Comparaison entre la vérification de la résistance à la rupture du terrain selon la norme DIN 4017 et RFEM 6

Pour valider le calcul avec RFEM 6, un exemple décrit dans la norme DIN 4017, Annexe 1 (2006) [1] est utilisé. Il s’agit d'une fondation sollicitée au centre et perpendiculairement sur un sol en couches, dont les résultats sont comparés avec les valeurs déterminées dans RFEM 6. L’objectif de cette étude est de déterminer la résistance à la rupture du terrain sous la semelle de fondation.

Description du modèle

La fondation sous-jacente est rectangulaire avec des dimensions de 4,0 m × 5,0 m et une épaisseur de 1,0 m. Le sommet de la fondation se trouve à 1,0 m sous le niveau du sol, ainsi, la semelle de la fondation se situe à une profondeur de 2,0 m. Le niveau de la nappe phréatique est également à 2,0 m sous le niveau du sol, soit juste au niveau de la semelle de la fondation. La géométrie ainsi que les couches de sol déterminantes avec leurs caractéristiques sont présentées ci-dessous.

Géométrie de la fondation

Couches de sol et caractéristiques

Structure du sol

Calcul manuel selon DIN 4017, Annexe 1 (2006)

Détermination itérative des caractéristiques du sol dominantes φ_m

Selon la norme DIN 4017 [2], une moyenne des angles de frottement φ' peut être calculée pour un sol en couches, si les valeurs individuelles des couches présentes ne dévient pas de plus de 5° de la moyenne arithmétique commune φ_av.

Dans cet exemple, trois couches de sol se trouvent directement sous la fondation. Pour ces couches, les angles de frottement sont φ'₂ = 30°, φ'₃ = 25° et φ'₄ = 22,5°. La moyenne arithmétique est φ_av = ∑ φ'_i/n = (30 + 25 + 22,5)/3 = 25,83°.

L’écart avec la moyenne est donc inférieur à 5°.

Coulisseau et composition de couches – Fondation

1ère étape d’itération (Début avec φ_m,0 = 25,83°; α = β = δ = 0) :

ϵ₁ = asin(−sin(β)/sin(φ_A,k)) = asin(−sin(0,00°)/sin(25,83°)) = 0,00° – selon A.2
ϵ₂ = asin(−sin(δ)/sin(φ_A,k)) = asin(−sin(0,00°)/sin(25,83°)) = 0,00° – selon A.5
ϑ₁ = 45° − φ_m,0/2 − (ϵ₁ + β)/2 = 45° − 25,83°/2 − 0 = 32,1° – A.1
ϑ₂ = ϑ₃ = 45° + φ_m,0/2 − (ϵ₂ + β)/2 = 45° + 25,83°/2 − 0 = 57,9° – A.3
υ = 180° − α − β − ϑ₁ − ϑ₂ = 180° − 0° − 0° − 32,1° − 57,9° = 90° – A.6
r₂ = B'/(2⋅cos(ϑ₂)) = 4,00 m/(2⋅cos(57,9°)) = 3,76 m – A.7
r₁ = r₂⋅e^{(0,5π⋅tan(φ_m,0))} = 3,76 m⋅e^{(0,5π⋅tan(25,83°))} = 8,03 m – A.8
l_s = (r₁ − r₂)/sin(φ) = (3,76 m − 8,03 m)/sin(25,83°) = 9,80 m – A.17

Longueur totale de la ligne de glissement selon la figure 3 de cette annexe :

Σl = r₂ + r₁ + l_s = 3,76 + 8,03 + 9,81 = 21,60 m
l₁ = (z₃ − d)/(sin(ψ₂)) = 1,50/0,847 = 1,77 m
l₂ = (z₄ − z₃)/(sin(ψ₂)) = 1,50/0,847 = 1,77 m
l₄ = (z₃ − d)/(sin(ψ₁)) = 1,50/0,531 = 2,82 m
l₅ = (z₄ − z₃)/(sin(ψ₁)) = 1,50/0,531 = 2,82 m
l₃ + l₆ + l_s = Σl − (l₁ + l₂ + l₄ + l₅) = 21,60 m − 2⋅(1,77 + 2,82) = 12,42 m
φ'₂ = (4,59⋅30,0° + 4,59⋅25,0° + 12,42⋅22,5°)/21,60 = 24,6°
c'₂ = (4,59⋅5,00 + 12,42⋅2,00)/21,60 = 2,2 kN/m²

L’itération est répétée avec φ'₂ = 24,6°.

