采用部分内力法的塑性验算

钢结构设计中，满足特定条件的截面（例如在欧标 EC3 中被归类为截面等级 1 或 2的截面）可以进行塑性设计。这意味着，截面内的应力可以通过材料的“屈服”重新分布，从而充分利用材料的承载能力。

虽然在常见的钢结构设计规范中，用于计算塑性极限内力的公式通常只适用于某些特定的截面类型或特定的内力组合，但“部分内力法”却具有近乎普遍的适用性。

借助该方法，可以对同时受轴力、弯矩以及复杂扭转（包括翘曲扭转）作用的构件进行经济而合理的设计。

此外，“部分内力法”现在已被集成到计算软件中，位于“扩展塑性设计规则”选项（可在“钢结构设计”模块的承载力设置中找到）。

承载能力设置中的扩展塑性设计

“部分内力法”由德国波鸿鲁尔大学的 Kindmann 和 Frickel 提出，并在文献 [1] 中进行了详细说明。

在该软件中，实现了两种不同的计算方法：

1. 内力重分布时的部分内力方法

内力重分布的部分内力法适用于由两块或三块板件组成且板件相互正交布置的截面，因此可覆盖钢结构中最主要的开口截面形式。

此外，还针对矩形和圆形空心截面提供了专门的解决方案。因此，该方法可用于设计以下截面类型：

• 双对称、单对称或非对称工字形截面
• 槽钢/T 型/Z 型/角钢截面
• PI 型截面（A 型）
• 双对称的矩形/方形空心截面以及箱形截面
• 圆形空心截面

采用内力重分布的部分内力法进行塑性承载力验算的步骤如下：

1. 内力转换：将结构分析的内力转换到一个特定的坐标系(ȳ-z̄)（例如对于工字形截面，原点通常设置在腹板中心）。
2. 剪力相关内力分配与验算：将会产生剪应力的内力（如剪力和扭矩）分配到各截面板件上，并对其进行验算。
3. 局部弯曲的内力分配与验算：将导致垂直于参考板件的板件弯曲的内力进行分配与验算（例如对于工字形截面，参考板件为腹板）。此时，由于步骤 2 中的剪应力作用，材料的屈服强度应进行折减。
4. 剩余承载力验算：对导致平行于参考板件的板件弯曲的内力及轴力进行验算。同样需采用考虑剪应力折减后的屈服强度进行计算。

需要特别注意的一点是：截面承载能力的验算并非基于截面达到完全塑性状态来进行的。取而代之的是，在步骤4中，会通过情况分类来判断作用内力是否处于截面可承受的特定范围内。因此，最终得出的截面利用率通常与作用内力的大小不成比例，它仅仅告知我们截面验算的成功（利用率 ≤ 1）或失败（利用率 > 1）。

2. 无内力重分布时的部分内力方法

无内力重分布时的部分内力法[1]原则上适用于所有薄壁截面类型。其验算过程如下：

1. 将截面分解为各个板件单元。可以输入长宽比的限值，超过此限值时，该单元才会被纳入设计考量。
2. 基于各板件单元端部的弹性应力，确定每个板件单元中的内力。
3. 将计算得到的内力与板件单元的塑性极限内力进行对比验证。

部分内力是基于每个截面板件中的弹性应力分布来计算的。塑性应力重分布仅在单个板件内部考虑，而不会在不同板件之间进行。尽管如此，与完全采用弹性设计相比，该方法通常能得到更经济的设计结果。

为避免输出结果过于冗杂，在钢结构设计计算中，每个验算位置仅会输出利用率最高的那个截面板件的计算结果。

使用部分内力法进行截面验算的示例

设计示例：不对称工字截面

所选示例也在[1]的第 10.7.6 节中进行了讨论，非常清楚地展示了部分内力法的计算能力。即使对于非对称截面（此处为 IU 322/0/208/234/74/12/25/19/0/0/0/0，屈服强度 f_y = 240 N/mm²），在处于轴力、双向弯矩与混合扭矩共同作用时，也可以进行塑性截面承载力验算。

1. 内力重分布时的部分内力法

由于荷载和截面几何形状存在轻微偏差，在钢结构设计中，下翼缘的弯曲承载力验算略有超限，而在[1]中其利用率为 100%。为了仍能在此处完整阐述验算思路，将表1中的内力减少 2.5%，即采用 97.5% 的荷载系数进行计算。

第一步是将内力从 (u-v) 主轴坐标系转换到 (ȳ-z̄) 参考坐标系。该参考坐标系的原点位于腹板形心，其方向也与图2中的全局 (Y-Z) 坐标系一致。此处的主轴倾角 α 为 35.5°。

