Weryfikacja nośności gruntu zgodnie z DIN 4017 w porównaniu z RFEM 6

Do walidacji obliczeń za pomocą RFEM 6 wykorzystano przykład opisany w normie DIN 4017, Aneks 1 (2006) [1]. Rozpatruje się fundament obciążony centralnie i pionowo na uwarstwionym podłożu, którego wyniki są porównywane z wartościami uzyskanymi w RFEM 6. Celem tego badania jest określenie odporności na przebicie gruntu pod podstawą fundamentu.

Opis modelu

Podstawowy fundament jest prostokątny o wymiarach 4,0 m × 5,0 m i grubości 1,0 m. Górna krawędź fundamentu znajduje się 1,0 m poniżej poziomu terenu, dzięki czemu podstawa fundamentu znajduje się na głębokości 2,0 m. Poziom wód gruntowych również wynosi 2,0 m poniżej poziomu terenu, co oznacza, że jest na wysokości podstawy fundamentu. Geometria oraz istotne warstwy gruntu wraz z odpowiadającymi im wartościami są przedstawione poniżej.

Geometria fundamentu

Warstwy gruntu i charakterystyki

Budowa gruntu

Ręczne obliczenie według normy DIN 4017, Aneks 1 (2006)

Iteracyjne określenie decydujących parametrów gruntu φ_m

Zgodnie z normą DIN 4017 [2] można zastosować średnią wartość kątów tarcia φ' dla warstwowanego podłoża, jeśli wartości pojedynczych warstw nie odbiegają od wspólnej średniej arytmetycznej φ_av o więcej niż 5°.

W tym przykładzie mamy do czynienia z trzema warstwami gruntu, które znajdują się bezpośrednio pod fundamentem. Dla tych warstw kąty tarcia φ'₂ = 30°, φ'₃ = 25° i φ'₄ = 22,5° są dostępne. Średnia arytmetyczna wynosi φ_av = ∑ φ'_i/n = (30 + 25 + 22,5)/3 = 25,83°.

Odchylenie od średniej jest tym samym mniejsze niż 5°.

Zwarcie i struktura warstw – fundament

1. Krok iteracyjny (Początek z φ_m,0 = 25,83°; α = β = δ = 0):

ϵ₁ = asin(−sin(β)/sin(φ_A,k)) = asin(−sin(0,00°)/sin(25,83°)) = 0,00° – według A.2 ϵ₂ = asin(−sin(δ)/sin(φ_A,k)) = asin(−sin(0,00°)/sin(25,83°)) = 0,00° – według A.5 ϑ₁ = 45° − φ_m,0/2 − (ϵ₁ + β)/2 = 45° − 25,83°/2 − 0 = 32,1° – A.1 ϑ₂ = ϑ₃ = 45° + φ_m,0/2 − (ϵ₂ + β)/2 = 45° + 25,83°/2 − 0 = 57,9° – A.3 υ = 180° − α − β − ϑ₁ − ϑ₂ = 180° − 0° − 0° − 32,1° − 57,9° = 90° – A.6 r₂ = B'/(2⋅cos(ϑ₂)) = 4,00 m/(2⋅cos(57,9°)) = 3,76 m – A.7 r₁ = r₂⋅e^{(0,5π⋅tan(φ_m,0))} = 3,76 m⋅e^{(0,5π⋅tan(25,83°))} = 8,03 m – A.8 l_s = (r₁ − r₂)/sin(φ) = (3,76 m − 8,03 m)/sin(25,83°) = 9,80 m – A.17

Całkowita długość linii poślizgu według rysunku 3 tego aneksu:

Σl = r₂ + r₁ + l_s = 3,76 + 8,03 + 9,81 = 21,60 m l₁ = (z₃ − d)/(sin(ψ₂)) = 1,50/0,847 = 1,77 m l₂ = (z₄ − z₃)/(sin(ψ₂)) = 1,50/0,847 = 1,77 m l₄ = (z₃ − d)/(sin(ψ₁)) = 1,50/0,531 = 2,82 m l₅ = (z₄ − z₃)/(sin(ψ₁)) = 1,50/0,531 = 2,82 m l₃ + l₆ + l_s = Σl − (l₁ + l₂ + l₄ + l₅) = 21,60 m − 2⋅(1,77 + 2,82) = 12,42 m φ'₂ = (4,59⋅30,0° + 4,59⋅25,0° + 12,42⋅22,5°)/21,60 = 24,6° c'₂ = (4,59⋅5,00 + 12,42⋅2,00)/21,60 = 2,2 kN/m²

Iterację powtarza się z φ'₂ = 24,6°.