2e étape d’itération (avec φ_m,1 = 24,6°; α = β = δ = 0) :

ϵ₁ = ϵ₂ = 0,00°
ϑ₁ = 45° − 24,6°/2 − 0 = 32,7°
ϑ₂ = ϑ₃ = 45° + 24,6°/2 − 0 = 57,3°
υ = 180° − 0° − 0° − 32,7° − 57,3° = 90°
r₂ = 4,00 m/(2⋅cos(57,3°)) = 3,70 m
r₁ = 3,70 m⋅e^{(0,5π⋅tan(24,6°))} = 7,60 m
l_s = |7,60 − 3,70| m/sin(24,6°) = 9,36 m
Σl = 3,70 + 7,60 + 9,36 = 20,66 m
l₁ = l₂ = 1,50/0,842 = 1,78 m
l₄ = l₅ = 1,50/0,540 = 2,78 m
l₃ + l₆ + l_s = Σl − (l₁ + l₂ + l₄ + l₅) = 20,66 − 2⋅(1,78 + 2,78) = 11,54 m

Moyennes pondérées :

φ'₃ = ((l₁ + l₄)⋅30,0° + (l₂ + l₅)⋅25,0° + (l₃ + l₆ + l_s)⋅22,5°)/Σl
= ((1,78 + 2,78)⋅30,0° + (1,78 + 2,78)⋅25,0° + 11,54⋅22,5°)/20,66 = 24,71°
c'₃ = ((l₁ + l₄)⋅5,00 + (l₃ + l₆ + l_s)⋅2,00)/Σl
= ((1,78 + 2,78)⋅5,00 + 11,54⋅2,00)/20,66 = 2,22 kN/m²

Résultat : l’angle de frottement dominant converge ainsi pratiquement à φ_m ≈ 24,7°.

Aires partielles du corps glissant

Triangle ABD
ϑ₂ = ϑ₃ = 45° + 24,7°/2 = 57,35°
A_a = tan(ϑ₂) ⋅ (B'/2)² = 1,56 ⋅ 4,00 m² = 6,24 m²

Triangle BCE
ϑ₁ = 45° − 24,7°/2 = 32,65°
r₂ = 4,00 m/(2⋅cos(57,35°)) = 3,71 m
r₁ = 3,71 m ⋅ e^{(π/2 ⋅ tan(24,7°))} = 7,64 m
A_p = r₁² ⋅ sin(ϑ₁) ⋅ cos(ϑ₁) = 26,54 m²

Aires partielles de la spirale
A_s = (r₁² − r₂²)/(4⋅tan(φ')) = 24,24 m²

Somme des aires
ΣA = 57,02 m²

Moyenne pondérée du corps glissant

À partir des sous-surfaces et des poids des couches respectifs, le poids moyen γ' peut être déterminé :
γ' = (11,0⋅22,82 + 12,0⋅17,87 + 10,0⋅16,33) ÷ 57,02 = 11,0 kN/m³.

Le poids moyen du sol à côté et au-dessus de la fondation :
γ = (0,50 m⋅18,0 kN/m³ + 1,50 m⋅18,5 kN/m³) ÷ 2,00 m = 18,375 kN/m³

Calcul de la résistance à la rupture du terrain

Les coefficients de capacité portante peuvent maintenant être déterminés.

• N_q,0 = e^{(π⋅tan(24,7°))} ⋅ tan²(45° + 24,7°/2) = 10,33 [−]
• N_γ,0 = (10,33 − 1) ⋅ tan(24,7°) = 4,29 [−]
• N_c,0 = (10,33 − 1) ⋅ tan(24,7°) = 20,28 [−]

Pour tenir compte de l’influence de la géométrie de la fondation, des coefficients de forme supplémentaires sont requis :

• ν_q = 1 + 4,00 m/5,00 m ⋅ sin(24,7°) = 1,334 [−]
• ν_γ = 1 − 0,3 ⋅ 4,00 m/5,00 m = 0,760 [−]
• ν_c = (1,334 ⋅ 10,33 − 1)/(10,33 − 1) = 1,370 [−]

