Проверка несущей способности фундаментов по DIN 4017 в сравнении с RFEM 6

Для валидации расчета с помощью RFEM 6 используется пример, описанный в DIN 4017, Приложение 1 (2006) [1]. Рассматривается фундамент, нагруженный по центру и перпендикулярно на слоистой почве, результаты которого сравниваются с определенными в RFEM 6 значениями. Цель этого исследования — определение устойчивости к разрушению основания под подошвой фундамента.

Описание модели

Исходный фундамент является прямоугольным с размерами 4,0 м × 5,0 м и толщиной 1,0 м. Верхний край фундамента находится на 1,0 м ниже уровня земли, так что подошва фундамента находится на глубине 2,0 м. Уровень грунтовых вод также находится на 2,0 м ниже уровня земли, то есть прямо на высоте подошвы фундамента. Геометрия и основные почвенные слои вместе с соответствующими характеристиками описаны ниже.

Геометрия фундамента

Слои грунта и характеристики

Состав грунта

Расчет вручную по DIN 4017, Приложение 1 (2006)

Итеративное определение значений угла трения φ_m

По DIN 4017 [2], для слоистого грунта допускается усреднение углов трения φ', если индивидуальные значения слоев укладываются в пределах 5° от общего арифметического среднего φ_av.

В данном примере рассматриваются три почвенных слоя, непосредственно примыкающих к фундаменту. Углы трения для этих слоев составляют φ'₂ = 30°, φ'₃ = 25° и φ'₄ = 22,5°. Арифметическое среднее получается φ_av = ∑ φ'_i/n = (30 + 25 + 22,5)/3 = 25,83°.

Отклонение от среднего значения, таким образом, меньше 5°.

Скользкое тело и структура слоёв – фундамент

Первый шаг итерации (начало с φ_m,0 = 25,83°; α = β = δ = 0):

ϵ₁ = asin(−sin(β)/sin(φ_A,k)) = asin(−sin(0,00°)/sin(25,83°)) = 0,00° – по A.2 ϵ₂ = asin(−sin(δ)/sin(φ_A,k)) = asin(−sin(0,00°)/sin(25,83°)) = 0,00° – по A.5 ϑ₁ = 45° − φ_m,0/2 − (ϵ₁ + β)/2 = 45° − 25,83°/2 − 0 = 32,1° – A.1 ϑ₂ = ϑ₃ = 45° + φ_m,0/2 − (ϵ₂ + β)/2 = 45° + 25,83°/2 − 0 = 57,9° – A.3 υ = 180° − α − β − ϑ₁ − ϑ₂ = 180° − 0° − 0° − 32,1° − 57,9° = 90° – A.6 r₂ = B'/(2⋅cos(ϑ₂)) = 4,00 м/(2⋅cos(57,9°)) = 3,76 м – A.7 r₁ = r₂⋅e^{(0,5π⋅tan(φ_m,0))} = 3,76 м⋅e^{(0,5π⋅tan(25,83°))} = 8,03 м – A.8 l_s = (r₁ − r₂)/sin(φ) = (3,76 м − 8,03 м)/sin(25,83°) = 9,80 м – A.17

Общая длина скользящей линии по рисунку 3 этого приложения:

Σl = r₂ + r₁ + l_s = 3,76 + 8,03 + 9,81 = 21,60 м l₁ = (z₃ − d)/(sin(ψ₂)) = 1,50/0,847 = 1,77 м l₂ = (z₄ − z₃)/(sin(ψ₂)) = 1,50/0,847 = 1,77 м l₄ = (z₃ − d)/(sin(ψ₁)) = 1,50/0,531 = 2,82 м l₅ = (z₄ − z₃)/(sin(ψ₁)) = 1,50/0,531 = 2,82 м l₃ + l₆ + l_s = Σl − (l₁ + l₂ + l₄ + l₅) = 21,60 м − 2⋅(1,77 + 2,82) = 12,42 м φ'₂ = (4,59⋅30,0° + 4,59⋅25,0° + 12,42⋅22,5°)/21,60 = 24,6° c'₂ = (4,59⋅5,00 + 12,42⋅2,00)/21,60 = 2,2 кН/м²

Итерация повторяется с φ'₂ = 24,6°.

