Ověření smykové únosnosti zeminy podle DIN 4017 ve srovnání s programem RFEM 6

Pro ověření výpočtu v RFEM 6 byl použit příklad popsaný v DIN 4017, příloha 1 (2006) [1]. Posuzován je přitom středem a svisle zatížený základ na vrstvené zemině, jehož výsledky jsou porovnány s hodnotami zjištěnými v RFEM 6. Cílem této studie je stanovení mezního odporu podloží pod základem.

Popis modelu

Základ, na kterém se výpočet zakládá, je obdélníkový s rozměry 4,0 m × 5,0 m a tloušťkou 1,0 m. Vrchní hrana základu je 1,0 m pod úrovní terénu, takže základová spára se nachází v hloubce 2,0 m. Hladina podzemní vody je rovněž 2,0 m pod úrovní terénu, tedy přímo na úrovni základové spáry. Následující diagram zobrazuje geometrii a klíčové vrstvy půdy spolu s příslušnými parametry.

Geometrie základů

Vrstvy podloží a charakteristiky

Složení podloží

Ruční výpočet podle DIN 4017, Příloha 1 (2006)

Iterativní stanovení hlavních parametrů půdy φ_m

Podle normy DIN 4017 [2] je při vrstvené zemině možný aritmetický průměr úhlů vnitřního tření φ', pokud jednotlivé hodnoty vrstev nepřekročí společný aritmetický průměr φ_av o více než 5°.

V daném příkladu se jedná o tři vrstvy zeminy přímo pod základem. Pro tyto vrstvy jsou úhly tření φ'₂ = 30°, φ'₃ = 25° a φ'₄ = 22,5°. Aritmetický průměr je φ_av = ∑ φ'_i/n = (30 + 25 + 22,5)/3 = 25,83°.

Odchylka od průměru je tedy menší než 5°.

Smykové těleso a složení vrstev - Základ

1. Iterační krok (počátek s φ_m,0 = 25,83°; α = β = δ = 0):

ϵ₁ = asin(−sin(β)/sin(φ_A,k)) = asin(−sin(0,00°)/sin(25,83°)) = 0,00° – podle A.2 ϵ₂ = asin(−sin(δ)/sin(φ_A,k)) = asin(−sin(0,00°)/sin(25,83°)) = 0,00° – podle A.5 ϑ₁ = 45° − φ_m,0/2 − (ϵ₁ + β)/2 = 45° − 25,83°/2 − 0 = 32,1° – A.1 ϑ₂ = ϑ₃ = 45° + φ_m,0/2 − (ϵ₂ + β)/2 = 45° + 25,83°/2 − 0 = 57,9° – A.3 υ = 180° − α − β − ϑ₁ − ϑ₂ = 180° − 0° − 0° − 32,1° − 57,9° = 90° – A.6 r₂ = B'/(2⋅cos(ϑ₂)) = 4,00 m/(2⋅cos(57,9°)) = 3,76 m – A.7 r₁ = r₂⋅e^{(0,5π⋅tan(φ_m,0))} = 3,76 m⋅e^{(0,5π⋅tan(25,83°))} = 8,03 m – A.8 l_s = (r₁ − r₂)/sin(φ) = (3,76 m − 8,03 m)/sin(25,83°) = 9,80 m – A.17

Celková délka smykové plochy podle obrázku 3 této přílohy:

Σl = r₂ + r₁ + l_s = 3,76 + 8,03 + 9,81 = 21,60 m l₁ = (z₃ − d)/(sin(ψ₂)) = 1,50/0,847 = 1,77 m l₂ = (z₄ − z₃)/(sin(ψ₂)) = 1,50/0,847 = 1,77 m l₄ = (z₃ − d)/(sin(ψ₁)) = 1,50/0,531 = 2,82 m l₅ = (z₄ − z₃)/(sin(ψ₁)) = 1,50/0,531 = 2,82 m l₃ + l₆ + l_s = Σl − (l₁ + l₂ + l₄ + l₅) = 21,60 m − 2⋅(1,77 + 2,82) = 12,42 m φ'₂ = (4,59⋅30,0° + 4,59⋅25,0° + 12,42⋅22,5°)/21,60 = 24,6° c'₂ = (4,59⋅5,00 + 12,42⋅2,00)/21,60 = 2,2 kN/m²

Iterace pokračuje s φ'₂ = 24,6°.

