Verificación de resistencia a hundimiento según DIN 4017 comparada con RFEM 6

Para la validación del cálculo con RFEM 6 se utiliza un ejemplo descrito en DIN 4017, Suplemento 1 (2006) [1]. Se considera una cimentación cargada centralmente y perpendicularmente sobre un suelo estratificado, cuyos resultados se comparan con los valores determinados en RFEM 6. El objetivo de este estudio es determinar la capacidad de carga del suelo bajo la base de la cimentación.

Descripción del modelo

La cimentación subyacente es rectangular con dimensiones de 4,0 m × 5,0 m y un espesor de 1,0 m. La cara superior de la cimentación está a 1,0 m por debajo de la superficie del terreno, por lo que la base de la cimentación se encuentra a 2,0 m de profundidad. El nivel freático también se encuentra a 2,0 m por debajo de la superficie del terreno, es decir, directamente a la altura de la base de la cimentación. La geometría y las capas de suelo relevantes junto con sus parámetros se presentan a continuación.

Geometría de cimentación

Capas de suelo y parámetros

Estructura del suelo

Cálculo manual según DIN 4017, Suplemento 1 (2006)

Determinación iterativa de los parámetros del suelo relevantes φ_m

Según DIN 4017 [2], puede realizarse una media aritmética de los ángulos de fricción φ’ en suelos estratificados si los valores individuales de las capas no difieren en más de 5° de la media aritmética común φ_av.

En el presente ejemplo se trata de tres capas de suelo directamente bajo la cimentación. Para estas capas, los ángulos de fricción son φ'₂ = 30°, φ'₃ = 25° y φ'₄ = 22,5°. La media aritmética es φ_av = ∑ φ'_i/n = (30 + 25 + 22,5)/3 = 25,83°.

La desviación de la media es, por lo tanto, menor de 5°.

Objeto de contacto y composición de capas - Cimentación

1er Paso de Iteración (Inicio con φ_m,0 = 25,83°; α = β = δ = 0):

ϵ₁ = asin(−sin(β)/sin(φ_A,k)) = asin(−sin(0,00°)/sin(25,83°)) = 0,00° – según A.2 ϵ₂ = asin(−sin(δ)/sin(φ_A,k)) = asin(−sin(0,00°)/sin(25,83°)) = 0,00° – según A.5 ϑ₁ = 45° − φ_m,0/2 − (ϵ₁ + β)/2 = 45° − 25,83°/2 − 0 = 32,1° – A.1 ϑ₂ = ϑ₃ = 45° + φ_m,0/2 − (ϵ₂ + β)/2 = 45° + 25,83°/2 − 0 = 57,9° – A.3 υ = 180° − α − β − ϑ₁ − ϑ₂ = 180° − 0° − 0° − 32,1° − 57,9° = 90° – A.6 r₂ = B'/(2⋅cos(ϑ₂)) = 4,00 m/(2⋅cos(57,9°)) = 3,76 m – A.7 r₁ = r₂⋅e^{(0,5π⋅tan(φ_m,0))} = 3,76 m⋅e^{(0,5π⋅tan(25,83°))} = 8,03 m – A.8 l_s = (r₁ − r₂)/sin(φ) = (3,76 m − 8,03 m)/sin(25,83°) = 9,80 m – A.17

Longitud total de la superficie de deslizamiento según la Figura 3 de este suplemento:

Σl = r₂ + r₁ + l_s = 3,76 + 8,03 + 9,81 = 21,60 m l₁ = (z₃ − d)/(sin(ψ₂)) = 1,50/0,847 = 1,77 m l₂ = (z₄ − z₃)/(sin(ψ₂)) = 1,50/0,847 = 1,77 m l₄ = (z₃ − d)/(sin(ψ₁)) = 1,50/0,531 = 2,82 m l₅ = (z₄ − z₃)/(sin(ψ₁)) = 1,50/0,531 = 2,82 m l₃ + l₆ + l_s = Σl − (l₁ + l₂ + l₄ + l₅) = 21,60 m − 2⋅(1,77 + 2,82) = 12,42 m φ'₂ = (4,59⋅30,0° + 4,59⋅25,0° + 12,42⋅22,5°)/21,60 = 24,6° c'₂ = (4,59⋅5,00 + 12,42⋅2,00)/21,60 = 2,2 kN/m²

La iteración se repite con φ'₂ = 24,6°.

