Verifikation des Grundbruchwiderstands nach DIN 4017 im Vergleich mit RFEM 6

Zur Validierung der Berechnung mit RFEM 6 wird ein in DIN 4017, Beiblatt 1 (2006) [1] beschriebenes Beispiel herangezogen. Betrachtet wird dabei ein mittig und senkrecht belastetes Fundament auf geschichtetem Baugrund, dessen Ergebnisse mit den in RFEM 6 ermittelten Werten gegenübergestellt werden. Ziel dieser Untersuchung ist die Bestimmung des Grundbruchwiderstandes des Bodens unterhalb der Fundamentsohle.

Modellbeschreibung

Das zugrunde liegende Fundament ist rechteckig mit den Abmessungen 4,0 m × 5,0 m und einer Dicke von 1,0 m. Die Fundamentoberkante liegt 1,0 m unterhalb der Geländeoberkante, sodass sich die Fundamentsohle in 2,0 m Tiefe befindet. Der Grundwasserspiegel liegt ebenfalls bei 2,0 m unter Geländeoberkante, also direkt auf Höhe der Fundamentsohle. Die Geometrie sowie die maßgebenden Bodenschichten mitsamt den zugehörigen Kennwerten sind nachfolgend dargestellt.

Fundamentgeometrie

Baugrundschichten und Kennwerte

Bodenaufbau

Handrechnung nach DIN 4017, Beiblatt 1 (2006)

Iterative Bestimmung der maßgebenden Bodenkenngrößen φ_m

Nach DIN 4017 [2] darf bei geschichtetem Baugrund eine Mittelwertbildung der Reibungswinkel φ' vorgenommen werden, wenn die Einzelwerte der anstehenden Schichten nicht mehr als 5° vom gemeinsamen arithmetischen Mittelwert φ_av abweichen.

Im vorliegenden Beispiel handelt es sich um drei Bodenschichten, die direkt unterhalb des Fundamentes anstehen. Für diese Schichten liegen die Reibungswinkel φ'₂ = 30°, φ'₃ = 25° und φ'₄ = 22,5° vor. Der arithmetische Mittelwert ergibt sich zu φ_av = ∑ φ'_i/n = (30 + 25 + 22,5)/3 = 25,83°.

Die Abweichung vom Mittelwert ist somit geringer als 5°.

Gleitkörper und Schichtaufbau – Fundament

1. Iterationsschritt (Start mit φ_m,0 = 25,83°; α = β = δ = 0):

ϵ₁ = asin(−sin(β)/sin(φ_A,k)) = asin(−sin(0,00°)/sin(25,83°)) = 0,00° – nach A.2
ϵ₂ = asin(−sin(δ)/sin(φ_A,k)) = asin(−sin(0,00°)/sin(25,83°)) = 0,00° – nach A.5
ϑ₁ = 45° − φ_m,0/2 − (ϵ₁ + β)/2 = 45° − 25,83°/2 − 0 = 32,1° – A.1
ϑ₂ = ϑ₃ = 45° + φ_m,0/2 − (ϵ₂ + β)/2 = 45° + 25,83°/2 − 0 = 57,9° – A.3
υ = 180° − α − β − ϑ₁ − ϑ₂ = 180° − 0° − 0° − 32,1° − 57,9° = 90° – A.6
r₂ = B'/(2⋅cos(ϑ₂)) = 4,00 m/(2⋅cos(57,9°)) = 3,76 m – A.7
r₁ = r₂⋅e^{(0,5π⋅tan(φ_m,0))} = 3,76 m⋅e^{(0,5π⋅tan(25,83°))} = 8,03 m – A.8
l_s = (r₁ − r₂)/sin(φ) = (3,76 m − 8,03 m)/sin(25,83°) = 9,80 m – A.17

Gesamtlänge der Gleitlinie nach Bild 3 dieses Beiblatts:

Σl = r₂ + r₁ + l_s = 3,76 + 8,03 + 9,81 = 21,60 m
l₁ = (z₃ − d)/(sin(ψ₂)) = 1,50/0,847 = 1,77 m
l₂ = (z₄ − z₃)/(sin(ψ₂)) = 1,50/0,847 = 1,77 m
l₄ = (z₃ − d)/(sin(ψ₁)) = 1,50/0,531 = 2,82 m
l₅ = (z₄ − z₃)/(sin(ψ₁)) = 1,50/0,531 = 2,82 m
l₃ + l₆ + l_s = Σl − (l₁ + l₂ + l₄ + l₅) = 21,60 m − 2⋅(1,77 + 2,82) = 12,42 m
φ'₂ = (4,59⋅30,0° + 4,59⋅25,0° + 12,42⋅22,5°)/21,60 = 24,6°
c'₂ = (4,59⋅5,00 + 12,42⋅2,00)/21,60 = 2,2 kN/m²

Die Iteration wird mit φ'₂ = 24,6° wiederholt.

