

W drugim kroku weryfikowane są naprężenia ścinające w oddzielnych częściach przekroju. W tym celu najpierw odpowiednie siły (siły tnące oraz pierwotne i wtórne momenty skręcające) są rozdzielane na płyty pasa i środnika (przykładowo i w skrócie dla dolnego pasa):

V_y,u = - (V_ȳ * z̄_o + M_x̄s) / (z̄_u - z̄_o) = -452.3 kN

M_xp,u = M_xp * I_T,u / I_T = 1.46 kNm

gdzie I_T,u / I_T opisuje udział sztywności skręcającej dolnego pasa w sztywności skręcającej całego przekroju (tutaj 37.6%). Następnie wyznaczane są odpowiednie plastyczne nośności (V_pl,y,u i M_pl,xp,u) elementu przekroju i określane jest wykorzystanie:

η_τ,u = |M_xp,u| / (2 * M_pl,xp,u) + √((M_xp,u / (2 * M_pl,xp,u))² + (V_y,u / V_y,u)²) = 0.64

W trzecim kroku weryfikowane są lokalne momenty zginające pasów. Częściowe obciążenie składa się tutaj z momentu zginającego M_z̄ i bimomentu skręcającego M_ω̄ . Ponownie przykładowo traktowany jest tylko dolny pas:

M_Sa,z,u = (- M_z̄ * z̄_o + M_ω̄ ) / (z̄_u - z̄_o) = 111.2 kNm

Wymiarowanie jest przeprowadzane ze zredukowaną granicą plastyczności wynikającą ze ścinania (patrz wyżej) i z uwzględnieniem parametru mimośrodowości δ:

M_pl,z,u,τ = M_pl,z,u * f_y,d,u * √(1 - (τ_u / τ_u,Rd)²) = 89.8 kNm

η_Mz̄ = (|M_Sa,z,u| / M_pl,z,u,τ) / (1 + δ_u²) =0.99

Na koniec sprawdza się, czy działająca siła normalna N i moment zginający M_ȳ mogą być przejęte przez "pozostały" przekrój. Nie jest dostępne bezpośrednie analityczne rozwiązanie dla tego ostatniego kroku. Zamiast tego określa się dwuwymiarową przestrzeń rozwiązań i sprawdza, czy oddziałująca kombinacja N-M_ȳ leży wewnątrz czy poza granicą (= krzywa interakcji) tej przestrzeni rozwiązań. Krzywa graniczna jest opisana dla dodatniego i ujemnego zakresu momentów za pomocą 2 równań liniowych i jednego równania parabolicznego. Analizą przypadków sprawdza się, która część krzywej granicznej jest istotna dla obliczeń dla danej siły normalnej. Szczegółowe kroki obliczeniowe są dostępne w [1], bądź w szczegółowych wynikach Projektowania konstrukcji stalowych. Krzywa graniczna z różnymi przekrojami dla przykładu przedstawiona jest poniżej:

Krzywa graniczna dla weryfikacji interakcji siła osiowa-zginanie

Na Rysunku 3, obok krzywej granicznej, przedstawiono również działającą w przykładzie kombinację N-M_ȳ (czerwony diament). Od razu widać, że oddziałujące obciążenie leży wewnątrz przestrzeni rozwiązań krzywej granicznej, więc obliczenia przekroju są spełnione. Niemniej jednak nie jest jasne, jak duża jest pozostała "prawdziwa" nośność przekroju, tzn. jak można zwiększyć działającą kombinację sił, aby osiągnąć pełną nośność graniczną. Proporcjonalność między obciążeniem a wykorzystaniem jest naruszana przez nieliniowe warunki interakcji (już w kroku 2). "Prawdziwe" wykorzystanie można zatem obliczyć jedynie iteracyjnie (w kilku krokach obliczeniowych przy zmiennym obciążeniu).

2. TSV bez redystrybucji

Dla porównania przekrój jest również projektowany z TSV bez redystrybucji. Najpierw w każdym elemencie przekroju (każdy element cienkościenny jest traktowany jako oddzielny element przekroju) wyliczane są naprężenia normalne i ścinające na początku, w środku i na końcach węzłów. Tutaj obliczenia przedstawione są (jak w projektowaniu konstrukcji stalowych) tylko dla elementu przekroju z największym wykorzystaniem (element 5 na Rysunku 2):

Z naprężeń, uwzględniając wymiary, obliczane są plastyczne częściowe siły elementów przekroju (tutaj element przekroju i = 5):

N₅ = t * l * (σ_x,A + σ_x,E) / 2 = 800.0 kN

M₅ = t * l² * (σ_x,A - σ_x,E) / 12 = 19.0 kNm

V₅ = t * l * (τ_A + 4 * τ_M + τ_E) / 6 = 402.4 kN

M_xp,5 = M_xp * I_T,5 / I_T = 1.1 kNm

Następnie weryfikowana jest nośność ścinająca elementu przekroju:

η_τ,5 = |M_xp,5| / (2 * M_pl,xp,5) + √((M_xp,5 / (2 * M_pl,xp,5))² + (V₅ / V_pl,5)²) = 0.74

Na koniec weryfikowana jest interakcja siła normalna-moment. Opory są obliczane jak w TSV z redystrybucją, ze zredukowaną granicą plastyczności:

f_y,5,red = f_y,5 * √(1 - (τ₅ / τ_Rd,5)²) = 161.4 N/mm²

η_N+M,5 = (N₅ / N_pl,τ,5)² + |M₅| / M_pl,τ,5 = 1.611

Z przedstawionym w tabeli 1 obciążeniem wejściowym obliczenia przekroju nie są zatem spełnione. Iteracyjne obliczenia pokazują, że projektowanie może być spełnione właśnie przy redukcji obciążenia do 86%.

3. Obliczenia przekroju elastycznego

Obliczenia przekroju elastycznego z maksymalnym wykorzystaniem na poziomie 129% w elemencie 5 również są znacznie przekroczone. W tym przypadku maksymalny współczynnik obciążenia może być bezpośrednio określony z odwrotności maksymalnego wykorzystania na 77.5%.

Wniosek

Plastyczne projektowanie z metodą częściowych sił wewnętrznych umożliwia, jeśli jest to dopuszczalne, w porównaniu do obliczeń przekroju elastycznego, znacznie bardziej ekonomiczne projektowanie. W przykładzie można osiągnąć zwiększenie nośności o 11% (TSV bez redystrybucji) lub 25.8% (TSV z redystrybucją).