2. Iterační krok (s φ_m,1 = 24,6°; α = β = δ = 0):

ϵ₁ = ϵ₂ = 0,00° ϑ₁ = 45° − 24,6°/2 − 0 = 32,7° ϑ₂ = ϑ₃ = 45° + 24,6°/2 − 0 = 57,3° υ = 180° − 0° − 0° − 32,7° − 57,3° = 90° r₂ = 4,00 m/(2⋅cos(57,3°)) = 3,70 m r₁ = 3,70 m⋅e^{(0,5π⋅tan(24,6°))} = 7,60 m l_s = |7,60 − 3,70| m/sin(24,6°) = 9,36 m Σl = 3,70 + 7,60 + 9,36 = 20,66 m l₁ = l₂ = 1,50/0,842 = 1,78 m l₄ = l₅ = 1,50/0,540 = 2,78 m l₃ + l₆ + l_s = Σl − (l₁ + l₂ + l₄ + l₅) = 20,66 − 2⋅(1,78 + 2,78) = 11,54 m

Vážené průměry:

φ'₃ = ((l₁ + l₄)⋅30,0° + (l₂ + l₅)⋅25,0° + (l₃ + l₆ + l_s)⋅22,5°)/Σl = ((1,78 + 2,78)⋅30,0° + (1,78 + 2,78)⋅25,0° + 11,54⋅22,5°)/20,66 = 24,71° c'₃ = ((l₁ + l₄)⋅5,00 + (l₃ + l₆ + l_s)⋅2,00)/Σl = ((1,78 + 2,78)⋅5,00 + 11,54⋅2,00)/20,66 = 2,22 kN/m²

Výsledek: Hlavní úhel tření se prakticky stabilizoval na φ_m ≈ 24,7°.

Částečné plochy smykového tělesa

Trojúhelník ABD ϑ₂ = ϑ₃ = 45° + 24,7°/2 = 57,35° A_a = tan(ϑ₂) ⋅ (B'/2)² = 1,56 ⋅ 4,00 m² = 6,24 m²

Trojúhelník BCE ϑ₁ = 45° − 24,7°/2 = 32,65° r₂ = 4,00 m/(2⋅cos(57,35°)) = 3,71 m r₁ = 3,71 m ⋅ e^{(π/2 ⋅ tan(24,7°))} = 7,64 m A_p = r₁² ⋅ sin(ϑ₁) ⋅ cos(ϑ₁) = 26,54 m²

Částečná plocha spirály A_s = (r₁² − r₂²)/(4⋅tan(φ')) = 24,24 m²

Součet ploch ΣA = 57,02 m²

Střední hutnost smykového tělesa

Z částečných ploch a váhových poměrů jednotlivých vrstev lze vypočítat střední hutnost γ': γ' = (11,0⋅22,82 + 12,0⋅17,87 + 10,0⋅16,33) ÷ 57,02 = 11,0 kN/m³.

Střední hutnost podloží vedle a nad základem: γ = (0,50 m⋅18,0 kN/m³ + 1,50 m⋅18,5 kN/m³) ÷ 2,00 m = 18,375 kN/m³

Výpočet mezní únosnosti

Nyní mohou být stanoveny činitelé únosnosti.

• N_q,0 = e^{(π⋅tan(24,7°))} ⋅ tan²(45° + 24,7°/2) = 10,33 [−]
• N_γ,0 = (10,33 − 1) ⋅ tan(24,7°) = 4,29 [−]
• N_c,0 = (10,33 − 1) ⋅ tan(24,7°) = 20,28 [−]

Pro zohlednění geometrie základu jsou potřebné ještě formové faktory:

• ν_q = 1 + 4,00 m/5,00 m ⋅ sin(24,7°) = 1,334 [−]
• ν_γ = 1 − 0,3 ⋅ 4,00 m/5,00 m = 0,760 [−]
• ν_c = (1,334 ⋅ 10,33 − 1)/(10,33 − 1) = 1,370 [−]