2. Iterationsschritt (mit φ_m,1 = 24,6°; α = β = δ = 0):

ϵ₁ = ϵ₂ = 0,00°
ϑ₁ = 45° − 24,6°/2 − 0 = 32,7°
ϑ₂ = ϑ₃ = 45° + 24,6°/2 − 0 = 57,3°
υ = 180° − 0° − 0° − 32,7° − 57,3° = 90°
r₂ = 4,00 m/(2⋅cos(57,3°)) = 3,70 m
r₁ = 3,70 m⋅e^{(0,5π⋅tan(24,6°))} = 7,60 m
l_s = |7,60 − 3,70| m/sin(24,6°) = 9,36 m
Σl = 3,70 + 7,60 + 9,36 = 20,66 m
l₁ = l₂ = 1,50/0,842 = 1,78 m
l₄ = l₅ = 1,50/0,540 = 2,78 m
l₃ + l₆ + l_s = Σl − (l₁ + l₂ + l₄ + l₅) = 20,66 − 2⋅(1,78 + 2,78) = 11,54 m

Gewichtete Mittelwerte:

φ'₃ = ((l₁ + l₄)⋅30,0° + (l₂ + l₅)⋅25,0° + (l₃ + l₆ + l_s)⋅22,5°)/Σl
= ((1,78 + 2,78)⋅30,0° + (1,78 + 2,78)⋅25,0° + 11,54⋅22,5°)/20,66 = 24,71°
c'₃ = ((l₁ + l₄)⋅5,00 + (l₃ + l₆ + l_s)⋅2,00)/Σl
= ((1,78 + 2,78)⋅5,00 + 11,54⋅2,00)/20,66 = 2,22 kN/m²

Ergebnis: Der maßgebende Reibungswinkel ist damit praktisch konvergiert bei φ_m ≈ 24,7°.

Teilflächen des Gleitkörpers

Dreieck ABD
ϑ₂ = ϑ₃ = 45° + 24,7°/2 = 57,35°
A_a = tan(ϑ₂) ⋅ (B'/2)² = 1,56 ⋅ 4,00 m² = 6,24 m²

Dreieck BCE
ϑ₁ = 45° − 24,7°/2 = 32,65°
r₂ = 4,00 m/(2⋅cos(57,35°)) = 3,71 m
r₁ = 3,71 m ⋅ e^{(π/2 ⋅ tan(24,7°))} = 7,64 m
A_p = r₁² ⋅ sin(ϑ₁) ⋅ cos(ϑ₁) = 26,54 m²

Teilfläche der Spirale
A_s = (r₁² − r₂²)/(4⋅tan(φ')) = 24,24 m²

Summe der Flächen
ΣA = 57,02 m²

Mittleres Wichten des Gleitkörpers

Aus den Teilflächen und den jeweiligen Schichtwichten lässt sich das mittlere Wichten γ' bestimmen:
γ' = (11,0⋅22,82 + 12,0⋅17,87 + 10,0⋅16,33) ÷ 57,02 = 11,0 kN/m³.

Die mittlere Wichte des Bodens neben und oberhalb des Fundaments:
γ = (0,50 m⋅18,0 kN/m³ + 1,50 m⋅18,5 kN/m³) ÷ 2,00 m = 18,375 kN/m³

Berechnung des Grundbruchwiderstands

Nun können die Tragfähigkeitsbeiwerte bestimmt werden.

• N_q,0 = e^{(π⋅tan(24,7°))} ⋅ tan²(45° + 24,7°/2) = 10,33 [−]
• N_γ,0 = (10,33 − 1) ⋅ tan(24,7°) = 4,29 [−]
• N_c,0 = (10,33 − 1) ⋅ tan(24,7°) = 20,28 [−]

Um den Einfluss der Fundamentgeometrie zu berücksichtigen, werden zusätzlich Formbeiwerte benötigt:

• ν_q = 1 + 4,00 m/5,00 m ⋅ sin(24,7°) = 1,334 [−]
• ν_γ = 1 − 0,3 ⋅ 4,00 m/5,00 m = 0,760 [−]
• ν_c = (1,334 ⋅ 10,33 − 1)/(10,33 − 1) = 1,370 [−]

