Verifica della resistenza a scorrimento profondo secondo la DIN 4017 rispetto a RFEM 6

Per la validazione del calcolo con RFEM 6 viene utilizzato un esempio descritto in DIN 4017, appendice 1 (2006) [1]. Si considera una fondazione caricata centralmente e perpendicolarmente su un terreno stratificato, i cui risultati vengono confrontati con i valori determinati in RFEM 6. L'obiettivo di questo studio è determinare la resistenza al collasso del suolo sotto la base della fondazione.

Descrizione del modello

La fondazione considerata è rettangolare con dimensioni di 4,0 m × 5,0 m e uno spessore di 1,0 m. Il bordo superiore della fondazione si trova 1,0 m sotto il livello del terreno, quindi la base della fondazione è a una profondità di 2,0 m. Il livello della falda freatica è anch'esso a 2,0 m sotto il livello del terreno, quindi direttamente all'altezza della base della fondazione. La geometria e i principali strati di terreno con i relativi valori caratteristici sono rappresentati di seguito.

Geometria delle fondazioni

Strati di suolo e valori caratteristici

Composizione del terreno

Calcolo manuale secondo DIN 4017, appendice 1 (2006)

Determinazione iterativa delle caratteristiche principali del terreno φ_m

Secondo la DIN 4017 [2], su un terreno stratificato si può effettuare una media degli angoli di attrito φ' quando i valori individuali degli strati non si discostano più di 5° dalla media aritmetica comune φ_av.

Nel presente esempio si tratta di tre strati di terreno che si trovano direttamente sotto la fondazione. Per questi strati gli angoli di attrito sono φ'₂ = 30°, φ'₃ = 25° e φ'₄ = 22,5°. Il valore medio aritmetico è φ_av = ∑ φ'_i/n = (30 + 25 + 22,5)/3 = 25,83°.

La deviazione dal valore medio è quindi inferiore a 5°.

Sliking e composizione degli strati - Fondazione

1° passo iterativo (iniziare con φ_m,0 = 25,83°; α = β = δ = 0):

ϵ₁ = asin(−sin(β)/sin(φ_A,k)) = asin(−sin(0,00°)/sin(25,83°)) = 0,00° – secondo A.2 ϵ₂ = asin(−sin(δ)/sin(φ_A,k)) = asin(−sin(0,00°)/sin(25,83°)) = 0,00° – secondo A.5 ϑ₁ = 45° − φ_m,0/2 − (ϵ₁ + β)/2 = 45° − 25,83°/2 − 0 = 32,1° – A.1 ϑ₂ = ϑ₃ = 45° + φ_m,0/2 − (ϵ₂ + β)/2 = 45° + 25,83°/2 − 0 = 57,9° – A.3 υ = 180° − α − β − ϑ₁ − ϑ₂ = 180° − 0° − 0° − 32,1° − 57,9° = 90° – A.6 r₂ = B'/(2⋅cos(ϑ₂)) = 4,00 m/(2⋅cos(57,9°)) = 3,76 m – A.7 r₁ = r₂⋅e^{(0,5π⋅tan(φ_m,0))} = 3,76 m⋅e^{(0,5π⋅tan(25,83°))} = 8,03 m – A.8 l_s = (r₁ − r₂)/sin(φ) = (3,76 m − 8,03 m)/sin(25,83°) = 9,80 m – A.17

Lunghezza totale della linea di scivolamento secondo la figura 3 di questa appendice:

Σl = r₂ + r₁ + l_s = 3,76 + 8,03 + 9,81 = 21,60 m l₁ = (z₃ − d)/(sin(ψ₂)) = 1,50/0,847 = 1,77 m l₂ = (z₄ − z₃)/(sin(ψ₂)) = 1,50/0,847 = 1,77 m l₄ = (z₃ − d)/(sin(ψ₁)) = 1,50/0,531 = 2,82 m l₅ = (z₄ − z₃)/(sin(ψ₁)) = 1,50/0,531 = 2,82 m l₃ + l₆ + l_s = Σl − (l₁ + l₂ + l₄ + l₅) = 21,60 m − 2⋅(1,77 + 2,82) = 12,42 m φ'₂ = (4,59⋅30,0° + 4,59⋅25,0° + 12,42⋅22,5°)/21,60 = 24,6° c'₂ = (4,59⋅5,00 + 12,42⋅2,00)/21,60 = 2,2 kN/m²

L'iterazione viene ripetuta con φ'₂ = 24,6°.