S těmito faktory budou činitelé únosnosti opraveny:

• N_q = N_q,0 ⋅ ν_q = 10,33 ⋅ 1,334 = 13,78
• N_γ = N_γ,0 ⋅ ν_γ = 4,29 ⋅ 0,760 = 3,26
• N_c = N_c,0 ⋅ ν_c = 20,28 ⋅ 1,370 = 27,78

\[ \text{R}_n = 5{,}00\,\text{m}\cdot 4{,}00\,\text{m}\cdot \left( \underbrace{11{,}0\,\text{kN/m}^3\cdot 4{,}00\,\text{m}\cdot 3{,}26}_{\gamma' \cdot B' \cdot N_\gamma} +\underbrace{18{,}375\,\text{kN/m}^3\cdot 2\,\text{m}\cdot 13{,}78}_{\gamma \cdot t \cdot N_q} +\underbrace{2{,}2\,\text{kN/m}^2\cdot 27{,}78}_{c' \cdot N_c} \right) = 14\,233\,\text{kN}. \]

Výpočet v RFEM 6

V RFEM 6 je geometrie, zatížení a parametry vrstev nastaveny analogicky. Na rozdíl od metody příloh je smyková plocha jako logaritmická spirála integrována po celé křivce kontinuálně (žádné linearizace do tečen a kruhů). Tak se do průměrování započítá celková účinná půdní plocha smykové vrstvy a příspěvky jednotlivých vrstev se považují za skutečné plochy.

Výsledek středního úhlu tření: φ_m,RFEM = 25,03° Mezní únosnost: R_k,RFEM = A ⋅ σ_R,k = 5,00 m ⋅ 4,00 m ⋅ 741,53 kN/m² = 14.830,64 kN

Posouzení mezního tlaku na základ, RFEM

Proč RFEM udává 25,03°, zatímco ruční výpočet dává přibližně 24,7° – a co to znamená pro R_k?

V ručním výpočtu (příloha) je smyková plocha rozdělena, tj. rozdělena na tečny a oblouky. Výsledkem je délkově vážený střední úhel; metoda je přibližná a upravována iterativně (1. iterace ≈ 24,6°, 2. iterace ≈ 24,71°).

Naopak, RFEM 6 integruje lokální směry podél křivky kontinuálně. Tím jsou zcela zahrnuty částicové plochy vrstev na smykové spáře (místo jen délkových úseků), referenční směr je jednoznačně vyřešen a zakřivení spirály zohledněno bez linearizace.

Účinek v tomto příkladu: podíl "silnější" vrstvy (s φ′ = 30°) na účinné smykové spáře je o něco větší než v diskrétním přiblížení. To mírně posune vážené průměrování a vede k φ_m,RFEM = 25,03° (rozdíl ~0,27° oproti ručnímu výpočtu).

Vliv na odpor R_k

Mírně větší φ škáluje činitele únosnosti nelineárně a tím zvyšuje odpor.

Ruční výpočet (Příloha): Charakteristické napětí odporu σ_R,k = 710,97 kN/m² Celkový odpor R_k = 14.233 kN

RFEM 6: Charakteristické napětí odporu σ_R,k = 741,53 kN/m² Celkový odpor R_k = 14.830,64 kN

Rozdíl v R_n činí ≈ 4,2 % (vzhledem k ručnímu výpočtu). To je technicky konzistentní a vyplývá přímo z metodiky: diskrétní vážení na délku vs. kontinuální vážení na ploše podél reálně zakřivené smykové linie.

Porovnání výsledků

Závěr

Výpočty podle DIN 4017 a výsledky v RFEM 6 jsou velmi dobře sladěny. Malé odchylky jsou vysvětleny metodikou (diskrétní přiblížení vs. kontinuální integrace). V praxi to znamená, že RFEM 6 věrně odráží ruční výpočty, snižuje manuální iterativní zátěž a poskytuje matematicky důkladnější ošetření smykové linie – při transparentním zobrazení výsledků.