Vérification des sections en plastique par la méthode des efforts internes partiels

En structure acier, les sections conformes à certains critères (par exemple, dans l’EC3, ces exigences sont associées aux classes de section 1 et 2) peuvent être évaluées de manière plastique. Cela signifie que les contraintes peuvent être redistribuées au sein de la section grâce à la « plasticité » du matériau de base. Alors que les formules pour calculer les valeurs limites des sections plastiques dans les normes de structures acier courantes, si elles existent, ne sont valables que pour certains types de sections et combinaisons d’efforts internes, la méthode des efforts internes partiels (TSS) est presque universellement applicable. Ainsi, même les composants soumis à un effort normal, une flexion et une torsion mixte (y compris la torsion de gauchissement) peuvent être conçus de manière économique. La méthode des efforts internes partiels est désormais disponible dans RFEM 6 et RSTAB 9 sous les « règles avancées de vérification plastique » (voir les paramètres de capacité portante du module complémentaire « Vérification de l’acier »).

Vérifications plastiques avancées dans Paramètres pour la capacité portante

La méthode des efforts internes partiels détaillée dans [1] a été développée par Kindmann et Frickel à l’Université de la Ruhr à Bochum (Allemagne). Deux variantes différentes sont implémentées dans le logiciel :

1. Méthode des efforts internes partiels avec redistribution

La méthode avec redistribution convient pour les sections à 2 et 3 plaques avec des pièces de section orientées orthogonalement et couvre ainsi les principales formes de sections ouvertes dans les structures acier. Des solutions supplémentaires sont implémentées pour les sections creuses rectangulaires et circulaires, permettant ainsi de vérifier les types de sections suivants avec cette méthode :

• Sections en I doublement/simples/symétriques
• Sections en U/T/Z/L
• Sections en PI (type A)
• Sections creuses et caissons symétriques rectangulaires (RHS)/carrés (SHS)
• Sections creux circulaires (CHS)

La démarche du calcul plastique avec la méthode des efforts internes partiels avec redistribution est la suivante :

1. Transformation des efforts internes tirées du calcul de la structure vers un système de référence spécifique (ȳ-z̄) (e.g., pour les sections en I, l’origine est placée au centre de l’âme)
2. Division et vérification des efforts internes causant des contraintes de cisaillement (efforts tranchants et moments de torsion) à l’échelle de la pièce de section
3. Division et vérification des efforts internes causant une flexion locale dans les pièces de section orthogonales à la partie de référence de la section (p.ex. voile pour les sections en I). La limite d’écoulement est ici réduite en raison des contraintes de cisaillement agissant du point 2.
4. Vérification de la résistance résiduelle de la section pour des forces internes entraînant une flexion dans les parties de section parallèles à la partie de référence de la section (par exemple le voile pour les sections en I) avec une limite d’écoulement réduite en raison du cisaillement, plus l’effort normal.

Notez que la capacité de résistance de la section n’est pas vérifiée dans un état entièrement plastique. Au lieu de cela, au point 4, on vérifie à l’aide d’un cas particulier si les efforts internes appliqués se trouvent dans une certaine plage de valeurs acceptables par la section. Par conséquent, l’exploitation résultante de la vérification de la section n’est généralement pas proportionnelle à la sollicitation et n’indique que la réussite (exploitation inférieure ou égale à 1) ou l’échec (exploitation supérieure à 1) des vérifications de la section.

2. Méthode des efforts internes partiels sans redistribution

La méthode des sous-sections sans redistribution [1] est en principe adaptée à tous les types de sections minces. Le processus pour cette variante de vérification est le suivant :

1. Division de la section en ses éléments. Des valeurs limites pour le rapport longueur/largeur peuvent être entrées, au-delà desquelles un élément doit être pris en compte pour la vérification.
2. Calcul des forces internes dans chaque partie de la section sur la base des contraintes élastiques aux extrémités des parties de sections
3. Vérification des forces internes déterminées contre les valeurs limites des forces plastiques de la partie de section

Les sous-sections sont donc calculées en fonction de la répartition élastique des contraintes dans chaque partie de section. Une redistribution plastique des sollicitations n'est prise en compte qu'à l'intérieur et non entre les parties de section. Néanmoins, il est souvent possible d'obtenir des résultats beaucoup plus économiques par rapport à une évaluation purement élastique.