Mit diesen Faktoren ergeben sich die korrigierten Tragfähigkeitsbeiwerte:

• N_q = N_q,0 ⋅ ν_q = 10,33 ⋅ 1,334 = 13,78
• N_γ = N_γ,0 ⋅ ν_γ = 4,29 ⋅ 0,760 = 3,26
• N_c = N_c,0 ⋅ ν_c = 20,28 ⋅ 1,370 = 27,78

\[
\text{R}_n
= 5{,}00\,\text{m}\cdot 4{,}00\,\text{m}\cdot
\left(
\underbrace{11{,}0\,\text{kN/m}^3\cdot 4{,}00\,\text{m}\cdot 3{,}26}_{\gamma' \cdot B' \cdot N_\gamma}
+\underbrace{18{,}375\,\text{kN/m}^3\cdot 2\,\text{m}\cdot 13{,}78}_{\gamma \cdot t \cdot N_q}
+\underbrace{2{,}2\,\text{kN/m}^2\cdot 27{,}78}_{c' \cdot N_c}
\right) = 14\,233\,\text{kN}.
\]

Berechnung in RFEM 6

In RFEM 6 werden Geometrie, Lasten und Schichtparameter analog angesetzt. Im Gegensatz zur Beiblatt-Methode wird die Gleitlinie als logarithmische Spirale über die gesamte Kurve kontinuierlich integriert (keine Linearisierung in Tangenten- und Kreisbögen). Damit fließt die vollständige wirksame Bodenfläche der Gleitfuge in die Mittelung ein und die Anteile der einzelnen Schichten werden als echte Flächenbeiträge erfasst.

Ergebnis mittlerer Reibungswinkel: φ_m,RFEM = 25,03°
Grundbruchwiderstand: R_k,RFEM = A ⋅ σ_R,k = 5,00 m ⋅ 4,00 m ⋅ 741,53 kN/m² = 14.830,64 kN

Nachweis Grundbruch RFEM

Warum ergibt RFEM 25,03°, während die Handrechnung ca. 24,7° liefert – und was bedeutet das für R_k?

In der Handrechnung (Beiblatt) wird die Gleitfläche diskretisiert, also in Tangenten- und Kreisbogenabschnitte zerlegt. Daraus entsteht ein längengewichteter Mittelwinkel; das Verfahren ist näherungsweise und wird iterativ verfeinert (1. Iteration ≈ 24,6°, 2. Iteration ≈ 24,71°).

RFEM 6 dagegen integriert die lokalen Richtungen entlang der Kurve kontinuierlich. Dadurch werden die Flächenanteile der Schichten an der Gleitfuge vollständig erfasst (statt nur über Abschnittslängen), die Referenzrichtung eindeutig behandelt und die Krümmung der Spirale ohne Linearisierung berücksichtigt.

Der Effekt in diesem Beispiel: Der Anteil der „stärkeren“ Schicht (mit φ′ = 30°) an der wirksamen Gleitfugenfläche fällt etwas größer aus als in der diskreten Näherung. Das verschiebt die gewichtete Mittelung geringfügig nach oben und führt zu φ_m,RFEM = 25,03° (Differenz ~0,27° zur Handrechnung).

Auswirkung auf den Widerstand R_k

Ein wenig größerer φ skaliert die Tragfähigkeitsbeiwerte nichtlinear und erhöht damit den Widerstand.

Handrechnung (Beiblatt):
Charakteristische Widerstandsspannung σ_R,k = 710,97 kN/m²
Gesamtwiderstand R_k = 14.233 kN

RFEM 6:
Charakteristische Widerstandsspannung σ_R,k = 741,53 kN/m²
Gesamtwiderstand R_k = 14.830,64 kN

Die Differenz in R_n beträgt ≈ 4,2 % (bezogen auf die Handrechnung). Das ist fachlich stimmig und ergibt sich direkt aus der Methodik: diskrete Längengewichtung vs. kontinuierliche Flächengewichtung entlang der real gekrümmten Gleitlinie.

Ergebnisvergleich

Fazit

Die Berechnung nach DIN 4017 und die Ergebnisse in RFEM 6 stimmen sehr gut überein. Die kleine Abweichung erklärt sich durch die Methodik (diskrete Näherung vs. kontinuierliche Integration). Für die Praxis bedeutet das: RFEM 6 bildet die Handrechnung zuverlässig ab, reduziert manuellen Iterationsaufwand und liefert eine mathematisch strengere Behandlung der Gleitlinie – bei transparenter Ergebnisdarstellung.