2° passo iterativo (con φ_m,1 = 24,6°; α = β = δ = 0):

ϵ₁ = ϵ₂ = 0,00° ϑ₁ = 45° − 24,6°/2 − 0 = 32,7° ϑ₂ = ϑ₃ = 45° + 24,6°/2 − 0 = 57,3° υ = 180° − 0° − 0° − 32,7° − 57,3° = 90° r₂ = 4,00 m/(2⋅cos(57,3°)) = 3,70 m r₁ = 3,70 m⋅e^{(0,5π⋅tan(24,6°))} = 7,60 m l_s = |7,60 − 3,70| m/sin(24,6°) = 9,36 m Σl = 3,70 + 7,60 + 9,36 = 20,66 m l₁ = l₂ = 1,50/0,842 = 1,78 m l₄ = l₅ = 1,50/0,540 = 2,78 m l₃ + l₆ + l_s = Σl − (l₁ + l₂ + l₄ + l₅) = 20,66 − 2⋅(1,78 + 2,78) = 11,54 m

Valori medi ponderati:

φ'₃ = ((l₁ + l₄)⋅30,0° + (l₂ + l₅)⋅25,0° + (l₃ + l₆ + l_s)⋅22,5°)/Σl = ((1,78 + 2,78)⋅30,0° + (1,78 + 2,78)⋅25,0° + 11,54⋅22,5°)/20,66 = 24,71° c'₃ = ((l₁ + l₄)⋅5,00 + (l₃ + l₆ + l_s)⋅2,00)/Σl = ((1,78 + 2,78)⋅5,00 + 11,54⋅2,00)/20,66 = 2,22 kN/m²

Risultato: l'angolo di attrito prevalente è praticamente convergente a φ_m ≈ 24,7°.

Superfici parziali del corpo di scivolamento

Triangolo ABD ϑ₂ = ϑ₃ = 45° + 24,7°/2 = 57,35° A_a = tan(ϑ₂) ⋅ (B'/2)² = 1,56 ⋅ 4,00 m² = 6,24 m²

Triangolo BCE ϑ₁ = 45° − 24,7°/2 = 32,65° r₂ = 4,00 m/(2⋅cos(57,35°)) = 3,71 m r₁ = 3,71 m ⋅ e^{(π/2 ⋅ tan(24,7°))} = 7,64 m A_p = r₁² ⋅ sin(ϑ₁) ⋅ cos(ϑ₁) = 26,54 m²

Superficie della spirale A_s = (r₁² − r₂²)/(4⋅tan(φ')) = 24,24 m²

Somma delle superfici ΣA = 57,02 m²

Peso medio del corpo di scivolamento

Da superfici parziali e pesi degli strati si può determinare il peso medio γ': γ' = (11,0⋅22,82 + 12,0⋅17,87 + 10,0⋅16,33) ÷ 57,02 = 11,0 kN/m³.

Il peso medio del terreno accanto e sopra la fondazione: γ = (0,50 m⋅18,0 kN/m³ + 1,50 m⋅18,5 kN/m³) ÷ 2,00 m = 18,375 kN/m³

Calcolo della resistenza al collasso

Ora possono essere determinati i coefficienti di capacità portante.

• N_q,0 = e^{(π⋅tan(24,7°))} ⋅ tan²(45° + 24,7°/2) = 10,33 [−]
• N_γ,0 = (10,33 − 1) ⋅ tan(24,7°) = 4,29 [−]
• N_c,0 = (10,33 − 1) ⋅ tan(24,7°) = 20,28 [−]

Per considerare l'influenza della geometria della fondazione, sono necessari anche i coefficienti di forma:

• ν_q = 1 + 4,00 m/5,00 m ⋅ sin(24,7°) = 1,334 [−]
• ν_γ = 1 − 0,3 ⋅ 4,00 m/5,00 m = 0,760 [−]
• ν_c = (1,334 ⋅ 10,33 − 1)/(10,33 − 1) = 1,370 [−]