Pour éviter d'encombrer la sortie, dans la vérification acier, seul le résultat de la vérification pour la partie de section avec l'utilisation la plus élevée est donné à chaque point de vérification.

Exemple de vérification de section avec la méthode des efforts internes partiels

Exemple de vérification : Section en I asymétrique

L'exemple choisi est également traité dans [1] sous la section 10.7.6 et montre très clairement l'efficacité de la méthode des sous-sections. Même pour des sections asymétriques (ici IU 322/0/208/234/74/12/25/19/0/0/0/0, f_y = 240 N/mm²) sous effort général (force normale + flexion double + torsion mixte), il est possible de mener une vérification plastique de la section :

1. Méthode des efforts internes partiels avec redistribution

En raison de légères différences dans la charge et la géométrie de la section, la vérification de flexion de la semelle inférieure dans la vérification de l’acier est légèrement dépassée, tandis qu’elle atteint une utilisation de 100 % dans [1]. Afin de toujours pouvoir expliquer complètement le concept de vérification à ce stade, les efforts internes du tableau 1 sont réduites de 2,5 % et calculées avec un facteur de charge de 97,5 %.

La première étape consiste à transformer les forces internes du système d'axes principaux (u-v) vers le système de référence (ȳ–z̄). Le système de référence a son origine dans le centre de la plaque de l’âme et correspond dans son orientation au système de coordonnées global (Y-Z) de la figure 2. L’inclinaison de l’axe principal α est ici de 35,5° :

V_ȳ = V_u * cos(α) - V_v * sin(α) = -430,8 kN

V_z̄ = V_v * cos(α) + V_u * sin(α) = -67,6 kN

M_x̄s = M_xs - V_u * v_M-D + V_v * u_M-D = 70,4 kNm

M_ȳ = M_u * cos(α) - M_v * sin(α) + N * z̄_S-D = 217,4 kNm

M_z̄ = M_v * cos(α) + M_u * sin(α) - N * ȳ_S-D = 199,3 kNm

M_ω̄ = - M_ω + M_u * u_M-D + M_v * v_M-D + N * ω̄ _k = 3,15 kNm²

La deuxième étape consiste à vérifier les contraintes de cisaillement dans les pièces de section séparées. Pour cela, les efforts internes concernés (efforts tranchants ainsi que moments de torsion primaires et secondaires) sont d’abord divisées sur les plaques de la semelle et de l’âme (exemple simplifié pour la semelle inférieure) :

V_y,u = - (V_ȳ * z̄_o + M_x̄s) / (z̄_u - z̄_o) = -452,3 kN

M_xp,u = M_xp * I_T,u / I_T = 1,46 kNm

où I_T,u / I_T décrit la part de la rigidité en torsion de la semelle inférieure par rapport à la rigidité en torsion de la section entière (37,6 % ici). Ensuite, la résistance plastique pertinente (V_pl,y,u et M_pl,xp,u) de la pièce de section est déterminée et le taux d’utilisation évalué :

η_τ,u = |M_xp,u| / (2 * M_pl,xp,u) + √((M_xp,u / (2 * M_pl,xp,u))² + (V_y,u / V_y,u)²) = 0,64

La troisième étape consiste à vérifier les moments de flexion locaux des flasques. La sollicitation partielle consiste ici en le moment de flexion M_z̄ et le moment de gauchissement M_ω̄ . Encore une fois, seule la semelle inférieure est traitée à titre d’exemple :

M_Sa,z,u = (- M_z̄ * z̄_o + M_ω̄ ) / (z̄_u - z̄_o) = 111,2 kNm

La vérification est effectuée avec une limite d’élasticité réduite due à la sollicitation de cisaillement (ci-dessus) et en tenant compte d’un paramètre d’excentrement δ :