Второй шаг итерации (с φ_m,1 = 24,6°; α = β = δ = 0):

ϵ₁ = ϵ₂ = 0,00° ϑ₁ = 45° − 24,6°/2 − 0 = 32,7° ϑ₂ = ϑ₃ = 45° + 24,6°/2 − 0 = 57,3° υ = 180° − 0° − 0° − 32,7° − 57,3° = 90° r₂ = 4,00 м/(2⋅cos(57,3°)) = 3,70 м r₁ = 3,70 м⋅e^{(0,5π⋅tan(24,6°))} = 7,60 м l_s = |7,60 − 3,70| м/sin(24,6°) = 9,36 м Σl = 3,70 + 7,60 + 9,36 = 20,66 м l₁ = l₂ = 1,50/0,842 = 1,78 м l₄ = l₅ = 1,50/0,540 = 2,78 м l₃ + l₆ + l_s = Σl − (l₁ + l₂ + l₄ + l₅) = 20,66 − 2⋅(1,78 + 2,78) = 11,54 м

Взвешенное среднее:

φ'₃ = ((l₁ + l₄)⋅30,0° + (l₂ + l₅)⋅25,0° + (l₃ + l₆ + l_s)⋅22,5°)/Σl = ((1,78 + 2,78)⋅30,0° + (1,78 + 2,78)⋅25,0° + 11,54⋅22,5°)/20,66 = 24,71° c'₃ = ((l₁ + l₄)⋅5,00 + (l₃ + l₆ + l_s)⋅2,00)/Σl = ((1,78 + 2,78)⋅5,00 + 11,54⋅2,00)/20,66 = 2,22 кН/м²

Результат: основное значение угла трения практически сходит воедино на φ_m ≈ 24,7°.

Частичные площади скользящего тела

Треугольник ABD ϑ₂ = ϑ₃ = 45° + 24,7°/2 = 57,35° A_a = tan(ϑ₂) ⋅ (B'/2)² = 1,56 ⋅ 4,00 м² = 6,24 м²

Треугольник BCE ϑ₁ = 45° − 24,7°/2 = 32,65° r₂ = 4,00 м/(2⋅cos(57,35°)) = 3,71 м r₁ = 3,71 м ⋅ e^{(π/2 ⋅ tan(24,7°))} = 7,64 м A_p = r₁² ⋅ sin(ϑ₁) ⋅ cos(ϑ₁) = 26,54 м²

Часть площади спирали A_s = (r₁² − r₂²)/(4⋅tan(φ')) = 24,24 м²

Сумма площадей ΣA = 57,02 м²

Среднее взвешивание скользящего тела

Из частичных площадей и соответствующих весов слоя можно определить средний вес γ': γ' = (11,0⋅22,82 + 12,0⋅17,87 + 10,0⋅16,33) ÷ 57,02 = 11,0 кН/м³.

Средний вес почвы рядом и над фундаментом: γ = (0,50 м⋅18,0 кН/м³ + 1,50 м⋅18,5 кН/м³) ÷ 2,00 м = 18,375 кН/м³

Расчет сопротивления разрушению основания

Теперь можно определить коэффициенты несущей способности.

• N_q,0 = e^{(π⋅tan(24,7°))} ⋅ tan²(45° + 24,7°/2) = 10,33 [−]
• N_γ,0 = (10,33 − 1) ⋅ tan(24,7°) = 4,29 [−]
• N_c,0 = (10,33 − 1) ⋅ tan(24,7°) = 20,28 [−]

Для учета влияния геометрии фундамента также нужны коэффициенты формы:

• ν_q = 1 + 4,00 м/5,00 м ⋅ sin(24,7°) = 1,334 [−]
• ν_γ = 1 − 0,3 ⋅ 4,00 м/5,00 м = 0,760 [−]
• ν_c = (1,334 ⋅ 10,33 − 1)/(10,33 − 1) = 1,370 [−]