Con questi fattori si ottengono i coefficienti di capacità portante corretti:

• N_q = N_q,0 ⋅ ν_q = 10,33 ⋅ 1,334 = 13,78
• N_γ = N_γ,0 ⋅ ν_γ = 4,29 ⋅ 0,760 = 3,26
• N_c = N_c,0 ⋅ ν_c = 20,28 ⋅ 1,370 = 27,78

\[ \text{R}_n = 5{,}00\,\text{m}\cdot 4{,}00\,\text{m}\cdot \left( \underbrace{11{,}0\,\text{kN/m}^3\cdot 4{,}00\,\text{m}\cdot 3{,}26}_{\gamma' \cdot B' \cdot N_\gamma} +\underbrace{18{,}375\,\text{kN/m}^3\cdot 2\,\text{m}\cdot 13{,}78}_{\gamma \cdot t \cdot N_q} +\underbrace{2{,}2\,\text{kN/m}^2\cdot 27{,}78}_{c' \cdot N_c} \right) = 14\,233\,\text{kN}. \]

Calcolo in RFEM 6

In RFEM 6 la geometria, i carichi e i parametri degli strati vengono impostati in modo analogo. A differenza del metodo dell'appendice, la linea di scivolamento è integrata come una spirale logaritmica lungo tutta la curva in modo continuo (nessuna linearizzazione in tratti tangenti e ad arco). In questo modo, l'intera area di terreno efficace della superficie di scivolamento viene considerata nella media e le porzioni di ciascun strato sono registrate come contributi reali della superficie.

Risultato angolo di attrito medio: φ_m,RFEM = 25,03° Resistenza al collasso: R_k,RFEM = A ⋅ σ_R,k = 5,00 m ⋅ 4,00 m ⋅ 741,53 kN/m² = 14.830,64 kN

Verifica della rottura del sottosuolo per RFEM

Perché RFEM risulta 25,03° mentre il calcolo manuale fornisce circa 24,7° - e cosa significa per R_k?

Nel calcolo manuale (appendice) la superficie di scivolamento è discretizzata, cioè suddivisa in tratti tangenti e ad arco. Da ciò si ottiene un angolo medio ponderato per lunghezza; il metodo è approssimativo e viene perfezionato iterativamente (1a iterazione ≈ 24,6°, 2a iterazione ≈ 24,71°).

RFEM 6, invece, integra le direzioni locali lungo la curva in modo continuo. In questo modo, le porzioni di superficie degli strati sulla superficie di scivolamento sono completamente considerate (anziché solo tramite lunghezze dei tratti), la direzione di riferimento è trattata in modo univoco e la curvatura della spirale è considerata senza linearizzazione.

L'effetto in questo esempio: la porzione dello strato "più forte" (con φ' = 30°) sulla superficie di scivolamento efficace risulta un po' maggiore rispetto all'approssimazione discreta. Ciò sposta la media ponderata leggermente verso l'alto e porta a φ_m,RFEM = 25,03° (differenza ~0,27° rispetto al calcolo manuale).

Impatto sulla resistenza R_k

Un φ leggermente maggiore scala in modo non lineare i coefficienti di capacità portante aumentando così la resistenza.

Calcolo manuale (appendice): Tensione caratteristica di resistenza σ_R,k = 710,97 kN/m² Resistenza totale R_k = 14.233 kN

RFEM 6: Tensione caratteristica di resistenza σ_R,k = 741,53 kN/m² Resistenza totale R_k = 14.830,64 kN

La differenza in R_n è di ≈ 4,2% (rispetto al calcolo manuale). Questo è coerente dal punto di vista tecnico e deriva direttamente dalla metodologia: ponderazione di lunghezza discreta rispetto alla ponderazione continua di superficie lungo la linea di scivolamento realemente curva.

Confronto dei risultati

Conclusione

Il calcolo secondo DIN 4017 e i risultati in RFEM 6 concordano molto bene. La piccola differenza si spiega con la metodologia (approssimazione discreta vs. integrazione continua). In pratica questo significa: RFEM 6 riproduce il calcolo manuale in modo affidabile, riduce il lavoro iterativo manuale e fornisce un trattamento matematicamente rigoroso della linea di scivolamento – con una rappresentazione trasparente dei risultati.