Avec ces facteurs, les coefficients de capacité portante corrigés se calculent comme suit :

• N_q = N_q,0 ⋅ ν_q = 10,33 ⋅ 1,334 = 13,78
• N_γ = N_γ,0 ⋅ ν_γ = 4,29 ⋅ 0,760 = 3,26
• N_c = N_c,0 ⋅ ν_c = 20,28 ⋅ 1,370 = 27,78

\[
\text{R}_n
= 5{,}00\,\text{m}\cdot 4{,}00\,\text{m}\cdot
\left(
\underbrace{11{,}0\,\text{kN/m}^3\cdot 4{,}00\,\text{m}\cdot 3{,}26}_{\gamma' \cdot B' \cdot N_\gamma}
+\underbrace{18{,}375\,\text{kN/m}^3\cdot 2\,\text{m}\cdot 13{,}78}_{\gamma \cdot t \cdot N_q}
+\underbrace{2{,}2\,\text{kN/m}^2\cdot 27{,}78}_{c' \cdot N_c}
\right) = 14\,233\,\text{kN}.
\]

Calcul dans RFEM 6

Dans RFEM 6, la géométrie, les charges et les paramètres des couches sont définis de manière analogue. Contrairement à la méthode de l’annexe, la ligne de glissement est intégrée en spirale logarithmique sur toute la courbe de manière continue (pas de linéarisation en arcs tangents et circulaires). Ainsi, toute la surface de sol effective du joint de glissement est comprise dans la moyenne, et les contributions des différentes couches sont saisies comme de véritables contributions de surface.

Résultat angle de frottement moyen : φ_m,RFEM = 25,03°
Résistance au cisaillement ultime : R_k,RFEM = A ⋅ σ_R,k = 5,00 m ⋅ 4,00 m ⋅ 741,53 kN/m² = 14.830,64 kN

Vérification de fondation RFEM

Pourquoi RFEM donne 25,03°, tandis que le calcul manuel fournit environ 24,7° – et qu'est-ce que cela signifie pour R_k?

Dans le calcul manuel (Annexe), la surface de glissement est discrétisée, c’est-à-dire décomposée en sections d’arcs tangents et circulaires. Cela génère un angle moyen pondéré en longueur. La méthode est approximative et affinée de manière itérative (1ère itération ≈ 24,6°, 2ème itération ≈ 24,71°).

RFEM 6 intègre au contraire les directions locales le long de la courbe de manière continue. Cela rend parfaitement compte des parts de surface des couches au niveau du joint de glissement (au lieu de seulement par longueurs de sections), la direction de référence étant traitée clairement et la courbure de la spirale intégrée sans linéarisation.

L’effet dans cet exemple : la contribution de la couche « plus forte » (avec φ′ = 30°) dans la surface de glissement efficace est légèrement plus grande que dans l'approximation discrète. Cela décale la moyenne pondérée légèrement vers le haut, conduisant à φ_m,RFEM = 25,03° (différence ~0,27° par rapport au calcul manuel).

Impact sur la résistance R_k

Un φ légèrement plus grand met à l’échelle les coefficients de capacité portante de façon non linéaire et augmente ainsi la résistance.

Calcul manuel (Annexe) :
Contrainte de résistance caractéristique σ_R,k = 710,97 kN/m²
Résistance totale R_k = 14.233 kN

RFEM 6 :
Contrainte de résistance caractéristique σ_R,k = 741,53 kN/m²
Résistance totale R_k = 14.830,64 kN

La différence dans R_n est ≈ 4,2 % (par rapport au calcul manuel). C'est techniquement cohérent et découle directement de la méthodologie : pondération par longueur discrète contre pondération continue par surface le long de la vraie ligne de glissement courbée.

Comparaison des résultats

Conclusion

Les calculs selon DIN 4017 et les résultats dans RFEM 6 correspondent très bien. La petite divergence s’explique par la méthodologie (approximation discrète contre intégration continue). Pour la pratique, cela signifie que RFEM 6 reflète fidèlement le calcul manuel, réduit l’effort itératif manuel et fournit un traitement mathématiquement plus rigoureux de la ligne de glissement, tout en présentant les résultats de manière transparente.