2º Paso de Iteración (con φ_m,1 = 24,6°; α = β = δ = 0):

ϵ₁ = ϵ₂ = 0,00° ϑ₁ = 45° − 24,6°/2 − 0 = 32,7° ϑ₂ = ϑ₃ = 45° + 24,6°/2 − 0 = 57,3° υ = 180° − 0° − 0° − 32,7° − 57,3° = 90° r₂ = 4,00 m/(2⋅cos(57,3°)) = 3,70 m r₁ = 3,70 m⋅e^{(0,5π⋅tan(24,6°))} = 7,60 m l_s = |7,60 − 3,70| m/sin(24,6°) = 9,36 m Σl = 3,70 + 7,60 + 9,36 = 20,66 m l₁ = l₂ = 1,50/0,842 = 1,78 m l₄ = l₅ = 1,50/0,540 = 2,78 m l₃ + l₆ + l_s = Σl − (l₁ + l₂ + l₄ + l₅) = 20,66 − 2⋅(1,78 + 2,78) = 11,54 m

Medias ponderadas:

φ'₃ = ((l₁ + l₄)⋅30,0° + (l₂ + l₅)⋅25,0° + (l₃ + l₆ + l_s)⋅22,5°)/Σl = ((1,78 + 2,78)⋅30,0° + (1,78 + 2,78)⋅25,0° + 11,54⋅22,5°)/20,66 = 24,71° c'₃ = ((l₁ + l₄)⋅5,00 + (l₃ + l₆ + l_s)⋅2,00)/Σl = ((1,78 + 2,78)⋅5,00 + 11,54⋅2,00)/20,66 = 2,22 kN/m²

Resultado: El ángulo de fricción relevante converge prácticamente en φ_m ≈ 24,7°.

Subáreas del cuerpo de deslizamiento

Triángulo ABD ϑ₂ = ϑ₃ = 45° + 24,7°/2 = 57,35° A_a = tan(ϑ₂) ⋅ (B'/2)² = 1,56 ⋅ 4,00 m² = 6,24 m²

Triángulo BCE ϑ₁ = 45° − 24,7°/2 = 32,65° r₂ = 4,00 m/(2⋅cos(57,35°)) = 3,71 m r₁ = 3,71 m ⋅ e^{(π/2 ⋅ tan(24,7°))} = 7,64 m A_p = r₁² ⋅ sin(ϑ₁) ⋅ cos(ϑ₁) = 26,54 m²

Subárea de la espiral A_s = (r₁² − r₂²)/(4⋅tan(φ')) = 24,24 m²

Suma de las áreas ΣA = 57,02 m²

Promedio ponderado del cuerpo de deslizamiento

A partir de las subáreas y los pesos específicos de las capas respectivas, se puede determinar el peso específico medio γ': γ' = (11,0⋅22,82 + 12,0⋅17,87 + 10,0⋅16,33) ÷ 57,02 = 11,0 kN/m³.

El peso específico medio del suelo junto a y sobre la cimentación: γ = (0,50 m⋅18,0 kN/m³ + 1,50 m⋅18,5 kN/m³) ÷ 2,00 m = 18,375 kN/m³

Cálculo de la capacidad de carga

Ahora se pueden determinar los coeficientes de capacidad.

• N_q,0 = e^{(π⋅tan(24,7°))} ⋅ tan²(45° + 24,7°/2) = 10,33 [−]
• N_γ,0 = (10,33 − 1) ⋅ tan(24,7°) = 4,29 [−]
• N_c,0 = (10,33 − 1) ⋅ tan(24,7°) = 20,28 [−]

Para considerar la influencia de la geometría de la cimentación, se requieren adicionalmente coeficientes de forma:

• ν_q = 1 + 4,00 m/5,00 m ⋅ sin(24,7°) = 1,334 [−]
• ν_γ = 1 − 0,3 ⋅ 4,00 m/5,00 m = 0,760 [−]
• ν_c = (1,334 ⋅ 10,33 − 1)/(10,33 − 1) = 1,370 [−]