M_pl,z,u,τ = M_pl,z,u * f_y,d,u * √(1 - (τ_u / τ_u,Rd)²) = 89,8 kNm

η_Mz̄ = (|M_Sa,z,u| / M_pl,z,u,τ) / (1 + δ_u²) = 0,99

Enfin, on vérifie si l’effort normal appliqué N et le moment de flexion M_ȳ peuvent être pris en compte par la section « restante ». Une solution analytique fermée n’est pas disponible pour cette dernière étape. Au lieu de cela, un espace de solution bidimensionnel est déterminé et on vérifie si la combinaison N-M_ȳ appliquée se trouve à l’intérieur ou à l’extérieur de la limite (= courbe d’interaction) de cet espace de solution. La courbe limite est décrite pour la zone de moment positif et négatif à l'aide de 2 équations linéaires et une équation parabolique. Par un cas particulier, on vérifie quelle section de la courbe limite est pertinente pour la vérification pour l'effort normal donné. Pour les détails précis de calcul, se référer à [1] ou aux détails des résultats de la vérification acier. La courbe limite resultante pour l'exemple avec les différentes sections est présentée ci-dessous :

Courbe limite pour vérification d’interaction Effort normal-Flexion

Dans la figure 3, en plus de la courbe limite, la combinaison N-M_ȳ appliquée dans l’exemple est également représentée (diamant rouge). On voit immédiatement que la sollicitation appliquée se situe à l’intérieur de l'espace de résolution de la courbe limite, de sorte que la vérification de la section est réussie. Ce qui n’est pas clair, cependant, c'est quelle est la capacité « réelle » restante de la section, c’est-à-dire quelle augmentation de la combinaison des efforts internes appliquée serait possible jusqu’à atteindre la capacité limite. La proportionnalité entre la sollicitation et l’utilisation est rompue par les conditions d’interactions non linéaires (déjà à la 2ème étape). L’utilisation « réelle » ne peut donc être déterminée que de manière itérative (c’est-à-dire en plusieurs étapes de calcul avec variation de la sollicitation).

2. Méthode des efforts internes partiels sans redistribution

À titre de comparaison, la section est également vérifiée avec la méthode des efforts internes partiels sans redistribution. Ici, les contraintes normales et de cisaillement élastiques sont d’abord déterminées dans chaque pièce de section (chaque élément à paroi mince étant alors considéré comme une pièce de section séparée) aux nœuds de début, milieu et fin. La vérification de calcul (comme dans la vérification de l’acier) n'est présentée que pour la pièce de section principale (élément 5 dans la figure 2) :

À partir des contraintes, et en tenant compte des dimensions, les efforts internes plastiques partiels de la pièce de section (pièce de section i = 5 ici) sont calculés :

N₅ = t * l * (σ_x,A + σ_x,E) / 2 = 800,0 kN

M₅ = t * l² * (σ_x,A - σ_x,E) / 12 = 19,0 kNm

V₅ = t * l * (τ_A + 4 * τ_M + τ_E) / 6 = 402,4 kN

M_xp,5 = M_xp * I_T,5 / I_T = 1,1 kNm

Ensuite, la résistance au cisaillement de la pièce de section est vérifiée :

η_τ,5 = |M_xp,5| / (2 * M_pl,xp,5) + √((M_xp,5 / (2 * M_pl,xp,5))² + (V₅ / V_pl,5)²) = 0,74

Enfin, l’interaction effort normal-moment est vérifiée. Les résistances sont calculées comme dans la méthode des efforts internes partiels avec redistribution avec une limite d’élasticité réduite :

f_y,5,red = f_y,5 * √(1 - (τ₅ / τ_Rd,5)²) = 161,4 N/mm²

η_N+M,5 = (N₅ / N_pl,τ,5)² + |M₅| / M_pl,τ,5 = 1,611

Avec la sollicitation figurant dans le tableau 1, la vérification de la section n’est donc pas réussie. Un calcul itératif montre que la vérification peut tout juste être réussie avec une réduction de la sollicitation à 86 %.

3. Vérification de section élastique

La vérification de section élastique est également largement dépassée avec une utilisation maximale de 129% sur l'élément 5. Dans ce cas, le facteur de charge maximum peut être déterminé directement à partir de l'inverse de l'utilisation maximale à 77,5%.

Conclusion

La vérification plastique avec la méthode des efforts internes partiels permet, lorsqu’applicable, d’obtenir une vérification bien plus économique par rapport à la vérification de section élastique. Dans l’exemple, un accroissement de charge utile de 11 % (méthode des efforts internes partiels sans redistribution) ou de 25,8 % (méthode des efforts internes partiels avec redistribution) peut être atteint.