V_ȳ = V_u * cos(α) - V_v * sin(α) = -430.8 kN

V_z̄ = V_v * cos(α) + V_u * sin(α) = -67.6 kN

M_x̄s = M_xs - V_u * v_M-D + V_v * u_M-D = 70.4 kNm

M_ȳ = M_u * cos(α) - M_v * sin(α) + N * z̄_S-D = 217.4 kNm

M_z̄ = M_v * cos(α) + M_u * sin(α) - N * ȳ_S-D = 199.3 kNm

M_ω̄ = - M_ω + M_u * u_M-D + M_v * v_M-D + N * ω̄ _k = 3.15 kNm²

第二步，对各截面板件分别进行剪应力验算。为此，首先需要将相关的内力（剪力以及主扭矩和次扭矩）分配到翼缘板和腹板上（此处以下翼缘为例，简要说明计算过程）：

V_y,u = - (V_ȳ * z̄_o + M_x̄s) / (z̄_u - z̄_o) = -452.3 kN

M_xp,u = M_xp * I_T,u / I_T = 1.46 kNm

其中，I_T,u / I_T 表示下翼缘的扭转刚度占整个截面总扭转刚度的比例（此处为 37.6%）。随后，计算该截面部分的相关塑性承载力(V_pl,y,u 和 M_pl,xp,u)，并确定利用率：

η_τ,u = |M_xp,u| / (2 * M_pl,xp,u) + √((M_xp,u / (2 * M_pl,xp,u))² + (V_y,u / V_y,u)²) = 0.64

第三步验算翼缘的局部弯矩。该部分的受力由弯矩 M_z̄ 和翘曲弯矩 M_ω̄ 共同组成。此处同样仅以下翼缘为例进行说明：

M_Sa,z,u = (- M_z̄ * z̄_o + M_ω̄ ) / (z̄_u - z̄_o) = 111.2 kNm

该验算在考虑剪应力作用（见上文）导致的屈服强度折减的情况下进行，并同时考虑偏心参数 δ 的影响：

M_pl,z,u,τ = M_pl,z,u * f_y,d,u * √(1 - (τ_u / τ_u,Rd)²) = 89.8 kNm

η_Mz̄ = (|M_Sa,z,u| / M_pl,z,u,τ) / (1 + δ_u²) =0.99

最后，需要验算作用的轴力 N 和弯矩 M_ȳ 是否能够由“剩余”截面承受。对于这最后一步，无法求得精确的解析解。因此，需要确定一个二维解空间，并检查所作用的 N-M_ȳ 组合作用是位于该解空间的边界（即相互作用曲线）之内还是之外。该边界曲线在正、负弯矩区域，分别由 2 个线性方程和 1 个抛物线方程描述。通过情况区分，可确定在给定轴力作用下，边界曲线的哪一段与验算相关。关于具体的计算步骤，请参阅[1]或钢结构设计计算的结果详情。本例最终得到的、包含不同区段的边界曲线如下图所示：

压力-弯曲相互作用验算的极限曲线

在图3中，除了边界曲线，还显示了本例中作用的轴力N与弯矩M_ȳ组合（红色菱形标记）。可以清楚地看出，所作用的内力组合位于界曲线的解空间之内，因此截面验算满足要求。

不过，目前尚不清楚截面的剩余“真实”承载能力有多大，也就是说，作用内力组合还能增加多少，才会达到极限承载状态。由于从第二步开始，内力与利用率之间的比例关系已被非线性相互作用条件破坏。因此，“真实”利用率只能通过迭代法（即在多个计算步骤中逐步调整受力）来确定。

2. 无内力重分布时的部分内力法

作为对比，该截面也采用了无内力重分布的部分内力法进行验算。在此方法中，首先针对每个截面板件，计算其起始节点、中间节点和末端节点处的弹性正应力和剪应力。与钢结构设计相同，这里仅给出控制截面板件（图 2 中的板件 5）的计算过程。

随后，根据应力及截面尺寸，计算出各截面板件（此处以板件 i = 5 为例）的塑性内力：

N₅ = t * l * (σ_x,A + σ_x,E) / 2 = 800.0 kN

M₅ = t * l² * (σ_x,A - σ_x,E) / 12 = 19.0 kNm

V₅ = t * l * (τ_A + 4 * τ_M + τ_E) / 6 = 402.4 kN

M_xp,5 = M_xp * I_T,5 / I_T = 1.1 kNm

随后，对该截面板件的剪切承载力进行验算：

η_τ,5 = |M_xp,5| / (2 * M_pl,xp,5) + √((M_xp,5 / (2 * M_pl,xp,5))² + (V₅ / V_pl,5)²) = 0.74

最后，进行轴力–弯矩相互作用的验算。其抗力计算与采用内力重分布的部分内力法类似，采用折减后的屈服强度。

f_y,5,red = f_y,5 * √(1 - (τ₅ / τ_Rd,5)²) = 161.4 N/mm²

η_N+M,5 = (N₅ / N_pl,τ,5)² + |M₅| / M_pl,τ,5 = 1.611

根据表 1 中的初始内力，截面验算不满足要求。通过迭代计算可以发现，当内力降低到 86% 时，截面验算才勉强满足要求。

3. 弹性截面验算

同样，基于弹性应力分析的截面验算也未能通过，其在单元5处的最大利用率达到了129%。在这种情况下，最大荷载系数可直接根据最大利用率的倒数确定为77.5%。

结论

如果情况允许，采用部分内力法进行塑性设计，相比弹性截面验算明显更经济。在本算例中，承载力提升了 11%（无内力重分布时的部分内力法）乃至 25.8%（内力重分布时的内力分布法）。