С учетом этих факторов получаются скорректированные коэффициенты несущей способности:

• N_q = N_q,0 ⋅ ν_q = 10,33 ⋅ 1,334 = 13,78
• N_γ = N_γ,0 ⋅ ν_γ = 4,29 ⋅ 0,760 = 3,26
• N_c = N_c,0 ⋅ ν_c = 20,28 ⋅ 1,370 = 27,78

\[
\text{R}_n
= 5{,}00\,\text{m}\cdot 4{,}00\,\text{m}\cdot
\left(
\underbrace{11{,}0\,\text{kN/m}^3\cdot 4{,}00\,\text{m}\cdot 3{,}26}_{\gamma' \cdot B' \cdot N_\gamma}
+\underbrace{18{,}375\,\text{kN/m}^3\cdot 2\,\text{m}\cdot 13{,}78}_{\gamma \cdot t \cdot N_q}
+\underbrace{2{,}2\,\text{kN/m}^2\cdot 27{,}78}_{c' \cdot N_c}
\right) = 14\,233\,\text{kN}.
\]

Расчет в RFEM 6

В RFEM 6 геометрия, нагрузки и параметры слоев задаются аналогично. В отличие от методики Приложения, линия скольжения интегрируется как логарифмическая спираль по всей кривой, а не линеаризуется в касательные и дуги окружности. Так, полная эффективная площадь почвы скользящего тела участвует в усреднении, а доли отдельных слоев учитываются как настоящие вклады площади.

Результат среднего угла трения: φ_m,RFEM = 25,03° Сопротивление разрушению основания: R_k,RFEM = A ⋅ σ_R,k = 5,00 м ⋅ 4,00 м ⋅ 741,53 кН/м² = 14.830,64 кН

Расчёт подразземного давления в RFEM

Почему RFEM дает 25,03°, в то время как ручной расчет составляет примерно 24,7° – и что это значит для R_k?

В ручном расчете (Приложение) линия скольжения дискретизируется, то есть разбивается на касательные и дуги окружности. Это приводит к длиному весовому среднему углу; метод является приблизительным и уточняется итеративно (1-я итерация ≈ 24,6°, 2-я итерация ≈ 24,71°).

RFEM 6, наоборот, интегрирует локальные направления вдоль кривой непрерывно. Таким образом, площади слоев на скользящей линии учитываются полностью (вместо только длины секций), референсное направление четко обрабатывается, а кривизна спирали учитывается без линейризации.

Эффект в этом примере: доля «сильного» слоя (с φ′ = 30°) на эффективной площади скользящей линии оказывается немного больше, чем в дискретной аппроксимации. Это немного сдвигает весовую среднюю величину вверх и приводит к φ_m,RFEM = 25,03° (разница ~0,27° с ручным расчетом).

Влияние на сопротивление R_k

Незначительно больший φ нелинейно масштабирует коэффициенты несущей способности и увеличивает сопротивление.

Ручной расчет (Приложение): Характеристическое напряжение сопротивления σ_R,k = 710,97 кН/м² Общее сопротивление R_k = 14.233 кН

RFEM 6: Характеристическое напряжение сопротивления σ_R,k = 741,53 кН/м² Общее сопротивление R_k = 14.830,64 кН

Разница в R_n составляет ≈ 4,2 % (по отношению к ручному расчету). Это корректно с технической точки зрения и вытекает непосредственно из методики: дискретное длиновое взвешивание против непрерывного понцевого взвешивания вдоль реальной кривой скольжения.

Сравнение результатов

Заключение

Расчет по DIN 4017 и результаты в RFEM 6 очень хорошо согласуются. Небольшое отклонение объясняется методикой (дискретная аппроксимация против непрерывной интеграции). Для практики это означает: RFEM 6 надежно воспроизводит ручной расчет, снижает ручные итерации и обеспечивает более строгий математический подход к скользящей линии - при прозрачном отображении результатов.