Con estos factores se obtienen los coeficientes de capacidad corregidos:

• N_q = N_q,0 ⋅ ν_q = 10,33 ⋅ 1,334 = 13,78
• N_γ = N_γ,0 ⋅ ν_γ = 4,29 ⋅ 0,760 = 3,26
• N_c = N_c,0 ⋅ ν_c = 20,28 ⋅ 1,370 = 27,78

\[ \text{R}_n = 5{,}00\,\text{m}\cdot 4{,}00\,\text{m}\cdot \left( \underbrace{11{,}0\,\text{kN/m}^3\cdot 4{,}00\,\text{m}\cdot 3{,}26}_{\gamma' \cdot B' \cdot N_\gamma} +\underbrace{18{,}375\,\text{kN/m}^3\cdot 2\,\text{m}\cdot 13{,}78}_{\gamma \cdot t \cdot N_q} +\underbrace{2{,}2\,\text{kN/m}^2\cdot 27{,}78}_{c' \cdot N_c} \right) = 14\,233\,\text{kN}. \]

Cálculo en RFEM 6

En RFEM 6, se simulan la geometría, las cargas y los parámetros de las capas de manera análoga. En contraste con el método del Suplemento, la línea de deslizamiento se integra continuamente como una espiral logarítmica a lo largo de toda la curva (sin linealización en tangentes y arcos circulares). De esta manera, se considera toda la superficie efectiva del suelo de la línea de deslizamiento en el promedio y se capturan las contribuciones de las diferentes capas como verdaderos aportes superficiales.

Resultado del ángulo de fricción medio: φ_m,RFEM = 25,03° Capacidad de carga: R_k,RFEM = A ⋅ σ_R,k = 5,00 m ⋅ 4,00 m ⋅ 741,53 kN/m² = 14.830,64 kN

Placa base RFEM

¿Por qué RFEM resulta en 25,03°, mientras que el cálculo manual da aproximadamente 24,7° – y qué significa esto para R_k?

En el cálculo manual (Suplemento) se discretiza la superficie de deslizamiento, es decir, se divide en secciones de arcos tangentes y circulares. Esto produce un ángulo medio ponderado por longitud; el procedimiento es aproximado y se refina iterativamente (1ª iteración ≈ 24,6°, 2ª iteración ≈ 24,71°).

En contraste, RFEM 6 integra continuamente las direcciones locales a lo largo de la curva. Esto permite capturar completamente las contribuciones superficiales de las capas en la línea de deslizamiento (en lugar de solo la longitud de las secciones), trata de manera unívoca la dirección de referencia y tiene en cuenta la curvatura de la espiral sin linealización.

El efecto en este ejemplo: la participación de la capa "más fuerte" (con φ′ = 30°) en la superficie efectiva de la línea de deslizamiento es ligeramente mayor que en la aproximación discreta. Esto desplaza el promedio ponderado ligeramente hacia arriba y resulta en φ_m,RFEM = 25,03° (diferencia ~0,27° respecto al cálculo manual).

Impacto en la resistencia R_k

Un φ ligeramente mayor escala los coeficientes de capacidad de manera no lineal, aumentando así la resistencia.

Cálculo manual (Suplemento): Tensión característica de resistencia σ_R,k = 710,97 kN/m² Resistencia total R_k = 14.233 kN

RFEM 6: Tensión característica de resistencia σ_R,k = 741,53 kN/m² Resistencia total R_k = 14.830,64 kN

La diferencia en R_n es ≈ 4,2 % (con respecto al cálculo manual). Esto es técnica y metodológicamente consistente, y resulta directamente de la metodología: ponderación discreta por longitud frente a ponderación continua por superficie a lo largo de la curva de deslizamiento realmente curvada.

Comparación de resultados

Conclusión

El cálculo según DIN 4017 y los resultados en RFEM 6 coinciden muy bien. La pequeña discrepancia se explica por la metodología (aproximación discreta vs. integración continua). Para la práctica, esto significa que RFEM 6 reproduce confiablemente el cálculo manual, reduce el esfuerzo iterativo manual y proporciona un tratamiento matemáticamente más riguroso de la línea de deslizamiento, con presentación transparente de resultados.