2. Krok iteracyjny (z φ_m,1 = 24,6°; α = β = δ = 0):

ϵ₁ = ϵ₂ = 0,00° ϑ₁ = 45° − 24,6°/2 − 0 = 32,7° ϑ₂ = ϑ₃ = 45° + 24,6°/2 − 0 = 57,3° υ = 180° − 0° − 0° − 32,7° − 57,3° = 90° r₂ = 4,00 m/(2⋅cos(57,3°)) = 3,70 m r₁ = 3,70 m⋅e^{(0,5π⋅tan(24,6°))} = 7,60 m l_s = |7,60 − 3,70| m/sin(24,6°) = 9,36 m Σl = 3,70 + 7,60 + 9,36 = 20,66 m l₁ = l₂ = 1,50/0,842 = 1,78 m l₄ = l₅ = 1,50/0,540 = 2,78 m l₃ + l₆ + l_s = Σl − (l₁ + l₂ + l₄ + l₅) = 20,66 − 2⋅(1,78 + 2,78) = 11,54 m

Ważone średnie:

φ'₃ = ((l₁ + l₄)⋅30,0° + (l₂ + l₅)⋅25,0° + (l₃ + l₆ + l_s)⋅22,5°)/Σl = ((1,78 + 2,78)⋅30,0° + (1,78 + 2,78)⋅25,0° + 11,54⋅22,5°)/20,66 = 24,71° c'₃ = ((l₁ + l₄)⋅5,00 + (l₃ + l₆ + l_s)⋅2,00)/Σl = ((1,78 + 2,78)⋅5,00 + 11,54⋅2,00)/20,66 = 2,22 kN/m²

Wynik: Decydujący kąt tarcia jest w przybliżeniu zbieżny przy φ_m ≈ 24,7°.

Obszary częściowe bryły poślizgu

Trójkąt ABD ϑ₂ = ϑ₃ = 45° + 24,7°/2 = 57,35° A_a = tan(ϑ₂) ⋅ (B'/2)² = 1,56 ⋅ 4,00 m² = 6,24 m²

Trójkąt BCE ϑ₁ = 45° − 24,7°/2 = 32,65° r₂ = 4,00 m/(2⋅cos(57,35°)) = 3,71 m r₁ = 3,71 m ⋅ e^{(π/2 ⋅ tan(24,7°))} = 7,64 m A_p = r₁² ⋅ sin(ϑ₁) ⋅ cos(ϑ₁) = 26,54 m²

Powierzchnia części spirali A_s = (r₁² − r₂²)/(4⋅tan(φ')) = 24,24 m²

Suma powierzchni ΣA = 57,02 m²

Średnia diaspora bryły poślizgu

Z częścią powierzchni i odpowiednimi ciężarami warstw można określić średni ciężar γ': γ' = (11,0⋅22,82 + 12,0⋅17,87 + 10,0⋅16,33) ÷ 57,02 = 11,0 kN/m³.

Średni ciężar gruntu obok i nad fundamentem: γ = (0,50 m⋅18,0 kN/m³ + 1,50 m⋅18,5 kN/m³) ÷ 2,00 m = 18,375 kN/m³

Obliczenie odporności na przebicie

Można teraz określić współczynniki nośności:

• N_q,0 = e^{(π⋅tan(24,7°))} ⋅ tan²(45° + 24,7°/2) = 10,33 [−]
• N_γ,0 = (10,33 − 1) ⋅ tan(24,7°) = 4,29 [−]
• N_c,0 = (10,33 − 1) ⋅ tan(24,7°) = 20,28 [−]

Aby uwzględnić wpływ geometracji fundamentu, wymagane są dodatkowe współczynniki kształtu:

• ν_q = 1 + 4,00 m/5,00 m ⋅ sin(24,7°) = 1,334 [−]
• ν_γ = 1 − 0,3 ⋅ 4,00 m/5,00 m = 0,760 [−]
• ν_c = (1,334 ⋅ 10,33 − 1)/(10,33 − 1) = 1,370 [−]

Dzięki tym współczynnikom uzyskuje się skorygowane współczynniki nośności:

• N_q = N_q,0 ⋅ ν_q = 10,33 ⋅ 1,334 = 13,78
• N_γ = N_γ,0 ⋅ ν_γ = 4,29 ⋅ 0,760 = 3,26
• N_c = N_c,0 ⋅ ν_c = 20,28 ⋅ 1,370 = 27,78

\[ \text{R}_n = 5{,}00\,\text{m}\cdot 4{,}00\,\text{m}\cdot \left( \underbrace{11{,}0\,\text{kN/m}^3\cdot 4{,}00\,\text{m}\cdot 3{,}26}_{\gamma' \cdot B' \cdot N_\gamma} +\underbrace{18{,}375\,\text{kN/m}^3\cdot 2\,\text{m}\cdot 13{,}78}_{\gamma \cdot t \cdot N_q} +\underbrace{2{,}2\,\text{kN/m}^2\cdot 27{,}78}_{c' \cdot N_c} \right) = 14\,233\,\text{kN}. \]

Obliczenie w RFEM 6

W RFEM 6 geometria, obciążenia i parametry warstw są ustawione analogicznie. W przeciwieństwie do metody Aneksu, linia poślizgu jest ciągle całkowana jako spirala logarytmiczna wzdłuż całej krzywej (brak linearyzacji na odcinki styczne i łukowe). Dzięki temu cała powierzchnia efektywna gruntu przy powierzchni ślizgowej jest uwzględniana przy wzajemnych podziałach, a części poszczególnych warstw są ujęte jako rzeczywiste wkłady powierzchniowe.

Wynikowy średni kąt tarcia: φ_m,RFEM = 25,03° Odporność na przebicie: R_k,RFEM = A ⋅ σ_R,k = 5,00 m ⋅ 4,00 m ⋅ 741,53 kN/m² = 14.830,64 kN

Obliczanie nośności granicznej fundamentu w programie RFEM

Dlaczego RFEM podaje 25,03°, podczas gdy obliczenia ręczne to około 24,7° – i co to znaczy dla R_k?

W obliczeniach ręcznych (Aneks) powierzchnia poślizgu jest dyskretyzowana, tj. dzielona na odcinki styczne i łukowe. Powstaje średni kąt ważony wzdłuż długości; metoda jest przybliżona i jest iteracyjnie doskonalona (1. iteracja ≈ 24,6°, 2. iteracja ≈ 24,71°).

RFEM 6 natomiast całkuje lokalne kierunki wzdłuż krzywej ciągle. Dzięki temu udziały powierzchniowe warstw w przy powierzchni ślizgowej są całkowicie uwzględniane (zamiast tylko wzdłuż długości odcinków), kierunek odniesienia jest jednoznacznie traktowany, a krzywizna spirali jest uwzględniana bez linearyzacji.

Efekt w tym przykładzie: Udział „silniejszej” warstwy (z φ′ = 30°) w efektywnej powierzchni ślizgowej jest nieco większy niż w przybliżeniu dyskretnym. To przesuwa ważenie nieco w górę i prowadzi do φ_m,RFEM = 25,03° (różnica ~0,27° w stosunku do obliczeń ręcznych).

Wpływ na odporność R_k

Nieco większy φ skalowaniu współczynników nośności nieliniowo zwiększa odporność.

Obliczenia ręczne (Aneks): Napięcie wytrzymałości na przebicie charakterystyczne σ_R,k = 710,97 kN/m² Całkowita odporność R_k = 14.233 kN

RFEM 6: Napięcie wytrzymałości na przebicie charakterystyczne σ_R,k = 741,53 kN/m² Całkowita odporność R_k = 14.830,64 kN

Różnica w R_n wynosi ≈ 4,2 % (w odniesieniu do obliczeń ręcznych). Jest to fachowo poprawne i wynika bezpośrednio z metodologii: dyskretne ważenie wzdłuż długości vs. ciągłe ważenie powierzchniowe wzdłuż rzeczywistej zakrzywionej linii poślizgu.

Porównanie wyników

Wniosek

Obliczenia według DIN 4017 i wyniki w RFEM 6 są bardzo zgodne. Niewielka różnica wynika z metodologii (przybliżenie dyskretne vs. ciągła integracja). Dla praktyki oznacza to: RFEM 6 dokładnie odwzorowuje obliczenia ręczne, zmniejsza potrzebę manualnej iteracji i dostarcza matematycznie bardziej rygorystyczne podejście do linii poślizgu – przy jednoczesnym zapewnieniu przejrzystości wyników.